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Álgebra Booleana

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha. Utilizaremos además los siguientes postulados:

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero.

No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) =

(A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es

el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+

(B+C).

Importancia de los Circuitos

Álgebra Booleana y circuitos electrónicos

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo

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requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que ensíntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión:

A OR B A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND

Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.

Circuitos Combinacionales

Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste echo, cada salida representa una función booleana diferente.

Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una

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entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000.

En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representando valores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí representada para los valores numéricos.

0 a b c d e f

1

b c

2 a b

d e

g

3 a b c d

g

4

b c

f g

5 a

c d

f g

6

c d e f g

7 a b c

8 a b c d e f g

9 a b c

f g

Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más.

Circuitos Secuenciales Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones de salida en un circuito combinacional dependen delestado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es eldominio de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits, ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre deregistro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstos últimos también los conocemos

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como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible construir un microprocesador completo.

Aplicaciones

Los Teoremas Básicos Del Algebra Booleana

Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son:

TEOREMA 1 Ley Distributiva A (B+C) = AB+AC

A B C B+C AB AC AB+AC A (B+C)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

TEOREMA 2

A+A = A

AA = A

A A A+A

0 0 0

1 1 1

A A AA

0 0 0

1 1 1

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TEOREMA 3

Redundancia

A+AB = A

A B AB X

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1

1 1 1 1

A (A+B) = A

A B A+B X

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 1 1

Inferencia Lógica

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y

declaraciones establecidas.

Un argumento, por ejemplo es una inferencia, donde las premisas son los datos o

expresiones conocidas y de ellas se desprende una conclusión.

Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva.

Inductiva (de lo particular a lo general)

Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde,

podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no

necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano.

En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias

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observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que

concluímos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un

amigo, tu todos los días dices mentiras, y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día

no dije una sóla mentira.

Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación

de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en

general.

Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe

que siempre que llueve hay nubes, concluímos que el día de hoy que está lloviendo

hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso

que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una

posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este

caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión

también lo es.

En este caso se encuentran MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus

Tollendo Tollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos

formas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única

aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer comprobaciones y

sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada más delante en

INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.

Transductiva (de particular a particular o de general a general) con el mismo

caso del maestro que llega tarde drante los primeros días y concluímos que el

lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha

mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por

ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas

discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente

semestre todos los alumnos iban a estudiar.

Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la

conclusión es verdadera.

Abductiva es semejante a la deductuva, también utiliza la estrategia de

analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se

pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay

nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la

certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de

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obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más

información para poder verificar la validez.

Ejemplo: Dadas las condiciones escritas antes de la raya, qué podemos concluir?

Si llueve hay nubes.

Hay nubes.

- - - - - - - - - - - - -

Si haces la tarea te llevo al cine.

Lo vimos en el cine.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si se hace el experimento en un salón de clases o con un grupo de personas, en el

primer caso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin embargo en el

segundo caso casi todos coinciden en que sí hay conclusión y que se está seguro que

hizo la tarea.

Analicemos los casos simbólicamente, en el primero:

p: llueve

q: hay nubes

Con símbolos queda:

p → q

q

- - - - - -

En el segundo caso

p: hacer la tarea

q: llevarlo al cine

- - - - - - - - - -

con símbolos:

p → q

q

- - - - - -

Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo que en

los dos casos se puede sacar conclusión válida o en ninguno. Pero no es posible que

en uno sí y en el otro no.

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La respuesta correcta es que en ningún caso se puede obtener conclusión válida. A

continuación se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una

condicional simple, de los cuales dos tienen conclusión válida y dos no.

INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL

A → C A → C

A ¬A

--------- ---------

C (MPP) No hay

A → C A → C

C ¬C

--------- ---------

No hay ¬A (MTT)

Notamos que tanto el primero, como el último son argumentos válidos; mientras que

en los otros dos no hay conclusión.

El primero se llama MPP: Modus Ponendo Ponens y el último MTT: Modus Tollen

Tollens, están en latín y en español MPP podría ser Ley de Afirmar Afirmando o de

Poner Poniendo y MTT quedaría Ley de Negar Negando o Quitar Quitando. Sin

embargo es costumbre nombrarlos en latín.

Todo esto se puede ilustrar con una pequeña máquina de inferencia. Fig 17 A.

En general podemos decir que estas dos reglas de inferencia son las esenciales, y

cualquier demostración de podría realizar con el uso de MPP y de MTT, pero es muy

conveniente tener algunas otras reglas de inferencia, sobretodo porque en muchos

resulta complicado cambiarlo a la forma MPP o MTT, por lo que tener una lista de

reglas de inferencia resulta ser muy útil para realizar demostraciones.

Compuertas Lógicas

Puertas Lógicas

PUERTA NOT O INVERSORA

Se trata de una operación que solo maneja una variable de entrada y otra de salida. La salida toma el estado opuesto o inverso del que tiene la entrada.

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Tabla De La Verdad De La Puerta Inversora NOT

VALOR EN LA ENTRADA

VALOR EN LA SALIDA

0 1

1 0

PUERTA OR O SUMADORA

Cuando distintas variables lógicas se combinan mediante la función OR, el resultado toma el estado alto, verdadero o 1 si alguna de ellas tiene dicho estado. La ecuación que representa la función OR de dos variables de entrada es la siguiente:

X = A + B

Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora OR

VALOR EN LA PARTE A

VALOR EN LA PARTE B

VALOR OBTENIDO EN

LA

SALIDA

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

PUERTA NOR O SUMADORA INVERSORA

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Esta puerta produce la función inversa de la puerta OR, es decir, la negación de la suma lógica de las variables de entrada. Su comportamiento es equivalente a la de la puerta OR seguida de una NOT.

Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora Inversora NOR

VALOR EN LA PARTE A

VALOR EN LA PARTE B

VALOR OBTENIDO EN

LA

SALIDA

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

PUERTA AND O MULTIPLICADORA

Cuando varias variables lógicas, de tipo binario, se combinan mediante la operación lógica AND, producen una variable de salida, que solo toma el nivel lógico 1, estado alto o verdadero, si todas ellas tienen dicho nivel o estado. La ecuación lógica de la función AND para dos variables de entrada es la siguiente:

Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora AND

VALOR EN LA PARTE A

VALOR EN LA PARTE B

VALOR OBTENIDO EN

LA

SALIDA

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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PUERTA NAND O MULTIPLICADORA INVERSORA

La puerta NAND produce la función inversa de la AND, o sea, la negación del producto lógico de las variables de entrada. Actúa como una puerta AND seguida de una NOT.

Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora Inversora NAND

VALOR EN LA PARTE A

VALOR EN LA PARTE B

VALOR OBTENIDO EN

LA

SALIDA

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

PUERTA OR EXCLUSIVA (OREX)

La salida de esta compuerta es 1, estado alto o verdadero si cada entrada es 1 pero excluye la combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusiva tiene su propio símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND, OR.

Tabla De La Verdad De La Puerta OR Exclusiva (OREX)

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VALOR EN LA PARTE A

VALOR EN LA PARTE B

VALOR OBTENIDO EN

LA

SALIDA

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

PUERTA NOR EXCLUSIVA (NOREX)

Tabla De La Verdad De La Puerta NOR Exclusiva (NOREX)

VALOR EN LA PARTE A

VALOR EN LA PARTE B

VALOR OBTENIDO EN

LA

SALIDA

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

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Ejercicios:

Implementar solo con NAND las puertas: NOT, OR, NOR y AND.

NOT OR

NOR AND

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