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Presentacin

Segn Charles Peirce uno de los fundadores del pragmatismonorteamericano que atac de raz los problemas centrales lgicosy filosficos ha dado un centenar de definiciones de la lgica.De acuerdo con Aristteles, la lgica puede ser enfocada desde dospuntos de vista. Por un lado, la lgica como un instrumento org-nico para evaluar la validez de las inferencias; por otro lado, comoel estudio de los principios y mtodos usados para distinguir en-tre las inferencias vlidas y las inferencias no vlidas.

La lgica formal contempornea es la lgica matemtica. Su de-sarrollo no es ajeno a los cambios de la ciencia actual, en cuya his-toria podemos distinguir dos grandes etapas. La primera se extien-de desde sus orgenes, es decir, cuando fue creada por Aristtelesen el siglo IV a. C., hasta mediados del siglo XIX. Es la etapa de lalgica antigua, tradicional o aristotlica. La segunda, que se extien-de desde mediados del siglo XIX hasta nuestros das, es la etapa dela lgica matemtica, simblica o moderna o contempornea.

Nace como disciplina independiente en Grecia. Aristteles fueel primer gran filsofo que escribi un tratado de lgica. Reuni enel Organon todo el material existente en su poca, incluyendo suspropios descubrimientos, entre los que destaca la teora del silogis-mo, desarrollada sistemticamente en los Primeros analticos.

La lgica se enriqueci luego con valiosos aportes de los lgicosestoicos y megricos, de filsofos medievales y modernos, pero sin

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experimentar cambios sustanciales. Se admita que el Estagirita ha-ba descubierto todo lo que haba que descubrir sobre lgica. Sin em-bargo, desde hace poco ms de un siglo, la lgica ha tomado un nue-vo curso y en poco tiempo ha realizado significativos progresos quela han renovado por completo. El impulso fue dado por dos matem-ticos ingleses: George Boole y Augustus de Morgan, quienes desarro-llaron la idea de Leibniz de construir la lgica como un clculo.

A fines del siglo XIX aparecen los trabajos de Gottlob Fregeconsiderado el padre de la lgica moderna cuya primera obra,el Begriffsschrift, se public en 1879, y los del italiano GiuseppePeano Principios de la aritmtica (1889), que en forma independien-te lleg a resultados similares a los de Frege. Todos estos trabajosfueron sistematizados y desarrollados por dos grandes filsofos:Bertrand Russell y Alfred N. Whitehead, cuyos trabajos fueron pu-blicados en una obra monumental, que consta de tres volmenes,denominada Principia Mathematica (1910-1913).

Posteriormente el matemtico y lgico alemn David Hilbertmostr que los defectos de la obra de Russell y Whitehead se de-ban a la falta de rigor en el empleo del lenguaje y cre la llamadametateora, dando origen a una serie de investigaciones notables,como las de Rudolf Carnap en el terreno de la sintaxis lgica y deAlfred Tarski en el de la semntica lgica.

Por lo tanto la imagen actual de la lgica revela un progreso ydiversificacin tan notable que resulta incorrecto hablar simple-mente de la lgica como se vena haciendo hasta entonces. En efec-to, a partir de 1920, y sobre la base de la enorme influencia que elfilsofo y lgico austriaco Ludwig Wittgenstein lleg a ejercer atravs de su Tractatus Logico-Philosophicus, surgen y se desarrollanciertos sistemas de lgica que se separan, de diversos modos, dela lgica clsica. Es el caso de las lgicas polivalentes, asociadasa nombres como Lukasiewicz y Post; la lgica intuicionista, crea-da por Brouwer y sistematizada por Heyting; la lgica dialctica,formulada por los profesores Richard Routley, Robert Meyer yNewton da Costa; y, finalmente, la lgica modal identificada conlos trabajos de Lewis. Todas ellas caracterizadas como lgicas noclsicas, de difusin grande en nuestros tiempos.

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La lgica matemtica ha penetrado todas las dems ciencias ynutre de problemas a la filosofa. Es la base de la investigacin entecnologas formales que incluye los campos de programacin decomputadoras, el anlisis de sistemas y de investigacin operativa.Es la base de la ciberntica, disciplina que ha permitido impor-tantes avances en el conocimiento de los mecanismos de transmi-sin de informacin. Desconocerla, para el hombre del siglo XXI,significa ignorar una de las creaciones ms fecundas del pensa-miento humano.

Justamente, con el anhelo de iniciar a los alumnos de educa-cin superior en el estudio de esta importante disciplina, ofrece-mos el presente volumen de Introduccin a la Lgica . En l nos pro-ponemos exponer en forma clara y sencilla los elementos de estaciencia formal. En la parte preliminar se examinan los conceptosbsicos de la lgica, en su relacin con el pensamiento y el len-guaje; la segunda y la tercera partes, respectivamente, desarro-llan los temas esenciales de la lgica proposicional y de la lgi-ca de predicados. Se incluyen catorce cuestionarios y veintitrsejercicios para ayudar al alumno a adquirir un dominio prcticodel material.

El seor Jos Antonio Tejada Sandoval, distinguido alumnode filosofa de San Marcos y ayudante del curso de Lgica en elIntegrado de Letras, ha participado activamente en la elaboracindel libro, tanto en la preparacin de los cuestionarios y ejercicios,en las correcciones finales, cuanto en la redaccin de ciertas par-tes. Expresamos nuestro reconocimiento por su valiosa y respon-sable contribucin.

Creemos que un trabajo de esta naturaleza contribuir a que elprofesor de aula cuente con una pauta que le permita dirigir la en-seanza-aprendizaje del curso y, por lo que se refiere al alumno, leproporcionar un medio efectivo de iniciarse en su estudio. En lamedida en que esto suceda, nuestra tarea habr sido cumplida.

scar Augusto Garca Zrate

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CONCEPTOS PRELIMINARES

Gnesis de la lgica

El origen de la lgica como ciencia formal se remonta a los tiem-pos de Aristteles (siglo IV a. C.), quien fue su creador. Sin embar-go, el gran filsofo de Estagira no emple este trmino para refe-rirse a esta ciencia, sino que aluda a ella usando la palabra ana-ltica (del griego analysis: solucin, resolucin; fin, en el sentidode trmino). Es por esta razn que los escritos fundamentales delOrganon aristotlico (conjunto de sus investigaciones sobre lgi-ca) reciben el nombre de Analticos.

No se sabe exactamente por quin ni en qu poca ha sido em-pleada la palabra lgica en el sentido moderno. Segn indica-cin de Boecio el trmino lgica pudo haber sido creado por loscomentadores de Aristteles para oponer el Organon de ste a ladialctica estoica, tal vez en tiempo de Andrnico de Rodas. Entodo caso esta palabra es empleada por Cicern (siglo I a. C.); y eluso que se hace de ella en Alejandro de Afrodisia (siglo II d. C.) yen Galeno parece demostrar que se haba hecho muy corriente ensu poca. El empleo de este trmino es corriente desde los estoicos(siglo III a. C.): los teoremas lgicos, las leyes lgicas, comouna de las tres especies de filosofa.1

1 Cf. LALANDE, Andr, Vocabulario tcnico y crtico de la filosofa, Argentina,El Ateneo Editorial, 1966, pp. 586-587.

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La palabra lgica proviene del vocablo griego logos y stede la voz legein. Las significaciones respectivas son muchas y va-riadas. Con fines didcticos seleccionaremos las que influyeron enel desarrollo de la lgica. En el pensamiento griego el significadode la palabra logos desborda el campo lgico, pues llega a los te-rrenos metafsicos; as la us, por ejemplo, Herclito. Logos tradu-ca una nocin muy profunda que representa un principio de va-lidez universal, pues sealaba que toda la realidad se hallaba pe-netrada de l y por esta misma razn volva inteligibles todas lascosas. Incluso el hombre participaba de l. De aqu que la tareahumana en el conocimiento de las cosas consista en ir purifican-do el pensamiento para llegar a la visin del logos y as compren-der la realidad. Por su parte, Manuel Garca Morente afirma queel griego conceba el logos como aquella razn fundamental o fr-mula racional definitoria que explica el qu es de algo. Justa-mente, ste es uno de los sentidos que, por ejemplo, Platn le adju-dica a dicho trmino en la parte final del Teeteto, al intentar defi-nir el conocimiento. Nos parece que esta significacin metafsicadel logos sirvi de base para crear la lgica como un instrumentodel pensamiento. En efecto, si la realidad es inteligible, entonceses posible buscar un mtodo de pensar que haga evidente esainteligibilidad.

El verbo legein signific, por un lado, norma racional, es de-cir, un camino especfico para el discurrir de la razn, la cual si-guiendo ese camino hallaba una gua para el logro de sus fines.Tambin signific la facultad de formar conceptos correctos, lo cualimplicaba que el pensamiento exento de todo error debe tambin,por esa misma calidad, ser una representacin de la realidad.Heidegger, en un artculo en que analiza detenidamente y desdeuna perspectiva filolgica el Fragmento 50 de Herclito, se refiereal significado de legein, indicando que, en su sentido primigenio,este verbo tambin significa colocar, recoger, recolectar. Heidegger,en relacin con esto, seala que el decir de los hombres se mani-fiesta como un colocar, y que esto nos mostrara una nueva dimen-sin del ser del lenguaje que va ms all de la expresin y la sig-

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nificacin que, habitualmente, han sido sealados como sus ras-gos definitorios.

Igualmente, logos significaba palabra, es decir, el lenguajeque traduca un pensamiento ya ordenado por la norma racional.As, esta funcin especial del lenguaje interesaba a la lgica y seabri el camino para la determinacin del concepto de proposi-cin, pues sta implica asertos y negaciones, los cuales son sus-ceptibles de discusin y pueden llevar la verificacin de su ver-dad o falsedad. Siguiendo este camino naci la lgica en el pensa-miento griego. A travs de la palabra que expresaba pensamien-tos correctos se poda organizar una ciencia que garantizara la in-teligibilidad de las cosas. Por supuesto que la lgica fue afinandosu significacin hasta convertirse en el instrumento del pensar co-rrecto de que habla Aristteles.2

Usos de la palabra lgica como sustantivo, adjetivo y adverbio,en el lenguaje coloquial

Inmerso en el lenguaje coloquial el trmino lgica, en su uso sus-tantivo (la lgica, lo lgico, lo ilgico, la logicidad, lailogicidad), adjetivo (lgico, lgica, ilgico, ilgica y susrespectivos plurales) y adverbial (lgicamente, ilgicamente),adquiere diversos sentidos.

Como sustantivo

Empleado como sustantivo en el lenguaje cotidiano la palabra l-gica adquiere el sentido de estructura de razonamiento, forma omodo de pensar o razonar, o, simplemente, razonamiento. As, sehabla, por ejemplo, en un artculo periodstico, de la lgica delescndalo, para referirse al modo de pensar de la prensa de nues-tro medio, que decide brindar cobertura a un hecho en funcin alescndalo que ste genere. Asimismo, se emplea el trmino lgi-

2 Cf. GUERRA, Luis Felipe y Hugo GARCA SALVATECCI, LgicaMatemtica, Lima, Universo, 1984, pp. 7-8.

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ca como sinnimo de sentido comn, buen sentido, razn o acti-tud racional, cuando se afirma, por ejemplo, que felizmente pre-valeci la lgica. Se hace uso del sustantivo lgica, tambin,para significar una determinada estructura de ordenamiento o laforma en que se encuentran dispuestas ciertas partes o ciertos ele-mentos de un determinado conjunto a mbito. As, se es el senti-do que toma en el siguiente texto: Me he visto obligado dijoa creer que la lgica de sus acciones estaba desequilibrada (Gus-tave Flaubert, Madame Bovary). Suele tambin significar, en otrocontexto, coherencia o sentido; as, podemos leer: Aunque todoes mentira, no deja de tener lgica lo que dice (Shakespeare,Hamlet).

Como adjetivo

En su uso adjetivo, la palabra lgica pasa a significar natu-ral, en el sentido de previsible; es decir, hace referencia a un he-cho o accin que se esperaba sucediese como consecuencia nece-saria de un evento determinado; y as se dice: Es lgico que elanciano reaccione de la siguiente manera si le robaste las manza-nas (Vasconcelos, Mi planta de naranja lima). Tambin suele usar-se el mencionado trmino para significar algo obvio o eviden-te: No poda haber ms que un solo significado lgico tras laspalabras de Luisa Bourget (A. Christie, Poirot en Egipto). Asimis-mo, pasa a significar, en otros casos, necesario, como en el textosiguiente: Como consecuencia lgica de su buena actuacin enlas tablas, comenz a trabajar en el cine (Miguel Pajn, Grandesestrellas del cine). En otras ocasiones, con este trmino, se hace refe-rencia al carcter coherente que algo posee; en ese sentido, por ejem-plo, se dice que los ingenieros hidrulicos participantes en el pro-yecto propusieron soluciones lgicas al problema (El Comercio,03-08-02, p. 10). Adems, cuando se dice de algo que tiene un or-den lgico, se hace referencia a aquello que tiene un orden riguro-so, sistemtico y coherente, aunque en este caso, tal vez, el uso deltrmino sea redundante, pues todo orden, por definicin, supone

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un carcter lgico, esto es, riguroso, sistemtico y coherente, demodo que este uso sera pleonstico. El empleo de la palabra l-gico tambin sirve para caracterizar una actitud como razona-ble o sensata, y as se dice, por ejemplo, de un determinadofuncionario que lo ms lgico sera que deje su cargo mientrasgoza de cierta aprobacin.

Como adverbio

En su uso adverbial el trmino lgica se convierte en lgica-mente y expresa los mismos sentidos que posee como adjetivo,aunque ya no calificando un sustantivo, pues esa funcin slo lecorresponde al adjetivo, sino expresando modo. De esta formapodemos decir, por ejemplo, que la decisin fue tomada, como eslgico, (en este caso, el uso es adjetivo, y tiene el sentido de evi-dente) despus de un detenido anlisis, o, en otros trminos, perode manera equivalente, empleando el trmino bajo su formaadverbial, La decisin fue tomada, lgicamente, despus de undetenido anlisis

Por ltimo, el trmino ilgico es usado como sinnimo deirracional, absurdo, incoherente e inverosmil, cuandotoma la forma de adjetivo. Como ejemplos de este uso tenemos: Elalcalde de Miraflores inaugur el viernes una obra inconclusa aun-que suene ilgico (El Comercio, 18-08-02, p. 22); Lheureux quedestupefacto, era algo ilgico para l lo que le estaba pasando (G.Flaubert, Madame Bovary). Ilgico no es usado como sustantivo,al menos no de la misma forma que lgica, pues no cabe hablarde la ilgica de tal o cual accin o actitud, aunque s de suilogicidad, entendiendo esta palabra como sinnimo de irracio-nalidad, absurdidad, etc.; tambin cabe hablar de lo ilgico, puesal anteponer a este trmino el artculo neutro se lo ha sustantivado,adquiriendo de este modo el valor significativo de sinrazn osinsentido. No es muy corriente, asimismo, el empleo de estetrmino con valor adverbial, como s lo es, en cambio, el uso delgicamente.

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La lgica como ciencia formal de anlisis y deduccin

La ciencia puede ser caracterizada como un sistema de proposicio-nes o conocimientos metdicamente establecidos y comprobados,conectados por relaciones de fundamentacin y referentes a un do-minio particular de objetos; la verdad de sus proposiciones se esta-blece va demostrativa o deductiva o bien a travs de la experiencia.

Aquellas ciencias que establecen la verdad de sus proposicio-nes mediante deducciones o demostraciones se denominan forma-les, abstractas o estructurales. Son las que tratan de los objetos abs-tractos, ideales o puramente intelectuales, tales como los nmeros.La lgica formal y la matemtica pura son ejemplos de estas cien-cias. Aquellas otras que la establecen a travs de la experiencia(observacin, medicin y experimentacin) se llaman cienciasfcticas, factuales, reales o empricas. Estas ltimas, de las que sonejemplo las ciencias naturales y las ciencias sociales, tratan acer-ca de los objetos reales, es decir, de entidades que se dan en larealidad espacio-temporal, entre las que se incluyen aquellos pro-cesos, fenmenos o hechos naturales y sociales que el hombre en-cuentra en su experiencia del mundo real (sea la dilatacin de loscuerpos con el calor en la fsica, o la variacin de la moda enla sociologa, o la devaluacin monetaria en economa).

Las ciencias formales estn constituidas por un conjunto deproposiciones denominadas analticas: su verdad o falsedad seestablece lgicamente. Ejemplos:

a) El tringulo tiene tres ngulos.b) 2 + 3 = 5c) La suma de los ngulos internos del tringulo es de 180.

Las ciencias fcticas estn constituidas por un conjunto deproposiciones que se llaman sintticas: su verdad o falsedad seestablece empricamente. Ejemplos:

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a) La clorofila es verde.b) Los felinos son carnvoros.c) El calor dilata los cuerpos.

La lgica es una ciencia formal que estudia las tcnicas, pro-cedimientos, reglas, mtodos y los principios o leyes usados paradistinguir la inferencia correcta de la incorrecta; para discriminarla inferencia vlida de la no vlida. Es ciencia formal porque ellaatiende slo al aspecto estructural de las inferencias sin conside-rar el contenido significativo de sus proposiciones componentes.

Naturalmente, esta definicin no pretende afirmar que slo esposible razonar o inferir correctamente si se ha estudiado lgica.Sostener esto sera tan errneo como pretender que slo es posiblecorrer bien si se ha estudiado la fsica y la fisiologa necesariaspara la descripcin de esta actividad. Algunos excelentes atletasignoran completamente los complejos procesos que se operan den-tro de ellos mismos cuando ejecutan sus habilidades. Y es innece-sario decir que los profesores de edad algo madura que ms sa-ben acerca de tales cosas se desempearan muy pobremente, siarriesgaran su dignidad en el campo atltico. Pero, inversamente,la agudeza intelectual que la lgica desarrolla con su cultivo haceque la persona que la ha estudiado tenga la posibilidad de razo-nar o inferir correctamente, con ventaja sobre aquella que nuncaha considerado los principios o leyes generales implicados en estaactividad, limitada al buen sentido natural o sentido comn.

Ello se debe a varias razones. Ante todo, un estudio adecuadode la lgica la enfocar como un arte tanto como una ciencia, y elestudiante deber hacer ejercicios relativos a todos los aspectos dela teora que aprende. Aqu como en todo, la prctica ayuda a per-feccionarse. En segundo lugar, una parte tradicional de estudiode la lgica consiste en el examen y el anlisis de las falacias osofismas, es decir, de ciertos tipos de razonamientos incorrectosque se cometen con la intencin de engaar. El conocimiento deestas trampas nos ayuda positivamente a evitarlas. Finalmente, elestudio de la lgica suministrar al estudiante ciertas tcnicas, re-

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glas y mtodos de fcil aplicacin para determinar la validez oinvalidez de todas las inferencias, incluso las propias. El valor deeste conocimiento reside en que, cuando es posible localizar o iden-tificar los errores, es menor la posibilidad de que se cometan.

Definiciones incorrectas de la lgica

La lgica como ciencia de las leyes del pensamiento

La lgica ha sido definida como la ciencia de las leyes del pensa-miento. Esta definicin, aunque ofrezca un indicio de la naturale-za de la lgica, no es exacta. En efecto, el pensamiento es uno delos procesos estudiados por los psiclogos. La lgica no puede serla ciencia de las leyes del pensamiento porque tambin la psicolo-ga es una ciencia que trata de las leyes del pensamiento, entreotras cosas, y la lgica no es una rama de la psicologa, es un campode estudio separado y distinto.

Igualmente, si pensamiento es cualquier proceso mental quese produce en la psiquis de las personas, no todo pensamiento esobjeto de estudio para el lgico, pues, aunque todo razonamientoes pensamiento, no todo pensamiento es razonamiento. Por ejem-plo, es posible pensar en un nmero entre uno y diez como en losjuegos de saln, sin elaborar ningn razonamiento acerca delmismo.

Hay muchos procesos mentales o tipos de pensamiento queson distintos del razonamiento. Es posible recordar algo, imagi-narlo o lamentarlo, sin razonar sobre ello. O uno puede dejarvagar los propios pensamientos en un ensueo o fantasa, cons-truir castillos en el aire o seguir lo que los psiclogos llaman aso-ciacin libre, en la que una imagen reemplaza a otra en un ordenque no tiene nada de lgico. Parece haber ciertas leyes que gobier-nan el ensueo, pero no son del tipo de las que han estudiado tra-dicionalmente los lgicos. Su estudio es ms apropiado para lapsicologa; las leyes que describen y explican las evoluciones dela mente en el ensueo son las psicolgicas no principios lgicos.

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Definir la lgica como la ciencia de las leyes del pensamiento esincluir demasiado dentro de ella.

La lgica como ciencia del razonamiento

Otra definicin comn de la lgica es aquella que la caracterizacomo la ciencia del razonamiento. Esta definicin, que evita la ob-jecin anterior, no es an adecuada. El razonamiento es un gne-ro especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias, esdecir, se derivan conclusiones a partir de premisas. Pero, es anpensamiento y por lo tanto forma parte tambin del tema de estu-dio del psiclogo. Cuando stos examinan su proceso lo encuen-tran sumamente complejo, emocional en alto grado. stos son dela mayor importancia para la psicologa. Pero no son en absolutode la incumbencia del lgico los oscuros caminos por los cualesla mente llega a sus conclusiones durante los procesos reales delrazonamiento.

Al lgico slo le interesa la correccin del proceso, una vez ter-minado. Su problema es siempre el siguiente, la conclusin a quese ha llegado deriva de las premisas usadas y afirmadas? Si lasconclusiones se desprenden de las premisas, esto es, si las premi-sas constituyen un buen fundamento de la conclusin, de maneraque afirmar la verdad de las premisas garantiza la afirmacin deque tambin la conclusin es verdadera, entonces el razonamien-to es correcto. En caso contrario es incorrecto. La distincin entreel razonamiento correcto y el incorrecto entre la inferencia vlidae invlida es el problema central que trata la lgica. Las tcnicas,procedimientos, mtodos, reglas y leyes han sido desarrolladosesencialmente con el propsito de aclarar esta distincin.3

A modo de conclusin presentamos las siguientes precisiones:

a) El objetivo de una teora lgica es ofrecer una explicacinde la relacin de implicacin lgica en que se encuentran laspremisas y la conclusin de una inferencia correcta.3 Cf. COPI, Irving y Carl COHEN, Introduccin a la lgica, Mjico, Linusa,

1995, pp. 18-19.

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b) Otro objetivo es discriminar, mediante un mtodo sistem-tico, las inferencias correctas de las que no lo son.

Al perseguir estos objetivos la lgica contempornea ha con-cebido las inferencias como formuladas lingsticamente y se haservido de lenguajes artificiales para alcanzarlos. De entre stos,la familia ms importante es la de los lenguajes de primer orden.La lgica de primer orden es la teora ms verstil y aplicable, tam-bin la ms estudiada y la mejor conocida, de la lgica contempo-rnea. Otros nombres con los que se la conoce son lgica de predi-cados y lgica cuantificacional. La lgica de primer orden abarcaen cierto sentido la lgica de proposiciones.4

Nocin de forma lgica

La proposicin es una oracin aseverativa susceptible de ser califi-cada de verdadera o falsa. Ejemplos:

a) Einstein fue el creador de la teora de la relatividadb) El Per est al norte del Ecuador

En estos ejemplos a) y b) son proposiciones: a) es ver-dadera y b) es falsa. En consecuencia, la verdad y la falsedadson sus propiedades; as, pues, solamente poseen el atributo deverdad o falsedad las formas lingsticas que afirman o nieganalgo, es decir, las proposiciones.

La inferencia es una operacin lgica que consiste en obtenerla verdad de una proposicin, conocida como conclusin, a partirde la verdad de una o ms proposiciones, conocidas comopremisas. Ejemplos:

a) Si eres limeo, entonces eres peruano (premisa)Si eres peruano, entonces eres sudamericano (premisa)Luego, si eres limeo, entonces eressudamericano (conclusin)

4 Cf. ALCHOURRN, Carlos E. et al. Lgica, Madrid, Trotta, 1995, p. 71.

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b) Ningn peruano es chileno (premisa) Todos los loretanos son peruanos (premisa)

Luego, ningn loretano es chileno (conclusin)

Los ejemplos a) y b)son inferencias. Si en a) reemplaza-mos eres limeo por p, eres peruano por q, y eres suda-mericano por r, se obtendr la forma lgica siguiente:

Si p, entonces qSi q, entonces r

Luego, si p, entonces r

Si en b) sustituimos loretano por S, chileno por Py peruano por M, se obtendr la forma lgica siguiente:

Ningn M es PTodos los S son M

Luego, ningn S es P

En a) las proposiciones Si eres limeo, entonces eres pe-ruano y Si eres peruano, entonces eres sudamericano represen-tan a las premisas; la proposicin Si eres limeo, entonces eressudamericano representa a la conclusin. Igualmente, en b) lasproposiciones Ningn peruano es chileno y Todos los loreta-nos son peruanos desempean el papel de premisas; y la propo-sicin Ningn loretano es chileno hace las veces de conclusin.

Es fcil advertir que a) y b) son ejemplos de inferenciasvlidas, puesto que en ambos casos la conclusin deriva necesa-riamente de las premisas. En efecto, nadie puede aceptar la ver-dad de stas y, simultneamente, negar la verdad de aqulla sinincurrir en flagrante contradiccin.

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Pero cmo sabemos que las mencionadas inferencias son v-lidas? Todos lo sabemos por intuicin, sin embargo sta es subje-tiva y no puede garantizar objetivamente la validez de las inferen-cias en todos los casos. Es aqu, entonces, donde se hace necesa-rio establecer las condiciones formales de validez de las inferencias.

La inferencia a) es vlida porque su forma lgica: Si p, en-tonces q. Si q, entonces r. Luego, si p, entonces r tambin lo es. Esdecir, toda inferencia que tenga dicha forma es vlida, indepen-dientemente de los significados que asuman p, q o r. As,por ejemplo, si reemplazamos p, por penalista, q por abo-gado y r por colegiado, obtendremos otra inferencia vlida.Y si continuamos reemplazando p, q o r por cualquiertrada de proposiciones, obtendremos siempre inferencias igual-mente vlidas.

De modo anlogo, la inferencia b) es vlida porque su for-ma lgica: Ningn M es P. Todos los S son M Luego, ningn S esP lo es asimismo. Y todas las inferencias que tengan dicha formason vlidas. En efecto, si sustituimos S por planta, P pormineral y M por vegetal, respetando estrictamente el ordenen que aparecen S, P y M en la forma lgica vlida, obten-dremos nuevamente una inferencia vlida. Y si seguimos sustitu-yndolos por otras tradas de trminos respetando la estructuralgica vlida obtendremos inferencias tambin correctas.

La validez o invalidez son propiedades de las inferencias, esdecir, nicamente ellas pueden ser calificadas de vlidas o de in-vlidas. Las inferencias pueden ser deductivas e inductivas y radi-ca la diferencia en el grado de relacin existente entre las premisasy la conclusin, pues en una inferencia deductiva la conclusinderiva necesariamente de las premisas: la verdad de stas garan-tiza la de aqulla; las premisas implican la conclusin. Consecuen-temente, una inferencia es deductivamente vlida cuando es im-posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusin sea fal-sa. En una inferencia inductiva, en cambio, la conclusin no sesigue necesariamente de las premisas: stas solamente la hacenprobable.

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Razonamiento deductivo y razonamiento inductivo *

Para empezar se debe hacer una importante distincin entre el ra-zonamiento deductivo y el razonamiento inductivo.

El razonamiento deductivo est usualmente asociado a la so-lucin de problemas matemticos. Ello se ilustra muy bien median-te el despliegue de una demostracin geomtrica; sin embargo, elrazonamiento deductivo tambin se puede hallar en el lenguajeordinario, aunque no se le reconozca cabalmente como un razo-namiento. Por ejemplo, si alguien dice George no es un estudian-te de primer grado, en consecuencia no debe llevar puesto un go-rro, difcilmente se podra considerar este enunciado como un tipode razonamiento. Pero si efectuamos algunas modificaciones y adi-tamentos teniendo el cuidado de retener el significado originaldel enunciado podramos ponerlo de tal forma que se le puedareconocer realmente como un tipo de razonamiento deductivo:

George no es un principiante.Nadie excepto un principiante (ningn no-principiante)

puede llevar puesto un gorro.Luego, George no puede llevar puesto un gorro.

Este argumento es vlido y nuestros sistemas establecidos de lgi-ca pueden mostrar la validez de esta forma de argumentar.

Se podra decir que es vlido pero que no deja de ser trivial.Para qu hacerse problemas con un enunciado cuya validez puedeser inspeccionado a partir del establecimiento de determinadasnormas sobre cmo vestir en el campus universitario? Nosotrosrespondemos que para nuestro razonamiento deductivo necesita-mos establecer con claridad formas de razonamiento correcto quese podran aplicar para casos sencillos como el arriba citado y con-tinuar usando estas formas para problemas mucho ms complejos.

* THOMAS, Norman L. Modern Logic. Barnes y Noble, Inc., New York,1966, pp. 1-7. [Pasaje traducido por Claudio Chipana hasta la pgina 36].

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Digamos a estas alturas que por razonamiento deductivo esta-mos entendiendo un tipo de razonamiento que busca descubrir siuna conclusin dada es consecuencia de determinadas premisas,asunciones, axiomas o presupuestos. Algunos ejemplos puedenayudar a ilustrar esta definicin.

La siguiente es una forma comn muy empleada en el razona-miento deductivo:

Si ocurre A, entonces ocurrir BOcurre AEn consecuencia, ocurre B.

Aqu hay dos premisas y una conclusin. Las premisas son(1) Si A ocurre, entonces ocurrir B y (2) Ocurre A. Luego, la con-clusin es ocurre B. Un caso especial de esta forma podra ser:

Si ganamos el juego, entonces ganaremos las seriesNosotros ganamos el juegoEn consecuencia, nosotros ganamos las series

Por supuesto que nosotros tenemos que reconocer que esa for-ma argumental tambin podr aplicarse de alguna manera a unacondicin o estructura ms complicada. Podemos usar esa formapara mostrar, por ejemplo, que el siguiente razonamiento es vlido:

Si R y S ocurren, entonces G no ocurrirR y S ocurrenEn consecuencia, G no ocurre.

Desde otro nivel deductivo consideraremos el caso de las ma-temticas de cualquier colegio secundario: En geometra plana,para empezar, se nos dan un cierto nmero de axiomas. Tomemosdos de ellos. (1) El todo es igual a la suma de sus partes. (2) Unacantidad puede ser sustituida por su igual. Ahora, si nosotros con-sideramos un segmento lineal AB (el significado de segmento li-

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neal deber estar dado por definicin), que est dividido en dospartes, x e y, tal que x = y, podemos probar que 2x = AB de la ma-nera siguiente:

1) x + y = AB, porque el todo es igual a la suma de sus partes,x e y son partes de AB.

2) x + x = AB, porque x es igual a y, y una cantidad puede sersustituida por su igual; entonces podemos sustituir y por x.

3) x + x = 2x, por un axioma de aritmtica (todos los axiomasde aritmtica se asumen en geometra plana).

4) 2x = AB, sustituyendo x + x por 2x en el paso nmero dos.

En los ejemplos arriba citados estamos haciendo deduccionesque son extremadamente simples; de hecho tan simples que el es-tudiante puede sentirse irritado o indignado por ser forzado a re-correr tales procedimientos tortuosos a fin de llegar a una conclu-sin que era tan obvia desde el primer momento. Tal como el fil-sofo Schopenhauer dijo, es como tener dos piernas rotas por loque a uno se le tenga que ensear a caminar con muletas.

Sin embargo, una metfora mejor que la de Schopenhauer po-dra ser aquella que se refiere al entrenamiento de un aviador paraque vuele valindose de sus instrumentos. Bajo condiciones clim-ticas normales y cielo despejado un piloto puede volar por instin-to y por reacciones naturales a los datos que le dan sus sentidos.Pero si l se encontrase bajo una tormenta o nubes cargadas y ape-nas pudiese ver las puntas de sus alas ya no podra confiar msen su comprensin intuitiva de la situacin en que se halla. Es unhecho muy reconocido por los aviadores que al volar a travs delas nubes es posible sentir como si se estuviese haciendo un esca-lamiento cerrado, cuando de hecho se est volando recto y nivela-do; o, por otro lado, estar en realidad en una espiral ceida haciatierra aun cuando los sentidos le digan a uno que est en una c-moda condicin de vuelo recto y nivelado.

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Como resultado de tales decepciones provenientes del conoci-miento intuitivo, en consecuencia, es esencial que el aviador apren-da un tipo de vuelo que est basado en una negacin deliberadade sus sentidos intuitivos. Si l tuviese que aprender un tipo devuelo que lo convirtiese en un piloto profesional capaz de volarun aeroplano en condiciones ms complejas, entonces l deberaprender a caminar con muletas como si sus piernas se hubie-sen roto. Es decir, l deber aprender a depender absolutamentede sus instrumentos aun cuando contradigan en gran medida laevidencia de sus sentidos.

Tanto en lgica como en matemticas el proceso de razona-miento deductivo tiene algunas de las caractersticas de los ins-trumentos de vuelo. Los presupuestos bsicos y las reglas de ope-racin con que trabajamos son anlogos a los instrumentos y surespectivo uso en un avin. Asimismo, es tanto necesario como pro-ductivo para nosotros permanecer dentro de los lmites de aque-llos presupuestos (axiomas) y reglas como lo es para el aviadorobservar y volar con los instrumentos de su panel.

Si el proceso de razonamiento deductivo pudiese parecer in-necesariamente tedioso al tratar los problemas elementales que he-mos mencionado podemos tener la seguridad de que esta aproxi-macin en apariencia tediosa es la nica que resolver los proble-mas complicados que ocurren en el examen de temas ms profun-dos. Pero, ciertamente, una real certeza proviene nicamente deluso del procedimiento deductivo en la manera como se abordanlos problemas de geometra o lgebra o lgica y descubriendo as,por uno mismo, su utilidad y poder.

El razonamiento inductivo nos ofrece menos certeza que el ra-zonamiento deductivo y ms bien una diversidad de grados deprobabilidad. En el razonamiento deductivo nosotros estamos efec-tuando las implicaciones de nuestras asunciones y reglas operati-vas para obtener resultados que pueden ser poco claros al princi-pio, pero que estn en verdad ya implicados en nuestras reglas yasunciones. Pero en el razonamiento inductivo estamos trabajan-do con predicciones del futuro, generalizaciones concernientes a

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vastas reas de instancias no observadas, y teoras concernientesa las llamadas regularidades en la naturaleza.

Para una definicin de la induccin podemos decir que esaquel tipo de razonamiento que busca producir una afirmacinverdadera acerca de todos los miembros de un grupo de cosas oeventos sobre la base de un examen de un limitado nmero de ca-sos individuales dentro de ese grupo.

Afirmaciones tales como las siguientes son ejemplos de razo-namiento inductivo: l participa en un concurso de preguntas to-dos los viernes por la maana al menos eso es lo que l ha he-cho durante todo el semestre hasta ahora, esa es una caja demanzanas malogradas he observado la mitad de ellas y he en-contrado un gusano en cada una que he revisado, y hay unaposibilidad de que llueva si el viento sopla desde el sur es algoque generalmente ocurre.

Se debe notar aqu que el procedimiento en cada uno de estosejemplos es formular un enunciado concerniente a ciertas condi-ciones generales o supuestas regularidades basadas en observa-ciones de individuos o circunstancias individuales. Esos enuncia-dos indican intentos de descubrir alguna regularidad o generali-zacin sobre la base de ocurrencias particulares cuidadosamenteobservadas y enumeradas. Alfred North Whitehead denomina aello tratar de ver lo que es general y lo que es particular.

El proceso inductivo est ntimamente vinculado a lo que sedenomina el mtodo cientfico. Es un proceso de razonamiento quees fundamental para las actividades del cientfico. Pero su princi-pal caracterstica, tal como se puede ver en los ejemplos, es la pro-babilidad en lugar de la certeza. P.W. Bridgeman dice que nin-guna ciencia emprica puede, en ningn caso, formular enuncia-dos exactos.

Las probabilidades a las que nos referimos pueden, desde lue-go, ser extremadamente altas. El ejemplo que se ha hecho clsicoen los escritos de David Hume a fines del siglo dieciocho es aquelque concierne al enunciado: el Sol saldr maana. Las observa-ciones que hiciramos, desde los primeros das, al hacer observa-

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ciones han incluido aspectos del Sol como el de su salida al iniciode cada periodo de aproximadamente cada veinticuatro horas.Siempre ha salido el Sol en el pasado y siempre saldr en el futu-ro, de ello estamos convencidos. Pero, sin tener la intencin de caeren trivialidades o proponer algo no razonable, podemos, sin em-bargo, subrayar que nuestro conocimiento de que el Sol saldr ma-ana no es un conocimiento absolutamente cierto, tal como el quese puede deducir de la siguiente operacin: 97 x 58 = 5626. Sinduda es muy probable que el Sol salga maana y sera inslitoactuar como si el Sol no hubiese de salir maana; pero debemosreconocer que la prediccin es una probabilidad de creer por in-duccin y que no contiene el tipo de certeza que podemos encon-trar en todo argumento deductivo.

La deduccin nos da conclusiones que son ciertas porque noson nada ms que implicaciones de nuestros presupuestos. La in-duccin por su parte da conclusiones que son slo probables. Perola deduccin est basada en asunciones y reglas que son, tantocomo sea posible, divorciadas de la experiencia. Es un estudio deformas y operaciones que son deliberadamente libres de referen-cias al mundo de la percepcin sensorial. [...] . Y la induccin, porotra parte, est ntimamente ms asociada con la experiencia y laactividad sensorial. Los pasos fundamentales en el procesoinductivo son la observacin y la experiencia.

Bertrand Russell discute los extremos de esta relacin que sehalla entre los hechos de la experiencia y la lgica pura:

En la lgica pura ningn hecho atmico (el tipo de hechoms simple que podamos experimentar) es jams mencionado:nos confinamos nosotros mismos enteramente a las formas, sinpreguntarnos qu objetos pueden llenar las formas. Esta lgicapura es independiente de los hechos atmicos; pero a la inver-sa, en cierto sentido, stos son independientes de la lgica. Lalgica pura y los hechos atmicos son los dos polos, lo a prioritotal y lo emprico total. Pero entre ambos hay una vasta re-gin intermedia... (En RUSSELL, Bertrand, Our Nowledge of theExternal World, New York, New American Library, Mentor Books,1956, p. 49).

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En consecuencia, apenas es necesario decir que el cientfico, elfilsofo o alguien ms que se interese en descubrir hechos acercadel universo en que vive, encontrar tanto el razonamiento induc-tivo como el deductivo indispensable para sus investigaciones. Ladeduccin nos hace capaces de llevar a cabo las implicaciones denuestras asunciones en su ms pleno sentido sin estar influidospor las frecuentes percepciones errneas de nuestras experienciasinmediatas. Y la induccin es nuestro modo de ver las generaliza-ciones y categoras en el mundo de nuestra experiencia.

Cuestionario N. 1

1. Qu trmino empleaba Aristteles para referirse a lo que ahoradenominamos lgica?

2. Dnde tiene su origen el uso del trmino lgica?3. Qu sentidos tienen en el contexto del pensamiento griego la

palabra logos y el verbo legein?4. De qu formas es empleado el trmino lgica en el lenguaje

coloquial?5. Qu sentidos adquiere el trmino lgica cuando se lo emplea

como sustantivo?6. Cules son los sentidos de la palabra lgica cuando es usado

como adjetivo?7. Bajo la forma de adverbio , qu sentidos toma el trmino

lgica?8. Qu significaciones se la adjudica al vocablo ilgico y bajo

qu formas se le suele usar?9. Cmo puede ser caracterizada la ciencia?10.A qu se denomina ciencias formales, abstractas o estructurales?11. A qu se denomina ciencias fcticas, factuales, reales o empricas?12. De qu tipo de proposiciones estn constituidas las ciencias

fcticas?13. De qu tipo de proposiciones estn constituidas las ciencias

formales?14. Por qu la matemtica es una ciencia formal y por qu la fsica

es una ciencia fctica?

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15. Es la lgica la ciencia de las leyes del pensamiento? Por qu?16. Es la lgica la ciencia del razonamiento? Por qu?17. Cul sera la definicin ms pertinente de lgica?18. Qu es una proposicin?19. A qu se denomina inferencia?20. Cundo una inferencia es vlida?21. Qu se entiende por razonamiento deductivo?22. A qu se refiere la metfora que establece una analoga entre el

proceso deductivo y las caractersticas de los instrumentos de vuelo?23. Cmo se define la induccin?24. Cul es la principal caracterstica del proceso de razonamiento

inductivo?25. Se podra decir que el razonamiento deductivo y el razona-

miento inductivo se complementan? Por qu?

Esbozo del desarrollo histrico de la lgica

En las siguientes pginas se presenta un sucinto panorama hist-rico de la lgica dividido en las siguientes secciones: edad antigua,edad media, renacimiento y edad moderna, y edad contempornea.

Edad Antigua

A los trabajos de Aristteles (384-322 a. C.) se debe la sistematiza-cin de la lgica. Conscientes de este descubrimiento (la teora delsilogismo), los comentaristas, que durante la poca bizantina seencargaron del estudio y ordenamiento de estos escritos, denomi-naron Organon (instrumento) al compendio que nos leg ese sa-ber, en cuya seccin inicial, Primeros analticos, reuni todo el ma-terial existente en su poca sobre la deduccin o inferencia. Es, porello, el primer lgico formal de la historia. Su mrito consisti enhaber examinado las deducciones o inferencias considerando slosu forma o estructura, con independencia de su significado o con-tenido. sta es la razn por la que la lgica desde su creacin esuna ciencia formal o estructural que mantiene este carcter hastanuestros das, tras veinticuatro siglos.

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El tratamiento estructural que hizo el Estagirita de la deduc-cin signific un aporte sustancial al desarrollo de la lgica y dela matemtica: el mtodo axiomtico. En efecto, debido a que todoslos razonamientos podan ser considerados como estructuras,Aristteles axiomatiz su teora del silogismo. La silogsticaaristotlica forma parte de lo que hoy se considera la teora gene-ral de la inferencia deductiva y su desarrollo hace de su lgica unantecedente remoto de la contempornea.5

Casi contemporneos con Aristteles fueron los lgicos estoi-cos y los megricos. Los primeros tuvieron el mrito de profundi-zar en algunos campos a los que el Estagirita no haba concedidosuficiente atencin. Estos filsofos son los precursores ms leja-nos de la actual lgica proposicional y de las teoras que incluyenpredicados relacionales, que son indispensables para dotar a lamatemtica de una lgica adecuada que el silogismo no propor-ciona. Por su parte, los megricos hicieron tres aportaciones a lalgica: una en lo relativo a las paradojas (por ejemplo, la del men-tiroso, atribuida a Eublides); otra en el examen de los conceptosmodales y, adems, iniciaron un importante debate sobre los enun-ciados condicionales.6 El ms importante de ellos, Diodoro Cronos,se dedic a la lgica de las modalidades temporales esclareciendorelaciones importantes entre verdad y tiempo. Sin embargo, el in-flujo del Estagirita fue avasallador y los estoicos y megricos fue-ron desconocidos en la Edad Media, durante la cual las investiga-ciones lgicas se centraron en el silogismo y sus aplicaciones.

Edad Media

Durante la Edad Media los mximos representantes de la lgicaescolstica, como Pedro Abelardo, Pedro Hispano, Toms de Aqui-no, Raimundo Lulio y Guillermo de Occam, no slo perfecciona-ron y sistematizaron temas heredados de la tradicin antigua, sinoemprendieron nuevas investigaciones como la teora de las supo-

5 Ibdem, p. 50.6 Ibdem, p. 52.

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siciones precursora de la moderna teora de la jerarqua de len-guajes, la cual es empleada para la eliminacin de paradojasmetalgicas. Asimismo, trabajaron en forma apreciable la lgicaproposicional y conocieron sus principales reglas de inferencia apesar de no manejar un lenguaje simblico adecuado, lo que hizomuy difciles sus trabajos. Por aadidura, la concepcin nomina-lista de los universales de Occam que interpreta los conceptoscomo nombres genricos es muy prxima a la nocin contem-pornea de predicado lgico.

Los escolsticos, adems, emprendieron un estudio especial yprofundo de la lgica modal llevndola bastante ms all del ni-vel inicial en el que la haba dejado Aristteles. Tambin se en-frentaron con el problema de las paradojas semnticas, de lasque hallaron no menos de una docena de soluciones, logrando de-sentraar casi todos sus aspectos. Finalmente, los escolsticos de-sarrollaron la mayor parte de sus investigaciones de manerametalgica, o sea no construyendo frmulas lgicas sino descri-bindolas, cosa que los antiguos slo haban hecho en contadasocasiones. No obstante, como lo anotramos lneas arriba, los fil-sofos medievales no lograron avanzar mucho, debido a que nocontaron con un lenguaje adecuado para un eficaz anlisis deinferencias.

Las principales aportaciones de esta poca son las relaciona-das con los trminos sincategoremticos, la teora de la suposiciny la teora de las consecuencias.7

Renacimiento y Edad Moderna

En el siglo XVII Guillermo Leibniz el precursor de la lgica mate-mtica descubre por su cuenta todo cuanto haban descubiertolos estoicos, megricos y medievales y se constituye en el primerfilsofo que tom conciencia de la necesidad de disponer de unlenguaje especial para progresar en el estudio de las deducciones.Aunque los especialistas reconocen que esta idea ya estaba en ger-

7 Ibdem, pp. 54-56.

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men en el Ars magna, de Raimundo Lulio, Leibniz fue el primeroque sostuvo con claridad que el procedimiento para convertir lateora de la deduccin lgica en una ciencia estricta e infalibleera convertirla en un clculo mediante el uso de procedimientosmatemticos.

Esta nueva ciencia sera una mathesis universalis (ciencia fun-damental), que l llam tambin logstica o lgica matemtica. Sufuncin consistira en demostrar la verdad de las afirmaciones fi-losficas y cientficas sin tener en cuenta su significado sino sola-mente su estructura expresada en smbolos de un lenguaje artifi-cial, construido especialmente para calcular. Leibniz deca que cal-cular era operar con smbolos. As como se poda calcular con sm-bolos aritmticos tambin ello sera factible con smbolos que re-presentaran estructuras deductivas.

El ideal leibniziano era lograr un instrumento lgico lo sufi-cientemente poderoso como para poder traducir cualquier discu-sin significativa sobre la correccin de las deducciones a una ope-racin en la que los oponentes se limiten a revisar los clculos paraubicar el error de manera parecida a como se corrige una sumacualquiera. El proyecto de Leibniz era demasiado ambicioso y porello fracas. Aunque su intuicin fue grande, estuvo lejos de lo rea-lizable y no pudo avanzar hacia la construccin de un lenguajesimblico que superara significativamente la vieja silogsticaaristotlica.

Pero sus trabajos no alcanzaron difusin y pasaron inadverti-dos debido al inmenso prestigio que alcanzaba Aristteles aun has-ta el siglo dieciocho. Es que se admita, con Manuel Kant en el pre-facio a la segunda edicin (1787) de su Crtica de la razn pura, queel Estagirita haba descubierto todo lo que haba que descubrir so-bre lgica. Se aceptaba que la lgica creada por l era un conoci-miento acabado, cerrado y completo; puesto que la investigacinposaristotlica no haba ni refutado ni aportado nada nuevo enrelacin con las enseanzas del Organon. Este apodctico juicio pri-vaba a la disciplina lgica al haber surgido del cerebro deAristteles ya acabada y perfecta, como Minerva de la cabeza deJpiter de su propia historia:

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... a partir de Aristteles no ha tenido que dar ningn pasoatrs... y hasta hoy la lgica no ha podido dar ningn paso ade-lante, de modo que todo parece indicar que hay que conside-rarla como cerrada y completa.8

Esta limitacin es debida, esencialmente, a la escasa culturareferente a la historia de la filosofa, comn a los dems grandespensadores de su tiempo, cuya informacin en historia de la filo-sofa no llegaba en el tiempo ms atrs de Descartes, desconocien-do de manera casi total la Edad Media y que tena de la filosofaantigua nociones de nivel puramente manualstico y poco precisas.

Sin embargo, desde hace ms de un siglo la lgica ha tomadoun nuevo curso y en poco tiempo ha experimentado significativosprogresos que la han renovado por completo. El impulso fue dadopor dos matemticos y lgicos ingleses: George Boole con su obraAnlisis matemtico de la lgica , que apareci en 1847 y AugustusDe Morgan, quien ese mismo ao public su Lgica formal, en laque se desarrolla la idea de Leibniz de construir la lgica comoun clculo.

Este nuevo lenguaje conocido como lgebra de Boole ma-nifest su potencia resolviendo problemas que excedan los alcan-ces de la lgica aristotlica y poniendo por primera vez en eviden-cia los errores del Estagirita. El lgebra de Boole conocida tam-bin como lgebra de clases o de conjuntos fue asimismo inves-tigada por De Morgan. Ambos son los creadores del moderno len-guaje formalizado de la lgica lo que les permiti, entre otras co-sas, descubrir una cantidad asombrosa de nuevos tipos de deduc-cin o inferencia. A pesar de las limitaciones de sus trabajos sea-lan un verdadero cambio de rumbo en la historia de la lgica yhan contribuido a dotar de sus caracteres esenciales a la lgicamatemtica.

A fines de siglo XIX aparecen los trabajos del matemtico y l-gico alemn Gottlob Frege, considerado el padre de la lgica ma-temtica, cuya primera obra, el Begriffsschrift, publicada en 1879,

8 KANT, Manuel, Crtica de la razn pura, Buenos Aires, Losada, 1960,tomo I, p. 18.

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marcara el comienzo de la lgica formal contempornea. Desa-rrolla un primer sistema axiomtico, plenamente simbolizado, con-sistente y completo, de lgica de primer orden aun antes de que setuvieran las herramientas lgicas adecuadas para llevar a cabo laprueba de la completud de un sistema deductivo cualquiera.Bochnski, por ejemplo, no duda en comparar su primera obra l-gica, el Begriffsschrift, con los Primeros analticos y anota:

El Begriffsschrift contiene toda una serie de perspectivas to-talmente nuevas. As, Frege es el primero en formular de ma-nera clara la distincin entre variable y constante; el conceptode funcin lgica y el concepto de cuantificador; da una formu-lacin notablemente ms rigurosa a la teora aristotlica de sis-tema axiomtico, distingue cuidadosamente entre ley y regla,introduce la diferencia igualmente precisa entre lenguaje ymetalenguaje...9

Sin embargo, la obra de Frege, a pesar de su gran valor, pascasi inadvertida y transcurrieron casi veinte aos antes de queBertrand Russell llamara sobre ella la atencin teniendo que pa-sar otros veinte hasta que Lukasiewicz pusiera de manifiesto consuficiente profundidad toda su riqueza y valor. Asimismo, propu-so un mtodo de clculo de matrices para la lgica proposicionalmuy semejante al que se usa actualmente y desarroll de maneraaxiomtica la naciente teora de conjuntos de George Cantor.

Con Giuseppe Peano (1858-1932), se cierra en cierto sentido lalnea de desarrollo del clculo lgico iniciada por el Anlisis mate-mtico de la lgica de George Boole. La expresin misma de lgicamatemtica es introducida por primera vez en su obra Principiosde aritmtica expuestos con un nuevo mtodo, que apareci en 1889,donde la utiliza no slo a causa de hacer uso operacional de lossmbolos, sino especialmente porque concibi la nueva lgica comoun poderoso instrumento para la sistematizacin rigurosa del sa-ber matemtico.

9 BOCHNSKI, I. M., Historia de la lgica formal, Madrid, Gredos, 1966,p. 283.

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La obra de Peano corona el desarrollo de la lgica en el sigloXIX. El significado histrico de su fundamentacin de la aritmticabasada en las tres nociones primitivas de nmero, cero ysucesor, as como sus cinco famosos axiomas es considera-ble, pues con ella muestra de manera concreta cmo aplicar esenuevo instrumento a la sistematizacin de las matemticas. Ha-ba no slo logrado un manual completo y riguroso de lgica ma-temtica sino creado un simbolismo particularmente manejable ypreciso que an est vigente.

Edad Contempornea

Los trabajos de Frege y Peano fueron sistematizados y desarrolla-dos por dos filsofos y lgicos ingleses: Bertrand Russell y AlfredNorth Whitehead, cuyos resultados fueron publicados en su obramonumental denominada Principia Mathematica (que consta de tresvolmenes: 1910, 1912 y 1913). Russell y Whitehead intentan evi-tar la paradoja en el sistema de Frege (la de las clases que no sonmiembros de s mismas), llevando a cabo la tarea de mostrar quees posible derivar toda la matemtica de la lgica. La obra deRussell y Whitehead debe situarse entre las mayores aportacionesque jams se hayan hecho a la historia de la lgica. Concretamen-te, los Principia Mathematica son en muchos aspectos todava hoyun tratado completo, minucioso y exacto de la lgica matemtica.

Posteriormente, el matemtico y lgico alemn David Hilbertfundador de la escuela formalista mostr que los defectos deesa obra se deban a la falta de rigor en el empleo del lenguaje ycre, con tal motivo, un mtodo denominado metamatemtica, cuyoobjetivo es el estudio de las teoras matemticas, aplicando los len-guajes lgicos que haban sido creados por Frege y Russell. El lla-mado programa hilbertiano se puede resumir brevemente: todoel campo de la matemtica clsica puede concebirse como forma-lizable en tres sistemas axiomticos fundamentales, a saber: el dela aritmtica, el del anlisis y el de la teora de los conjuntos. Hadado origen a una serie de investigaciones notables, como las del

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filsofo y lgico austriaco Rudolf Carnap en el terreno de la sin-taxis lgica y las del lgico y matemtico polaco Alfred Tarski enel de la semntica lgica .

En su obra La sintaxis lgica del lenguaje Carnap sostiene la te-sis de que la lgica de un lenguaje determinado se identifica consu sintaxis que, a su vez, es totalmente convencional, sin estar enningn caso vinculada a los contenidos del discurso. Sin embar-go, a slo un ao de distancia de su publicacin apareca en unarevista filosfica un largo artculo del lgico polaco Alfred Tarski,titulado El concepto de verdad en los lenguajes formalizados,que puede considerarse como el acta de nacimiento de la nuevasemntica.10

En 1930, el joven austriaco Kurt Gdel, de 24 aos, demostren su tesis doctoral el teorema ms importante de lgica matem-tica de este siglo, conocido como Teorema de las ProposicionesIndecidibles. En 1938, Claudio Shannon realiz la aplicacin dellgebra de las proposiciones al diseo de circuitos elctricos (con-mutadores y relays), lo que constituye el aporte ms importante ala construccin de las modernas computadoras electrnicasdigitales. 11

Lgica clsica y lgica no-clsica

El panorama de la lgica que ha heredado el mundo actual se pre-senta enriquecido no slo por el nmero de trabajos y resultados,sino tambin por el nmero de las reas exploradas. Ha llegado aser necesario ordenar y clasificar estos tipos de lgica, destacan-do en nuestro medio el esfuerzo ordenador de Francisco MirQuesada Cantuarias para quien la lgica puede dividirse en cl-sica y heterodoxa o no-clsica.

De manera muy general la lgica clsica , segn Francisco MirQuesada, puede caracterizarse como aquella que es asertrica, es

10 f. BLANCH, Robert, Introduccin a la lgica contempornea, BuenosAires, Carlos Lohl, 1963, pp. 32-33.

11 Cf. PISCOYA HERMOZA, Luis, Lgica, Lima, Facultad de Educacin de laUNMSM, 1997, p. 297.

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decir, proposicional; que tiene un lenguaje formal caracterstico,esto es, uno de primer orden, y en la que son vlidos los tradicio-nalmente denominados principios lgicos fundamentales: de iden-tidad, no contradiccin y tercio excluso.

La lgica no-clsica es definida, negativamente, como la que ca-rece de alguna de estas tres caractersticas de la lgica clsica. Noes asertrica, como es el caso de la lgica normativa; o tiene unlenguaje diferente del clsico, como es el de la lgica modal quehace intervenir operadores modales; finalmente, en ella no son v-lidos algunos de los principios lgicos fundamentales, como es elcaso de las lgicas polivalentes, en que no rige, por ejemplo, el prin-cipio del tercio excluido; o en la lgica dialctica, que omite el prin-cipio de no contradiccin en su formulacin tradicional. 12

As a partir de 1920, y sobre la base de la enorme influenciaque el filsofo y lgico austriaco Ludwig Wittgenstein ejerce a tra-vs de su Tractatus Logico-Philosophicus, surgen y se desarrollanciertos sistemas de lgica que se separan, de diversos modos,de la lgica clsica. Es el caso de las lgicas plurivalentes o polivalen-tes, asociadas a nombres como los de Lukasiewicz y Post. stas, sibien incorporan el vocabulario de la lgica clsica, carecen por nor-ma comn de ciertas leyes, tales como la del tercio excluido p ~ p.Estas lgicas han sido ideadas gracias a dos tipos de motivacin:el inters puramente matemtico de ofrecer alternativas a la semn-tica bivalente de la lgica clsica de proposiciones; y la insatisfac-cin de un inters ms filosfico con la imposicin clsica deuna dicotoma exhaustiva entre verdad y falsedad e, igualmente,respecto de ciertos teoremas o inferencias clsicas.

Otro caso es el de lgica intuicionista, creada por Brouwer ysistematizada por Heyting. Es una lgica no-clsica o divergentey no veritativo funcional que es de inters fundamentalmente filo-sfico y formal. Los intuicionistas (BROUWER, 1952; HEYTING,1966) afirman que la lgica clsica es en cierto aspecto incorrecta.Consideran a la lgica como secundaria a la matemtica, es decir,12 Cf. MIR QUESADA CANTUARIAS, Francisco, Las lgicas heterodoxas

y el problema de la unidad de la lgica, en Lgica, aspectos formales yfilosficos, Lima, PUCP, 1978, pp. 33-44.

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como un conjunto de principios descubiertos a posteriori para go-bernar el razonamiento matemtico. Esto es, obviamente, un reto ala concepcin clsica de la lgica entendida como el estudio deprincipios aplicables a todo razonamiento sin tener en cuenta elcontenido, y considerada como la teora ms general respecto dela cual incluso la matemtica es secundaria. El rechazo del prin-cipio del tercio excluido es caracterstico de la lgica intuicionista.

La lgica modal es otro ejemplo de lgica no-clsica, identifica-da con los trabajos de Lewis. Trabaja con razonamientos que invo-lucran esencialmente los conceptos de necesidad y posibili-dad. Aade al vocabulario clsico los operadores uniposicionalesL (que se lee necesariamente), y M (que se lee posiblemen-te), y el operador biposicional , (que se lee implica estricta-mente). Esta lgica fue tratada por Aristteles y los lgicos me-dievales; en el presente siglo Hugh Mac Coll contribuy con pro-puestas formales y filosficas. Las primeras axiomatizaciones delgica modal de oraciones fueron ofrecidas por Lewis en 1918.Lewis sostiene que la implicacin material de la lgica clsica estotalmente inadecuada para la nocin intuitiva de implicacin, querequiere no slo que p no sea verdadero y q falso sino que p n opueda ser verdadero y q falso. En consecuencia propuso que sedebera introducir en la lgica de los Principia un nuevo operadorpara la implicacin estricta, que podra definirse como la necesi-dad de la implicacin material.13

Los profesores Richard Routley y Robert Meyer, de la Univer-sidad Nacional de Australia, y el brasileo Newton da Costa hanformulado un sistema de lgica que califican de dialctico porqueno excluye la contradiccin y contiene variantes que incorporanel principio de negacin de tal manera que ste exprese la idea dedesarrollo. Da Costa cre un nuevo sistema de lgica, denomina-do actualmente paraconsistente, que ha despertado el inters de mu-chos lgicos contemporneos.14

13 Cf. HAACK, Susan, Filosofa de la lgica, Madrid, Ctedra, 1978, pp. 199-200.

14 Cf. ALCHOURRN, Carlos, op. cit., p. 67.

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Consecuentemente como lo seala el profesor Luis Piscoya, dela Universidad Nacional Mayor de San Marcos, la concepcin an-tagnica entre la lgica matemtica y el pensamiento dialctico esengaosa, pues es posible incorporar dentro de un sistema de l-gica matemtica la contradiccin, como lo han demostrado, entreotros, da Costa y Routley. Tampoco es necesario pensar en dos l-gicas completamente distintas, pues los mtodos de la lgica ma-temtica parecen lo suficientemente potentes como para expresarmediante sistemas axiomticos algunos principios bsicos de ladialctica. Finalmente, cabe subrayar que lo dicho anteriormenteno debe hacer pensar que se sugiera que los sistemas de lgicadialctica son teoras acerca de la realidad, pues sera un crasoerror. Ellos son, como cualquier otro formalismo, lenguajes artifi-ciales cuya peculiaridad es la de ser ms compatibles con ciertotipo de filosofa.15

Cuestionario N. 2

1. A quin se debe la sistematizacin de la lgica?2. Quines pueden ser considerados como los precursores de la

actual lgica proposicional?3. Cules son los aportes de los megricos a la lgica?4. Qu investigaciones en el mbito de la lgica se llevaron a cabo

durante la Edad Media?5. Quin es el precursor de la lgica matemtica?6. Cules fueron los principales aportes de Leibniz a la lgica?7. En qu radica la importancia de la tarea desarrollada por George

Boole y Augustus de Morgan?8. Quin es considerado el padre de la lgica matemtica?9. Cules son los principales aportes de Giuseppe Peano a la lgica?10. Qu tarea llevan a cabo en la poca contempornea Bertrand

Russell y N. Whitehead?11. Quin fue el fundador de la Escuela formalista?

15 Cf. PISCOYA HERMOZA, Luis, Investigacin cientfica y educacional,Lima, Amaru Editores, 1995, p. 66.

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12. En qu consiste el Programa hilbertiano?13. Cul es el teorema ms importante de lgica matemtica de este

siglo?14. Cmo caracteriza la lgica clsica Francisco Mir Quesada

Cantuarias?15. Cmo define este mismo autor la lgica no-clsica o hete-

rodoxa?16. Qu sistemas de lgica se separan de la lgica clsica?17. Qu innovaciones introducen las lgicas plurivalentes o

polivalentes?18. En qu difiere la lgica paraconsistente de la lgica clsica?19. Qu rasgos caracterizan la lgica intuicionista?20. Cules son las caractersticas de la lgica modal?

Divisin de la lgica

Como se dijo lneas arriba, la lgica de primer orden es la ms ver-stil y aplicable, igualmente la ms estudiada y mejor conocida.Su denominacin proviene de que esta lgica hace uso de un len-guaje que slo cuantifica las variables individuales, en tanto quese considera de segundo orden los lenguajes que, adems, cuanti-fican a las variables predicativas. Comprende dos grandes cap-tulos: la lgica de proposiciones y la lgica de predicados.

a) La lgica de proposiciones estudia las relaciones formalesextraproposicionales, es decir, aquellas relaciones existentes entreproposiciones y no las que se dan dentro de ellas. Se la denomina,tambin, lgica de las proposiciones sin analizar. Dispone de me-dios de anlisis formal (lenguaje simblico y mtodos especficos)de las inferencias, y la validez de stas se determina por las rela-ciones entre proposiciones consideradas como un todo, sin pene-trar en su estructura interna.

Ejemplo de una inferencia:Si eres fundamentalista, entonces eres fanticoSi eres fantico, entonces eres sectarioLuego, si eres fundamentalista, entonces eres sectario.

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Formalizacin de la inferencia:

p q p: eres fundamentalista q r q: eres fantico

_______ r: eres sectario \p r

Anlisis de la inferencia mediante el mtodo analgico (apli-cando la regla de inferencia del Silogismo Hipottico):

A B p qB C q r

________ _______ \A C \p r

Respuesta: la inferencia es vlida porque su forma lgicacoincide exactamente con la estructura vlida de dicha regla.

b) La lgica de predicados estudia fundamentalmente las rela-ciones estructurales existentes dentro de las proposiciones atmi-cas o simples. Es llamada, asimismo, lgica de las proposicionesanalizadas. Su lenguaje y sus mtodos se ocupan del anlisis delas inferencias cuya validez se juzga en razn de la estructura in-terna de las proposiciones que las componen. La lgica de propo-siciones est incluida en ella.

Ejemplo de una inferencia (silogismo):

Todos los abogados son profesionalesTodos los constitucionalistas son abogados

Luego, todos los constitucionalistas son profesionales.

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Formalizacin de la inferencia: Notacin

(" x) (A x Px) Ax: x es abogado(" x) (Cx Ax) Px: x es profesional

Cx: x es constitucionalista\ (" x) (Cx Px)

Anlisis de la inferencia mediante el mtodo de la derivacincon frmulas cuantificadas:

Notacin

EU: Ejemplificacin UniversalSH: Silogismo HipotticoGU: Generalizacin Universal

1. (" x) (Ax Px)2. (" x) (Cx Ax) / \(" x) (Cx Px)3. Ax Px EU. (1)4. Cx Ax EU (2)5. Cx Px SH (3,4)6. (" x) (Cx Px) GU (5)

Respuesta: La validez de la inferencia ha quedado demostrada.

c) La lgica de relaciones es un caso particular de la lgica depredicados, es decir, cuando los predicados tienen ms de un ar-gumento.

d) La lgica de clases, en trminos generales, es una versinextensional de la lgica de predicados. En efecto, si adoptamos lostrminos clsicos extensin y comprensin, podemos decir quecada clase es la extensin de un predicado y que los predicadosson clases vistas en su comprensin.

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Lgica, filosofa de la lgica, metalgica y semitica

Mientras que la preocupacin central de la lgica consiste en dis-criminar las inferencias vlidas de las invlidas, y para ello lossistemas lgicos formales tales como los conocidos clculos deproposiciones y de predicados le han suministrado un conjun-to de reglas de validez precisas puramente formales, la tarea de lafilosofa de la lgica consiste en investigar los problemas filosfi-cos suscitados por ella, como las cuestiones: Qu quiere decir quees vlido? Qu quiere decir que una proposicin se sigue de otra?Qu quiere decir que una proposicin es lgicamente verdadera?Ha de ser explicada la validez de un razonamiento como relati-va a un sistema formal? Cmo se reconoce un razonamiento v-lido o una verdad lgica? Qu sistemas formales se consideransistemas de lgica y por qu?

Por esto la lgica no debe confundirse con otra disciplina quetiene por objeto estudiar los signos empleados por aqulla, ascomo las cuestiones que plantean los sistemas de tales signos: lametalgica. Esta ltima puede definirse como un lenguaje en elcual se habla del lenguaje lgico.

As, cuando decimos: No es verdad que Ayacucho sea la ca-pital del Per, formulamos una proposicin negativa, es decir,perteneciente al lenguaje lgico. En cambio, cuando decimos: Noes una partcula que designa negacin y que se antepone a unaproposicin, formulamos una proposicin que pertenece a lametalgica, con ella decimos algo acerca del lenguaje de la lgica.

La diferencia entre lgica y metalgica es un caso ejemplar dela diferencia entre lo que se llama lenguaje y lo que se califica demetalenguaje. El primero es definido como el lenguaje que se ha-bla; el segundo como el lenguaje en el cual se habla acerca del len-guaje que se habla. En otras palabras, el metalenguaje es un len-guaje que se usa para hablar de otro lenguaje llamado lenguajeobjeto. Por ejemplo, las afirmaciones que hacemos en este libro so-bre las propiedades de las proposiciones y de las inferencias sonmetalingsticas y las proposiciones e inferencias mismas que usa-mos como ejemplos son parte del lenguaje objeto.

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Una manera sencilla de construir el nombre de una proposi-cin consiste en escribirla entre comillas simples. Por ejemplo: LaTierra es mayor que la Luna es el nombre de La Tierra es mayorque la Luna. La primera expresin pertenece al metalenguaje deeste texto y la segunda a su lenguaje objeto. Asimismo, se puedeconstruir nombres de nombres, de predicados, etc. Por ejemplo: ca-nario es el nombre de canario e inteligente es el nombre de inte-ligente. Pero no puedo decir que canario es un pjaro, pero s quecanario es trisilbica, pues en este caso no estoy hablando deun pjaro sino de la palabra misma.

Tal diferencia corresponde, adems a la que se establece entreel uso y la mencin de los signos. En el primer ejemplo, No esverdad que Ayacucho sea la capital del Per, el signo no es usa-do; en el segundo, No es una partcula que designa negacin yque se antepone a una proposicin, el mismo signo es menciona-do. Ya el lenguaje ordinario establece tal diferencia, como cuandodecimos: Lima es la capital del Per, donde Lima es usado, oLima es un vocablo de cuatro letras, donde Lima es mencio-nado. Las comillas simples en el segundo ejemplo sirven para sub-rayar que estamos frente a un caso de mencin.

De lo expuesto se desprende que en todos los textos de lgicase insertan enunciados metalgicos y que de ordinario lgica ymetalgica van aparejadas. Sin embargo, hay ciertos problemas tra-tados en tales libros que son especficamente metalgicos: son losque se refieren a la construccin de sistemas lgicos. Por ejemplo,el problema de saber si un sistema lgico es o no consistente es unproblema fundamentalmente metalgico.

La esfera de la filosofa de la lgica est relacionada con la dela metalgica, pero es distinta de ella. La metalgica estudia laspropiedades formales de los sistemas lgicos formales; por ejem-plo, las pruebas o refutaciones de su consistencia, completud odecidibilidad. La filosofa de la lgica trata, asimismo, de cuestio-nes sobre estos sistemas, pero de orden filosfico ms bien que pu-ramente formales. Tratndose, por ejemplo de las relaciones entreel clculo bivalente de proposiciones y el clculo plurivalente, el

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filsofo querr saber en qu sentido, si es que lo hay, las lgicasplurivalentes son alternativas a la lgica bivalente; si est uno obli-gado a elegir entre el clculo plurivalente y el bivalente y, si es as,por qu razones o cules seran las consecuencias para el concep-to de verdad si se adoptase un sistema plurivalente. Los resulta-dos metalgicos pueden ayudar mucho a dar, por ejemplo, res-puestas de este tipo: es presumible una condicin necesaria aun-que no suficiente para que una lgica plurivalente sea una alter-nativa: el que sea consistente. Una segunda diferencia es que lafilosofa de la lgica no trata exclusivamente de cuestiones de l-gica formal.16

Asimismo, la metalgica es una parte de la llamada semiticao estudio general de los signos. La semitica comprende tres dis-tintas ramas de estudio: la sintaxis, la semntica y la pragmtica.La sintaxis es el estudio puro de los signos y de las relaciones en-tre los signos; la semntica, el estudio de las relaciones entre lossignos y objetos designados; y la pragmtica, el estudio de las re-laciones entre los signos y quienes los usan. Por este motivo, lascuestiones metalgicas suelen ser estudiadas desde el punto devista sintctico, semntico y pragmtico.17 Tanto la lgica como lametalgica son disciplinas formales. Asimismo, ambas son disci-plinas de carcter deductivo.

Sera pertinente sealar que en el mbito de la semntica sedistingue entre el designado de un signo lingstico y su denota-do. Se denomina designado al conjunto de caractersticas o ras-gos definitorios a que se refiere el signo. As, la palabra silla tie-ne como designado el conjunto de caracteres que definen a unasilla como tal, a saber, el de ser un adminculo con respaldo, tenercuatro patas o algn apoyo que la una al suelo, y servir, funda-mentalmente, para sentarse. El denotado, por su parte, es el con-junto de todas las entidades que poseen las caractersticas com-prendidas en el designado. De este modo, el denotado de la pala-bra silla est dado por todas las entidades denominadas sillas.16 Cf. HAACK, Susan, op. cit., pp. 21-22.17 Cf. FERRATER MORA, Jos, Qu es la lgica, Buenos Aires, Columba,

1965, pp. 20-21.

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Cuestionario N. 3

1. Cmo se divide la lgica de primer orden?2. Qu estudia la lgica de proposiciones?3. Qu estudia la lgica de predicados?4. Qu es la lgica de relaciones?5. Qu es la lgica de clases?6. Qu diferencia hay entre lgica y filosofa de la lgica?7. Qu diferencia existe entre lgica y metalgica?8. Qu diferencia existe entre lenguaje y metalenguaje?9. Qu diferencia existe entre uso y mencin de los signos?10. Qu es la semitica y qu ramas de estudio comprende?

Pensamiento y lenguaje

El pensamiento, en el sentido ms amplio, es cualquier procesomental que se produce en la conciencia de los hombres y de ma-nera rudimentaria en los animales. El concebir, juzgar, razonar,imaginar, recordar, incluso el querer y sentir, son ejemplos de for-mas de pensamiento. En el sentido ms propio y restringido, elpensamiento es sinnimo de inteligencia, razn o entendimiento.

El pensamiento es una de las manifestaciones ms importan-tes de nuestra conciencia. Gracias a l es posible la comprensindel mundo, la captacin de objetos presentes o ausentes, la apre-hensin de relaciones y entidades abstractas y la formacin derepresentaciones no sensibles de ellos. Las ciencias, la filosofay el conocimiento en general no podran existir al margen delpensamiento.18

Sin embargo, para conocer no basta pensar. Es necesario al mis-mo tiempo fijar y comunicar nuestros pensamientos a los dems.Y esto slo es posible en virtud del lenguaje. En el sentido msamplio, el lenguaje es cualquier medio de comunicacin interper-sonal y empleado por algunos animales. En un sentido restringi-do, el lenguaje es un sistema convencional de signos regulado por

18 Cf. LALANDE, Andr, op. cit., p. 750.

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reglas sintcticas y que sirven al hombre como instrumento de co-municacin. Es el medio de expresin del pensamiento, es decir,su forma de existencia. Tambin es el medio ms eficaz para fijar,conservar y transmitir los conocimientos acumulados de genera-cin en generacin. Si no fuera por el lenguaje se hubiera perdidoirremediablemente la valiosa experiencia de muchas generacionesy cada nueva generacin se hubiera visto forzada a empezar denuevo el difcil proceso del estudio del mundo.

El lenguaje, a decir de E. Sapir, es un mtodo exclusivamentehumano y no instintivo, de comunicar ideas, emociones y deseospor medio de un sistema de smbolos producidos de manera deli-berada. Estos smbolos son, ante todo auditivos, y son producidospor los llamados rganos del habla. Asimismo, sostiene que lacomunicacin, humana y animal (si acaso se puede llamar co-municacin), producida por gritos involuntarios instintivos, nadatiene de lenguaje en el sentido en que este autor lo entiende.19

Con respecto del lenguaje, dice F. Saussure, hay que colocarsedesde el primer momento en el terreno de la lengua y tomarla comonorma de todas las otras manifestaciones del lenguaje. Pero, ques la lengua?, segn este autor, la lengua no se confunde con ellenguaje: la lengua no es ms que una determinada parte del len-guaje, aunque esencial. La lengua es un sistema de signos que ex-presan ideas, y por eso comparable a la escritura, al alfabeto delos sordomudos, a los ritos simblicos, a las formas de cortesa, alas seales militares, etc. Slo que es el ms importante de todosesos sistemas.20

Augusto Salazar Bondy, deja entrever, aunque sin tratarlo di-rectamente, la posibilidad de la existencia del lenguaje entre losanimales.21 Igualmente, H.G. Gadamer manifiesta que, en el senti-do ms amplio, el lenguaje refiere a toda comunicacin, no slo alhabla, sino tambin a toda la gesticulacin que entra en juego enel trato lingstico de los hombres. Hay tambin el denominado

19 SAPIR, E., El lenguaje, Mjico, Fondo de Cultura Econmica, 1980, pp. 14-15.20 SAUSSURE, Ferdinand de, Curso de lingstica general, Bueno Aires,

Losada, 1945, pp. 51-60.21 SALAZAR BONDY, Augusto, Iniciacin filosfica, Lima, Arica, 1969, p. 117.

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lenguaje de los animales. Sin embargo, sostiene, ste es un temaaparte.22

El pensamiento y el lenguaje se hallan ntimamente unidos,pero de esto no se deduce que sean idnticos entre s. Se diferen-cian en que el primero aprehende el mundo, mientras que el se-gundo es slo un medio para expresar y fijar las ideas, es decir,un instrumento que permite comunicar nuestros pensamientos aotros hombres.23

El lenguaje tuvo inmensa importancia para la formacin del pen-samiento. Surgi con l y ayud al hombre a separarse del reinoanimal y desarrollar su inteligencia. Gracias a la facultad de comu-nicarse, los pensamientos no slo se forman, sino que tambin setrasmiten a los dems. Es imposible separar el pensamiento del len-guaje. El pensamiento no existe de otro modo que en la envolturamaterial del signo, especialmente en la palabra. Mientras se hallaen la cabeza del hombre el pensamiento est muerto, es decir, esinaccesible para otros hombres; al ser expresado se hace real.

El pensamiento es propio del hombre, aunque, como ya se dijo,su forma ms elemental se da tambin en los animales. Pero el pen-samiento abstracto, es decir, mediante conceptos y expresado conpalabras, es privativo del hombre. Y el hombre piensa porque tie-ne un cerebro desarrollado. El pensamiento es producto de la acti-vidad del cerebro. Sin embargo, no es un resultado de la actividadaislada de un cerebro humano. El pensamiento tiene un carctersocial, es un producto de la relacin social. Surge como resultadode la vida de los hombres en sociedad, surge en el proceso de laactividad productiva de los hombres. Gracias al trabajo aparecie-ron el pensamiento y el lenguaje en el hombre

La vida de los hombres en sociedad tiene importancia decisi-va para explicar el origen, desarrollo y existencia misma del pen-samiento. Fuera de la colectividad humana no hay pensamiento.

22 GADAMER, H. G., Arte y verdad de la palabra, Barcelona, Paids, 1998,pp.131-132.

23 Cf. MIR QUESADA CANTUARIAS, Francisco, Lgica, Santa Rosa,Universo, 1962, pp. 217-219.

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ste es producto de la sociedad, tanto por las particularidadesde su origen como por la manera de funcionar y por sus resulta-dos. Ello se explica por el hecho de que existe slo en indisolubleunin con el trabajo y con el habla, que se dan exclusivamente enla vida gregaria humana. Tambin el lenguaje es un fenmeno so-cial. Tiene carcter social, surge de la necesidad sentida por losmiembros de un grupo, y de diversos grupos, de relacionarse en-tre s cuando viven juntos, especialmente en cuanto productores,por el trabajo, de bienes necesarios y, por lo tanto, intercam-biadores de valores. Esta necesidad imperiosa transform la gar-ganta rudimentaria del mono en un rgano capaz de controlar laarticulacin de sonidos. De esta manera surge el habla articulada,esto es, el lenguaje.24

El hombre goza de varias ventajas sobre los animales; por ejem-plo, el fuego, el vestido, la agricultura y las herramientas. Pero lams importante de todas estas ventajas es el lenguaje. Los sonidosque profieren los animales tienden a expresar emociones: bramanpor miedo, rugen por placer por el descubrimiento de alimento, in-fluyendo por medio de estos sonidos en las acciones de los otrosanimales, pero no dan la impresin de poder expresar algo distintode sus vivencias momentneas ni otro tipo de experiencia. Por lotanto, el lenguaje en sentido restringido, como ya se ha seala-do es una prerrogativa humana y, probablemente, el principal h-bito en el que nos mostramos superiores a los animales, remontn-donos evolutivamente sobre la mudez del mundo animal.25

Lgica y lenguaje: funciones bsicas del lenguaje

Toda ciencia (por ejemplo la lgica), como sistema de conocimien-tos, se configura y objetiva en el lenguaje. Consecuentemente, lacaracterizacin de la lgica como ciencia formal supone un exa-men de su lenguaje.

24 Cf. ROSENTAL y IUDIN, Diccionario filosfico, Rosario-Argentina,Ediciones Universo, 1973, pp. 355-357.

25 Cf. RUSSELL, Bertrand, Fundamentos de Filosofa, Barcelona, Plaza & Janes,S.A. Editores, 1974, p. 10.

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Siguiendo el esquema trazado por Charles Morris, en Funda-mentos de la teora de los signos, pueden distinguirse tres dimensio-nes en el lenguaje: el sentido de los signos tema especfico de lasemntica, la interconexin de los signos entre s objeto de lasintaxis, ntimamente vinculada con la lgica y el contexto per-sonal y social del uso del lenguaje-cometido de la pragmtica.

Estas tres dimensiones del lenguaje se interrelacionan entre s.En virtud de esto, el sentido de las palabras y oraciones se halladeterminado en mucho por las relaciones sintcticas entre los sig-nos y por las implicancias subjetivas y sociales del habla. De otrolado, las conexiones entre los signos de un lenguaje determinado,as como su fuerza y eficacia pragmticas, dependen del sentido.Igualmente, el uso, que es siempre un funcionar de los signos encircunstancias concretas, consagra reglas y principios de construc-cin y transformacin.

En lo que atae a este punto del libro dirigiremos nuestra aten-cin a la dimensin semntica (del sentido o significacin del len-guaje). El sentido de una oracin es fundamental. Desde esta pers-pectiva, el lenguaje cumple bsicamente tres funciones: informati-va, expresiva y directiva.

El lenguaje cumple una funcin informativa (llamada tambinenunciativa, referencial o descriptiva) cuando es utilizado paracomunicar algo a otras personas, informar sobre el mundo y loshechos, describir las cosas y sus propiedades o para explicar losfenmenos o hechos del mundo. Gracias a ella, nuestro lenguajees capaz de formular conocimientos y de transmitirlos. Por ejem-plo, cuando pronunciamos la oracin Los alumnos que estn reu-nidos en el pasillo hacen mucho ruido, por el sentido que ella tie-ne podemos informar a quienes nos escuchan que hay alumnosen el pasillo y que estn haciendo ruido. stos son los hechos delmundo a los cuales es remitido quien escucha y entiende nuestrolenguaje.

Cumplen esta funcin todas las oraciones aseverativas odeclarativas, es decir, aquellas que afirman o niegan algo. La cien-cia nos ofrece los ejemplos ms claros del lenguaje cumpliendo estafuncin. Ejemplos:

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a) La energa es materia disipada.b) El nmero 2 es par y primo a la vez.c) La lgica es una ciencia formal y la fsica es una ciencia factual.

El lenguaje cumple una funcin expresiva cuando es emplea-do para poner de manifiesto lo que ocurre en nuestro psiquismo yexteriorizar nuestros sentimientos o las vivencias que experimen-tamos; o tambin para expresar un estado de nimo, una actitud ovivencia interior. Esto puede suceder sin que el sujeto lo note opiense en ello; pero tambin puede producirse interviniendo lconsciente y deliberadamente. Si, por ejemplo, un profesor usa enclase nuestra oracin Los alumnos que estn en el pasillo hacenmucho ruido, puede hacerlo sin darse cuenta de que est exterio-rizando un sentimiento de desagrado, pero tambin con la con-ciencia y el propsito de hacerlo notar.

Cumplen esta funcin las oraciones desiderativas, es decir,aquellas que expresan el deseo de que un hecho tenga o no lugary, en general, las oraciones exclamativas o admirativas, es decir,las que expresan la sorpresa o admiracin que nos causa algo. Lapoesa nos suministra los mejores ejemplos del lenguaje cumplien-do la funcin expresiva. En efecto, el poeta no trata de comunicarconocimientos, sino sentimientos y actitudes. A travs de sus ver-sos l intenta plasmar ciertas emociones que experimenta, pero notransmitir ninguna informacin. Ejemplos:

d) Si yo volase tan alto.e) Qu felices son!f) Juventud, divino tesoro,ya te vas para no volver!Cuando quiero llorar, no lloro,y a veces lloro sin querer...

(Rubn Daro. Cancin de otoo en primavera)

El lenguaje cumple una funcin directiva (denominada tam-bin funcin operativa) cuando es utilizado para originar o impe-

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dir una accin manifiesta, provocar ciertas reacciones o cambiosen la conducta de las personas, orientarlas, entusiasmarlas o su-gestionarlas. Volviendo a nuestro ejemplo, decir que los alumnosestn haciendo ruido en el pasillo es una manera de inducirlos acallar, adems de ser una manera de referirse al mundo y de exte-riorizar estados de nimo. En la funcin directiva u operativa, laspalabras se convierten en instrumentos de accin, medios de quenos valemos para operar sobre el mundo. De all que podamos ha-blar de una funcin operativa del lenguaje.

Cumplen esta funcin las oraciones exhortativas o imperati-vas, es decir, aquellas que indican exhortacin, mandato o prohi-bicin, y las oraciones interrogativas, esto es, las que sirven paraformular preguntas.26 Ejemplos:

g) Amars al seor tu Dios sobre todas las cosas.h) Nadie ser perseguido en razn de sus ideas.i) Qu hora es?

Hasta aqu hemos presentado ejemplos del lenguaje cumplien-do sus tres funciones bsicas por separado. Sin embargo, en la ma-yora de los casos el lenguaje cumple una funcin mltiple o mix-ta cuando sus funciones bsicas se presentan conjugadas, vincu-ladas o interrelacionadas. Ejemplos:

j) Me va a pasar algo.k) Me desagrada or su voz.

En j) se comunica asertricamente el hecho de que algo ha deacontecer al sujeto, por ejemplo, un ataque; es decir, en j) se cum-ple la funcin informativa del lenguaje. Pero igualmente, en j) sequiere significar que el sujeto no tiene confianza en su propia se-guridad, cumpliendo la funcin expresiva; adems, 'j)' refiere a uncontexto de solidaridad humana, funcionando tambin de modoexhortativo.

26 Cf. COPI, Irving, op. cit., pp. 47-54.

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Asimismo, en k) se denota un hecho, es decir, hay informa-cin; adems, se expresa la causa de la molestia, y con esto, irrita-cin, adquiriendo un matiz expresivo; y, finalmente, se invoca aeludir tal situacin, con una clara intencin imperativa. Ambasexpresiones, j) y k), renen estas tres funciones claramentediferenciables al anlisis.

Cuestionario N. 4

1. En el sentido ms amplio, qu es el pensamiento?2. En el sentido ms restringido, qu se entiende por pensamiento?3. Qu es el lenguaje en sentido amplio?4. Qu es el lenguaje en sentido restringido?5. Considera plausible el punto de vista asumido por Sapir con

relacin al lenguaje?6. Qu comentario le sugiere la opinin de F. Saussure con respec-

to al lenguaje?7. Qu piensa acerca de la posibilidad dejada entrever por H.G.

Gadamer y A. Salazar Bondy sobre la existencia del lenguajeentre los animales?

8. Cul es la relacin entre lenguaje y pensamiento?9. Cul es la importancia que adquieren el lenguaje y el pensa-

miento en el contexto humano?10. Por qu tanto el pensamiento como el lenguaje tienen un carc-

ter social?11. Qu relacin existe entre las tres dimensiones del lenguaje se-

aladas por Charles Morris?12. Cules son las funciones bsicas del lenguaje?13Cundo el lenguaje cumple una funcin informativa y en qu

tipo de oraciones se expresa sta?14. Por qu en las ciencias el lenguaje cumple exclusivamente una

funcin informativa?15. Cundo el lenguaje cumple una funcin expresiva y en qu

tipo de oraciones se expresa sta?16. Qu funcin cumple bsicamente el lenguaje en el mbito de la

creacin literaria?

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17.Cundo el lenguaje cumple una funcin directiva y en qu tipode oraciones se expresa sta?

18. Qu funcin cumple el lenguaje en las normas legales y morales?19. Cundo el lenguaje cumple una funcin mixta?20. Qu funcin cumple bsicamente el lenguaje en los diarios y

revistas?

Ejercicio N. 1Usos de la palabra lgica

En el lenguaje coloquial

1. Seale de qu modo (como sustantivo, adjetivo o adverbio) esusado el trmino lgica e indique su significado en los si-guientes textos:

a) En esos encuentros imaginarios haba analizado diferentes po-sibilidades. Conozco mi naturaleza y s que las situaciones im-previstas y repentinas me hacen perder todo sentido, a fuerza deatolondramiento y timidez. Haba preparado, pues, algunas va-riantes que eran lgicas o por lo menos posibles. No es lgico queun amigo ntimo le mande a uno un annimo insultante, perotodo