1. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto Fajardo1Gas ideal de fermiones fuertemente degeneradoModelo de electrones libresAl decir que el gas de fermiones se encuentra fuertemente degenerado, estamosindicando que se encuentra a bajas temperaturas y/o altas densidades.Vamos a desarrollar los resultados en trminos del modelo de electrones libres en losmetales, donde los electrones de valencia de los tomos constituyentes de los metalesson modelados como un gas ideal. Gracias a este modelo es posible entender un grannmero de propiedades fsicas de algunos metales, en particular de los metalesmonovalentes simples.Hay muchas razones para utilizar este modelo. Una es que a pesar de que loselectrones interactan con los ncleos y con los dems electrones mediantepotenciales de Coulomb, estos potenciales son de largo alcance (1/r) de modo que elpotencial elctrico que cada electrn percibe es afectado por todos los tomos delmetal, ocasionando una especie de suma cero que mantiene al potencial casiconstante en todo punto interior del cristal metlico. En ese sentido, muchas de laspropiedades fsicas observables de los cristales metlicos son debidas ms a losefectos estadsticos cunticos que a los efectos de las interacciones elctricas.Considere la siguiente expresin que otorga el nmero de partculas (el signo positivoindica que nos limitamos al anlisis de fermiones) en el estado molecular k de energa: 1= = ( )(1)1 + 1 + Si consideramosuna variable esencialmente continua, podemos escribir 1=(2)1 + Donde () es la probabilidad de que un estado dado este ocupado. En la grficasiguiente mostramos () vs= / para un valor dado de= . En el caso limitede bajas temperaturas, eso es= 0, el valor de la distribucin () es uno paraenergas menores quey cero para energas mayores. La cantidades, en general,una funcin de la temperatura. Indicamos el valor dea= 0 como 0 .Autor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com

2. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto Fajardo2Ilustracin 1: Distribucin de Fermi-Dirac como funcin de , en unidades de .El caso limite de () para la temperatura cero es muy simple y es instructivo entendersu comportamiento. A la temperatura absoluta cero, todos los estados con energamenor a 0 estn ocupados y todos los que tienen energa mayor que 0 no estnocupados. De modo que 0 tiene la propiedad de ser una energa de corte.Como se dedujo con anterioridad (McQuarrie, 2003), el nmero de estados conenerga entreyes3/2 2= 4 2 1/2(3)Donde hemos introducido el factor 2, tomando en cuenta el grado de libertad extra delelectrn agregado al considerar el spin, es decir, un electrn tiene dos estados de spinasociados con cada estado traslacional.Siendo N el nmero de electrones de valencia, por definicin + = (4) 0Autor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com 3. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto FajardoPara encontrar 0 consideramos el hecho de que todos los estados hasta= 0 estn3ocupados y sucede lo contrario para los que estn por encima de este valor de energa.03/2 3/2 2 1/28 2= 4 2 = (0 )3/2 (5)3 2 0De lo cual obtenemos una expresin para 0 en trminos de N y otros parmetrosmedibles 3/2 2/32 3 0 =(6)2 8La cantidad 0 es llamada la energa de Fermi de un metal y es tpicamente del ordende 1-5eV.Si definimos el volumen molar (un parmetro ms general que sus partes) como = / llegamos a = =(7)Ahora podemos determinar 0 conociendo nicamente el volumen molar del metal encuestin. Por ejemplo, para el sodio (Na) el volumen especfico es 23.7 3 / portanto al hacer los clculos su 0 = 3.1de acuerdo con el principio de exclusin dePauli permitiendo solamente dos electrones en cada estado.A temperatura ambiente 0 102 y contrario a cmo podra pensarse ladistribucin () es an esencialmente una funcin escaln unitario al igual que a = 0 . Comparada con la temperatura caracterstica= 0 / la temperaturaambiente puede ser considerada como cero, y el escaln es una excelente primeraaproximacin a nuestra distribucin1 10 =0 = (8) 1 + 00La cantidad= 0 / es llamada tambin la temperatura de Fermi. Estastemperaturas son tpicamente del orden de miles de grados Kelvin.Usando el mismo argumento que con N, con el que encontramos 0 , establecemos laenerga termodinmica a= 0 como +0 3/2 2 0 = 4 2 3/2 (9) 00Autor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com 4. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto Fajardo 3/28 2340 =0 5/2 = (10) 5 25 0La energa 0 es el punto cero de un gas de fermiones. La ecuacin anterior indicaadems que la contribucin de los electrones libres (de conduccin) a la capacidad3calorfica es cero, en un claro contraste con el valor de equiparticion 2por cadaelectrn. La explicacin fsica de esto es que para contribuir a la capacidad calorfica,los electrones deben ser excitados a mayores estados cunticos de energa.Si 0 es demasiado grande en relacin consolo una pequea fraccin de todas laspartculas estar entrey la energa de corte 0 , quedando estados vacios porencima de este valor. En ese sentido, una fraccin muy pequea de todos loselectrones puede contribuir a la capacidad calorfica, y la capacidad calorficaexperimental es casi cero.La ecuacin bsica para la presin, asociada a la distribucin fundamental de Fermi-Dirac es:=ln + ) (1(11) Al convertir la suma sobre estados de energa a una integral sobre niveles de energa, yeliminar V obtenemos:30 22 = 4 1/2 ln 1 + 0 (12) 2 0Para evaluar esta integral, despreciamos el uno que se compara con0 en elargumento del logaritmo dado que0 es mucho mayor que uno sobre granparte del intervalo de integracin.yse eliminan quedando 03/2 2 0 = 4 1/2 0 (13) 20 33222 22 8 2230 = 4 0 5/2 =0 2 023 55 3 22 20 =0 = 0 / (14)5 5Este punto cero de presin es 106 . La presencia de h en esta expresinmuestra que el punto cero de presin es un efecto cuntico. Eso se sigue de que ==+y que 0 = 0. Esto era de esperarse ya que solo existe unaAutor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com 5. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto Fajardoforma de ordenar N partculas indistinguibles en los estados cunticos ms bajos5posibles.Las relaciones anteriores (5-14) estn basadas en un anlisis a la funcin dedistribucin para la temperatura= 0, es decir (8), no es difcil calcular correcciones aestos resultados a la temperatura cero. Una forma es realizar una expansin enpotencias del parmetro= /0 . Este argumento es fuerte en tanto que atemperatura ambiente (102 ), de modo que una expansin en series depotencias converge muy rpido. Para determinar esta expansin, primero notamosque todas las cantidades termodinmicas , , ,pueden ser escritas como + = (15) 0Donde la siguiente tabla da ejemplos dey :()2 3/2 4 21/22 3/2 4 2 3/22 3/2 1/24 ln 1 +0 2Autor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com 6. Modelo de electrones libres Mecnica estadstica 2011Catedrtico: Roberto Fajardo 6Ilustracin 2: La funcin de distribucin de Fermi-Dirac y su derivada 1 La ilustracin 2 muestra la funcin = 1+ y su derivada = 21+versuspara un valor dado de=Esto muestra que aun para valores pequeos de =para los cuales la mayora de metales son lquidos, es una funcin escalncon bordes redondeados y su derivada es entonces una funcin que es cero en todo eldominio excepto en las cercanas de= . Debido a esta peculiaridad de la derivadaes conveniente expresar la integralen trminos de . Esto es hechomediante la integracin por partes.+ + += =0 00+ += = (16)00Donde,=(17)0Autor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com 7. Modelo de electrones libres Mecnica estadstica 2011Catedrtico: Roberto FajardoPara eliminar el primer termino del lado izquierdo hemos usado el hecho de que 7= 0 en= 01 y = 0 cuando +.Ahora si es distinta de cero, solamente para una pequea regin en las cercanasde= , los valores importantes de sern paracercanos a= . En esesentido, expandiremos en series de Taylor alrededor de= :( )22= + ++(18)= 2 2=Sustituyendo esta en la ecuacin (16) obtenemos: + 1 2= = 0 + 1 + 2 +(19)=2 2= 0Donde +1= ( ) (20)0La primera de esas integrales es simplemente la unidad ya que es igual a0 = 10. Para el resto, tales como 1 y 2 podemos reemplazar el limite inferiorde la integral por porque es muy pequea entre y 0 de modo queesencialmente no contribuye a la integral. Si hacemos=0 y por tanto = obtenemos+ 1 == 0,1,2,3 (21) (1 + )20Todas estas integrales con valores impares de j se anulan porque excepto por losintegrandos son funciones pares de x. La integral para 2 es conocida y puedeencontrarse en tablas: +2 =1 + 2 3Mathematica puede resolver todas las integrales deque le pidamos, por ejemplo lasprimeras 11:1 como se puede verificar para los casos particulares expuestos en la tabla de la pginaanteriorAutor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com 8. Modelo de electrones libres Mecnica estadstica 2011Catedrtico: Roberto Fajardo8 1Que debido al trmino = ( ) se completa as:Lo que da:2 74= + ()2+ ()4(4)+ (22)624 15Hemos obtenido una poderosa expresin capaz de generarnos un valor fiable acualquier propiedad macroscpica del sistema. A continuacin calculamoscomo un 2 3/2ejemplo del uso de esta ecuacin. En este caso = 4 1/2 por tanto 2 3/28 2=3/2 (23) 3 232 21 31 = 2 22 =2 22Y3/2 (4)3 2 13 9=5/2 = 2 = 42 2 2 216Que al sustituir en (22) otorga: 3/2 8 22 74 =3/2 1 +2 + 4+(24)3 2827 5Si ahora recordamos la ecuacin (6) para 0 , esto se convierte en:3/22/32/32 3 2 274 40 ==1 + + 7 +2 88 2 5Si consideramos que toda la suma sobre las potencias de1 es mucho mspequea que uno, podemos aproximar la serie anterior a sus dos primeros trminos12de una expansin binomial, 1 +=+ ++ , obteniendo! 2!Autor: Juan Caldern, UNAHjunjunior.fisica@gmail.com 9. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto Fajardo22 74 4 0 =1 + ++ (25)9 12 26 15 02Esto dacomo una serie de potencias sobrenuestro propsito ser obtener 1 como una serie de potencias sobre= . Tomando el reciproco de la 0ecuacin anterior: 1 1 22== 1++ (26)0 22 12 1 + 12 +Que al aplicar la expansin binomial nuevamente obtenemos: 2 2744 = 1 (27) 012 26 15Esto ltimo puede ser expresado, en mathematica, como: 22 7 446=1 +(28)12 960 1Donde= 0y= ()1 . Bajo la premisa (28) invertimos la serie en trminos de y,como sigue:Que significa para nuestros fines que:2 y 2 94 y 46x= y 1+ ++O y(29) 12 320O ms claramente: 2 0 29 4 0 4 ()1 = 011+ + +. . .12320Cuya expresin simplificada es: 02 2 94 4= 1+0+ 0+ (30) 12320Finalmente despejamos paray aplicamos nuevamente la expansin binomial del mismomodo que lo hicimos en (26) para obtener:Autor: Juan Caldern, UNAH junjunior.fisica@gmail.com 10. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto Fajardo 10242 94 = 0 1 0 0 (31)12 320O como habamos mencionado:294 = 0 1 2 4 (32)12 320Esta ecuacin muestra quecambia lentamente con la temperatura y es igual a 0siempre que el metal se encuentre en la fase slida.Podemos utilizar (22) para calcular otras propiedades termodinmicas tales como .2 3/2En este caso = 4 3/2 por tanto23/2 8 2 =5/2(33)5 2 3/2 2 5 3= 61/2 = 222 2Y3/2 (4)3 2 1115= 3/2 =2 =4 2 2 2224Que al sustituir en (22) otorga:3/28 2 5274= 5/2 1 +24+(34) 5 2827 (3)Usando (10) esta expresin se simplifica en:5/2522 744 = 0 1++(35) 0827 (3)Haciendo uso de (32) expresamoscomo una serie de potencias de : 52 2 = 0 1 ++ (36)12La contribucin de los electrones libres a la capacidad calorfica es:2 2 = =(37) 2(0 /) 2Autor: Juan Caldern, UNAH junjunior.fisica@gmail.com 11. Modelo de electrones libresMecnica estadstica 2011 Catedrtico: Roberto FajardoDonde hemos introducido la temperatura de Fermi. Esta ecuacin predice la capacidad11calorfica electrnica molar que es del orden de 104/ deg y es observado enmuchos, pero no todos los metales en los cuales el modelo de electrones libres se espera quesea aplicable.ObservacionesSera interesante hacer una grfica de=vs. T o simplemente.paracomprender mejor el porqu de este comportamiento cuando T es pequea. QuedapendienteA partir de la ecuacin (35) se cort un trmino de la serie para facilitar los clculos yhacerlos de forma anloga al procedimiento seguido con N, sera interesante hacer elanlisis tomando en cuenta este trmino. Quiz se haga en una futura versin de estedocumento.Trabajos citadosMcQuarrie, D. A. (2003). Statistical Mechanics. En D. A. McQuarrie, Statistical Mechanics (pg.11). New Delhi, India: Raj Press.Autor: Juan Caldern, UNAH junjunior.fisica@gmail.com