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Ante el futuro de la enseñanzade la Geometría Descriptivaen las escuelas de Arquitec-tura y Arquitectura Técnicase adoptan diferentes posi-ciones que se pueden sinteti-zar en tres grupos. Algunosprofesores parecen entender

que el canon de la disciplina es inmutable, quedeterminados contenidos han formado parte de laGeometría Descriptiva desde la noche de los tiem-

pos y que cualquier novedades peligrosa. Otros, por elcontrario, se muestran parti-darios de la innovación, ypretenden acercar la ense-ñanza de la disciplina a lasnecesidades de las profesio-nes de arquitecto o Arqui-tecto Técnico; el guión decombate de este grupo es elllamado diédrico directo,que algunos juzgan másmoderno o novedoso que elllamado diédrico clásico ode Monge. Por último, unatercera tendencia proclamala supresión pura y simplede la disciplina; el ordena-

dor, dicen, resuelve todas las cuestiones geomé-tricas que precisa el arquitecto sin emplear elarcaico recurso a la proyección.En el contexto de este debate, creemos que puedeser interesante ofrecer un rapidísimo repaso a laformación del canon de la Geometría Descriptiva alo largo de la Historia; es decir, examinar cuándo,gracias a quién y en función de qué intereses oconcepciones culturales entran a formar parte dela disciplina esos saberes que “son GeometríaDescriptiva”.

El método de las proyeccionesResulta tópico afirmar que Gaspard Monge creó ofundó la Geometría Descriptiva. En realidad, lagran mayoría de los conceptos y métodos de ladisciplina son muy anteriores a Monge, y lo quehizo el geómetra francés fue reunir estos conoci-mientos en un cuerpo de doctrina sistemático.Pero en contra de lo que se da por supuestomuchas veces, esta operación no fue neutra; porel contrario, responde a los conceptos filosóficosde la Ilustración y al programa estético del Neo-clasicismo.Hasta donde llega nuestro conoci-miento, la doble proyección ortogo-nal, y quizá la misma idea de pro-yección ortogonal, son de origenbajomedieval. La práctica totalidadde las representaciones en planta oalzado que nos han llegado de laAntigüedad y la Alta Edad Mediaincluyen únicamente objetos dis-puestos en un mismo plano hori-zontal o vertical y no son, por tanto,proyecciones en sentido estricto.En cambio, el Cuaderno de Villardde Honnecourt, de la primera mitaddel siglo XIII, ya representa en alza-

Gaspard Monge, la estética de la Ilustración y la enseñanza de laGeometría DescriptivaJosé Calvo López. Cartagena

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do objetos dispuestos en planosdiferentes, y anuncia una idea aúnmás trascendental. El códice incluyealgunos esquemas de estereotomíaen planta, debidos a un autor cono-cido por Magister II, diferente del querealizó la mayoría de los dibujos delmanuscrito. Estos trazados presen-tan marcas que parecen haber sidotomadas de un alzado, y que permiten encontrarla solución de un problema de corte de piedrasque resultaría irresoluble empleando la planta y elalzado por separado. Por tanto, encontramos porprimera vez indicios de una idea que sería esen-cial en el desarrollo posterior de los sistemas derepresentación, y que la Antigüedadapenas parece haber conocido oexplotado: la potencia de la planta yel alzado, cuando se emplean con-juntamente para resolver problemasde geometría del espacio, es muysuperior a la de una y otro tomadospor separado.Un alzado de un campanario del Tre-cento toscano, quizá el proyecto ori-ginal del campanile de Giotto, copia-do para servir de modelo a la torrede la catedral de Siena, indica tam-bién con claridad esta capacidadresolutiva de la doble proyección. Esfrecuente que en los alzados de estaépoca se intente representar en verdadera magni-tud los objetos dispuestos en planos oblicuos;sirva como ejemplo el dibujo posterior de una fle-cha de la catedral de Colonia, de Johann Hulz, queintenta representar en verdadera forma las trace-rías circulares de los paños inclinados de la aguja,e incluso de los oblicuos. Por el contrario, en eldibujo toscano, las caras oblicuas delcuerpo de planta ochavada que rema-ta la torre se representan con ladeformación que sufrirían en una pro-yección ortogonal a las caras fronta-les del prisma octogonal; un acorta-miento que difícilmente podría habersido calculado en la época sin emple-ar una planta.En las obras de Mathes Roriczer, definales del siglo XV, y en particular enel Buchlein der fialen gerechtikeit, seemplea explícitamente la correlacióndiédrica para “extraer el alzado de laplanta” mediante líneas de referen-cia; por tanto, tenemos ya presentes

muchos de los elementos de lo queconsideramos hoy como sistemadiédrico, como las proyeccioneshorizontal y vertical y las líneas dereferencia. Faltan, sin embargo, lalínea de tierra y las trazas de planos,de manera que el conjunto presentauna curiosa semejanza con lo quehoy llamamos diédrico directo. Aun-

que algunos consideran este modo de representa-ción una novedad reciente, lo cierto es que ante-cede en tres siglos, al menos, al diédrico clásico ode Monge.Durante el Renacimiento y el Barroco, los maes-tros canteros emplean de forma cada vez más

intensa y sofisticada la doble proyec-ción, para resolver los problemasque el lenguaje arquitectónico clási-co plantea a la construcción pétrea.En concreto, se usan las proyeccio-nes ortogonales para la labra de lapiedra por escuadría o por robos; seemplean los abatimientos y los desa-rrollos en la talla mediante plantillas;se practican giros para conocer losángulos que forman entre sí las aris-tas de las dovelas; se realizan cam-bios de plano para construir las tes-tas oblicuas o inclinadas de losarcos; y en ocasiones se combinande forma muy ingeniosa todos estos

métodos. Monge, profesor de Teoría del Corte delas Piedras en la escuela de ingenieros militaresde Mézières, será el heredero de esta tradición,pero también de las críticas que estos métodos detrazado reciben en los albores de la Ilustración.El tratado más completo y sistemático del arte delcorte de las piedras de todos los tiempos es La

theorie et la pratique de la coupedes pierres et des bois … ou éle-ments de stéréotomie, del ingenieromilitar Amedée-Louis Frézier, publi-cado en 1737, en tres gruesostomos. Al tratar de las formas derepresentación empleadas por lostratados que le preceden, Frézier semuestra sorprendido por la anar-quía de la disposición de las pro-yecciones en las láminas: se mez-clan sin divisiones las plantas conlos alzados, que algunas vecesestán puestos de lado, y en otrasparecen caer cuando deberían ele-varse. Sin embargo, el tratadista

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reconoce que ese es el precio que debe pagarsepara mostrar con claridad la relación entre unasproyecciones y otras por medio de líneas de refe-rencia, de manera que a veces es más útil mez-clar y entremezclar todas estas plantas, alzados ysecciones.Otros elementos gráficos aumentan la confusión ola variedad, según se mire, de las láminas deestos tratados, incluido el del propio Frézier. Enrealidad, las plantas, secciones y alzados, íntima-mente unidas por líneas de referencia, no tienenpor objeto representar los arcos y bóvedas de lasque se ocupa el tratado; esto es, no pretenden lle-var su forma a la mente del que estudia estosgruesos volúmenes. Esa labor queda encomenda-da a perspectivas lineales, caballeras o, incluso, alas que hoy llamamos de Hejduk o transoblicuas.Las plantas, alzados y secciones tienen unamisión diferente: son instrumentos que permitenconstruir las plantillas o determinar los ángulosnecesarios para labrar la piedra. Esta dualidad erauna constante en los tratados de cantería france-ses, desde De L’Orme a De La Rue, pasando porBosse. Se usa la perspectiva lineal o caballerapara mostrar algo que ya se conoce, esto es, pararepresentar los tipos constructivos expuestos porel autor; pero al mismo tiempo se propone elempleo de lo que hoy llamaríamos diédrico direc-to para resolver los problemas de geometría

práctica a los que se enfrentaban los canteros,determinando formas y magnitudes que estánimplícitas, pero que no son evidentes, en la com-binación de planta, alzado y perfil de la que separte.En los tratados de arquitectura la separación entrerepresentación y resolución no era tan tajante.Nada hay más falso que la tópica afirmaciónsegún la cual el sistema de representación carac-terístico del dibujo de arquitectura del Renaci-miento es la perspectiva lineal. Se recurría a laperspectiva cónica o caballera, es cierto, cuandoel autor tenía especial interés por mostrar el espa-cio o el volumen, como en algunos dibujos de loslibros de Serlio o Androuet du Cerceau, pero trata-dos enteros, como el de Palladio o el de Pierre leMuet, emplean exclusivamente la doble proyec-ción ortogonal para mostrar en verdadera magni-tud la disposición del edificio y la composición desus fachadas. Porsupuesto, estosalzados no muestranpor sí mismos elvolumen del edificio,puesto que los pla-nos perpendicularesa los frontales, queson los que podríanaportar sensaciónde profundidad, seven de canto. Comoconsecuencia, si sequiere emplear un

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alzado para representar un edificio, es decir, parasugerir al observador su forma y volumen, esnecesario emplear otros recursos gráficos, y enparticular la sombra.Hacia mediados del siglo XVIII el alzado sombreado,preferentemente a la aguada, se convierte en elmedio de expresión característico de la nacientearquitectura de la Ilustración. Nicholas-François-Antoine de Chastillon, que desempeñaba la direc-ción de la Escuela de Mézières cuando Monge llegóallí como ayudante del taller de dibujo, escribió untexto sobre el trazado de las sombras en el dibujo;al estar destinado a la instrucción de los alumnosde la escuela, no llegó a la imprenta y ha permane-cido anónimo hasta hace pocos años. Su principalintención es someter esta práctica gráfica a reglasprecisas, racionales y rigurosas. Explica que aun-que la doble proyección define completamente elobjeto que representa, para dar gracia al dibujo ymostrar al primer golpe de vista el relieve es nece-sario marcar las sombras. Entre otras cosas, criticaa los arquitectos por aplicar mecánicamente som-bras en las que las proyecciones horizontal y verti-cal de los rayos del sol forman ángulos de cuaren-ta y cinco grados con las líneas de referencia queunen planta y alzado, incluso sobre las fachadasdispuestas al norte, una situación que no se da en

la naturaleza. A partir deestas premisas, el trata-do muestra la soluciónde problemas habitualesen el dibujo de arquitec-tura, como la sombra deuna chimenea sobre untejado, pero tambiénotros menos usuales,como la sombra de unaesfera sobre la mismacubierta o de una rectasobre un cono. En pala-bras de Sakarovitch, en

realidad nos encontramos ante problemas teóricosrevestidos de un velo práctico muy ligero, y muycerca de un tratado de Geometría Descriptiva.

La lengua del hombre de genioGaspard Monge intervino, entre otros muchosquehaceres, en la creación del Sistema MétricoDecimal y el calendario de la Revolución France-sa, que reducía el año a doce meses de treintadías y nombres sonoros como Brumario o Termi-dor. Del mismo modo, podemos entender que sucontribución a la historia de la representación grá-fica fue, ante todo, una operación racionalizadoratípicamente ilustrada; su intención era normalizar,simplificar, unificar. En primer lugar, su posiciónse inscribe en una tendencia característica deldibujo de arquitectura neoclásico a otorgar capa-cidad representativa a la proyección ortogonal,con ayuda de las sombras, como hemos visto.Pero ya hemos dicho también que los tratados decantería otorgaban una misión bien diferente a la

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proyección ortogonal, la deresolver problemas de geo-metría práctica. En cambio,Monge intentará reducir lapanoplia de instrumentosgráficos empleada en sutiempo cargando sobre loshombros del sistema dié-drico al mismo tiempo lastareas de la resolución y larepresentación.Según el vibrante Progra-ma que abre sus lecciones,la Geometría Descriptiva esuna lengua necesaria alhombre de genio, que tienedos objetos principales:

uno es representar con exactitud, sobre dibujosque sólo tienen dos dimensiones, los objetos quetienen tres; el otro es deducir de la descripciónexacta de los cuerpos todo lo que se sigue nece-sariamente de sus formas y de sus posicionesrespectivas. Pero en cualquier lengua, cuando unvocablo adquiere un significado nuevo, amenazacon desalojar a otro de su campo semántico; y esofue lo que ocurrió con la perspectiva caballera,

privada de su misión repre-sentativa y expulsada porMonge y sus seguidores dela elite de los sistemas derepresentación.Monge intentó tambiénsimplificar las prácticasgráficas de su época enotro sentido. Redujo a doslas caóticas proyeccionesde la época de Frézier,argumentando que bastanpara definir unívocamentela situación de un punto enel espacio, a condición defijar previamente la posi-

ción de los planos que reciben las proyecciones.Esto permite medir las distancias del punto aestos planos a partir de la intersección de los pla-nos, denominada línea de tierra, que viene a cons-tituir el verdadero eje del sistema, en todos lossentidos. Incluso en esto, la novedad de la aporta-ción de Monge es relativa. Es cierto que hastaentonces nadie se había preocupado por fijar laposición de los planos de la proyección ortogonal,que quedaban flotantes, como en nuestro diédricodirecto. Pero sí era fija la posición del plano del

cuadro en la perspectiva lineal, y también lo era laposición del plano geometral, y por tanto la de suintersección, llamada precisamente línea de tie-rra. Por otra parte, si el plano geometral recibíaeste nombre, era porque se podía dibujar sobre élla planta de un objeto en verdadera forma, hacer-lo girar alrededor de la línea de tierra y llevarlo alplano del cuadro para mostrar la planta sin defor-mación. Aunque parezca extraño a nuestros ojos,la idea de proyectar un objeto sobre dos planos, yhacer girar uno de ellos alrededor de su intersec-ción, denominada línea de tierra, procede en rea-lidad de la perspectiva lineal. Por otra parte, losingenieros militares tenían la costumbre de mos-trar al Rey o sus ministros grandes planos de for-tificaciones acompañados de alzados abatidos,que en ocasiones colocaban en posición vertical;tenemos aquí otro posible origen del conocido girodel plano vertical de proyección.Como es bien sabido, la fijación de los planos deproyección y la representación de su intersec-ción, la línea de tierra, permite representar pla-nos por sus trazas. Con esto, Monge conseguíados resultados muy gratos para la estética neo-clásica. Por una parte, el sistema permitía repre-sentar todos los elementos básicos de la geo-metría clásica: no sólo los puntos y las rectas,que ya se representaban sin problemas en ladoble proyección bajomedieval, sino también losplanos. Es decir, la nueva lengua del hombre degenio permite no sólo resolver problemas degeometría práctica, sino también de geometríaculta. De esta manera, la Geometría Descriptivapodía hacer evidentes los conceptos abstractosde la Geometría Analítica; y al hacerlo, permitíaarticular la ciencia y la técnica, haciendo derivarel quehacer de los artesanos de esa nueva clasede hombre de genio, los científicos aplicados ala resolución de problemas prácticos, queMonge formaba en la École Polytechnique.El empleo de trazas de planos también resultabaatractivo a la estética neoclásica en otro sentido:permitía el trazado y manejo de planos tangentesa las superficies, y por tanto, la determinación delos contornos aparentes de las superficies y lasseparatrices de sombra propia, dos cuestionesque los pintores y los arquitectos habían resueltohasta entonces de forma aproximada. Resultareveladora en este sentido una polémica que losseguidores de Monge mantuvieron durante buenaparte del siglo XIX: señalaban que los pintoresrepresentan siempre la esfera como una circunfe-rencia, pero esta práctica sólo es correcta cuando

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el centro de la esferaestá en el rayo principalde la perspectiva. Enconsecuencia, amones-taron severamente a lospintores de la época exi-giendo que representa-ran las esferas comoelipses. Como es bienconocido, sus esfuerzosfueron baldíos, pues losintereses de los pintoresde la segunda mitad delsiglo XIX eran muy dife-rentes y, para empezar,no representaban esferascon frecuencia.En cualquier caso, elempleo de planos tan-gentes para obtener contornos aparentes y líneasseparatrices en la perspectiva lineal requiere elempleo de todo un aparato geométrico ligado a laproyección central que sólo sería sistematizadoalgunas décadas después por Cousinery, y queaún así, resulta enormemente embarazoso. Portanto, Monge resucitó un venerable método rena-centista de trazado de perspectivas, olvidado porlos pintores, aunque no por los arquitectos o losescenógrafos; proponía el empleo de la construc-ción por proyección cónica directa a partir deplanta y alzado, con la esperanza de que trazas deplanos, teoría de las sombras y perspectiva direc-ta permitieran a arquitectos y pintores iluminarsus perspectivas con exactitud matemática.Esta voluntad de someterlas artes a los dictadosde la ciencia resplandeceen la teoría de las líneasde curvatura y en lasperegrinas aplicacionesde este concepto quepropuso Monge. La ideaesta ligada, una vez más,a la estereotomía. Mongese plantea disponer lasjuntas de las dovelas deuna bóveda pétrea de talmanera que las superfi-cies de junta sean regla-das desarrollables for-madas por normales a lasuperficie de intradós;estas condiciones sólo se

cumplen cuando elencuentro entre la super-ficie de junta y la superfi-cie de intradós vienedado por unas líneas queMonge denomina líneasde curvatura. En la esfe-ra, cualquier círculomáximo o menor es líneade curvatura, y por tantolos despieces tradiciona-les de las bóvedas denaranja o vaídas cumplenestas condiciones. Encambio, en el elipsoideescaleno, es decir, aquelque presenta longitudesdiferentes en los tresejes, existen únicamente

dos familias de curvas que cumplan estas condi-ciones. Esto le lleva a proponer el elipsoide esca-leno como cubierta de una Asamblea Legislativa,que se proyectaba por aquellos años, argumen-tando que la red de nervios formada por las dosfamilias de líneas de curvatura aportaría unadecoración tan rica como los rosetones de lasiglesias góticas, pero mucho menos arbitraria. Encierto modo, lo que Monge propone es convertir laAsamblea en una catedral de la razón, simboliza-da por su más alta expresión, la matemática;hasta el orador había de situarse bajo uno de lospuntos umbilicales de la bóveda.La Asamblea Legislativa de Monge jamás fueconstruida, aunque dejó un curioso eco en Espa-

ña: los parlamentariosdoceañistas y los del trie-nio liberal se reunían,quizá por cálculo, quizápor azar, en iglesias ova-les, como la de San Feli-pe Neri en Cádiz, la dedoña María de Aragón enMadrid y la de San Her-menegildo en Sevilla.Tampoco tuvo éxito otraaplicación de las líneasde curvatura a las artespropuesta por Monge:pretendía que los graba-dores trazaran las líneascon las que obtienen elclaroscuro según laslíneas de curvatura de la

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superficie del objeto representado, ya se tratarade un bodegón o una Venus. Obvio es decir quepocos años después los rigores neoclásicos die-ron paso a otras concepciones estéticas queexaltaban la libertad creativa del artista, laexpresión de su personalidad y la negación detoda regla impuesta desde el exterior; y aunquese olvide muchas veces, de esta herenciaromántica han vivido en buena medida las arteshasta nuestros días.

La instrucción de los jóvenesMonge dictó cursos de Geometría Descriptivaen dos novísimas escuelas revolucionarias; eleco de una y otra llega hasta nuestros días. Enla École Normale habían de formarse los profe-sores que llevarían a las escuelas secundariasde todos los rincones de Francia los beneficiosde la ciencia, como no podía ser menos en unestado que adoraba a la diosa Razón, mientrasque la École Polytechnique acogía a los aspi-rantes a ingenieros de todas las especialidades.Sin embargo, sus numerosas y variadas ocupa-ciones de aquellos años, que iban desde eldesempeño del Ministerio de Marina a la parti-cipación en la comisión artística y científica queacompañó a Napoleón en su campaña en Egip-to, le impidieron redactar un libro sobre lamateria. Su obra se conoce, ante todo, por losapuntes de sus alumnos en los cursos de laÉcole Normale; disponemos también de lasnotas taquigráficas de estos mismos cursos,impresas por la propia escuela. Mucho másvago es nuestro conocimiento de los cursos dela École Polytechnique, que se basa ante todoen un resumen de su contenido y en los ejerci-cios prácticos propuestos a los alumnos, celo-samente conservados en la institución de la queMonge fue el primer director.Estas circunstancias hicieron que el texto funda-cional de la Geometría Descriptiva tuviera unaorientación marcadamente teórica; sin duda suautor hubiera preferido darle un carácter diferen-te. Faltan las lecciones sobre la aplicación de ladisciplina a la perspectiva, las sombras y la este-reotomía; podemos intuir su contenido a través deun fascículo anterior de Monge sobre la perspec-tiva y los ejercicios de lavado y de corte de piedrasde los alumnos de la École Polytechnique. Algunosaños después aparecieron los primeros textos dela disciplina con pretensiones de integridad, debi-dos a alumnos directos o indirectos del fundador,como Hachette, Leroy o Lefebure de Fourcy, y

Brisson reeditó el texto inaugural añadiendo treslecciones sobre aplicaciones de la disciplina comola teoría de las sombras, la perspectiva aérea y laperspectiva lineal, que Monge no había podidoimpartir en la École Normale.A lo largo del siglo XIX, se va formando el canonde la disciplina casi por sedimentación. Gracias aOlivier, se añaden al núcleo básico del diédrico losmétodos tradicionales del corte de las piedras,como los giros, los abatimientos y los cambios deplano; aunque Monge los había empleado en suscursos de la École Normale, no los explicó siste-máticamente. Se incorpora el sistema de planosacotados, muy ligado a la escuela de Mézières y ala trayectoria de Monge. Otro tanto ocurre con laaxonometría; en primer lugar entra en la discipli-na la proyección ortogonal de Farish y Weisbach,y sólo cuando se demuestra que todas las formasde axonometría oblicua son proyecciones, graciasal teorema de Pohlke, se vuelve a admitir a rega-ñadientes entre los sistemas de representación laperspectiva caballera, de la que nunca se habíadudado que fuera una proyección. Aún más para-dójico es el destino de la perspectiva lineal; cuan-do Cousinery sistematiza la proyección central,pasa a formar parte de la nueva disciplina, y lavieja perspectiva lineal se transmuta en cónica,provocando el olvido del método de proyeccióndirecta desde planta y alzado que había preconi-zado Monge, que no había encontrado su lugar enel texto inaugural.Hacia 1900, casi todo lo que hay que decir sobrela materia está dicho, y el canon de la disciplina se

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fosiliza; así, lo que algunos profesores entiendenhoy por Geometría Descriptiva responde a los inte-reses de los geómetras y técnicos de principiosdel siglo XX. Probablemente Monge, Cousinery,Farish, Noizet, Olivier o De la Gournerie lanzaríanardientes invectivas contra estas posiciones inmo-vilistas; al fin y al cabo todos ellos introdujeronmateria en la disciplina o la expulsaron de ellasegún las necesidades de la cultura y la técnica desu tiempo.Esto es exactamente lo que deberíamos hacer,en mi opinión, los profesores de Geometría Des-criptiva a comienzos del siglo XXI: preguntarnosqué instrumentos de geometría gráfica – puesno otra cosa quiere decir la expresión diecio-chesca Geometría Descriptiva; en aquel momen-to el primer significado del verbo describir eratrazar - son útiles para los arquitectos y los téc-nicos del siglo XXI. Y debemos hacerlo, siempresegún mi parecer personal, sin quedarnos para-lizados por un respeto sacramental hacia el muyilustrado diédrico de Monge, o el venerable dié-drico directo medieval; pero tampoco debemoscaer en el extremo opuesto y suponer que debe-mos prescindir de ellos por viejos. Al fin y alcabo, la invención de la rueda es antiquísima,pero sigue siendo útil para nosotros, porquemuchos se han ido preguntado a lo largo de lossiglos qué es lo que podemos aprovechar delconjunto de la rueda y el eje, y cómo se puedemejorar el sistema para adaptarlo a nuestrasnecesidades.

Lista de ilustraciones1. Forma Urbis Romae, plano de la Roma imperial inciso

en mármol, siglo III.2. Alzado y sección de la catedral de Reims. Villard de

Honnecourt, Cuaderno, c. 1225, f. 61.3. Arco oblicuo. Esquema debido a un maestro conocido

como Magister II incluido en el Cuaderno de Villard deHonnecourt, c. 1225, f. 39.

4. Dibujo sienés de un campanario, c. 1339, probable-mente copia del proyecto original de Giotto para elcampanile de la catedral de Florencia, realizada paraservir de modelo al campanario de la catedral de Siena

5. Trazado de un gablete. Mathes Roriczer, Büchlein vonder fialen Gerechtigkeit, 1486.

6. Razón y discreción de la bóveda esférica, es decir,explicación de los fundamentos del método empleadopara obtener las plantillas de intradós de una bóvedaesférica por desarrollo de conos sucesivos. Alonso deVandelvira, Libro de trazas de cortes de piedras, c.1580, f. 61 v.

7. Arco capialzado hacia la menor subida por robos, esdecir, variante del capialzado de Marsella resueltaempleando las proyecciones ortogonales de cada dove-la sobre un plano frontal y otro horizontal. Ginés Martí-nez de Aranda, Cerramientos y trazas de montea, c.1600, pl. 81.

8. Arcos en paramentos curvos. Amédée-François Frézier, Lathéorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois …ou traité de stéréotomie …, 1737-1739, t. III, lám. 74.

9. Perspectiva caballera del Château de Ancy-le-Franc.Jacques Androuet du Cerceau, Les Plus Excellens bâti-ments de France, 1576-1579.

10. Planta y alzado de la villa Trissini. Andrea Palladio, Iquattro libri d’architettura, 1570, l. II, f. 60.

11. Problemas de trazado de sombras. Trabajos de alum-nos de la Escuela de Ingenieros de Mézières.

12. Doble proyección ortogonal. Gaspard Monge, Géomé-trie Descriptive, Año VII (1799), lám. 1.

13. Planta y alzado de un templo. Portafolio de dibujos deDalesme, 1812.

14. Perspectiva por proyección directa a partir de planta yalzado. Gaspard Monge, manuscrito sobre perspectiva,1779, láminas 1 y 2.

15. Solución de Gaspard Monge para el despiece de unabóveda en elipsoide escaleno según líneas de curvatura.Charles-Félix-Auguste Leroy, Traité de stéréotomie, com-prenant les applications de la géométrie descriptive á lathéorie des ombres, la perspective linéaire, la gnomoni-que, la coupe des pierres et la charpente …, 1844.

16. Grabado con líneas de curvatura. Hendrik Goltzius, Pig-malión y Galatea.

17. Planos tangentes al cilindro y al cono. Gaspard Monge,Géométrie Descriptive, lám. IV.

18. Ejercicio de estereotomía de la École Polytechnique,Año III (1795).

19. Diversos esquemas acerca de la perspectiva isométri-ca. William Farish, “On Isometrical Perspective”, 1822.

20. Plano topográfico con líneas de pendiente. Portafolio dedibujos de Dalesme, 1812.

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