09/04/2015

Electricidad y Magnetismo

Ley de Gauss

09/04/2015

Flujo elctrico

El flujo elctrico a travs

de un rea est definido

como el producto de la

intensidad de campo

por la superficie

perpendicular al campo,

es decir:

= EA.

Esto significa que las unidades de

flujo son: Nm2/C

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AA'

Flujo elctrico

A1

Ei

La superficie A

perpendicular al campo es:

cosAA

Luego, la definicin de

es:

cosEA

A

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Flujo elctrico

En general, el campo elctrico vara sobre la superficie, por lo

tanto es conveniente tomar slo pequeos elementos de

superficie E para definir el flujo local:

iiii AEAE

cos

Ntese que hemos definido el vector cuya direccin es

perpendicular al rea y su magnitud igual al rea que

representa.

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Flujo elctrico

Como de costumbre, en estos casos, sumamos las

contribuciones y luego las llevamos al lmite:

i

iiA

dAEAEi

sup0

lm

La ecuacin es una integral de superficie. Su valor ser

funcin tanto de la manera en que el campo se distribuye,

como de la superficie considerada.

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Flujo elctrico

Normalmente querremos evaluar el flujo a travs de una

superficie cerrada. Qu es una superficie cerrada?

1

3

24

1

3

2

4

Observe que en los elementos

1, 2 y 4 el campo apunta hacia

fuera, luego 90o y el flujo se torna

negativo, pues cos es

negativo.

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Flujo elctrico

El flujo neto es proporcional al nmero neto de lneas que

abandonan la superficie (lneas saliendo - lneas entrando)

1

3

24

1

3

2

4

Si son ms las lneas que

salen el flujo neto es positivo,

en el caso contrario el flujo

neto es negativo.

El flujo neto sobre una

superficie cerrada es:

dAEdAE ncG-1

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Flujo a travs de un cubo de arista l

dA4

dA1

x

z

y

E

dA2

dA3

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Flujo a travs de un cubo

dA4

dA1

x

z

y

E

dA2

dA3

El flujo a travs de dA3 y

dA4 es cero, ya que = 900

y cos = 0, luego EdA es

cero. Lo mismo ocurre para

las caras anterior y

posterior.

Por otra parte, dA1apunta en la direccin

negativa del eje x y el

campo E en la

direccin positiva,

luego...

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Flujo a travs de un cubo

dA4

dA1

x

z

y

E

dA2

dA3 = 180o y cos180 = -1, por

lo tanto

2

11

1 180cos EldAEEdAo

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Flujo a travs de un cubo

dA4

dA1

x

z

y

E

dA2

dA3En la cara 2, dA2 es paralelo y

apunta en la misma direccin

que el campo, luego = 0 y

cos0 =1. Por lo tanto:

2

22

2 0cos EldAEEdAo

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Flujo a travs de un cubo

dA4

dA1

x

z

y

E

dA2

dA3De los resultados anteriores,

vemos que:

022 ElElc

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Ley de Gauss

r dA E

La Ley de Gauss establece

una relacin entre el flujo

elctrico neto a travs de

una superficie cerrada

(gaussiana) y la carga

encerrada por dicha

superficie.

Sea una carga puntual positiva

encerrada por una esfera de radio r.

Sabemos que las lneas de campo

apuntan radialmente hacia fuera as

como los vectores dA, por lo tanto son

paralelos y cos = 1.

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Ley de Gauss

r dA E

Segn Coulomb:

2r

qkE e

De acuerdo a la ec. G-1:

dAEEdAdAEnc

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Ley de Gauss

r dA E

Por simetra, el campo es constante

sobre la superficie de la esfera y la

superficie de sta es 4r2, luego:

)4( 22

rr

qkec

y dado que

o

ek4

1

0

2

2

0

)4(4

1

qr

r

qc

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Ley de GaussEl resultado:

0

qc

Nos dice que el flujo neto es slo

proporcional a la carga. Para

entender esto consideremos la figura

de la izquierda.

El casquete interno es atravesado por el

mismo nmero de lneas que el externo,

porque mientras la densidad de lneas por

unidad de superficie decrece con 1/r2, la

superficie crece con r2. Como estas dos

variaciones se anulan entre s, el

resultado neto es que el flujo no depende

de r.