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GEOMETRA DESCRIPTIVACAPITULO 13INTERSECCIN DE SLIDOS INTRODUCCINLa interseccin de slidos tridimensionales es la traza de encuentro de ambos cuerpos, esta puede ser distinta segn sea el tipo de slidos intersectados.Existen mltiples aplicaciones en el campo de la ingeniera sobre este tema como por ejemplo para determinar las costuras de interseccin para las cubiertas de embarcaciones martimas y aeronuticas, representacin de superficies topogrficas (taludes), fabricacin de tolvas, etc.El estudio de las intersecciones del slidos, tales como prismas.pirmides,cilindros,conos,etc. Es de gran importancia por las mltiples aplicaciones que tiene en el campo de la ingeniera.

NOTA: As tenemos por ejemplo, el caso de los ductos vecinos de planchas de acero, cuyos encuentros corresponden a la interseccin de dos o ms cilindros.De acuerdo con la interseccin que se obtengan se cortarn las planchas que luegon sern soldadas para obtener la construccin requerida.INTERSECCIN DE SLIDOS METODOS GENERALES DE INTERSECCIN ENTRE SUPERFICIES:1. Mtodo de Rectas como punto

Consiste en disponer en uno de los slidos dados con las aristas (prismas) o las directrices (cilindros), como puntos en un plano auxiliar adyacente.

Debido a que en la mayora de los casos se requiere utilizar un plano auxiliar este mtodo tambin es llamado el mtodo de la vista auxiliar.

2. Mtodo de Interseccin de Recta con Plano Oblicuo Este mtodo se realiza recurriendo al principio de interseccin de una recta y un plano en dos planos principales adyacentes. Realizando la interseccin de cada cara del poliedro, con las aristas o generatrices del otro poliedro. La traza de interseccin de ambas superficies tridimensionales resulta de forma mediata uniendo los puntos de interseccin.3. Mtodo Del o los Planos Cortantes Tomando en cuenta la direccin que siguen las rectas principales (aristas o generatrices), se disponen uno o ms planos cortantes. Los planos cortantes son paralelos entre s cuando se trata de prismas o cilindros. Los planos cortantes pasan por el vrtice si se trata de conos (conos entre s, de conos con cilindros o prismas, etc.).4. Mtodo de Los Cilindros Cortantes Generalmente este mtodo se utiliza para determinar la interseccin de una superficie de revolucin (cono, esfera, etc.), con un prisma o cilindro. El eje del cilindro o los cilindros cortantes se dispondrn paralelos al eje del cilindro o prisma, de modo que la base del o los cilindros cortantes se ubiquen contenidos como directrices en la superficie de revolucin. Luego se tendr que la superficie de revolucin participa de la interseccin segn circunferencias y el cilindro o prisma segn sus generatrices.5. Mtodo de las Esferas Cortantes Este mtodo se debe utilizar cuando se tenga 2 superficies de revolucin cuyos ejes se intersectan mutuamente y se hayan en un mismo plano en VM. El punto de interseccin de los ejes de las superficies de revolucin dados se toma como centro de una o ms esferas concntricas; cada una de estas esferas (si tiene el dimetro apropiado), intersectar a cada superficie de revolucin segn dos crculos.Estos crculos se intersectan a sus vez segn puntos, que son los puntos de interseccin buscados y por lo tanto pertenecen a la traza de interseccin de los solidos dados.

TIPOS DE INTERSECCIN DE SLIDOSDe acuerdo a la posicin relativa de los slidos que se intersecan, pueden exirtir los siguientes tipos de interseccin:

Mordedura o arrancamiento:

Se da cuando uno de los prismas est contenido parcialmente en el otro.Cuando un prisma muerde al otro, la traza de interseccin esta formada de un solo polgono.Se empieza a numerar por aquel punto (interseccin de una cara y arista de ambos poliedros, respectivamente), donde se encuentre una sola interseccin y se continua como se muestra en la figura, en sentido horario o antihorario; enumerando los puntos de interseccin de las caras visibles del otro prisma y retornando enumerando los de las cara no visibles

Figura (1)Figura (2)Cuando una de las aristas de uno de los poliedros es tangente a la arista del otro poliedro; en este caso la traza que se revela en la interseccin, podemos considerarlo como dos poligonales con un punto comn como se puede observar en la figura (2).b) Por Penetracin:

Se da cuando una de las superficies polidricas se halla introducida completamente en la otra superficie polidrica.Los siguientes ejemplos nos muestran dos situaciones de penetracin: en el primer caso el poliedro es de aristas horizontales y en el segundo caso, es de aristas verticales.La numeracin se podr realizar teniendo en cuenta que la traza de interseccin, son dos poligonales independientes entre s.

Doble punto :

Se dice que la interseccin tiene un doble punto , cuando las curvas de entrada y salida tienen un punto en comn .Se le denomina tambin interseccin con curvas cruzadas. Dos puntos dobles :

Es una situacin especial del doble punto. En el caso de los cilindros, se producen dos puntos dobles cuando sus dimetros son iguales.

Poliedro que penetra de aristas horizontalesPoliedro que penetra de aristas verticalesCuando dos prismas tienen tangentes mutuamente dos aristas, entonces la traza de interseccin ofrece dos poligonales con 2 puntos comunes.

MTODOS PARA DETERMINAR INTERSECCIONES DE SLIDOSEntre los principales mtodos empleados para determinar las intersecciones de los slidos , se tienen los siguientes:

VISTAS AUXILIARESSe emplean en el caso de prismas o cilindros y consiste en tomar una vista auxiliar que muestre a las aristas o generatrices de punta.b) INTERSECCIONES DE RECTAS Y PLANOSConsiste en intersectar las aristas o generatrices de uno de los slidos con las caras o superficies el otro.

c) PLANOS CORTANTES Consiste en trazar una serie de planos cortantes, los cuales determinan rectas o curvas sobre los slidos. Intersectando estas lneas tendremos puntos pertenecientes a la curva de interseccin de los slidos.

ESFERAS CORTANTESSon usados en lugar de los planos cortantes, en el caso de tenerse superficies de revolucin cuyos ejes se intersecan. El centro delas esferas estar en el punto de interseccin y cortar a los slidos determinando circunferencias.

CILINDROS CORTANTESSe aplican para intersectar cilindros o prismas con slidos de revolucin. Los cilindros tomados tendrn sus bases en una circunferencia directriz de la superficie de revolucin y su eje ser paralelo al eje del cilindro o prisma dado. As contar al slido de revolucin en circunferencias y al cilindro o prisma dado. As contar al slido de revolucin en circunferencias y al cilindro o prsma en lneas rectas 4. INTERSECCIN DE DOS PRISMASMtodo de Rectas como punto

Dadas las proyecciones H y F de dos prismas para hallar la traza de interseccin entre ellos por este mtodo, seguimos el siguiente proceso:

Proyectamos en un plano adyacente una nueva vista de los slidos dados donde el otro prisma se proyectar con las aristas como punto

HFH1

- Se proyecta tambin el otro prisma en el plano auxiliar.HFH12. Identificado el tipo de interseccin, se enumeran los vrtices y luego se procede a hallar los puntos de interseccin de las aristas que se proyectan como puntos con las caras del otro poliedro.Algunos de estos puntos como: 1,2,5,7,9,11 se puede identificar por simple inspeccin.

HFH1

3. Observando su cota, apartamiento o alejamiento (en este caso, su apartamiento) de uno respecto del otro se puede determinar su ubicacin al hallar la interseccin entre las lneas de referencia que les corresponde a cada uno.HFH14. Finalmente se ubican todos los puntos de interseccin, se realiza el definitivo anlisis de visibilidad con ayuda de las aristas que son visibles y no visibles de ambos poliedros.

HFH1b. Mtodo de Planos Cortantes Dadas las proyecciones H y F de dos prismas para hallar la traza de interseccin entre ellos por este mtodo, seguimos el siguiente proceso:

1.- Se enumera segn el tipo de interseccin que exista, luego se ubicara las proyecciones de los que solo requieren de simple inspeccin, en este caso: 1,3,6,7.

2. Luego se trazaran planos cortantes (en este casi, planos cortantes verticales) que determinan la posicin de los puntos restantes.

3. Finalmente se unirn los puntos encontrados en el plano F para as determinar la traza de interseccin adems de hacer el respectivo anlisis de visibilidad.

EJERCICIO 12.112.1 Determine la interseccin y visibilidad entre los prismas dados.

Se completa con trazo fino los slidos y se enumera los puntos de interseccin, observamos que se trata de una interseccin por mordedura

En sentido horario.Enumeramos en sentido anti horario.Los vrtices deben enumerarse dos veces por teora.

Los puntos 1, 3, 11, 9, 5 y 7 los ubicamos en las aristas respectivas del prisma frontal por simple inspeccin.

Para determinar los otros puntos recurrimos al artificio de realizar planos cortantes I, II y III.

Para ubicar los puntos 2,12 en la arista TT o su prolongacin se recurre al PCI, el que corta al plano BBCC segn 22 y el plano DDCC segn 12-12.Realizamos el mismo proceso para ubicar 6, 8, 10 y 4.

Se proyectan los puntos en la vista frontal .

Luego, en el plano frontal se proyecta cada punto sobre su arista respectiva.

Obtenido todos los puntos de interseccin unimos estos puntos mediante semirectas y se determina X, Y y Z.

Se proyecta dichos puntos en el plano horizontal y se unen para determinar la seccin.

Analizando la visibilidad de las caras y de las aristas de los poliedros dados se determina la solucin final.