UNIVERSIDADESTATALADISTANCIA VICERRECTORAACADMICA DIRECCINDEEXTENSIN TCNICOUNIVERSITARIOENCOMPUTACINEINFORMTICA

GUADEESTUDIO MATEMTICAPARAINFORMTICAI CDIGO50287 Elaboradapor VIRGINIARAMREZCASCANTE 1

Produccinacadmicayasesorapedaggica: AnaMaraSandovalPoveda Encargadadectedra: GrettelMenaAraya Correccindeestilo:

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Presentacin ElcursodeMatemticaparaInformticaItienecomopropsitogeneral: Introducir el uso de la lgica matemtica proposicional como instrumentoadecuadoparalaformalizacinderazonamiento,en eldesarrollodedestrezasparlaresolucindeproblemas. Estaguadeestudioesunaayudaparalograrelxitoenelcursocorrespondiente. Se basa en dos libros de texto, el primero se llama Matemtica Discreta para Informticos. Ejercicios resueltos y fue escrito por Rafael Caballero, Teresa Hortal, Narciso Mart, Susana Nieva, Antonio Pareja y Mario Rodrguez. El otro texto se llama Lgica Matemtica para Informticos. Ejercicios resueltos y fue escrito por HortalG.Teresa,MartO.Narciso,PalominoT.Miguel,RodrguezA.Mario,Del VadoV.Rafael,deestetextoseutilizarnicamenteelcaptulo8,correspondiente alClculolgicoconTableaux. En esta gua de estudio se aclararn aspectos como definiciones, conceptos, ejercicios y simbologa, para estimular su proceso de enseanza y aprendizaje y paraquelesirvadeapoyosignificativoduranteeldesarrollodelcurso.Recuerde que este es un curso tericoprctico, por lo cual usted es el responsable de la construccindelconocimiento,paraellodeberealizartodoslostrabajosasignados con las orientaciones que se le indiquen, tanto en este documento como en las sesionesdetrabajo. Estaguadeestudiosedivideenlossiguientesapartados: Ayudasparafacilitarelusodelostextosydelaguadeestudio:incluyeun cuadrocontodalasimbologaysusignificado. Objetivos del curso: incluye el objetivo general y los objetivos especficos paralograrunaprendizajesignificativoyconcluirconxitoelcurso. Estructura de la gua de estudio: incluye una distribucin por tutoras, siguiendolapresentacinpropuestadeloslibrosdetexto. Distribucindetemasportutoras:incluyeeldesarrollodeloscaptulosque sedebencubrirencadaunadelastutoras. 3

Contenido Presentacin........................................................................................................................3 I. Ayudasparafacilitarelusodelostextosydelaguadeestudio.........................7 II. Objetivosdelcurso .....................................................................................................14 III.Estructuradelaguadeestudio..............................................................................15 IV.Distribucindetemasportutoras .........................................................................16 V. Tutoras .......................................................................................................................19 PRIMERATUTORA.........................................................................................................19 Instrucciones.........................................................................................................19 Conceptosclave ...................................................................................................19 Sugerenciasparaelaprendizaje ........................................................................20 Elconjuntodelosnmerosnaturales...............................................................20 Principiodeinduccinsimple ...........................................................................21 Ejerciciospropuestos.....................................................................................22 Principiodeinduccincompleta.......................................................................24 Ejerciciospropuestos.....................................................................................25 Definicionesrecursivas .......................................................................................26 Ejerciciospropuestos.....................................................................................27 Lanotacindelsumatorioyproductorio ........................................................30 Ejerciciospropuestos.....................................................................................31 Principiodeinduccinconunoovarioscasosbasepara IN m yelprincipiodeinduccinenlaprctica ........................................................34 Captulo8dellibrodetextoLgicaMatemticaparaInformticos..................35 Seccin8.1Anlisissemnticodefrmulas ..............................................35 SEGUNDATUTORA ......................................................................................................37 Instrucciones.........................................................................................................37 Conceptosclave ...................................................................................................37 Sugerenciasparaelaprendizaje ........................................................................38 Mltiplosydivisores.Divisinentera .............................................................38 Ejerciciospropuestos.....................................................................................38 Sistemasdenumeracin .....................................................................................39 Ejerciciospropuestos.....................................................................................40 Mximocomndivisorymnimocomnmltiplo .......................................41

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AlgoritmodeEuclidesyTeoremadeBzout ..................................................42 Ejerciciospropuestos.....................................................................................43 Nmerosprimos ..................................................................................................44 Ejerciciospropuestos.....................................................................................46 Congruenciasyaritmticamodular .................................................................47 Ejerciciospropuestos.....................................................................................48 Captulo8dellibrodetextoLgicaMatemticaparaInformticos..................49 Seccin8.2Reglasdeconstruccindetableaux.Heursticas ...................49 TERCERATUTORA.........................................................................................................51 Instrucciones.........................................................................................................51 Conceptosclave ...................................................................................................51 Sugerenciasparaelaprendizaje ........................................................................52 Conjuntosyoperacionesconconjuntos ...........................................................52 LeyesalgebraicasdeBoole .................................................................................55 Funciones.Operacionesypropiedades............................................................55 Sucesionesypalabrassobreunalfabeto ..........................................................57 Cardinalesyconjuntosfinitos ...........................................................................57 Ejerciciospropuestos.....................................................................................57 Captulo8dellibrodetextoLgicaMatemticaparaInformticos..................58 Seccin8.3Propiedadesfundamentalesdelostableaux ..........................58 CUARTATUTORA.........................................................................................................59 Instrucciones.........................................................................................................59 Conceptosclave ...................................................................................................59 Sugerenciasparaelaprendizaje ........................................................................60 Relaciones .............................................................................................................60 Relacionesdeequivalencia.................................................................................60 Relacionesdeorden.............................................................................................61 RetculosylgebradeBoole ..............................................................................61 Ejerciciospropuestos.....................................................................................62 Captulo8dellibrodetextoLgicaMatemticaparaInformticos..................62 Secciones8.4y8.5Preguntasdetestresueltas yejerciciosresueltos,respectivamente .......................................................62 VI.Referencias..................................................................................................................63 5

ndicedecuadros Cuadro1.Simbologa........................................................................................................7 Cuadro2.Ejemplosdelafuncinsucesor ...................................................................20 Cuadro3.Antecesoresysucesoresdenmerosnaturales........................................21 Cuadro4.Categorasdefrmulas.................................................................................35 Cuadro5.Reglasparalaigualdad ................................................................................35 Cuadro6.CribadeEratstenes .....................................................................................45 Cuadro7.Reglasparaloscuantificadoresyparalaigualdad..................................49 Cuadro8.Tabladepertenenciadelaunindeconjuntos ........................................54 Cuadro9.Tabladepertenenciadelainterseccindeconjuntos..............................54 Cuadro10.Tabladepertenenciadeladiferenciadeconjuntos ...............................54 Cuadro11.Propiedadesdelauninydelainterseccin..........................................55 Cuadro12.Propiedadesentrelauninylainterseccin ..........................................55

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I.

Ayudasparafacilitarelusodelostextos ydelaguadeestudio

Con el fin de facilitar la lectura de este documento y hacerlo ms amigable, se incluye un cuadro con la simbologa necesaria para el estudio y aprendizaje adecuadodelostemas;estoconelfindecomprenderydesarrollardeunamanera msgillamateriadelcurso. Cuadro1.Simbologa SMBOLO SIGNIFICADO Conjuntodelosnmerosnaturales

IN f : A Bf (a) = b

f esunafuncindeAaBLafuncin f hacecorresponderaun elementoadeA,elelementobdeB Funcinsucesor,leasignaacadanmero naturalnelquelesigue,esdecir n + 1 SubconjuntodeINqueresultadegenerar nmerosnaturalesmediantelafuncin sucesor,peronoapartirde0sinodeun cierto m 0 Talque Pertenece Nopertenece

s : IN IN

IN m

/

Sumatoria Productorio Restodeladivisinenteradenpor2

nmod2

7

ndiv2

Cocientedeladivisinenteradenpor2 Factorialden Indicaqueseutilizaunabasedistintaala basedenumeracin10 Paratodo Elensimotrminodelasucesinde Fibonacci besdivisordea bnoesdivisordea aesmltiplodeb Clculodecapartirdeayb Clculoderapartirdeayb Clculodecyrapartirdeayb Conjuntodelosnmerosenteros Pertenece,nopertenece,subconjunto,noes subconjunto Cocientedeladivisinenteracon a Z, b Z, b < 0 Restococientedeladivisinenteracon a Z, b Z, b < 0 Representacindeaenbaseb Mximocomndivisordeayb Mnimocomnmltiplodeayb

n !modn

f n = fib ( n ) b/a

ba / aesb

c = adivb r = a mod b

(c , r ) = adiv mod b Z

,, ,

adivb = ( a ) div ( b ) a mod b = ( a ) mod ( b ) a = (d n d n-1 ...d 1 d 0 )b

d = mcd (a , b) m = mcm(a , b)

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e e x = p1 1 p2 2

e ... pn n

Descomposicindexcomoproductode factoresprimos Dosenterosaybsoncongruentesmdulo m Clasedecongruenciadeamdulom Conjuntocociente Conjuntouniversal Conjuntovaco UnindedosconjuntosAyB InterseccindedosconjuntosAyB DiferenciadedosconjuntosAyB ComplementariodeunconjuntoA DiferenciasimtricadedosconjuntosAyB Parordenadox,y

a m b a m = {b Z / a m b} = {a + k m / k Z} Z / oZ /(m) mU

A B = {x / x A ox B} A B = {x / x A yx B} A\B = x / x A yx B U\A

{

}

A B = ( A\ B) ( B\ A )

(x, y ) A B =C

{( x, y ) / x A, y B}

ProductocartesianodedosconjuntosAyB Familiadeconjuntos Unindeunafamiliadeconjuntos Interseccindeunafamiliadeconjuntos PotenciadeunconjuntoAoconjuntode laspartesdeA

C = {x / x S paraalgnS C} C = {x / x S paratodoS C}

P ( A ) = {S / S A}

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dom ( f ) = x A / f ( x ) estdefinido ran ( f ) = f ( x ) B / x dom ( f ) id A ( x) = x

{

}

Dominiodelafuncinf

{

}

Rangodelafuncinf FuncinidentidadsobreunconjuntoA LarestriccindeunafuncinparcialfdeA enBaunsubconjunto C A Composicindedosfuncionesparcialesf deAenBygdeBenC Funcininversa

( f / C )( x ) = f ( x ) ,paratodox C dom ( f )

f

g

f 1

f ( S ) = f ( x ) B / x dom ( f ) S f 1 (T ) = x dom ( f ) / f ( x ) T f : A B s : IN C

{

}

Imagendeunconjunto S A mediante lasfuncinf Imageninversadeunconjunto T B mediantelasfuncinf FuncinparcialdeAenB SucesionesdeelementosdeC Imagendeipors n = 0,..., n 1 Sucesionesfinitas Alfabeto,conjuntodetodaslassucesiones finitasdeelementosde AI detodaslas longitudesposibles Palabras,elementosde AI Funcinpalabravaca

{

}

s i os(i ) n

{

}

s: n C

AIoAI

*

u

:0 A

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AI + = AI * \{ } A R A B xRy

Conjuntodetodaslaspalabrasnovacas sobreelalfabetoAI CardinaldeA RelacinbinariaentredosconjuntosAyB xestrelacionadoconymediantela relacinR DominiodeR RangodeR

dom ( R ) = {x A / xRy paraalgny B} dom ( R ) = {x A / xRy paraalgny B} idA =

{( x, x ) / x A}

RelacinidentidadsobreA Relacinunin Relacininterseccin Relacincomplemento Relacininversa

R S R S

( A B) \ R R1 =

{( y , x ) / ( x, y ) R}

( x , z ) / existey talque R S= ( x , y ) R, ( y , z ) S R A B, S B C

ComposicinoproductodeRyS

R An x = { y A / x~y}

RrelacinnariasobreA Clasedeequivalenciadex ConjuntococientedeAconrespectoala relacindeequivalencia~ Conjuntoordenado

A /~ = x / x A

{

}

( A, )

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Sup ( S ) = {x A / x escotasuperiordeS} Conjuntodelascotassuperiores S = mnSup(S) Inf ( S ) = {x A / x esunacotainferiordeS}SupremodeS Conjuntodelascotasinferiores nfimodeS Retculos Elementomnimoyelementomximo Smbolosdeproposicin Smboloslgicos,falsedadycerteza respectivamente Smboloslgicos,conectivaunaria, negacin Smboloslgicos,conectivasbinarias, conjuncin,disyuncin,condicionalo implicacin,bicondicionalobiimplicacin

S = mxInf (S) , ,

,T

, , ,

AI

= { , T , , , , , }

{( )}

Alfabetodesmbolosprimitivos Representacualquieradelasconectivas binarias Frmulasdelgicaproposicional,frmulas atmicas Conjuntodetodaslasfrmulas proposicionalesconsignatura Representanfrmulas Frmulascondicionalesantecedentey

( At )

L Letrasgriegas 1y2

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consecuenterespectivamente Frmulasuniversales Frmulasdeparticularizacindeparat Frmulasexistenciales Ejemplode Testigo Reglasparaloscuantificadores Reglasparalaigualdad,reflexividad, simetra,transitividad,sustitucin respectivamente Pruebalainsatisfactibilidadde Pruebaporrefutacin

(t)

(c) c

(R )y(R )

(RRF ), (RSM ), (RTR ), (RST ) T

0 { } Fuente:materialelaboradoporlaautora.

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II. Objetivosdelcurso Objetivogeneral Introducir el uso de la lgica matemtica proposicional como instrumento adecuado para la formalizacin de razonamiento, en el desarrollo de destrezasparalaresolucindeproblemas. Objetivosespecficos 1) Analizar los fundamentos lgicos desde el concepto de Matemticas discretasysuscomponenteshastalascaractersticasbsicasdelaaplicacin yformulacindelalgicaproposicional. 2) Aplicar la sintaxis y la semntica de la lgica proposicional tomando en cuentalosprincipiosdedesarrollo. 3) Analizar los conceptos bsicos de los sistemas numricos, mediante la expresindesmbolos. 4) Reconocer las generalidades de los conjuntos y las leyes algebraicas de Booleysucorrelacinconlasfrmulasproposicionales.

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III. Estructuradelaguadeestudio Esta gua de estudio se ha estructurado de forma que sea una ayuda para un aprendizaje significativo, por lo que la distribucin es por tutoras y se sigue la presentacin propuesta en los libros de texto. Adems, debe realizar todos los ejerciciossugeridosparatutora,conelobjetivodereafirmarloaprendido. Laprimeratutorasededicaalestudiodelcaptulo1Induccinyrecursindel librodetexto MatemticaDiscretaparaInformticosydelaseccin8.1delcaptulo8 del libro Lgica Matemtica para Informticos; esta seccin corresponde al Anlisis semnticodefrmulas. Enlasegundatutoraseestudiaelcaptulo2dedicadoalaTeoradeNmeros del libro de texto Matemtica Discreta para Informticos y de la seccin 8.2 del captulo 8 del libro Lgica Matemtica para Informticos denominado Reglas de construccindetableaux.Heursticas. Enlaterceratutoraseestudiaelcaptulo3:Conjuntosyfuncionesdellibrode texto Matemtica Discreta para Informticos y la seccin 8.3 del captulo 8 del libro Lgica Matemtica para Informticos denominado Propiedades fundamentales de lostableaux. En la cuarta y ltima tutora se estudia el captulo 4: Relaciones y rdenes del libro de texto Matemtica Discreta para Informticos y se agregan algunos datos acercadelosejerciciosdelcaptulo8dellibroLgicaMatemticaparaInformticos. El siguiente esquema le presenta una gua de la distribucin de captulos y seccionesparacadatutora. Para cada tutora se le sugieren algunos ejercicios. Debe desarrollarlos y luego verificarsusolucinconlaquepresentanlostextosrecomendados.

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IV. Distribucindetemasportutora Comoseindicenlaorganizacindelaguadeestudio,setrabajarcondoslibros detexto;paraunaubicacinmssencilladelostemas,seleadjuntaelsiguiente esquemadedistribucindetemas.

Esquema1.Lecturasaestudiarparacadatutora.

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A continuacin se presenta la organizacin por tutora, se incluye el nmero de pginaenqueencontrarcadaseccin. PRIMERATUTORA CAPTULO1. INDUCCINYRECURSIN 1.1. Elconjuntodelosnmerosnaturales 1 1.2. Principiodeinduccinsimple 2 1.3. Principiodeinduccincompleta 2 1.4. Definicionesrecursivas 2 1.5. Lanotacindelsumatorioydelproductorio 3 1.6. Principiodeinduccinconunoovarioscasosbasepara IN m 4 1.7 Elprincipiodeinduccinenlaprctica 1.8. Preguntasdetestresueltas 1.9. Ejerciciosresueltos CAPTULO8. CLCULOLGICOCONTABLEAUX 8.1 Anlisissemnticodefrmulas Esquemaresumen Glosario SEGUNDATUTORA CAPTULO2. TEORADENMEROS 2.1. Mltiplosydivisores.Divisinentera 2.2. Sistemasdenumeracin 2.3. Mximocomndivisorymnimocomnmltiplo 2.4. AlgoritmodeEuclidesyteoremadeBzout 2.5 Nmerosprimos 2.6. Congruenciasyaritmticamodular 2.7. Preguntasdetestresueltas 2.8. Ejerciciosresueltos CAPTULO8. CLCULOLGICOCONTABLEAUX 8.2. Reglasdeconstruccindetableaux.Heursticas Esquemaresumen Glosario 4 5 9

293

55 55 56 57 58 58 59 67

294

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TERCERATUTORA CAPTULO3. CONJUNTOSYFUNCIONES 3.1. Conjuntosyoperacionesentreconjuntos 3.2. LeyesalgebraicasdeBoole 3.3. Funciones.Operacionesypropiedades 3.4. Sucesionesypalabrassobreunalfabeto 3.5. Cardinalesyconjuntosfinitos 3.6. Preguntasdetestresueltas 3.7. Ejerciciosresueltos CAPTULO8. CLCULOLGICOCONTABLEAUX 8.3. Propiedadesfundamentalesdelostableaux Esquemaresumen Glosario CUARTATUTORA CAPTULO4. REALCIONESYRDENES 4.1. Relaciones 4.2. Relacionesdeequivalencia 4.3. Relacionesdeorden 4.4. RetculosylgebrasdeBoole 4.5. Preguntasdetestresueltas 4.6. Ejerciciosresueltos Esquemaresumen Glosario CAPTULO8. CLCULOLGICOCONTABLEAUX 8.4. Preguntasdetestresueltas 8.5. Ejerciciosresueltos

101 102 103 104 104 105 111

295

163 164 165 167 168 174

295 298

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CUARTATUTORA

Instrucciones Debeestudiar: Elcaptulo4,pginasdela163ala228dellibrodetextoMatemticaDiscreta paraInformticos. Las secciones 8.4 y 8.5 del captulo 8, pgina 295 y 298 del libro de texto LgicaMatemticaparaInformticos. Adems debe resolver los ejercicios propuestos y verificar sus soluciones con las quesedanenloslibrosdetextocorrespondientes. Conceptosclaves Relaciones Relacionesdeequivalencia Relacionesdeorden RetculosylgebrasdeBoole

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Sugerenciasparaelaprendizaje En esta tutora se desarrollan los conceptos sobre relaciones y retculos. Los ejercicioscorrespondientesaestatutoraseresuelvenconsiderandotodalamateria que se estudia en el tema, razn por la cual se hace primero un resumen de la teorayporltimoserecomiendanlosejercicios,siguiendoelordendeltexto. Relaciones Relacinbinaria SellamarelacinbinariaentredosconjuntosAyBacualquierconjuntoRdepares ordenadostalque R A B . Propiedadesdelasrelacionesbinarias Acontinuacinsedefinenalgunasrelacionesbinarias: Reflexiva:unarelacinbinariaesreflexivacuando x A secumplexRx.

Antireflexiva:unarelacinbinariaesantireflexivacuandoningn x A cumplexRx . Simtrica:unarelacinbinariaessimtricacuando x , y A secumplesixRy yRx. Antisimtrica:unarelacinbinariaesantisimtricacuando x , y A secumplesixRy eyRz x = y. Transitiva:unarelacinbinariaestransitivacuando x , y , z A secumplesixRy eyRz xRz. Conexa:unarelacinbinariaesconexacuando x , y A , x y secumplexRy yRx.

Relacionesdeequivalencia Una relacin de equivalencia es una relacin binaria R sobre un conjunto A que cumpleserreflexiva,simtricaytransitiva.Larelacindeequivalenciasedenota

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conelsmbolo~.Acontinuacinsetratanalgunosconceptosquedebemanejarcon estasrelaciones. Clasedeequivalencia Se define la clase de equivalencia de x como el subconjunto x = {y A talquex y} . Conjuntocociente Elconjuntocociente A / deAconrespectoalarelacindeequivalencia~sobreA eslafamiliadesubconjuntosde Aformadaportodaslasclasesdeequivalenciade ~.Esdecir A / = x talquex A .

{

}

Relacionesdeorden Unarelacindeordenesunarelacinbinaria Rsobreunconjunto Aquecumpla ser reflexiva, antisimtrica y transitiva. Algunos conceptos adicionales que debe utilizarsedetallanacontinuacin. Relacindeordentotal Una relacin de orden total es una relacin binaria R sobre un conjunto A que cumplaserreflexiva,antisimtrica,transitivayconexa. Conjuntoordenado Unconjuntoordenadoesunparordenado ( A , ) formadoporunconjuntoAyun orden definidosobreA.

RetculosylgebradeBoole Un retculo es un conjunto ordenado

( A, )

que

cumple

que

x , y A existentantoelsupremo {x , y} como el nfimo {x , y} . Se denotanx y y x y ,respectivamente.

Recuerdeque: Unelemento x A eselsupremodeSsieselmnimodelconjunto Sup ( S) . 61

Unelemento x A eselnfimodeSsieselmximodelconjunto Inf ( S) .

lgebradeBoole Se llama lgebra de Boole a cualquier retculo que sea distributivo y complementario.

Ejerciciospropuestos Se le recomienda realizar los ejercicios que se detallan a continuacin. stos aparecenenellibrodetextodesarrolladosenformadetallada. 4.1,4.2,4.3pgina168;4.4pgina169.Enestosejerciciossepruebanrelacionesde equivalencia. 4.5 pgina 169; 4.6, 4.7 pgina 170; 4.8 pgina 171. En estos ejercicios se usan las propiedadesantireflexiva,antisimtricaydeorden. 4.9y4.10pgina171.Enestosejerciciosseutilizaelconceptodeordentotal. 4.12pgina172;4.13pgina173.Estosejerciciosserefierenamximosymnimos. 4.14 pgina 173; 4.15 pgina 174. En estos ejercicios se utiliza el concepto de retculo. Apartirdelejercicio4.16delapgina174hastael4.89delapgina227todosse resuelvendetalladamenteenellibrocombinandolosdiferentesconceptosdeeste captulo.

Captulo8dellibrodetextoLgicaMatemticaparaInformticos Secciones 8.4 y 8.5. Preguntas de test resueltas y ejercicios resueltos respectivamente Es importante que estudie y realice con cuidado todos los ejercicios de estas secciones pginas de la 295 a la 337. Recuerde que la notacin se detalla en las pginasinicialesdeestaguadeestudio. 62

VI. Referencias Batalla,M.(2006,enero).DiagramasdeVenn.ElrincndelaCiencia,34.Extradoel 16deseptiembrede2009desde . Bianco,E.etal.(2003).MatemticaDiscreta.Versinpreliminar.Extradoel02de octubrede2009desde . Caballero, R. et al. (2007). Matemtica Discreta para Informticos. Serie Prentice Prctica.Madrid:PearsonPrenticeHall. Hortal,T. etal.(2008). LgicaMatemticaparaInformticos.SeriePrenticePrctica. Madrid:PearsonPrenticeHall.