Generación de Números y Variable aleatorias

Jorge L. Palma V.

Los números aleatorios son observaciones independientes obtenidas desde una distribución continua uniforme entre [0,1].

Los números aleatorios se ocupan para generar variables aleatorias mediante una técnica de transformación.

Propiedades : Uniformidad e Independencia.

Las variables aleatorias son observaciones independientes extraídas de una distribución específica. Estas distribuciones son escogidas (mediante ajuste) como entrada de datos para una simulación(ej: para representar tiempo entre llegada de entidades, tiempos entre

fallas, etc).

f x if x elsewhere E x

F x if x F x x x F x x

( ) ; . ( ) . ; /

( ) ; ( ) ; ( )

1 0 1 0 0 5 1 12

0 0 0 1 1 1

2

Definiciones

• Propiedades de un buen generador de números aleatórios (Law and Kelton, 1991):

1. Los números deben ser U(0,1) y no deben exhibir correlación entre ellos,

2. Deben ser rápidos de generar, con un bajo requerimiento de memoria y con largos ciclos.

3. Los números deben ser reproducibles (para verificación y validación), y

4. Deben permitir algunas independientes algunas “listas” de números aleatorios.

Generación de números Aleatorios (Variable aleatoria distribuida Uniforme(Min=0, Max=1)

Método de la Transformada Inversa

Posee 2 pasos:

• Generar uno o mas grupos de número aleatorios (distribuidos uniforme entre 1 y 0).

• Se transforma el (los) grupos de números mediante una función y genera otro grupo de números, que se distribuyen de acuerdo a distribución requerida. Ej: x = F-1(r), Donde

r = el número distribuido U(0,1)F-1 = La inversa de la función acumulada de la

distribución deseada.x = el número distribuido de acuerdo a la distribución

deseada.

Procedimientos para generar Variables aleatorias

• Método de la Transformada inversa

• Método de Aceptación / Rechazo

• Método de Composición

• Métodos que emplean propiedades especiales

Considere la distribución de probabilidades continua como la variable x, está tomada en minutos y representa el tiempo requerido para reparar una máquina en particular. La función de distribución se distribuye de la siguiente forma:

Use el método de la transformada inversa para generar variables aleatorias distribuidas de acuerdo a por esta función.

f x

x

x

x

( )

0 for 0,

.003x for 0 10,

0 for 10 .

2

)(xF

xX distribuido U(0,1)

Método de la Transformada Inversa: Un Ejemplo de Una variable aleatoria continua

Método de la Transformada Inversa: Un Ejemplo de Una variable aleatoria continua

Paso 1: Encuentrar la función acumulada de la función F(x), para la función de la variable en cuestión:

Paso 2: Encuentre la inversa de F(x).

Paso 3: Generar la secuencia de números random (independientes, identicamente distribuidos uniforme [0,1] ).

Ejemplo: ri: .21 .52 .34 .07 .92 .62

Paso 4: Sea xi = F-1(ri). La xi’s es la variable aleatória.

F(x) (X x) f(y)dy

.x

. x

x

Pr

0 0033

0 0013

3

31000300101 rx,x.rF

x1

3 1000 0 21 5 94 ( )( . ) .

Distribución Exponencial

2221

//

,__ que Notese

011)(01

)(

Tambien=

teetFteetf tttt

)ln()1ln(1

tanto,loPor

)1ln(y )1( Entonces

1)( Tenemos

rrt

rter

etFrt

t

Steps: 1. Generar ri 2. Calcular ti = -ß ln (ri)

3. Repetir las veces que sea necesario.

Otras Distribuciones

Uniforme

f tb a

a t b F tt ab a

r F tt ab a

t a b a r

( )( )

; ( )

( ) ( )

1

Let then

Weibull

/1/

/1

1ln tantoloPor ,1)(

0)(

rtretF

tettf

t

t

Comentarios acerca del método de la Transformada Inversa

• Desventajas:– La desventaja asociada a la búsqueda de la función inversa o de la función

de distribución acumulada, F-1, en algunos casos.– En no todos los casos es una aproximación muy eficiente (Ej:, otros

métodos tal vez requieren menos tiempos de cómputo)

• Ventajas:– Facilita algunas técnicas de la reducción de varianza especialmente

cuando es necesaria la sincronización de números aleatorios),– Facil para generar desde funciones truncadas,– Muy útil para generación de estadísticos de orden, Ej: Generar una

variable aleatoria al azar que sea la más pequeña de 5 otras variables al azar distribuidas de idéntica forma (aplicación: tiempo en el sistema con 5 componentes identicos en serie).