1. 1. Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 1 COMPETENCIAS BSICAS EN EL REA DE MATEMTICAS Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica. Universidad de Mlaga gmari@uma.es (documento bsico que se ha de completar con otros documentos y con las exposiciones) Indice Introduccin Los fines (Para qu la Educacin Matemtica?Qu se pretende y qu se debera conseguir?) Evaluacin diagnstica del rendimiento en matemticas: Principios y elementos (qu preparacin matemtica efectiva proporciona el Sistema Educativo?) Evaluacin PISA-OCDE 2003 Fines Instrumento Principios y elementos bsicos Alfabetizacin Matemtica Competencias Matemticas Segn Niss Ejemplos En el proyecto Pisa 2003 Ejemplos de tareas Algunos resultados Evaluacin de diagnstico Junta de Andaluca Fines y principios Competencias evaluadas Ejemplos de tareas Condiciones y medios (Qu hacer a partir de ahora?) Currculo: Diseo y orientaciones Fines: Matematizacin o proceso de hacer y aplicar Matemticas Orientaciones oficiales LOE Primaria y ESO Otras consideraciones. Organizadores. Diseo de unidades didcticas Currculo y Enseanza: Algunas notas para una aproximacin Algunas orientaciones Nuestra posicin Tipos de situaciones didcticas Competencias bsicas y avanzadas Esquema del proceso didctico Ejemplos Bibliografa Introduccin Las nuevas orientaciones educativas a nivel europeo establecen el aprendizaje por competencias como el centro de la planificacin y el desarrollo didcticos. El planteamiento no es nuevo, sino que viene siendo analizado desde hace algunos aos.
2. 2. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 2 Pero . . . Por qu hablamos del aprendizaje por competencias? . Los motivos los podemos agrupar en tres grandes categoras interrelacionadas: CAMBIOS, HECHOS Y EXIGENCIAS. CAMBIOS: Especie de revolucin cultural caracterizada por: - aumento del nivel de exigencia social que requiere un aumento del nivel de formacin; - crisis de la vigencia de los contenidos formativos rgidos y de la acumulacin de conocimientos separados / independientes; - formacin orientada a la vida y a una multiplicidad de situaciones complejas; - la necesidad de mejorar el equilibrio entre los mtodos de gestin y la evaluacin de los resultados - cambios cientficos y de orientacin de la relevancia y el inters de los temas en virtud de cambios reales - el cambio de paradigma educativo centrado ya en el alumno y menos en el docente y la escuela; HECHOS: - las nuevas orientaciones psicolgicas y pedaggicas (nuevos datos, experiencias, etc.) - la cultura de la eficacia, importada de la economa, etc.; - el xito del modelo de formacin empresarial en competencias; EXIGENCIAS: - la inflacin y complejidad del currculum que desbordan a los educadores; - la necesidad de paliar el fracaso escolar y procurar un bagaje mnimo de formacin a la totalidad de la poblacin escolar - la preocupacin de todos por la calidad de la educacin La Educacin Matemtica no es un campo aislado en el marco descrito. Como parte del complejo proceso de formacin que se vislumbra, la Educacin Matemtica presenta numerosos problemas tanto derivados de su adaptacin a las nuevas exigencias como debidos a la naturaleza del conocimiento matemtico y a las caractersticas propias de los procesos de enseanza y aprendizaje correspondientes. Tres de los problemas ms importantes de la Educacin Matemtica son: los fines (Qu ensear, porqu y para qu?; qu se quiere conseguir?), los medios (Cmo lograr los fines propuestos?) y la evaluacin (Cmo averiguar si se han alcanzado los fines propuestos y en qu grado, empleando los medios previstos y qu consecuencias se deducen de los resultados obtenidos para mejorar los planteamientos y desarrollos futuros?) La Unin Europea1 ha contemplado como eje fundamental de la poltica educativa comn, el nfasis en una educacin centrada en el aprendizaje en contraposicin a una educacin centrada en la enseanza2 , es decir, en la adquisicin de capacidades, habilidades, competencias y valores que permitan al individuo una actualizacin permanente de los conocimientos para desenvolverse con soltura en un mundo cambiante y complejo. Ello significa que es obligado prestar atencin al aprendizaje orientado al desarrollo de competencias y a la consecucin de lo que se conoce como alfabetizacin matemtica y no slo a la enseanza y aprendizaje de contenidos, a los aspectos funcionales y formativos de las matemticas y no slo, ni prioritariamente, a los aspectos instrumentales y tcnicos. Los conceptos de competencia, matematizacin y alfabetizacin matemtica, como veremos, ponen el acento en los resultados del aprendizaje, en lo que el alumno es capaz de hacer al trmino del proceso educativo y en los procedimientos que le permitirn continuar aprendiendo de forma autnoma a lo largo de su vida. Tomando como base los principios mencionados, y bajo lo que se conoce como informe PISA 2003, la OCDE ha desarrollado un proceso evaluador del rendimiento matemtico de alumnos de determinadas edades cuyos resultados en Espaa han sido ms bien modestos. Pero dicho proceso se ha realizado 1 Proyecto Scrates-Erasmus "Tuning Educational Structures in Europe" 2 Tudela y otros (2005).- Las Competencias en el Nuevo Paradigma Educativo para Europa. Vicerrectorado de Planificacin, Calidad y evaluacin. Universidad de Granada
3. 3. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 3 tomando como base unos fines y unos medios tericos para la consecucin de los mismos que no son exactamente los fines y los medios que han caracterizado los procesos educativos en matemticas en Espaa y en el resto de pases. Por tal motivo, los resultados slo se pueden interpretar de las tres formas representadas por los nmeros 1, 2 y 3 en el grfico adjunto y que se explican a continuacin: 1) en trminos de lo que podramos llamar el rendimiento relativo de cada pas, es decir, la valoracin de los resultados obtenidos en el marco de los supuestos curriculares tericos del proyecto PISA en relacin con los planteamientos curriculares reales de cada pas; 2) en trminos de la comparacin absoluta aislada de los resultados; 3) en trminos de la comparacin de los rendimientos relativos de los diferentes pases. La interpretacin 1 es la que sirve de base para realizar una revisin de los diseos y desarrollos curriculares bajo la ptica de los supuestos tericos de la OCDE. A la luz de los resultados e interpretaciones mencionadas, de otros diseos y desarrollos curriculares efectivos en Educacin Matemtica (NCTM, KOM, etc.), y en base a las exigencias del espacio europeo educativo comn, surgen recientemente nuevos diseos curriculares base para las enseanzas mnimas en Primaria y en ESO en Espaa y en las Comunidades Autnomas. Estas orientaciones se fundamentan en los principios del proyecto PISA y su desarrollo efectivo requiere de nuevas consideraciones en cuanto a los medios necesarios para alcanzar los nuevos fines que se proponen y a los criterios para evaluar la adecuacin de todo el proceso educativo. En lo que sigue se plantea una primera reflexin sobre los fines de la Educacin Matemtica, en la que se establezcan referencias para situar los nuevos planteamientos. A continuacin, de acuerdo con los fines generales establecidos y con objeto de profundizar en los aspectos que van a guiar los procesos educativos en matemticas en Europa a partir de ahora, se abordarn brevemente los principios y resultados de las evaluaciones PISA y de Diagnstico de la Junta de Andaluca. El anlisis concluye con las orientaciones curriculares del desarrollo normativo de la LOE para Primaria y ESO y algunas consideraciones para el diseo y el desarrollo curriculares en Espaa y en Andaluca. Los fines Para qu la Educacin Matemtica?Qu se pretende y qu se debera conseguir? (pas i) Fines Xi Medios Yi Relatividad e interpretacin de los procesos y resultados Espaa resto pases OCDE Resultados RE Resultados PISAi Fines XE Medios YE Evaluacin PISA 2003 Resultados Ri Evaluacin EViEvaluacin EVE Resultados PISAE Proyecto PISA 2003 Fines Xp ? 11 2 3 ?
4. 4. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 4 El problema de la determinacin de las finalidades o metas de la Educacin Matemtica, es una cuestin de especial relevancia para el diseo y el desarrollo de cualquier currculo de matemticas (Rico, L.;1997). Se trata, en nuestra opinin, de uno de los aspectos centrales de la Educacin Matemtica, estrechamente relacionado con la naturaleza del conocimiento matemtico, con las necesidades socioculturales e individuales y con las caractersticas globales del proyecto sociocultural que ha de albergar la formacin de las nuevas generaciones; en defintiva, se trata del conjunto de argumentos que justifican la enseanza misma de las matemticas y su situacin, organizacin y tratamiento dentro del Sistema Educativo. Pero los fines de la Educacin Matemtica varan sustancialmente de unos pases a otros y sufren cambios importantes a travs de la historia. Desde el punto de vista ms reciente, la Ley de Ordenacin General del Sistema Educativo en Espaa estableca las siguientes finalidades educativas generales: - El pleno desarrollo de la personalidad del alumno; - La formacin en el respeto de los derechos y libertades fundamentales y en el ejercicio de la tolerancia y de la libertad dentro de los principios democrticos de convivencia; - La adquisicin de hbitos intelectuales y tcnicas de trabajo, as como de conocimientos cientficos, tcnicos, humansticos, histricos y estticos; - La capacitacin para el ejercicio de actividades profesionales; - La formacin en el respeto de la pluralidad lingstica y cultural de Espaa; - La preparacin para participar activamente en la vida social y cultural; - La formacin para la paz, la cooperacin y la solidaridad entre los pueblos. Las Matemticas deben y pueden contribuir, junto a otras disciplinas, a la consecucin de todas y cada una de las metas generales anteriores. Pero al mismo tiempo deben contribuir a la consecucin de una formacin matemtica especfica. Tradicionalmente se han planteado numerosos interrogantes en torno a la finalidad de la Educacin Matemtica: Para qu ensear matemticas?, qu matemticas ensear en una sociedad tecnolgica?, cmo lograr un currculo flexible que atienda a las diversas necesidades de los escolares?, cmo atender a la diversidad cultural?. Sin embargo, se aprecian diferencias importantes entre los fines propuestos por diversos autores. A la pregunta Por qu se ensean matemticas?, se han dado numerosas respuestas, como la que aparece en el documento Mathematics from 5 to 16 del Department of Education and Science Britnico (1985) para la Educacin Matemtica en el periodo obligatorio: 1.- Las matemticas son un elemento esencial de comunicacin 2.- Las matemticas son una herramienta potente 3.- Hay que apreciar las relaciones internas dentro de las matemticas 4.- Las matemticas deben resultar una actividad fascinante 5.- Hay que fomentar la imaginacin, iniciativa y flexibilidad de la mente 6.- Trabajar de modo sistemtico 7.- Trabajar independientemente 8.- Trabajar cooperativamente 9.- Profundizar en el estudio de las matemticas 10.- Conseguir la confianza del alumno en sus habilidades matemticas O en estudios y propuestas como el Informe Cokcroft (1982): Meta 1: Permitir que cada alumnos desarrolle, de acuerdo con sus propias aptitudes, las destrezas y los conocimientos matemticos necesarios para su vida adulta, para el empleo y para continuar el estudio y la formacin, siendo consciente al mismo tiempo de las dificultades que algunos alumnos experimentarn. Meta 2: Proporcionar a cada alumno el tipo de matemticas que pueda necesitar para el estudio de otras materias.
5. 5. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 5 Meta 3: Ayudar a cada alumno a desarrollar en lo posible su apreciacin y disfrute de las matemticas por s mismas y su comprensin del papel que stas han desempeado y seguirn desempeando tanto en el desarrollo de la ciencia y la tecnologa como de nuestra civilizacin. Meta 4: Por encima de todo, hacer conscientes a todos los alumnos de que las matemticas les proporciona un poderoso medio de comunicacin. O el N.C.T.M. (1989), en cuyos planteamientos se empiezan a apreciar elementos que apuntan a los planteamientos actuales: Meta 1: Aprender a valorar las matemticas. Comprender su evolucin y el papel que desempean en la sociedad y en las ciencias. Meta 2. Adquirir confianza en la aptitud propia. Llegar a confiar en el pensamiento matemtico propio y poseer la capacidad de dar sentido a situaciones y resolver problemas. Meta 3. Adquirir la capacidad de resolver problemas matemticos. Esto es esencial para llegar a ser un ciudadano productivo y exige experiencia para resolver diversos problemas generalizados y no rutinarios. Meta 4. Aprender a comunicarse matemticamente. Aprender los signos, los smbolos y los trminos matemticos. Meta 5. Aprender a razonar matemticamente. Realizar conjeturas, reunir pruebas y construir argumentos matemticos. Asimismo, son de destacar los fines establecidos en documentos curriculares, tales como el Decreto de Educacin Primaria de la Junta de Andaluca (1992): "La finalidad que se le atribuye a la formacin matemtica es la de favorecer, fomentar y desarrollar en los alumnos la capacidad para explorar, formular hiptesis y razonar lgicamente, as como la facultad de usar de forma efectiva diversas estrategias y procedimientos matemticos para plantearse y resolver problemas relacionados con la vida cultural, social y laboral". Este problema central aparece tambin en los debates y reuniones de expertos, como ocurre en el caso de DAmbrosio (1979) sobre el trabajo realizado en el ICME III y la reflexin de Romberg, T. (1991) sobre las funciones de la Educacin Matemtica. Este ltimo considera dos tipos de justificaciones: funcionales y otras; las comentamos brevemente a continuacin. Las justificaciones funcionales se basan en la idea de que las matemticas satisfacen una necesidad funcional de largo alcance, es decir, son necesarias para la formacin de los sujetos en orden a cumplir diversas finalidades tanto individuales como sociales o cientficas. Las cuestiones que surgen a partir del planteamiento anterior tienen que ver con las matemticas que sern tiles en el futuro, con las que deben ser comunes a todos los individuos y las que deben corresponder a currculos diferenciados, o con las matemticas que se debieran implantar en el contexto de los diversos planes de reforma educativa. Las justificaciones no funcionales atienden, segn Romberg, a razones que tienen que ver con la belleza de las matemticas, con el desarrollo de capacidades, actitudes y destrezas de alto nivel, con la necesidad de formacin de matemticos profesionales o con la importancia de las matemticas como parte de nuestra cultura. Niss, en un trabajo ms reciente (Rico, op. cit., pg. 10), y en la misma lnea que Romberg, reconoce tambin dos tipos de argumentos en los estudios sobre fines de la Educacin Matemtica: argumentos utilitarios y argumentos de formacin general. Entre los primeros se encuentran: la formacin para desenvolverse en la vida y las necesidades tanto laborales como para el estudio de otras ciencias. Entre los segundos se pueden situar: el desarrollo de las capacidades formativas, de la personalidad y de las actitudes as como las que atienden al carcter esttico y recreativo de las matemticas. Pero no parece haber an consenso en las respuestas que hay que dar a la pregunta: Porqu enseamos matemticas? (op. cit., pg. 11). Por otra parte no est clara la correspondencia entre los fundamentos contemplados y las implicaciones curriculares que se pretenden derivar de los mismos (op. cit., pg. 10),
6. 6. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 6 ya que se aprecian disparidades e incoherencias entre las finalidades pretendidas y la puesta en prctica del currculo de matemticas; entre los fundamentos y las prcticas reales. Se pueden identificar dos categoras amplias de finalidades: socioculturales y formativas. Las finalidades socioculturales tienen que ver con la transmisin de la herencia cultural bsica de cada sociedad y con la consecucin de dos tipos de finalidades sociales: a) proporcionar al ciudadano comn las herramientas matemticas bsicas para su desempeo social; b) proporcionar cualificacin profesional adecuada para atender a las necesidades y a los retos de la sociedad actual. No en vano, el conocimiento matemtico no puede considerarse aislado del medio cultural, se conforma socialmente, es pblico y tiene lugar mediante relaciones de comunicacin entre las personas. La Matemtica y la Educacin Matemtica no pueden vivir de espaldas a la realidad sociocultural, sencillamente porque tendran que vivir de espaldas a los matemticos que hacen posible la creacin matemtica y a los alumnos que la aprenden, recrean y transmiten en el futuro, lo cual es un contrasentido. Es de destacar aqu la contribucin de las matemticas a cuestiones tan relevantes como: los fenmenos polticos, econmicos, ambientales, de infraestructuras, transportes, movimientos poblacionales; los problemas del trfico en las ciudades; la necesidad y formacin de profesionales cualificados; los suministros bsicos; el diseo de parques y jardines; la provisin de alimentos; la economa familiar o la formacin en cultura matemtica de las nuevas generaciones. Entre las finalidades socioculturales se ha de tener en cuenta tambin que el conocimiento matematico es un conocimiento auxiliar de primer orden para la mayora de las ciencias, de manera que la modelizacin matemtica permite reducir los fenmenos a dimensiones manejables. El estudio de problemas importantes actuales, como el calentamiento de la atmsfera, la globalizacin, las clulas madre, energas alternativas, los problemas de la salud, etc., necesitan de las matemticas. Por ltimo, aunque no en ltimo lugar, son importantes la difusin de los valores democrticos y de integracin social as como la realizacin y el ejercicio de la crtica y el esfuerzo por la accin comunicativa, aspectos en los que las matemticas proporcionan estilos de pensamiento adecuados. Tambin tiene especial relevancia en este punto el debate sobre las aplicaciones de las matemticas consideradas como conocimiento tecnolgico y las consecuencias ticas y sociales de las mismas. Las finalidades formativas se justifican en base a la satisfaccin de necesidades individuales. Pero la utilidad individual de la matemtica en la vida diaria es ms indirecta que directa. Quin ha tenido necesidad alguna de vez de hacer una integral, hallar las races de un polinomio de 6 grado o calcular un lmite?. Es evidente que no es una justificacin slida, por s sola. Sin embargo, quin no necesita cada da: ordenar, estructurar, establecer prioridades, axiomatizar, algoritmizar acciones, decidir estrategias, estimar, razonar, codificar y decodificar mensajes, construir comportamientos complejos, manejar varias variables simultneamente, utilizar esquemas topolgicos, etc.?. Esto s es til, pero, cmo se lo explicamos a los alumnos o a los padres?. Quizs no haya que explicrselo; simplemente que lo comprueben por ellos mismos. Est fuera de toda duda que las matemticas son una herramienta intelectual potente, cuyo dominio porporciona privilegios y ventajas intelectuales (op. cit., pg. 15); la educacin matemtica debe contemplar, por este motivo, adems de la informacin y la instruccin en habilidades y tcnicas, el desarrollo de capacidades, estructuras conceptuales y procedimientos y estrategias cognitivas, tanto particulares como generales, que conformen un pensamiento abierto, creativo, crtico, autnomo y divergente. En este sentido, las matemticas poseen unos valores formativos innegables, tales como: - La capacidad para desarrollar el pensamiento del alumno para determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva, potenciar el razonamiento y la capacidad de accin simblica, el espritu crtico, la tendencia a la exhaustividad, el inconformismo, la curiosidad, la persistencia, la incredulidad, la autonoma, la rigurosidad, la imaginacin, la creatividad, la sistematicidad, etc.
7. 7. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 7 - La utilidad para promover la expresin, elaboracin y apreciacin de patrones y regularidades, as como su combinacin para pbtener eficacia o belleza; las matemticas han de promover el uso de esquemas, representaciones grficas, y fomentar el diseo de formas artsticas y la apreciacin y creacin de belleza; - La facilidad para estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crtica, la participacin y colaboracin, la discusin y defensa de las propias ideas, y para asumir la toma conjunta de decisiones; - La potencialidad para desarrollar el trabajo cientfico y para la bsqueda, identificacin y resolucin de problemas; - La riqueza de situaciones para movilizar este tipo de conocimientos, de manera que se estimule la gratificacin por los esfuerzos intelectuales y la satisfaccin con el trabajo bien hecho. En resumen Participamos de las consideraciones generales establecidas, que resumimos desde nuestro punto de vista en tres grandes finalidades de la Educacin Matemtica: El proceso de enseanza-aprendizaje de las matemticas debe favorecer y permitir alcanzar, mediante la adquisicin de unos instrumentos, unas tcnicas y procedimientos, unas habilidades, unas actitudes, unas estrategias y un vocabulario especfico, una formacin cultural e intelectual que permita al individuo: 1.- Su adaptacin al medio, organizarlo y potencialmente transformarlo, lo que implica un conocimiento profundo del mismo y el desarrollo de capacidades relacionadas con el anlisis de la realidad, la construccin de modelos y la creacin de alternativas que mejoren la situacin individual asi como de la sociedad y la vida en ella. 2.- Adquirir un buen nivel de autonoma intelectual, lo que se traduce en que el individuo sea capaz de analizar todas las posibilidades de una situacin real o ficticia y, de entre ellas, elegir las mejores; 3.- Conocer la Matemtica como parte de la cultura universal y desenvolverse en su mundo, lo que conlleva un gusto por el trabajo matemtico y una profundizacin en los objetos y mtodos propios, siendo consciente de su situacin actual y de la evolucin sufrida a travs de la historia. La enseanza de las matemticas debe contribuir, al igual que otras disciplinas, al fin 1, es un factor importante para alcanzar el fin 2 y es fundamental para alcanzar el fin 3. Algunas precisiones finales - La determinacin de los fines depende de la naturaleza y fenomenologa del conocimiento, de su contribucin formativa, de los medios de que se disponga y de intereses y consideraciones sociales, culturales, polticas y econmicas, es decir, de lo que la sociedad establezca para el Sistema de la Educacin Matemtica a travs de sus representantes y organismos; - Los fines condicionan en buena medida el proceso, los medios, la evaluacin y los resultados; - No es suficiente con enunciar las finalidades para que se desarrollen de manera armoniosa y coordinada; - Algunas de las metas enunciadas suelen ser contradictorias en la prctica; - Los fines suelen ser sobreabundantes o excesivos y a veces utpicos; Evaluacin diagnstica del rendimiento Qu preparacin matemtica proporciona el Sistema Educativo? El concepto de evaluacin atiende a la regulacin tanto de la planificacin de la enseanza como de su desarrollo, constituyndose en pieza clave del proceso educativo; constituye la base de lo que Gimnez (1997) denomina la regulacin del proceso educativo. Desde el punto de vista general de la enseanza y aprendizaje de las matemticas, las orientaciones dadas por el NCTM (1991) distinguen cinco propsitos en la accin de evaluar: 1) Propsito de diagnstico: qu entiende el alumno, qu le es difcil, etc.
8. 8. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 8 2) Retroalimentacin docente: qu saben los alumnos de lo expuesto, qu ritmo llevar, etc. 3) Calificacin: puede aplicar lo aprendido, puede pasar de nivel, etc. 4) Logros matemticos generales: capacidad matemtica general en relacin con otros. 5) Valoracin del programa: es eficaz el programa?. y las siguientes competencias matemticas3 a evaluar: a) Potencia matemtica La potencia matemtica engloba todos los aspectos del conocimiento matemtico, su inter- conexin y su aplicacin. - capacidad para aplicar lo que saben a la resolucin de problemas. - capacidad de utilizar el lenguaje matemtico para expresarse - capacidad de razonamiento y anlisis - comprensin de la naturaleza de las matemticas b) Resolucin de problemas - formular problemas - aplicar diversas estrategias para resolver problemas - resolver problemas - comprobar e interpretar resultados - generalizar soluciones c) Comunicacin - expresar ideas matemticas hablando, escribiendo, demostrndolas y representndolas; - entender, interpretar y juzgar ideas matemticas presentndolas de forma escrita oral o visual; - utilizar vocabulario matemtico, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones y modelar situaciones. d) Razonamiento - utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas; - utilizar el razonamiento proporcional y espacial - utilizar el razonamiento deductivo - analizar situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes - reconocer la naturaleza axiomtica de las matemticas e) Conceptos matemticos - dar nombre, verbalizar y definir conceptos; - identificar y generar ejemplos vlidos y no validos; - utilizar modelos, diagramas y smbolos para representar conceptos; - pasar de un modo de representacin a otro; - reconocer los diversos significados e interpretaciones de los conceptos - identificar propiedades de un concepto determinado - comparar y contrastar conceptos f) Procedimientos matemticos - reconocer cuando es adecuado un procedimiento - explicar las razones para los distintos pasos de un procedimiento - llevar a cabo un procedimiento de forma fiable y eficaz - verificar el resultado de un procedimiento - reconocer procedimientos incorrectos - generar procedimientos nuevos g) Actitud matemtica - confianza en el uso de la matemtica 3 El trmino no tiene aqu el mismo significado que se est utilizando en la actualidad, pero se puede decir que estos planteamientos han constitudo el grmen para los principios y fines que se estn tratando aqu.
9. 9. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 9 - inters, curiosidad e inventiva al hacer matemticas - valorar la aplicacin matemtica en la experiencia diaria. Pero en la reflexin que se presenta nos interesa particularmente la evaluacin de diagnstico con propsitos de averiguar si un proceso educativo en matemticas prepara realmente a los alumnos para la adquisicin de unas capacidades y competencias que se desea que constituyan los elementos clave que guen en el futuro la formacin matemtica de las nuevas generaciones. De los resultados se seguirn recomendaciones y modificaciones curriculares en el sentido de introducir tales elementos bsicos como principales organizadores de un nuevo currculo que ser implementado en todos los paises de la Unin Europea. En Andaluca se han desarrollado recientemente dos evaluaciones del tipo mencionado: la evaluacin del proyecto PISA 2003 y la evaluacin de diagnstico de la Junta de Andaluca. Evaluacin PISA-OCDE 2003 Los nuevos objetivos de la educacin europea tuvieron sus inicios en el proyecto Scrates-Erasmus, conocido como proyecto Tunning, en el que se adoptaba la adquisicin de competencias como eje central de los nuevos diseos y desarrollos curriculares. En consonancia con esta iniciativa, surgi en el seno de la OCDE el Programa Internacional de Evaluacin de Estudiantes (Programme for International Student Assessment, PISA). El Programa para la Evaluacin Internacional de los Alumnos PISA, es un estudio de evaluacin internacional del rendimiento de los alumnos de 15 aos, realizado a iniciativa y bajo la coordinacin de la Organizacin para la Cooperacin y Desarrollo Econmico (OCDE). Las materias evaluadas son: Matemticas, Lectura, Ciencias y Solucin de problemas. PISA evala el conocimiento y las destrezas de los alumnos de 15 aos. El objetivo general es conocer como estn preparados los alumnos de esa edad para afrontar los retos de la vida adulta en un contexto de vida cotidiana. PISA no es una evaluacin curricular en la que se evala lo que se les ha enseado a los alumnos en la escuela. Es una evaluacin de los conocimientos y destrezas esperables en un alumno prximo a terminar su escolaridad obligatoria y a punto de incorporarse al mercado laboral o de proseguir estudios no obligatorios. El carcter no curricular de PISA facilita que los resultados entre pases sean comparables, con independencia de los distintos modos de organizar las enseanzas en cada pas. Los estudios PISA se repiten cada tres aos. En cada uno de ellos se profundiza especialmente en una de las materias. En el primer estudio, realizado en el ao 2000, se profundiz en Lectura; participaron 32 pases. En el segundo, realizado en 2003, se ha profundizado en Matemticas y en l han participado 41 pases. El tercer estudio se he llevado a cabo en 2006 y la materia principal ha sido Ciencias; han participado ms de cincuenta pases. En cada uno de los estudios, adems de las pruebas de conocimientos y competencias sobre las materias sealadas, tambin se recoge informacin sobre el origen social, el contexto de aprendizaje y la organizacin de la enseanza a travs de cuestionarios dirigidos a los propios alumnos y a los directores de sus centros, con el fin de identificar los factores asociados a los resultados educativos.caracterizado por los siguientes elementos: Fines de la evaluacin
10. 10. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 10 1) concretar y someter a prueba los principios y elementos bsicos del espacio europeo de Educacin; 2) averiguar en qu medida los jvenes de l5 aos: o estn preparados al finalizar la escolaridad obligatoria para utilizar lo que han aprendido en situaciones cotidianas, desempear un papel activo en la sociedad del siglo XXI y satisfacer los desafios que dicha sociedad les plantea4 o dominan las herramientas matemticas, usan y se implican con las Matemticas y tienen un buen nivel de Alfabetizacin Matemtica (Mathematical Literacy) en trminos de capacidades relacionadas con las matemticas y sus aplicaciones para enfrentarse con problemas cotidianos. Instrumento Una EVALUACIN DIAGNSTICA del rendimiento acumulado de los estudiantes, en trminos de capacidades para utilizar y hacer matemticas en situaciones reales, es decir, para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemticos en una variedad de dominios y situaciones. Todo ello significa, no slo utilizar las matemticas y resolver problemas matemticos sino tambin, comunicar, relacionarse con las matemticas, valorar e incluso apreciar y disfrutar con ellas. La evaluacin se ha basado en unos principios y elementos bsicos que son: - el concepto de alfabetizacin matemtica - el concepto de competencia matemtica - el concepto de matematizacin y se han tenido en cuenta: 1.- Las situaciones y contextos, en la medida en que en el proceso de hacer matemticas (matematizacin) siempre se hace referencia a alguna parcela de la experiencia o de la realidad, incluso aunque esta sea virtual. 2.- Los contenidos matemticos, tanto desde el punto de vista de la disciplina (aritmtica, geometra, lgebra, etc.) como desde el punto de vista de los fenmenos reales (cantidad espacio y forma, cambios y relaciones, incertidumbre). 3.- Las competencias necesarias para desarrollar con soltura los procesos de matematizacin (aunque las competencias en s no son variables de tarea sino de sujeto). Principios y elementos bsicos Alfabetizacin Matemtica Se conoce como alfabetizacin matemtica o mathematical literacy a: La capacidad individual para identificar y entender el papel que las matemticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemticas en aqullos momentos en que se presenten necesidades en la vida de cada individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo (OCDE, 2003). La alfabetizacin matemtica . . se refiere a las capacidades de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente, cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemticos en una variedad 4 Rico, L. (2003): Investigacin en el aula de matemticas. La evaluacin
11. 11. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 11 de dominios y situaciones . . (Rico, 2004)5 y es considerada por unanimidad como un elemento muy importante a tener en cuenta para el desarrollo individual, social y cientfico de cualquier pas. La alfabetizacin matemtica supone: - atreverse a pensar con ideas matemticas; - utilizar lo aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana; - que dicha utilizacin sea espontnea y con plena conciencia de su importancia y necesidad y de la evidencia de su utilidad, es decir, que sea incorporada plenamente al conjunto de instrumentos y capacidades que el sujeto utiliza en sus relaciones cotidianas con su entorno; Formacin para una alfabetizacin matemtica Una formacin matemtica adecuada y completa debe abarcar todos los aspectos de las matemticas: o PURO O FUNDAMENTAL, como ciencia pura o APLICADO como ciencia aplicada o INSTRUMENTAL, como conjunto de herramientas prcticas o EDUCATIVO, como materia formativa o ESTTICO, como campo creativo y de belleza En consecuencia, la formacin para una alfabetizacin matemtica efectiva debe contemplar, al menos6 : - los contenidos: conceptos y procedimientos matemticos, aisladamente y en contextos (en su faceta de aplicacin) - las tcnicas y destrezas, aisladamente y en contextos (en su faceta de aplicacin) - el conocimiento del uso social de las matemticas, de su carcter prctico - las relaciones de las matemticas con los valores de equidad, objetividad y rigor - los aspectos de creatividad, ingenio y belleza de las matemticas Pero: - no es suficiente, aunque s necesario, conocer los contenidos del currculo oficial de matemticas, aunque quizs deberan ser conocidos o experimentados o aprendidos como medios y no como fines7 ; - no es suficiente, aunque s necesario, el mero dominio de los aspectos instrumentales bsicos, de los conceptos y de las tcnicas y destrezas matemticas, aunque quizs deberan ser conocidos o experimentados o aprendidos como medios y no como fines; - la alfabetizacin matemtica no se puede reducir al mero conocimiento de los conceptos, procedimientos y destrezas matemticas. Estos son prerrequisitos, pero no son suficientes. Amplitud de la alfabetizacin matemtica La alfabetizacin matemtica no slo aporta beneficios especficos, relacionados con las matemticas, sino que contribuye a la formacin o alfabetizacin general. Se encuentra en el centro de los modos segn los que se percibe y comprende el mundo y es un componente esencial de dicha alfabetizacin general o liberating literacy, que tiene que ver con la comprensin de los hechos generales y sus relaciones en la construccin del mundo, cubriendo cuestiones que tienen que ver con la naturaleza, la sociedad, la cultura, la tecnologa, etc. y sus relaciones. Aqu se pueden poner como ejemplos los siguientes: distinguir entre astronoma y astrologa; entre medicina cientfica y no cientfica; entre 5 Evaluacin de competencias matemticas. Proyecto PISA/OCDE 2003. En: Castro y de la Torre (eds.). Actas del VIII Simposio de la SEIEM. A Corua. Universidad de A Corua. 6 Nota aadida del autor 7 Opinin del autor
12. 12. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 12 psicologa y espiritismo; entre afirmaciones descriptivas y normativas; entre hechos e hiptesis; exactitud y aproximacin; el comienzo y el fin de la racionalidad, etc. Alfabetizacin matemtica y rendimiento escolar tradicional Es posible que existan personas con un buen nivel de alfabetizacin matemtica y que, sin embargo, su rendimiento en las matemticas escolares ha sido bajo o malo?. De hecho, la alfabetizacin matemtica se configura mediante un repertorio bsico de conocimientos, tcnicas y destrezas matemticas a las que hay que aadir un cmulo de capacidades y competencias constituidas sobre la base de la utilizacin de dicho repertorio en contextos cotidianos. Es posible que un individuo no domine las reglas algebraicas, la resolucin de la ecuacin de segundo grado, el signo igual, etc. y tenga un buen nivel de pensamiento algebraico y relacional?. Es posible que tenga una formacin amplia en regularidades, patrones y relaciones funcionales desde un punto de vista prctico y no domine la simbolizacin algebraica, las propiedades y las manipulaciones algebraicas formales?. En este caso, se puede dar un mayor grado de alfabetizacin, aunque limitado por la falta de dominio de cuestiones que permiten extender y ampliar las competencias. La alfabetizacin aqu se produce a travs de las experiencias vividas fuera del contexto de la educacin formal?. Algunas cuestiones para la reflexin Surgen numerosas cuestiones interesantes, como por ejemplo: - hasta qu punto es importante el contenido, las destrezas, los conceptos, los procedimientos matemticos desarrollados en el currculo escolar tradicional? - es necesario realizar una seleccin urgente de contenidos matemticos elementales?es necesario revisar los contenidos?y la metodologa? Conjetura La alfabetizacin matemtica se consigue gracias al desarrollo de capacidades especficas que denominamos competencias matemticas Competencias matemticas El concepto de competencia hace referencia a lo que el individuo es capaz de hacer (capacidad de respuesta)8 . El concepto de competencia matemtica est ntimamente relacionado con el punto de vista funcional de las matemticas, que tiene que ver con: - las matemticas como modo de hacer - la utilizacin de herramientas matemticas - el conocimiento matemtico en funcionamiento y en el que intervienen los siguientes elementos: o tareas contextualizadas o herramientas conceptuales y procedimientales o sujeto cognitivo y las relaciones entre ellos, tal y como se representa en el grfico adjunto. Sujeto 8 Este planteamiento coincide con el que se adopta a propsito de las manifestaciones observables de la comprensin segn el modelo para el diagnstico y evaluacin de la comprensin del conocimiento matemtico de Gallardo (2004)
13. 13. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 13 Competencias (cognitivas, matemticas) Capacidades, conocimientos, . . . generales y especficos Pensar y razonar Argumentar Comunicar aprende y utiliza Representar Modelizar . . . Matemticas Herramientas conceptuales y procedimentales Acta y aplica Conocimientos bsicos, destrezas Realidad Tareas y situaciones Fenmenos Contextos Problemas Significados Tres significados para el trmino competencia: 1).- La competencia como dominio de estudio y finalidad principal y prioritaria de la enseanza y el aprendizaje de las matemticas. Tiene que ver con la idea de alfabetizacin matemtica y un modo global de hacer matemticas, de resolver problemas prcticos; 2).- La competencia como conjunto de procesos generales. Las competencias son procesos matemticos generales que concretan las finalidades educativas, orientan las tareas y caracterizan los niveles en el rendimiento de los alumnos 3).- Las competencias agrupadas en forma de grupos o niveles de complejidad cognitiva expresables mediante una escala. Utilidad mltiple del concepto de competencia matemtica Las competencias matemticas sirven para: 1.- Propsitos formativos Para orientar los procesos de formacin hacia el desarrollo de determinadas capacidades. 2.- Propsitos normativos para especificar aspectos curriculares, fines, mtodos, etc. 3.- Propsitos descriptivos para describir y caracterizar las prcticas de enseanza de las matemticas en el aula, las respuestas de los estudiantes, los fines que se persiguen con determinadas tareas, etc. 4.- Propsitos comparativos Se pueden comparar diferentes curricula, diferentes clases de educacin matemtica, en diferentes niveles o en diferentes lugares, etc. 5.- Propsitos evaluadores; como soportes metacognitivos para evaluacin de procesos tanto de profesores como de alumnos
14. 14. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 14 Las competencias matemticas han sido analizadas con los fines descritos por Niss, M. (1999)9 a propsito de la preparacin del Proyecto dans KOM (Competencias y aprendizaje de las Matemticas). De dichos planteamientos, aunque esta vez con fines comparativos y evaluadores, la OCDE adopt una parte de dichas consideraciones para el desarrollo del proyecto PISA 2003. Veamos primero el enfoque de Niss con una cierta amplitud para pasar posteriormente al exmen de las consideraciones realizadas para la elaboracin y desarrollo del proyecto PISA 2003. Competencias matemticas segn Niss Arranca de la pregunta Qu significa dominar las matemticas?: domina las matemticas quin posee competencias matemticas. Poseer una competencia, o ser competente, en algn campo o dominio de la vida personal, profesional o social es dominar, en un cierto grado y dependiendo de las condiciones y circunstancias, aspectos esenciales de la vida en ese dominio o campo. Poseer competencia matemtica significa: poseer habilidad para comprender, juzgar, hacer y usar las matemticas en una variedad de contextos intra y extra matemticos y situaciones en las que las matemticas juegan o pueden tener un protagonismo Las competencias matemticas: - se adquieren, se construyen o se desarrollan; - se poseen, se dispone de ellas o se tienen en mayor o menor grado; - se manifiestan en las actuaciones del sujeto ante situaciones que las activan. Es necesario distinguir, por tanto, entre tareas de diagnstico, tareas de aprendizaje y tareas de aplicacin o utilizacin prctica de dichas competencias, si bien todas pueden cumplir todas las funciones con las orientaciones adecuadas. Requisitos bsicos (necesarios pero no suficientes) para tener competencia matemtica: - poseer conocimiento factual - poseer destrezas tcnicas Tipos de competencias matemticas y situaciones en las que se manifiestan10 El autor distingue dos grupos de competencias: 1 grupo, competencias 1, 2, 3 y 4. 2 grupo, competencias 5, 6, 7 y 8 Primer grupo Tienen que ver con la habilidad para preguntar y responder cuestiones en matemticas y por medio de las matemticas 1.- PENSAR MATEMTICAMENTE (dominar los modos matemticos de pensamiento) - proponer cuestiones caractersticas de las matemticas conociendo las clases de respuestas (no necesariamente las respuestas concretas ni como obtenerlas); - comprender y manejar el alcance y las limitaciones de un concepto dado; - ampliar el dominio de un concepto abstrayendo algunas de sus propiedades; - generalizar los resultados a clases ms amplias de objetos; - distinguir entre diferentes clases de enunciados / afirmaciones matemticas, incluyendo sentencias condicionadas, cuantificadores, suposiciones, definiciones, teoremas, conjeturas, casos, etc. 9 Niss, M. (1999).- Mathematical competencias and the learning of mathematics: The Danish KOM Project 10 Se proponen algunos ejemplos a pesar de la complejidad de la eleccin y representatividad de las tareas y situaciones.
15. 15. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 15 Ejemplos: 1.a.- Dos hermanos se quieren repartir un campo rectangular en partes iguales. Cmo lo pueden hacer?. De cuntas maneras distintas?. Cmo pueden estar seguros de que los trozos son iguales?. 1.b.- Sin hacer la multiplicacin se puede saber si 17 x 28 es mayor o menor que 400?. Explica porqu. Hay varias formas de hacerlo?. 2.- PROPONER Y RESOLVER PROBLEMAS DE MATEMTICAS - identificar, proponer y especificar diferentes clases de problemas de matemticas (puro-aplicado, abierto con solucin-cerrado, etc.); - resolver diferentes clases de problemas de matemticas (puro-aplicado, abierto con solucin o cerrado, propuesto por otros o por uno mismo, propuestos de diferentes modos, etc.); Ejemplos: 2.a.- 2.b.- Encontrar los nmeros enteros a, b, c y d tales que: 4 / a = 1 / b + 1 / c + 1 / d 3.- MODELIZAR MATEMTICAMENTE (analizar, construir y evaluar modelos) Se puede entender tambin la competencia de modelizacin como el conjunto de habilidades, destrezas y actitudes que son importantes para el proceso de modelizacin matemtica. Dicho proceso se puede referir a: - analizar fundamentos y propiedades de modelos existentes, valorar su rango y validez; - decodificar modelos existentes (traducir e interpretar elementos de un modelo en trminos de la realidad modelizada); - aplicar un modelo a un contexto dado, lo que requiere: - estructurar el campo - matematizar - interpretar y resolver problemas
16. 16. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 16 - trabajar con el modelo - validar el modelo, interna y externamente - analizar y criticar el modelo, en s mismo y en sus posibles alternativas - comunicar el modelo y sus resultados - observar y controlar el proceso de modelizacin Niveles en la competencia de modelizacin11 Nivel 1.- Reconocer y comprender la modelizacin Se caracteriza por la habilidad para: - reconocer y describer el proceso de modelizacin, - caracterizar, distinguir y localizar las fases en el proceso de modelizacin Nivel 2.- Modelizacin independiente Se caracteriza por la habilidad para: - analizar y estructurar los problemas y abstraer las cantidades, - adoptar diferentes perspectivas, - aplicar y establecer modelos matemticos, - trabajar sobre modelos matemticos, - interpretar resultados y otros aspectos de los modelos, - validar los modelos y el proceso completo. Nivel 3.- Reflexin sobre el proceso de modelizacin Se caracteriza por la habilidad para: - analizar crticamente el proceso de modelizacin, - caracterizar los criterios para la evaluacin del modelo utilizado, - reflexionar sobre la causa de la modelizacin, - reflexionar sobre las aplicaciones de las matemticas. Ejemplos basados en el estudio PISA (OCDE, 2003) para cada uno de los niveles 3.1.- El problema del tanque de agua (nivel 1) Tenemos un tanque vacio que se llena de agua a la razn de un litro por segundo. Lo que aparece en las figuras siguientes son los resultados de un proceso de construccin de un modelo realizado por un grupo de alumnos. En dicho proceso, los alumnos han hecho ciertas suposiciones sobre el tanque con las que han dibujado el grfico que acompaa al dibujo del tanque. 11 Los niveles y ejemplos que se mencionan en este apartado han sido elaborados a partir de: Henning, H.; Keune, M. (2004). Levels of modelling competence. Department of Mathematics. Otto-von-Guericke Universitt Magdeburg, Germany. 1.0 m
17. 17. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 17 Tanque de agua a) Describe cmo crees que los alumnos realizaron el proceso de modelizacin b) Qu suposiciones hicieron? c) Qu clase de modelo usaron? d) Cul puede ser el prximo paso teniendo en cuenta el grfico? 3.2.- Fiesta escolar (nivel 2) (resolver un problema utilizando tcnicas de modelizacin) Se va a celebrar una fiesta en el colegio a la que va a venir a tocar un famoso grupo musical. La mayora de los alumnos del centro y de otros centros cercanos querrn asistir a la fiesta, de manera que es posible que se llene el local. Sabiendo que el grupo cobra una cantidad y que el colegio subvenciona con otra cantidad, los organizadores te encargan la tarea de averiguar el mximo nmero de personas que caben en el gimnasio y fijar un precio para la entrada. a) Explica como haras para resolver el problema y los pasos necesarios para encontrar la solucin; b) Completa la tarea como creas conveniente. Si falta informacin precisa, emplea la estimacin. Los organizadores quieren convencer al Director del colegio mediante una presentacin corta de las conclusiones de tu trabajo, c) Elabora un guin corto con los puntos clave para que dicha exposicin sea convincente. 3.3.- Accidentes de trfico (nivel 3) (reflexin crtica sobre el proceso de modelizacin y su uso en una aplicacin real; evaluar el uso tendencioso de modelos matemticos en general) En la siguiente tabla se indica el nmero de muertes por accidente de trfico en un pais en una serie de aos. ao 1960 1965 1970 1975 1980 1984 Nmero de accidentes 110 200 330 480 590 550 La tabla es utilizada por una marca de coches conocida para justificar la necesidad de un nuevo sistema de seguridad instalado en sus vehculos. El slogan que acompaa a la tabla es el siguiente: Cada 10 aos se duplica o triplica el nmero de accidentes. Con nuestros vehculos equipados con el sistema HB1 viajar ms seguro!!! a) Es correcta la frase de la primera parte del slogan?. Justifica la respuesta b) Porqu esta casa comercial utiliza este recurso matemtico? altura tiempo 1.5 m 1.5 m
18. 18. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 18 c) Es posible utilizar errneamente las matemticas? 4.- RAZONAR MATEMTICAMENTE - seguir y valorar cadenas de argumentos - saber lo que es una demostracin matemtica y cmo se diferencia de otras clases de razonamiento y de otras clases de razonamiento matemtico (por ejemplo el razonamiento heurstico) - descubrir las ideas bsicas en una lnea argumental, distinguiendo principales sublneas a partir de detalles, ideas y aspectos tcnicos Ejemplos: 4.a.- Completa: 4.b.- Cada cuadrado tiene de rea 1. Qu parte del total representa lo sombreado? 4.c.- razonamiento combinado geomtrico-algebraico sobre el teorema de Pitgoras Segundo grupo de competencias. Tienen que ver con la habilidad para utilizar el lenguaje y las herramientas matemticas. 8 x 4 5 5 0 2 1 0 2 6 0
19. 19. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 19 5.- REPRESENTAR OBJETOS Y SITUACIONES MATEMTICAS - comprender, utilizar, decodificar e interpretar diferentes clases de representaciones de objetos, fenmenos y situaciones matemticas y distinguir entre ellos; - comprender y utilizar las relaciones entre diferentes representaciones de la misma entidad u objeto, incluido el conocimiento de sus restricciones y limitaciones; - elegir entre diferentes representaciones y pasar de unas a otras Ejemplos: 5.a.- 5.b.-
20. 20. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 20 6.- UTILIZAR SIMBOLOS Y FORMALISMOS MATEMTICOS - decodificar e interpretar lenguaje matemtico simblico y formal y comprender sus relaciones con el lenguaje natural; - comprender la naturaleza y las reglas de los sistemas matemticos formales (desde ambos puntos de vista, sintctico y semntico); - traducir entre el lenguaje natural y el lenguaje simblico/formal; - utilizar y manipular sentencias y expresiones que contienen smbolos y formulas. Ejemplos: 6.a.- el cuadrado del binomio. Proceso de investigacin mediante cuadrados de puntos12 12 Extraido de Gmez, B. (1992).- Las Matemticas y el proceso educativo. Cap. 2 En: rea de Conocimiento Didctica de la Matemtica. Madrid: Sntesis
21. 21. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 21 7.- COMUNICAR EN, CON Y SOBRE LAS MATEMTICAS - comprender los textos escritos, las expresiones visuales o las frases orales de otros, en una variedad de registros lingsticos, sobre cuestiones materias o temas de contenido matemtico; - expresarse uno mismo sobre tales cuestiones materias o temas, con diferentes niveles de precisin terica y tcnica, de forma oral, visual o escrita; Ejemplos: 7.a.- 4 o ms jugadores. El profesor forma una fraccin sencilla con los multicubos. Por turno, cada jugador debe formar una nueva fraccin equivalente a la primera, utilizando el mismo material, y convencer al resto de jugadores y a los dems de que efectivamente es una fraccin equivalente a la primera. Slo se apuntar el tanto si hay consenso en la bondad de la construccin. El profesor moderar el debate. 7.b.- Un grupo de alumnos recaba informacin de las familias de los compaeros para averiguar las preferencias en la ocupacin del tiempo libre, elaborar con los datos unos informes y grficos y exponer las conclusiones a toda la clase. 7.c.- Relaciones funcionales y su representacin
22. 22. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 22 8.- UTILIZAR RECURSOS AUXILIARES Y HERRAMIENTAS (tecnolgicas, entre otras) - conocer la existencia y propiedades de varias herramientas y recursos para la actividad matemtica, sus alcances y limitaciones; - ser capaces de usar racionalmente tales recursos y herramientas. Ejemplos: 8.a.- Conocer la calculadora13 8.b.- Con regla y comps, construir distintos cuadrilteros a partir de sus diagonales, enunciar las regularidades que se observan y generalizar los resultados. Algunos comentarios del autor 13 Extraido de Hernn, F. (1989).- Recursos en el aula de Matemticas. Madrid: Sntesis
23. 23. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 23 - todas las competencias tienen que ver con procesos, actividades y comportamientos mentales o fsicos, con lo que se centran en lo que el individuo puede hacer; - las competencias estn relacionadas entre s; - todas las competencias tienen un aspecto analtico y otro productivo - el aspecto analtico se centra en torno a la comprensin, interpretacin, anlisis y valoracin de los fenmenos y procesos (reflexin); - el aspecto productivo se centra en la construccin activa y el desarrollo de procesos (aplicacin); - todos los trminos son especficamente matemticos (lenguaje, smbolos, representacin, etc.); - son independientes de contenidos y niveles educativos; no estn sujetos a tpicos matemticos, curricula o clases; - al igual que ocurre con la lengua, se pueden producir diferencias entre niveles y zonas; - la intuicin matemtica, la creatividad y la capacidad de abstraccin se encuentran distribuidas a lo largo de las ocho competencias; - las competencias y los contenidos son dos campos que se deben entrecruzar entre s como en una tabla de doble entrada. Cada casilla indicar como se manifiesta la competencia concreta en el caso de un contenido concreto. Aspectos complementarios que tienen que ver con la Matemtica como disciplina Las 8 competencias no cubren todo el campo de las matemticas. Existen tres aspectos que no se derivan de las competencias y que es necesario completarlos mediante el estudio interno de la disciplina. Son: - las aplicaciones actuales de las matemticas a otras ciencias o campos - el desarrollo histrico de las matemticas - la naturaleza especial de las matemticas como disciplina Se podran identificar con lo que se conoce como el conocimiento sociocultural de las matemticas como disciplina. Anlisis de tareas desde el punto de vista de su contribucin al desarrollo de competencias matemticas segn Niss Son mltiples las situaciones que requieren de las matemticas y que se resolveran antes, mejor y ms fcilmente si se utilizaran dichos conocimientos. Por ejemplo: - Necesito controlar lo que gasto mensualmente en transporte - Tengo que hacer una planificacin del trabajo para la semana que viene con objeto de preparar los exmenes. - Voy a pintar mi habitacin . . . cunta pintura necesito?de qu precio?cunto me va a costar? . . - El partido empieza a las nueve y estoy lejos de la casa. A qu hora lmite tengo que salir para llegar a tiempo y verlo desde el principio?qu tengo que averiguar?si no dispongo de informacin exacta, qu debo hacer? - Me quiero comprar una bicicleta. Cunto tiempo aproximado debo estar ahorrando hasta tener la cantidad total si ingreso una media semanal de 100 euros y un gasto medio semanal de 70 euros? - Estoy pensando en comprar una vivienda, pero como mximo puedo dedicar 600 euros al mes. qu posibilidades tengo?qu tipo de vivienda me puedo comprar? - Quiero que la vivienda est en el centro, que sea grande, soleada, con garaje y con calidades excepcionales. cmo puedo compatibilizar mis deseos con mi disponibilidad econmica? - A qu hora quedo con Blanca en el centro para que me de tiempo a llegar? - Si tengo que ir en taxi a la calle . . . cul ser el mejor camino para llegar antes?tendr dinero suficiente si el taxista decide ir por un camino ms largo? - Quiero invitar a todos mis amigos a mi fiesta de cumpleaos . . . cmo lo hago?, qu necesito? - Me gusta esa librera casera y quiero hacer una igual . .;
24. 24. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 24 - cmo puedo construir un cuadrado cuya superficie sea el doble que la de otro cuadrado?; - Mi hijo quiere empezar a estudiar una carrera. . qu ser lo mejor?; Ejercicio: Analizar las tareas desde el punto de vista de las competencias requeridas, es decir, teniendo en cuenta: - informacin necesaria y accesible - informacin a averiguar (no accesible directamente) - actuaciones a llevar a cabo: organizacin de la informacin, anlisis de relaciones, estructuracin de la situacin, etc. - modelos matemticos a utilizar en su caso - resolucin de problemas - conceptos y procedimientos - capacidades necesarias para afrontar la tarea - competencias involucradas (en orden de importancia) Competencias matemticas en PISA 2003 El Proyecto PISA utiliza las siguientes competencias matemticas para propsitos evaluadores y comparativos fundamentalmente: - Pensar y razonar (distinguir entre diferentes tipos de enunciados, plantear cuestiones propias de las matemticas, etc.); - argumentar (conocer lo que son pruebas matemticas, tener sentido para la heurstica, crear y expresar argumentos matemticos, etc.); - comunicar (expresin matemtica, oral y escrita, entender expresiones, etc.); - modelizar (estructurar el campo, interpretar los modelos, trabajar con modelos, etc.); - plantear y resolver problemas; - representar (codificar, decodificar e interpretar representaciones, traducir entre diferentes representaciones, etc.); - utilizar varios lenguajes. Niveles de complejidad 1.- Niveles de complejidad por grupos de competencias (niveles tericos) Para el diseo de las pruebas, puesto que las competencias en s no se pueden asignar sin ms a tareas concretas para cada una de ellas, se han establecido tres niveles de complejidad que hacen referencia a clases o grupos de competencias; son tres: de reproduccin y procedimientos rutinarios, de conexiones e integracin y de reflexin, razonamiento y argumentacin para resolver problemas originales. Esta variable ha servido para construir las tareas de acuerdo con los siguientes indicadores14 : REPRODUCCIN CONEXION REFLEXIN - Contextos familiares - Conocimientos practicados - Aplicacin de algoritmos estndar - Realizacin de operaciones sencillas - Uso de frmulas elementales - Contextos menos familiares - Interpretar y explicar - Manejar y relacionar diferentes sistemas de representacin - Seleccionar y usar estrategias de resolucin de problemas no rutinarios - Tareas que requieren comprensin y reflexin - Creatividad - Ejemplificacin y uso de conceptos - Relacionar conocimientos para resolver problemas complejos 14 Tabla extrada de Rico, L. (2005) (documento indito)
25. 25. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 25 - Generalizar y justificar resultados obtenidos 2.- Niveles de complejidad expresables mediante una escala (obtenidos empricamente) Existen 6 niveles de competencia matemtica obtenidos empricamente que expresan la maestra en la realizacin de las tareas matemticas y la riqueza cognitiva asociada a tal realizacin. Son los siguientes15 : - Primer Nivel (1): los alumnos saben responder a preguntas planteadas en contextos conocidos, donde est presente toda la informacin pertinente y las preguntas estn definidas claramente. Son capaces de identificar la informacin y llevan a cabo procedimientos rutinarios al seguir instrucciones directas en situaciones explcitas. Pueden realizar acciones obvias que se deducen inmediatamente de los estmulos presentados. - Segundo Nivel (2): los alumnos saben interpretar y reconocer situaciones en contextos que slo requieren una inferencia directa. Saben extraer informacin pertinente de una sla fuente y hacer uso de un nico sistema de representacin. Pueden utilizar algoritmos, frmulas, procedimientos o convenciones elementales. Son capaces de efectuar razonamientos directos e interpretaciones literales de los resultados. - Tercer Nivel (3): los alumnos saben ejecutar procedimientos descritos con claridad incluyendo aqullos que requieren decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias de solucin de problemas sencillos. Saben interpretar y utilizar representaciones basadas en diferentes fuentes de informacin y razonar directamente a partir de ellas. Tambin son capaces de elaborar escritos breves para exponer sus interpretaciones, resultados y razonamientos. - Cuarto Nivel (4): los alumnos pueden trabajar con eficacia con modelos explcitos en situaciones complejas y concretas que pueden conllevar condicionantes o exigir la formulacin de supuestos. Pueden seleccionar e integrar diferentes representaciones, incluyendo las simblicas, asociandolas directamente a situaciones del mundo real. Saben utilizar habilidades bien desarrolladas y razonar con flexibilidad y cierta perspicacia en estos contextos. Pueden elaborar y comunicar explicaciones y argumentos basados en sus interpretaciones, argumentos y acciones. - Quinto Nivel (5): Los alumnos saben desarrollar modelos y trabajar con ellos en situaciones complejas, identificando los condicionantes y especificando los supuestos. Pueden seleccionar, comparar y evaluar estrategias adecuadas de resolucin de problemas para abordar problemas complejos relativos a estos modelos. Pueden trabajar estratgicamente utilizando habilidades de pensamiento y razonamiento bien desarrolladas, as como representaciones relacionadas adecuadamente, caracterizaciones simblicas y formales e intuiciones relativas a estas situaciones. Pueden reflexionar sobre sus acciones y formular y comunicar sus interpretaciones y razonamientos. - Sexto Nivel (6): Los alumnos saben formar conceptos, generalizar y utilizar informacin basada en investigaciones y modelos de situaciones complejas. Pueden relacionar diferentes fuentes de informacin y representaciones y traducirlas de una manera flexible. Los estudiantes de este nivel poseen un pensamiento y razonamiento matemtico avanzado. Pueden aplicar su entendimiento y comprensin, as como su dominio de las operaciones y relaciones matemticas simblicas y formales y desarrollar nuevos enfoques y estrategias para abordar situaciones nuevas. Pueden formular y comunicar con exactitud sus acciones y reflexiones relativas a sus descubrimientos, argumentos y su adecuacin a las situaciones originales (OCDE, 2004, p. 47; OCDE, 2005, pp 47 y 48). La siguiente tabla, extraida de Rico, L. (2005), recoge los resultados empricos obtenidos en trminos de descriptores resumidos por niveles y competencias. Niveles 1 2 3 4 5 6 15 Maestro, C. y otros (2005)
26. 26. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 26 Competencias Pensar y razonar Responder a cuestiones en contextos muy conocidos Responder a cuestiones en contextos poco familiares Responder a cuestiones complejas en multitud de contextos Formar y relacionar conceptos Argumentar y justificar Elaborar argumentos basados en las propias acciones Formular los razonamientos desarrollados Elaborar argumentos desde la propia reflexin Comunicar Describir resultados obtenidos Realizar explicaciones sencillas Comunicar conclusiones con precisin Modelizar Usar modelos explcitos en situaciones concretas Desarrollar y usar modelos en mliples situaciones Resolucin de problemas Resolver problemas con datos sencillos Seleccionar y aplicar estrategias sencillas Seleccionar, comparar y evaluar estrategias Generalizar resultados de problemas Representar Leer datos directament e de tablas o figuras Usar un nico tipo de representa cin Conocer y usar diferentes sistemas de representacin Vincular diferentes sistemas de representaci n, incluido el simblico Relacionar entre s y traducir con fluidez diferentes sistemas de representacin Lenguaje simblico Realizar operaciones bsicas Usar algoritmos y frmulas elementale s Aplicar procedimientos descritos con claridad Representar situaciones reales mediante smbolos Dominar con rigor ellenguaje simblico Ejemplos de tareas de la evaluacin del proyecto PISA 2003
27. 27. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 27 Pregunta 19: ESTANTERAS Para construir una estantera un carpintero necesita lo siguiente: 4 tablas largas de madera, 6 tablas cortas de madera, 12 ganchos pequeos, 2 ganchos grandes, 14 tornillos. El carpintero tiene en el almacn 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera, 200 ganchos pequeos, 20 ganchos grandes y 510 tornillos. Cuntas estanteras completas puede construir este carpintero? Respuesta: estanteras.
28. 28. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 28 Pregunta 3: CUBOS En esta fotografa puedes ver seis dados, etiquetados desde la (a) a la (f). Hay una regla que es vlida para todos los dados: La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete. Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el nmero de puntos que tiene la cara inferior del dado correspondiente que aparece en la foto. (a) (b) (c) (d) (e) (f)
29. 29. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 29 EL MEJOR COCHE Una revista de coches utiliza un sistema de puntuaciones para evaluar los nuevos coches y concede el premio de Mejor coche del ao al coche con la puntuacin total ms alta. Se estn evaluando cinco coches nuevos. Sus puntuaciones se muestran en la tabla. Las puntuaciones se interpretan de la siguiente manera: 3 puntos Excelente; 2 puntos Bueno; 1 punto - Aceptable Para calcular la puntuacin total de un coche, la revista utiliza la siguiente regla, que da una suma ponderada de las puntuaciones individuales: Puntuacin total - (3x S) + C + D + H Calcula la puntuacin total del coche Ca. Escribe tu contestacin en el espacio siguiente. Puntuacin total de Ca: Pregunta 38: El fabricante del coche Ca pens que la regla para obtener la puntuacin total no era justa. Escribe una regla para calcular la puntuacin total de modo que el coche Ca sea el ganador. Tu regla debe incluir las cuatro variables y debes escribir la regla rellenando con nmeros positivos los cuatro espacios de la ecuacin siguiente. Puntuacin total = .........S + ..... C + .... ..D + ......H. Algunos resultados PISA 2003 La materia principal en el estudio PISA 2003 ha sido Matemticas, a la que se le ha dedicado un 55% del tiempo de evaluacin. Las otras materias en esta ocasin han sido Lectura, Ciencias y Solucin de problemas, con un 15% del tiempo de evaluacin cada una. En PISA 2003 han participado 41 pases, los 30 pases miembros de la OCDE y 11 no miembros. Entre ellos quedan incluidos los 15 pases que eran miembros de la Unin Europea en 2003. Se ha evaluado un total de 276.165 alumnos provenientes de 10.104 centros escolares. La participacin de Espaa Espaa ha participado en PISA 2003, como ya lo hizo en PISA 2000, y ha sido el Ministerio de Educacin y Ciencia el que ha llevado a cabo las tareas de coordinacin e implantacin del estudio, a travs del Instituto Nacional de Evaluacin y Calidad del Sistema Educativo (INECSE) y en estrecha colaboracin con las Administraciones educativas de las Comunidades Autnomas.
30. 30. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 30 Las Comunidades Autnomas de Castilla y Len, Catalua y Pas Vasco han participado en el proyecto PISA 2003 con una muestra ampliada, lo que ha permitido una mayor precisin en la medida de sus resultados, suficiente para una presentacin desglosada de los mismos. El nmero de alumnos y de centros en la muestra espaola en PISA 2003 ha sido el siguiente: Territorio Alumnos Centros Espaa 10.761 383 Castilla y Len 1.490 51 Catalua 1.516 50 Pas Vasco 3.885 141 Rendimiento medio en matemticas Los alumnos espaoles de 15 aos muestran un rendimiento en matemticas 15 puntos por debajo del promedio de la OCDE, fijado en 500 puntos. Esta diferencia es estadsticamente significativa. El rendimiento de los alumnos de Castilla y Len y del Pas Vasco es significativamente superior al del conjunto de Espaa. Los resultados de Espaa no son significativamente diferentes de los de Eslovaquia, Noruega, Luxemburgo, Polonia, Hungra, Letonia y Estados Unidos. Aunque Espaa figura en el puesto 26 de la lista, la falta de significatividad estadstica de las diferencias con los pases mencionados en el punto anterior hace que Espaa ocupe un puesto indeterminado entre las posiciones 22 y 24 entre los pases de la OCDE, o entre las posiciones 25 y 28 entre los 41 pases participantes. Espaa ocupa el puesto 22 entre estos pases en cuanto a PIB per capita. La distribucin de puntuaciones individuales en Matemticas ha sido dividida en siete niveles de rendimiento. Los niveles se numeran del 1 al 6, pero el nivel inferior se denomina nivel menor que 1 ya que agrupa a aquellos alumnos con un rendimiento tan bajo que PISA no es capaz de describirlo adecuadamente. Evaluacin de Diagnstico Junta de Andaluca Fines y principios La evaluacin de diagnstico que se ha realizado en la Comunidad Autnoma Andaluza se enmarca dentro de un proceso orientado al establecimiento de una nueva Ley de Educacin para Andaluca dirigida a mejorar la calidad de su Sistema Educativo y conforme con las orientaciones de la Unin Europea al respecto. La evaluacin se ha llevado a cabo asumiendo los principios de: - Compromiso tico - Participacin democrtica - responsabilidad compartida - confidencialidad - transparencia Fines Fin general Evaluacin del rendimiento del alumnado como parte de un proceso de evaluacin ms amplio. La evaluacin ha sido censal por un lado, para informacin a los propios centros, y muestral con caracter de evaluacin externa realizada por la Consejera de Educacin. Contenido
31. 31. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 31 Esta evaluacin del rendimiento se ha centrado en la evaluacin de competencias en el mismo sentido que la evaluacin del proyecto PISA 2003. Objetivos o mejorar el rendimiento de los alumnos o favorecer la cooperacin e integracin de esfuerzos o conocer el grado de consecucin de los objetivos educativos o potenciar modelos de evaluacin formativa Principios Concepto de competencia Saber hacer complejo, resultado de la integracin, movilizacin y adecuacin de capacidades, conocimientos, actitudes y habilidades utilizados eficazmente en situaciones que tengan un carcter comn16 Otro enfoque: Una combinacin de habilidades prcticas y cognoscitivas interrelacionadas, conocimientos, motivaciones, valores y tica, actitudes, emociones y otros componentes sociales y comportamentales que pueden movilizarse conjuntamente para una accin eficaz en un contexto particular17 O tambien: el desarrollo armnico del intelecto, de la inteligencia emocional y de la posesin de las habilidades y destrezas necesarias para aplicar y desarrollar los conocimientos adquiridos en cualquier contexto o situacin, todo ello sustentado en valores ticos, morales y culturales comnmente aceptados en el contexto social en el que nos desenvolvemos18 Nota del autor: Estas definiciones o descripciones contrastan, en el sentido de su complejidad, indeterminacin y falta de claridad, con las consideraciones mucho ms simples de los planteamientos de la OCDE, en los que se concibe la competencia como: capacidad de respuesta a demandas complejas y de realizacin de tareas diversas de forma adecuada o dicho de otras manera, como capacidad de respuesta adaptada o capacidad de poner en funcionamiento, de forma globalizada, conocimientos, destrezas y actitudes adquiridas en distintos contextos Competencia En el documento de la Junta de Andaluca se define la competencia como una combinacin de conocimientos, capacidades y actitudes adecuadas al contexto. Competencias bsicas o claves Aqullas que van a permitir a la persona en la sociedad del conocimiento, lograr una realizacin de su ser individual, social y su inclusin en el mundo laboral. Son las que todas las personas precisan para su relacin y desarrollo personales as como para la ciudadana activa, la inclusin social y el empleo. Se caracterizan por: saber hacer en diversidad de contextos 16 Lasnier, F. (2000); cita en: Consejera de Educacin.de la Junta de Andaluca. Evaluacin de Diagnstico. Marco Terico. Direccin General de Ordenacin y Evaluacin Educativa. 17 Rychen y Tiana (2004); cita en: Consejera de Educacin.de la Junta de Andaluca. Evaluacin de Diagnstico. Marco Terico. Direccin General de Ordenacin y Evaluacin Educativa. 18 Bentez, A. (2006).- Las competencias bsicas en la LOE. Revista Escuela Espaola, n 3701. Madrid.
32. 32. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 32 con un carcter integrador constituidas por interrelacin de saberes de los distintos mbitos educativos Tipos de competencias bsicas Comunicacin en lengua materna Comunicacin en lenguas extranjeras Competencia matemtica y competencias bsicas en ciencia y tecnologa Competencia digital (TIC) Aprender a aprender Competencias interpersonales, interculturales, sociales y cvicas Espritu de empresa Expresin cultural Competencia matemtica: capacidad del individuo para resolver situaciones prcticas cotidianas, utilizando para este fin los conceptos y procedimientos matemticos. Habilidad para utilizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones en el clculo mental escrito con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas. Descartamos por tanto el mero aprendizaje de conocimientos y procedimientos matemticos en s mismos, poniendo el nfasis sobre la aplicacin de stos a situaciones de la vida real. El nfasis se sita en el proceso y en la actividad, aunque tambin en los conocimientos. La competencia matemtica entraa, en distintos grados, la capacidad y la voluntad de utilizar modos matemticos de pensamiento (pensamiento lgico y espacial) y representacin (frmulas, modelos, construcciones, grficos y diagramas). las competencias matemticas que han sido tomadas como objeto de la evaluacin son: Competencia 1. Organizar, comprender e interpretar informacin Elementos: - Identifica el significado de la informacin numrica y simblica. - Ordena informacin utilizando procedimientos matemticos. - Comprende la informacin presentada en un formato grfico. Competencia 2. Expresar Elementos: - Se expresa utilizando vocabulario y smbolos matemticos bsicos. - Utiliza formas adecuadas de representacin segn el propsito y naturaleza de la situacin. - Expresa correctamente resultados obtenidos al resolver problemas - Justifica resultados expresando argumentos con una base matemtica. Competencia 3. Plantear y resolver problemas. Elementos: - Traduce las situaciones reales a esquemas o estructuras matemticos. - Valora la pertinencia de diferentes vas para resolver problemas con una base matemtica. - Selecciona estrategias adecuadas. - Selecciona los datos apropiados para resolver un problema. - Utiliza con precisin procedimientos de clculo, frmulas y algoritmos para la resolucin de problemas.
33. 33. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 33 Entendiendo que el desarrollo de competencias es un proceso continuo a lo largo de la vida escolar del alumnado, las aqu contempladas constituiran una referencia vlida tanto en cuarto de Educacin Primaria como en segundo de la Educacin Secundaria Obligatoria. No obstante, la redaccin de los tems para la medicin de estas competencias, en cada uno de los niveles considerados, ha tenido en cuenta la amplitud con la que, los diferentes elementos de competencia, han de estar presentes y los niveles de ejecucin que se esperan del alumnado de cada una de esas etapas. Ejemplos de tareas de la evaluacin de diagnstico de la Junta de Andaluca Primaria
34. 34. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 34
35. 35. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 35 Rutas de senderismo Educacin Secundaria obligatoria
36. 36. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 36 Las condiciones y los medios (Qu hacer y cmo a partir de ahora?) La evaluacin despus de un proceso educativo, o durante el desarrollo del mismo, permite apreciar si se han alcanzado o no los fines propuestos y en qu aspectos es necesario modificar los planteamientos para diseos y desarrollos didcticos posteriores. Tambin permite ir modificando sobre la marcha los aspectos necesarios, incluidos los propios fines examinados. En este caso, las evaluaciones de diagnstico se han llevado a cabo externamente, al margen de los diseos y desarrollos curriculares de los pases participantes, si bien basadas en unos fines y principios que se pretenden tomar como base del nuevo espacio educativo europeo. En cualquier caso, para alcanzar los fines propuestos en un proceso educativo, una vez modificados como consecuencia de un proceso de evaluacin, se ha de atender a las condiciones y a los medios necesarios para ello. En la figura 2 se aprecian los principales instrumentos y categoras de instrumentos (recuadro central) que hacen posible la consecucin de los objetivos y la constatacin de este hecho por medio de la evaluacin. El paso siguiente es el diseo del proceso, la adopcin de las medidas adecuadas y el desarrollo de la enseanza en el aula. La evaluacin, esta vez como elemento integrado en el proceso y no como elemento externo, como se ilustra en el grfico de la figura 2, permitir, por ltimo, averiguar si se han utilizado los medios adecuados para alcanzar los objetivos. No es el momento de entrar aqu en profundidad sobre los aspectos ordinarios del diseo curricular, las orientaciones oficiales y los medios materiales y personales de todo proceso educativo. Antes de prestar atencin a dichos aspectos instrumentales y ver cmo puede afectar la introduccin de las competencias matemticas al diseo y desarrollo ordinarios, a lo que dedicaremos la ltima parte de este anlisis, nos
37. 37. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 37 interesa especialmente clarificar en qu consiste la modificacin que se ha de realizar y los cambios de perspectiva que necesariamente debemos introducir en la preparacin y desarrollo de la labor docente. figura 2.- La diversidad de los medios en el proceso educativo en matemticas Currculo: Diseo y orientaciones Competencias matemticas y currculo: Crtica desde el Danish KOM Project Tradicionalmente, un currculo de matemticas viene especificado por tres componentes - propsitos y logros a alcanzar - contenido matemtico dado en forma de temas y unidades o lista de tpicos, conceptos, teoras, mtodos y resultados a cubrir Fines generales, conocimientos, disciplina, sujetos, etc. Medios (III) Estructurales, organizativos y de control: Diseo Curricular base, leyes, documentos curriculares, normas generales, proyectos, planificacin de aula, publicaciones oficiales, etc. Materiales: Aulas, Centros, recursos, libros de texto, saberes matemticos (libros de matemticas), material didctico, presupuestos, etc. Personales: Profesores, Alumnos, Inspectores, Asesores, etc. Diseo curricular: Objetivos, contenidos, metodologa, recursos, evaluacin, actividades, temporalizacin, organizadores, etc. Desarrollo curricular Evaluacin I.- Matemticas II.- Sujetos III.- Medios Administracin educativa Sociedad Familia Cultura Sistema de la Educacin Matemtica Principios generales, necesidades sociales, individuales, cientficas. Inercia. Conveniencias. Etc. Informacin de I, II y III
38. 38. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 38 - formas e instrumentos para evaluar hasta qu punto los alumnos han alcanzado los logros previstos Hay serias objeciones a este modelo19 y es necesario modificar los planteamientos. Orientaciones oficiales en Espaa LOE Primaria y ESO La ley Orgnica de Educacin, 2/2006, de 3 de mayo, en su artculo 6: . . . el currculo es el conjunto de objetivos, competencias bsicas, contenidos, mtodos pedaggicos y criterios de evaluacin de cada una de las enseanzas . . . Competencias bsicas en la LOE En el currculo de la educacin obligatoria en Espaa se contemplan las siguientes competencias bsicas, que hemos ordenado en funcin de la contribucin de las matemticas a la consecucin de cada una de ellas: - Competencia matemtica - Aprender a aprender - Autonoma e iniciativa personal - Conocimiento e interaccin con el mundo fsico - Tratamiento de la informacin y competencia digital - Competencia social y ciudadana - Comunicacin lingstica - Competencia cultural y artstica Fines de la introduccin de las competencias bsicas en el curriculo El planteamiento de las competencias bsicas en Educacin tiene como finalidad en Espaa: - Enriquecer el currculo - Orientar la enseanza (para que los alumnos desarrollen formas de actuacin y adquieran capacidades para enfrentarse a situaciones nuevas) - Servir de referencia (para la promocin de ciclo en Educacin Primaria y para la titulacin al final de la ESO. Igualmente, para las evaluaciones de diagnostico) Caractersticas curriculares en relacin con las competencias bsicas a) todas las competencias bsicas estn relacionadas entre s. No son independientes; b) existen elementos comunes a todas . . actitudes, resolucin de problemas, creatividad, etc. c) No existe relacin unvoca entre la enseanza de materias y la adquisicin o desarrollo de competencias; d) Cada rea contribuye al desarrollo de varias competencias. Algunas reas contribuyen ms que otras. e) Cada competencia bsica se alcanza como consecuencia del trabajo en varias reas o materias, aunque no slo se adquiere con el trabajo en las materias. Otros factores tales como organizacin, participacin, instalaciones, entorno, accin tutorial, etc., aspectos que no forman parte de ninguna materia, contribuyen tambin al desarrollo de las competencias bsicas. f) COMPETENCIAS BSICAS Y OBJETIVOS. Para cada etapa se han de especificar los objetivos as como el grado de desarrollo esperado de las competencias bsicas al final de la misma. 19 Niss, M. (1999).- Quantitative literacy and Mathematical Competencies
39. 39. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 39 g) COMPETENCIAS Y ORGANIZADORES CURRICULARES. - El currculo de cada rea debe especificar los objetivos, los contenidos, los criterios de evaluacin y la contribucin del rea a la adquisicin de las competencias bsicas. - Los contenidos (conceptos, procedimientos y actitudes) y criterios de evaluacin se han de establecer para cada uno de los ciclos y se debe asegurar la presencia de los contenidos que se relacionen directamente con la adquisicin de las competencias bsicas. No obstante, pueden existir tambin contenidos necesarios para alcanzar objetivos de la materia y que no se relacionen directamente con competencias bsicas h) COMPETENCIAS Y DISEO. El diseo curricular del plan de formacin debe contemplar, por tanto, dos tareas previas: a) analizar la actividad en la que se pretende que el alumno llegue a ser competente b) identificar las competencias necesarias para la realizacin de dicha actividad La competencia matemtica en la LOE Aunque tiene una formulacin algo confusa, se concibe como: Habilidad para utilizar nmeros y operaciones, formas de expresin y razonamiento matemtico para producir e interpretar informaciones, conocer aspectos cuantitativos y espaciales y resolver problemas. Asimismo, se incluyen los siguientes aspectos: identificacin de situaciones matematizables, seleccin de tcnicas adecuadas y aplicacin de estrategias de resolucin de problemas. El nfasis de esta competencia se pone en: - elementos matemticos bsicos - procesos de razonamiento para: resolucin de problemas, obtencin de informacin, valoracin de la validez de informaciones y argumentaciones, . . . para lo cual es importante: espritu crtico fundado, confianza en las propias habilidades, actitudes positivas, espontaneidad, seguridad, efectividad, habilidad para tomar decisiones, . . Contribucin del rea de Matemticas al desarrollo de las competencias bsicas Los contenidos del rea se orientan de manera prioritaria a garantizar el mejor desarrollo de la competencia matemtica en todos y cada uno de sus aspectos, lo que incluye la mayor parte de los conocimientos y de las destrezas imprescindibles para ello. Es necesario remarcar, sin embargo, que la contribucin a la competencia matemtica se logra en la medida en que el aprendizaje de dichos contenidos va dirigido precisamente a su utilidad para enfrentarse a las mltiples ocasiones en las que nios y nias emplean las matemticas fuera del aula. El desarrollo del pensamiento matemtico contribuye a la competencia en el conocimiento e interaccin con el mundo fsico porque hace posible una mejor comprensin y una descripcin ms ajustada del entorno. En primer lugar, con el desarrollo de la visualizacin (concepcin espacial), los nios y las nias mejoran su capacidad para hacer construcciones y manipular mentalmente figuras en el plano y en el espacio, lo que les ser de gran utilidad en el empleo de mapas, planificacin de rutas, diseo de planos, elaboracin de dibujos, etc. En segundo lugar, a travs de la medida se logra un mejor conocimiento de la realidad y se aumentan las posibilidades de interactuar con ella y de transmitir informaciones cada vez ms precisas sobre aspectos cuantificables del entorno. Por ltimo, la destreza en la utilizacin de representaciones grficas para interpretar la informacin aporta una herramienta muy valiosa para conocer y analizar mejor la realidad. Las Matemticas contribuyen a la adquisicin de la competencia en tratamiento de la informacin y competencia digital, en varios sentidos. Por una parte porque proporcionan destrezas asociadas al uso de los nmeros, tales como la comparacin, la aproximacin o las relaciones entre las diferentes formas de
40. 40. Competencias Bsicas y Competencias Matemticas Curso CEP Ceuta enero 2008 Gonzlez Mar, J. L. Didctica de la Matemtica UMA 40 expresarlos, facilitando as la comprensin de informaciones que incorporan cantidades o medidas. Por otra parte, a travs de los contenidos del bloque cuyo nombre es precisamente tratamiento de la informacin se contribuye a la utilizacin de los lenguajes grfico y estadstico, esenciales para interpretar la informacin sobre la realidad. En menor escala, la iniciacin al uso de calculadoras y de herramientas tecnolgicas para facilitar la comprensin de contenidos matemticos, est tambin unida al desarrollo de la competencia digital. Los contenidos asociados a la resolucin de problemas constituyen la principal aportacin que desde el rea se puede hacer a la autonoma e iniciativa personal. La resolucin de problemas tiene, al menos, tres vertientes complementarias asociadas al desarrollo de esta competencia: la planificacin, la gestin de los recursos y la valoracin de los resultados. La planificacin est aqu asociada a la comprensin en detalle de la situacin planteada para trazar un plan y buscar estrategias y, en definitiva, para tomar decisiones; la gestin de los recursos incluye la optimizacin de los procesos de resolucin; por su parte, la evaluacin peridica del proceso y la valoracin de los resultados permite hacer frente a otros problemas o situaciones con mayores posibilidades de xito. En la medida en que la enseanza de las matemticas incida en estos procesos y se planteen situaciones abiertas, verdaderos problemas, se mejorar la contribucin del rea a esta competencia. Actitudes asociadas con la confianza en la pro