Generalitat de Catalunya Políedres Departament d’Educació ...ccubas/1r ESO/Poliedres/09-10...

Generalitat de Catalunya Políedres Departament d’Educació Departament de Matemàtiques. Curs 2009-2010 SES Pla Marcell

1

Icosàedre truncat: format per 12 pentàgons i 20 hexàgons. Ocupa un 87,74% de l’esfera


2

FULL DE TREBALL A : ELS POLÍGONS

A.1. a ) Dibuixa un segment i indica amb una A un extrem i amb una

B l’altre extrem. Es pot mesurar un segment? Si és que sí, fes-ho i dóna la mida del teu segment en cm.

b ) Dibuixa una semirecta i indica amb una C el seu origen Pots mesurar una semirecta? Si és que sí, fes-ho i dóna la mida de la teva semirecta en cm.

c ) Dibuixa una recta Pots mesurar una recta? Si és que sí, fes-ho i dóna la mida de la teva recta en cm.

d ) Dibuixa un punt Compara el punt que has dibuixat amb el que han dibuixat els teus companys. Hi ha punts més grossos que altres? Es pot mesurar un punt?


3

e ) Observa aquests dos angles i digues, a cop d'ull quin és el més gran i quin és el més petit. (Utilitza els símbols > o < )

f ) Mesura els angles de l'apartat anterior utilitzant un mesurador d'angles, anomenat també transportador d'angles.

α = β =

A.2. A la web http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Geometrie/Atelier.html tens una activitat feta amb geogebra per poder practicar la mesura d’angles amb el transportador.


4

A.3. Visita la web http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/ , fes clic a la secció per 1r cicle de l’ESO i obtén les definicions i algunes característiques de punt, recta, semirecta i segment. Anota-les.

Punt . Definició: Altres característiques que has pogut trobar: Recta : Definició: Altres característiques que has pogut trobar: Semirecta : Definició: Altres característiques que has pogut trobar: Segment : Definició: Altres característiques que has pogut trobar: A la web http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Geometrie/elementgeo.html pots confirmar les teves definicions i veure les diferencies entre segment, recta i semirecta.


5

A.4. Recorda el significat dels següents tipus d’angles i omple la taula (pot fer servir la mateixa web o un altra. Si fas servir una web diferent anota la seva adreça o si fas servir un llibre o una enciclopèdia anota la bibliografia)

FONT BIBLIOGRÀFICA:

Nom de l’angle

Dibuix Explicació

Recte

Agut

Obtús

Revisa el teu resultat a http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Geometrie/Anglaigobt.html


6

A.5. Escriu a la taula de sota quines d'aquestes figures estan formades només per segments de línia recta:

Figures formades només per segments de línia recta A.6. Escriu a la taula de sota quines d'aquestes figures són tancades i quines són obertes:

Tancades

Obertes A.7. Anota quines de les figures geomètriques tancades de l'exercici anterior són tancades per segments de línia recta.

Tancades per segments

a b c d e

f g h ij

a b c d e f

g h i j k


7

A.8. a ) Escriu la definició de polígon:

(pots fer servir les adreces següents: http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/ o també http://www.mathleague.com/help/geometry/polygons.htm. Si fas servir una altra bibliografia, cal anotar-la)

FONT BIBLIOGRÀFICA: POLÍGON:

b ) Quines figures dels problemes anteriors són polígons?

c ) Dibuixa amb el regle un polígon i indica-hi de forma clara què és un costat , què és un vèrtex i què és un angle del teu polígon.

d ) Digues quants costats, quants vèrtexs i quants angles té el polígon que has dibuixat.

Nombre de costats Nombre de vèrtex Nombre d’angles

e ) Mesura tots els angles del teu polígon. Quant sumen?


8

a b c d e f g h i

............ .............. ................ ............ ............ ............... ............... ……… ………

j k l m n o p q r

.............. ............. ................. ............ .............. ........... ................ ……….. ………

a b c d e f g

A.9. Escriu sota de cada figura quin tipus de polígon és segons el seu nombre de costats: triangle, quadrilàter, pentàgon, hexàgon, heptàgon, octàgon, enneàgon o decàgon .

A.10. La Irene no recorda què són els polígons regulars i ho demana a l’Anna. Aquesta li diu: - "Em penso que són aquells polígons que tenen tots els costats iguals"

a ) Digues quins dels polígons següents serien regulars

segons el que diu l'Anna :

Polígons regulars segons l’Anna


9

b ) La definició de polígon regular donada a l'apartat

anterior és incorrecta: els únics polígons que són regulars entre els de l'apartat anterior són els de les figures: a, b, d i g. A part dels costats, què més han de tenir iguals els polígons per ser regulars? Escriu una definició correcta de polígon regular.

c ) Digues si seria correcta la definició següent: "Un polígon és regular si té tots els seus angles iguals". Si creus que és incorrecta justifica la resposta dibuixant un polígon amb tots els angles iguals però que no sigui regular.

d ) El polígon regular de quatre costats té un nom especial molt conegut, digues quin és aquest nom.

e ) Saps quin nom té el triangle regular?


10

FULL DE TREBALL B ELS TRIANGLES

Anem a recordar dos propietats que tenen tots els triangles

B.1. Si dos dels tres angles d'un triangle mesuren 30º i 75º respectivament, quant mesura el tercer angle? (Utilitza el transportador d’angles o fes la construcció a la web http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Geometrie/Atelier.html)

B.2. Anota les mides dels 3 angles de l’esquadra i dels 3 del cartabó. Quant sumen els tres angles en cada cas?

Suma del tres angles: Suma dels tres angles:

B.3. Dibuixa en un paper apart un triangle qualsevol i retalla els tres angles. Col·loca’ls junts, quant mesura la suma dels tres? (Enganxa els tres angles junts)

1a PROPIETAT: Els tres angles d’un triangle sumen sempre _______ Per entendre millor aquesta propietat pots consultar les webs: http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Elementaire/anglestri.html http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/an2triangulo.htm http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/figuras/an3triangulo2.htm


11

97º

25ºA

B

33º

B.4. Retalla quatre tires de paper de longitud 4 cm, 5 cm, 6 cm i 10 cm. (L'amplada que sigui de 0'5 cm en totes les tires). Digues en quins casos es pot formar un triangle.

Tires de: Es pot formar triangle? SI/NO

Tires de: Es pot formar triangle? SI/NO

4 cm, 5 cm i 6 cm 4 cm, 6 cm i 10 cm

4 cm, 5 cm i 10 cm 5 cm, 6 cm i 10 cm

B.5. Compara la suma dels dos costats més petits amb el altre costat gran en cada cas. Et veus capaç d’extreure la segona propietat dels triangles que fa referència a la longitud del costat més gran en comparació amb la suma dels altres dos costats? Visita la web http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Geometrie2/Inegaltrig.html i pot ser aclariràs millor les idees.

2a PROPIETAT:

B.6. Sense el transportador, i fent servir la primera propietat dels triangles que hem vist, troba els angles A i B als triangles del dibuix següent:


12

FULL DE TREBALL C CLASSIFICACIÓ DELS

TRIANGLES

Els triangles es poden classificar segons els costats o segons els angles

C.1. Omple la taula següent en la que es classifiquen els triangles segons els costats. (Anota la teva font bibliogràfica, tant si es una web com un llibre)

Nom del Triangle

Dibuix Explicació

Equilàter

Isòsceles

Escalè


C.2. Omple la taula següent en la que es classifiquen els triangles segons els angles

Nom del Triangle

Dibuix explicació

Rectangle

Acutangle

Obtusangle



13

C.3. Mira els dibuixos que has fet en els exercicis anteriors.

a ) Com són els tres angles d’un triangle equilàter?

b ) Com són els angles d’un triangle isòsceles?

C.4. Quin d'aquestes triangles és rectangle, acutangle i obtusangle?

1) 2) 3)

C.5. L'esquadra i el cartabò, quin tipus de triangles són?

Esquadra: Cartabò:

C.6. Dibuixa un triangle que sigui rectangle i isòsceles a la vegada. Quant mesuren els seus angles?


14

FULL DE TREBALL D ELS QUADRILÀTERS

D.1. Un paralelogram és un quadrilàter convex que te tots els costats paral·lels dos a dos. Completa la taula següent posant el dibuix i la definició del 4 tipus de paral·lelograms que hi ha.

FONT BIBLIOGRAFICA: (Una recomanació, http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/1eso.htm )

Nom del Paral·lelogram

Dibuix Explicació

Quadrat

Rectangle

Rombe

Romboide

D.2. Un Trapezi és un quadrilàter convex que sols dos dels costats són paral·lels, Completa la taula següent posant el dibuix i la definició del 3 tipus de Trapezis que hi ha

FONT BIBLIOGRAFICA: Nom del trapezi

Dibuix explicació

Rectangle

Isòsceles

Escalè


15

D.3. Tan sols queda un tipus de quadrilàter: el trapezoide. Fes un dibuix i escriu la definició


D.4. A la web http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Elementaire/anglequadri.html pots veure quan mesuren els angles de qualsevol quadrilàter. Escriu aquesta propietat.

ACTIVITATS D’AMPLIACIÓ D.5. A la web http://www.xtec.cat/~epuig124/mates/geometria/index.htm

tens diverses activitats per practicar el que hem treballat a classe. Fins i tot hi ha activitats avaluables. Prova a veure que tal.

D.6. Visita la pàgina http://www.xtec.cat/aulanet/ud/mates/geometria/index.htm . Pots resoldre alguns exercicis de la web i comprovar que realment has après coses noves. Si fas una visita detinguda i hem presentes un resum en un document word de diferents activitats, et contarà per millorar la nota. Recorda el meu email: [email protected] D.7. A la pàgina http://www.321know.com/geo.htm#topic1 tens diferents problemes per practicar tot allò que estem recordant sobre els polígons. Visita-la i comprova el que has après. Ep! La pàgina esta en anglès. Segur que no et fa por. Millora la teva nota de mates explicant en un resum que hi ha al pàgina i si realment has millorat el teus coneixements sobre polígons que ja tenies. Envia’m el resum adjuntat a un mail amb les teves investigacions.

Nom Dibuix explicació

Trapezoide


16

FULL DE TREBALL E ELS POLÍGONS REGULARS

MATERIAL: Per fer les activitats caldrà que portis escuradents i cinta adhesiva. E.1. Polígon regular de 3 costats � Construeix un triangle regular sobre la taula amb tres

escuradents. Ratlla amb un bolígraf i un regle a sobre dels escuradents els costats del triangle unint els vèrtex dels tres escuradents. Enganxa amb celo el teu triangle a sobre de la taula per a que no es bellugui.

� Com es diu el triangle que té els tres angles i els tres costats iguals? � Mesura els angles interiors de la figura. Són iguals els tres anglès

interiors? Quant mesuren els tres angles? Quan sumen els tres angles interiors d’un triangle regular?

� Quants triangles regulars pots col·locar units per un vèrtex de manera que ocupin un angle de 360º?

� Enganxa un triangle regular al teu dossier i anota els valors i totes les conclusions obtingudes.


17

Polígon regular de 4 costats � Construeix un quadrat sobre la taula amb quatre escuradents. Marca amb

un regle a sobre dels escuradents els costats de la figura plana unint els vèrtex dels escuradents. Enganxa amb celo el teu polígon a sobre de la taula per a que no es bellugui. Mesura els seus angles interiors. Són iguals els quatre anglès interiors? Quant mesuren els quatre angles?

� Quants quadrats pots col·locar units per un vèrtex de manera que ocupin un angle de 360º?

� Enganxa un quadrat al teu dossier i anota els valors i les conclusions obtingudes.


18

Polígon regular de 6 costats � Construeix un polígon regular de 6 costats sobre la taula amb sis

escuradents. Pots fer servir la següent figura com a referència per a obtenir un hexàgon realment regular:

� Marca amb un regle a sobre dels escuradents els costats de la figura plana unint els extrems dels escuradents. Enganxa amb celo el teu polígon a sobre de la taula per a que no es bellugui. Mesura els seus angles interiors. Són iguals els sis anglès interiors? Quant mesuren els sis angles?

� Quants polígons regulars de sis costats pots col·locar units per un vèrtex de manera que ocupin un angle de 360º?

� Enganxa l’hexàgon regular al teu dossier i anota els valors i les conclusions obtingudes.


19

Polígon regular de 5 costats � Intenta construir un pentàgon regular amb cinc escuradents. Mesura els seus

angles interiors. Es realment un polígon regular? Per que? � Quant creus que haurien de mesurar els cinc angles interiors d’un pentàgon

regular? Per que? � Amb l’ajut del transportador construeix al teu dossier un pentàgon que sigui

regular amb els cinc escuradents.


20

E.2. Mira aquestes dues webs sobre els angles dels polígons regulars i confirma el que has après:

� http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/angulospoligonoregular/central.htm

� http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/angulospoligonoregular/interior.htm


21

FULL DE TREBALL F ELS POLÍEDRES

Aquestes figures representen objectes del món real que trobem a la natura, al carrer o a casa nostra. Tots aquests objectes tenen una característica en comú: estan limitats per superfícies planes que són polígons . En aquests cossos, els polígons s'anomenen també cares.

Per exemple, encara que et sembli mentida, quan tires a porta en un partit de futbol estàs donant un cop de peu a un icosàedre truncat . Aquesta és la forma geomètrica de la pilota de futbol. Consta de 12 pentàgons i 20 hexàgons i ocupa el 87,74% de l’esfera. La resta, fins adquirir la forma d’esfera, s’aconsegueix gràcies a l’inflament i al fet que les peces de l’icosàedre truncat són

de cuir i, per tant, es poden deformar lleugerament. Un nou disseny de la pilota, un rombicosidodecaedre format per 12 pentàgons, 30 quadrats i 20 triangles, s’acosta encara més (en un 94,32%) a l’esfera. Si te interesa més el tema trobaràs més informació a la web:

http://platea.pntic.mec.es/%7Eaperez4/alcobendas/alcobendas.htm

F.1. Elabora una llista de diferents objectes reals que siguin políedres (recorda la definició de políedre: volums limitats per superfícies planes que són polígons) i d’altres que no ho siguin

Objectes amb volum que sí són políedres Objectes que no ho són


22

FULL DE TREBALL G EL CUB

MATERIAL: Per fer les activitats caldrà que portis envasos de cereals i cinta adhesiva. G.1. Característiques del cub.

a ) El primer que faràs serà construir un cub d’un volum de 5

cm3. Segueix els passos següents: Dibuixa i retalla 6 quadrats de costat 5 cm Enganxa’ls amb cinta adhesiva formant un cub.

b ) Si considerem que : cada quadrat és una cara del cub. cada segment on s'ajunten dues cares és una aresta del cub. cada punt on s'ajunten dues o més arestes és un vèrtex del cub.

Omple la taula següent:

POLIEDRE nombre de cares nombre de vèrtexs nombre d'arestes

CUB

c ) Quantes arestes o quantes cares es troben en un mateix vèrtex d'un cub?

És per això que es diu que els vèrtexs del cub són d'ordre 3 .

G.2. Desenvolupament pla del cub.

a ) Desfés el cub amb molt de compte de manera que et quedi

sobre la taula una figura plana d'una sola peça formada per quadrats enganxats . Aquesta figura plana és un desenvolupament pla del cub. Dibuixa la seva forma sobre de la quadrícula de manera que cada cara sigui un quadrat de la quadricula.


23

b ) Torna a construir el cub i torna a desfer-lo d'una altra

manera diferent, o sigui troba un altre desenvolupament pla del cub i dibuixa’ls també sobre la quadrícula anterior. Estàs segur que és diferent que el primer desenvolupament que has dibuixat? Per comprovar que són diferents pots dibuixar-los en una quadrícula a part , retallar-ne un i mirar si es poden superposar de manera que coincideixin.

c ) Troba tants desenvolupaments plans diferents del cub com

puguis i dibuixa’ls en la quadrícula. Para atenció en no repetir-ne cap. Quants n'has trobat?.


24

d ) Aquí tes totes les maneres possibles de col·locar sis

quadrats units entre ells costat a costat. Aquestes figures es diuen hexaminos. Hi ha 35 hexaminos diferents. Localitza entre els 35 hexaminos els desenvolupaments plans que has trobat als apartats anteriors i investiga quins d'aquests hexaminos són desenvolupaments plans del cub. Una pista: dels 35 hexaminos hi ha entre 10 i 15 només que són desenvolupaments plans del cub, Quants exactament? Quins?


25

FULL DE TREBALL H ELS POLÍEDRES REGULARS

Des de sempre els políedres regulars han estat considerats com els cossos geomètrics més perfectes. A l'època de la civilització grega clàssica, abans de Crist, ja els coneixien. En aquest treball investigarem quins són i quines característiques tenen.

H.1. Repassem el que ja saps: a ) Recorda algunes definicions. Cal buscar-les al teu dossier i

tornar a escriu-les de nou Polígon: Polígon regular: Políedre:


26

b ) Busca la definició de políedre regular i escriu-la. (http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/2eso.htm)

Políedre regular:

c ) El cub és un políedre regular? Amb quin altre nom es coneix?

d ) Què significa que els vèrtex del cub són d’ordre 3?


27

A continuació treballarem en grup per construir tots els políedres regulars sense deixar-nos-en cap. Per això no ho farem de qualsevol manera sinó de forma ordenada a fi de garantir que els hem construït tots i no n'hi ha cap més. Començarem pels que tenen les seves cares que són triangles, després quadrats i així successivament. Cada membre del grup ha de construir tots els poliedres regulars. El mètode de construcció serà el mateix que hem fet servir per elaborar el cub o hexàedre. De la següent plantilla heu de retallar els polígons regulars per poder fer molts polígons sobre cartolina o envasos de cereals que desprès s’han d’enganxar amb cinta adhesiva. Polígons regulars de 4 cm de costat

Generalitat de Catalunya Departament d’Educació Departament de Matemàtiques.

SES Pla Marcell

28


SES Pla Marcell

29

H.2. Políedres regulars amb cares triangulars

a ) Construïu amb triangles equilàters com

el de la figura del costat un políedre que tots els vèrtexs siguin d'ordre 3. Quantes cares té? Aquest políedre és el TETRAEDRE REGULAR

b ) Construïu un políedre amb triangles i

que tots els vèrtexs siguin d'ordre 4 . Quantes cares té? Aquest políedre és l’OCTÀEDRE REGULAR

c ) Construïu un políedre amb triangles i que tots els vèrtexs siguin d'ordre 5 . Quantes cares té?

Aquest políedre és l’ICOSÀEDRE REGULAR .

d ) Construïu un políedre amb triangles i que tots els vèrtexs siguin d'ordre 6 .

e ) Expliqueu amb quines dificultats us trobeu.


SES Pla Marcell

30

H.3. Políedres regulars amb cares quadrades

a ) Construïu un políedre amb quadrats

i que tots els vèrtexs siguin d'ordre 3. Quantes cares té?

b ) Aquest políedre és l’HEXÀEDRE REGULAR . Quin altre nom més conegut té?

c ) Construïu un políedre amb quadrats i que tots els vèrtexs siguin d'ordre 4 . Expliqueu amb quines dificultats us trobeu.

H.4. Políedres regulars amb cares pentagonals.

a ) Construïu un políedre amb

pentàgons i que tots els vèrtexs siguin d'ordre 3 . Quantes cares té?

Aquest políedre és el DODECAEDRE REGULAR

b ) Construïu un políedre amb

pentàgons i que tots els vèrtexs siguin d'ordre 4 . Expliqueu amb quines dificultats us trobeu.


SES Pla Marcell

31

H.5. Políedres regulars amb cares polígons de sis o més costats.

a ) Amb sis triangles equilàters podeu construir un hexàgon. Construïu sobre la taula tres hexàgons i intenteu ajuntar-los per a fer un vèrtex d'ordre 3 . Seria possible construir un políedre regular amb cares hexagonals? Per què?

H.6. Creieu que és possible construir un políedre regular amb cares que siguin heptàgons ? Raoneu la resposta i digueu si hi poden haver políedres amb cares que siguin polígons de més de 5 costats.

H.7. Quants políedres regulars heu construït?

H.8. Creieu que n'hi pot haver algun altre de diferent? Per què?


SES Pla Marcell

32

H.9. A la web http://www.walter-fendt.de/m11s/platonsolids_s.htm o la

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_131_g_2_t_3.html?open=instructions trobareu simuladors dels políedres regulars o platònics. Visiteu-les i comproveu el que heu après sobre aquest tema. En aquesta web http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html podeu consultar els 5 políedres regulars i els seus desplegaments.

H.10. A partir dels cinc políedres regulars construïts ompliu la taula següent, ordenant els políedres de més a menys cares

NOM DEL POLIEDRE

nombre de cares

nombre de vèrtexs

nombre d'arestes

de quin ordre són els vèrtexs?

cares + vèrtexs - arestes

a ) Escriviu una frase per resumir el que observeu en l'última

columna de la taula anterior.

b ) Aquesta relació entre cares, vèrtexs i arestes que heu enunciat a l'apartat anterior és l'anomenada FÓRMULA D'EULER . Investigueu si la fórmula d'Euler només es compleix amb els políedres regulars o també amb els altres políedres construint-los de manera que tinguin les cares diferents i comprovant si es compleix la fórmula. Organitzeu la investigació amb una taula i digueu a quina conclusió heu arribat.

Generalitat de Catalunya Políedres Departament d’Educació ...ccubas/1r ESO/Poliedres/09-10...

Documents

Transcript of Generalitat de Catalunya Políedres Departament d’Educació ...ccubas/1r ESO/Poliedres/09-10...