Generalización para el cálculo

del valor de fluencia mediante

e compresión HOMERO I. CHAMORRO ROBERTO J. J. WILLIAMS TEODORO G. KENKEL

Departamento de Tecnología Química Facultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional de La Plata (República Argentina)

RESUMEN En un sistema formado por arcilla y agua, el análisis crítico de una ecua­

ción que relaciona valores de fluencia Y, con los resultados experimentales obtenidos a partir de ensayos de deformación por compresión, ha demostrado que Y no es una constante que dependa sólo del material y su contenido de agua, sino también una función de los parámetros de la ecuación.

El valor mínimo de Y, se denomina Y^ y representa el verdadero valor de fluencia que, introducido en un balance macroscópico de energía, conduce a una ecuación de Capriz generalizada.

SUMMARY

RÉSUMÉ

For clay-water systems, a critical analysis of an equation relating yield values Y to stress-strain data obtained from a compresión test shows that Y is not only a constant depending on the material and moisture content but also a function of the equation parameters.

The minimum value of Y, namely Y^, represents the true yield value, which is included in a macroscopic energy balance that leads to a generali­zed Capriz equation.

Dans un système formé par le l'argile et de l'eau, l'analyse critique d'une équation qui met en rapport des valeurs de fluence Y, avec les résultats expérimentaux obtenus à partir d'essais de déformation par compression, a démontré qu'Y n'est pas une constante qui ne dépendrait que de la matière et de sa teneur en eau, mais qu'il est également fonction des paramètres de l'équation.

La valeur minimum d'Y se désigne Y^ et représente la véritable valeur de fluence qui, introduite dans une balance macroscopique d'énergie, conduit à une équation de Capriz généralisée.

(*) Recibido el 2 de septiembre de 1970.

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GENERALIZACIÓN PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE FLUENCIA...

ZUSAMMENFASSUNG Bei einem aus Ion und Wasser bestehenden System, hat die kritische

Analyse einer Gleichung, die die Flusswerte Y mit den experimentellen Er­gebnissen vergleicht, die auf Grund von Umformungsversuchen mittels Ver­dichtung erzielt wurden, den Beweis erbracht, dass Y keine Konstante ist, die lediglich von dem Material und seinem Wassergehalt abhängt, sondern auch eine Funktion der Gleichungsparameter ist.

Der Mindestwert von Y wird Y^ genannt und setell den eigentlichen Flusswert dar, der wenn er in eine makroskopische Energiebilanz eingeführt wird, zu einer generalisierten Capriz-gleichung führt.

1. Introducción

El valor de fluencia se puede definir como ;

a) Valor máximo de resistencia a la deformación, para el cual se cumple la ley de Hooke.

b) Esfuerzo mínimo para deformar un cuerpo de modo permanente. c) Esfuerzo mínimo necesario, en un sistema de flujo, para que exista flujo

con velocidad uniforme.

De acuerdo con comprobaciones experimentales (1), existen materiales para los cuales los valores definidos según a), b) y c) son diferentes, aunque, en gene­ral, a) y b) son coincidentes.

Para una deformación por compresión, Capriz (2) presentó una ecuación que permite obtener valores de fluencia a partir de resultados experimentales obte­nidos con el plasticímetro de Pfefferkorn, en el que un cilindro confeccionado con una pasta de arcilla y agua (considerado homogéneo, isótropo o incompre­sible), se somete a una compresión producida por caída sobre su base superior, de un peso deformante, desde una altura fija :

Y = - — [1] N/3 TrRo Ho/n (Ho/H)

donde Y = valor de fluencia en cizalla (g/cm^) ; w = peso compresor (g.) ; ho = altura de caída del peso compresor, con respecto a la base infe­

rior del cilindro de prueba (cm.); H = altura final del cilindro deformado (cm.); Ro = radio inicial del cilindro (cm.); Ho = altura inicial del cilindro (cm.).

Esta fórmula fue analizada y discutida en un trabajo anterior de los auto­res (3), en el cual se concluía que, para pesos de deformación y alturas dentro

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H. J. CHAMORRO, R. J. J. WILLIAMS Y T. G. KENKEL

de zonas de trabajo limitada, la fórmula se cumplía aproximadamente, pero que existía una cierta tendencia hacia valores menores de Y cuanto menor era la altura de caída del peso deformante.

Posteriores experimentos permitieron comprobar que Y no es una constante para un material dado, sino que depende de los parámetros de la ecuación [1]; su menor valor, que se denominará Yo, y que representa el verdadero valor de fluencia, corresponde a un peso deformante colocado sobre el área superior del cilindro, tal que produzca una deformación mínima, y depende en el caso particular del sistema arcilla-agua elegido, de la humedad de la pasta y de las propiedades intrínsecas del material arcilloso.

El presente trabajo está constituido por determinaciones de Yo, valor que está de acuerdo con las definiciones a) y 6), y por el análisis crítico de la rela­ción entre Y e Yo.

Los resultados teóricos son analizados en una serie de resultados experimen­tales con distintas condiciones de operación, y permiten establecer las diferencias entre Yo e Y, que resultarán en una variación de energía interna del cilindro du­rante el proceso de deformación a que se le somete.

2. Desarrolla teórico

De acuerdo con la primera ley de la termodinámica:

AU + AEp + AE, = Q — W [2]

donde: U = energía interna; Ep = energía potencial; Ec = energía cinética; Q = calor, y

W = trabajo.

Convencionalmente, cuando Q > O en la ecuación [2], la energía pasa de los alrededores al sistema ; y cuando W > O, la energía pasa del sistema a los alrededores.

Debido a la velocidad con que se realizan los cambios, se puede considerar adiabático al sistema esquematizado en la figura 1, es decir, que Q = O y W = O. Por tanto, resulta :

^EPCU + ^E„^e.o + ^ U e . , = o [ 3 ]

Si ahora se considera como sistema al cilindro (fig. 2), se puede escribir el siguiente balance :

AEp^,+AUei, = - ( - W ) = W [4]

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GENERALIZACIÓN PARA EL CALCULO DEL VALOR DE FLUENCIA.

I I Peso

Cilindro

(a)

FIG. 1

FIG. 2

De las ecuaciones [3] y [4] resulta :

P peso

Reemplazando los términos en la ecuación [5], para este caso particular :

/» tio /» Ho /» rio

[5]

W = (Pr A)dz= »/'JY (Z) nR'dz = v/T;rR„=H„

H « H

dz Y(z) [6]

z H

donde Pr = presión (dinas/cm^); A = área de la base superior del cilindro (cm ) ; z = altura variable del cilindro (cm.), y R = radio final del cilindro (cm.).

74 BOL. SOC. ESP. CERÁM., VOL. 10 - N.° 1

H. I. CHAMORRO, R. J. J. WILLIAMS Y T. G. KENKEL

Si se considera que Y (z) = Yp = valor de fluencia en cizalla = constante

W= sñ7:R„mjn(Ho/n)Y [7]

de las ecuaciones [5] y [7] se deduce que :

Y = V 3 ;rR„^H„/n (Ho/H)

[8]

que es similar a la ecuación [1], pues — AE^ ^ ^= w{ho-—H).

En realidad, los valores de Y dependen de la velocidad de deformación del cilindro, es decir, son una función de z, por lo que se puede escribir

/» Ho

W = v 3 TTRO^HO dz 1 /

[Y (z) — Yo] +y 3 ;rRo^HoYo/n (Ho/H) [9]

H

que se obtiene sumando y restando el segundo término del segundo miembro de la ecuación [6]. De las ecuaciones [5] y [9] resulta entonces :

»Ho

[Y(z)--Y„]

H

dz AE„

^/ 3 ;7R/H„ YoZn(H„/H) 110]

Los valores mínimos de fluencia Y«, se pueden obtener tomando el límite para H ^ Ho en la ecuación [10] :

C =

¡-^ H o

[Y(z) -Y, ] H

dz V 3 TTRO^HO

como —AEpj ^^^= w(ho-—H), despejando Yo se tendrá que:

Yo = — _ [11] ^/3 ;rR„^H„/n (H„/H)

Si se hace (experimentalmente) h„ = Ho, el límite de Y„ para H ^^ H» será :

wiho — R) lim Yo = H —>• Ho

lim H ^ H o

N/ 3 TrRo HoZn (H„/H) v/ 3 ;rR„^Ho/n (Ho/H)

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GENERALIZACIÓN PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE FLUENCIA...

Y o - Y ( H ) lim. — w lim. H

Yo = H —> Ho :r- , —-—; H —> Ho

s/ 3 ;rR/H„

lim. wH lim. Yo = H - > H o - - + H-^Ho[Yo —Y(H)]

v/3rrRo^Ho

Por lo tanto :

Yo = - - - [12] VS^TRO^

Una vez que se conocen valores de Y« en función de la humedad, en el inter­valo de humedades de trabajo, de la ecuación [11], se pueden calcular los valo­res de la integral y obtener C :

C = — Yo x/T;rRo^Ho/;7Ho 4- Yo sñ ;rRo^Ho/;7H + w(K~ H)

C = —Yo AlogHo + Yo AlogH ~^w(K — H)

donde

A = v/T^Ro^Ho-2,3.

Dado que hay varios valores constantes para cada humedad, en los dos primeros términos se puede escribir:

C = — K + K' logH + w;(Äo —H) [13]

donde K = Y« A log Ho,

y K' = Yo A.

C, en unidades de energía, da la diferencia entre el trabajo real realizado por el sistema, y el trabajo calculado con la simplificación introducida por Capriz Y (z) = Yo = constante.

3. Parte experimental

Se utilizó un plasticímetro según Pfefferkorn, al cual se le hicieron modifica­ciones con el objeto de trabajar en distintas condiciones de operación, en lo que respecta a altura y peso de caída.

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3.1. VALORES DE FLUENCIA EN FUNCIÓN DE LA HUMEDAD

Se obtuvieron valores de Yo mediante ensayos con pesos deformantes coloca­dos sobre la base superior del cilindro de prueba, graduando el peso en forma tal que produjera deformaciones pequeñas.

La altura final H del cilindro deformado se representó después gráficamente en función del peso soportado, y se extrapolaron las curvas obtenidas para el valor del peso correspondiente a H = 4 cm., es decir, el máximo peso que no produjera deformación. El valor del peso se introdujo en la fórmula [12] y se calculó así el valor de Yo correspondiente a la humedad particular de los cilin­dros ensayados. Este procedimiento se repitió para series de cilindros con ocho humedades diferentes.

La figura 3 muestra las curvas extrapoladas y la tabla I, algunos datos ex­perimentales y calculados.

Los valores de Yo se representaron también en función de la humedad. La figura 4 muestra la curva resultante (A), y la correspondiente al cálculo de Y según la fórmula [1] (B). Algunos valores aparecen en la tabla II, con las hume­dades correspondientes. Los ensayos indicados con letras corresponden a valores extrapolados.

200 600 1000 UOO 1800 2200 W(g)

FiG. 3.—Valores de fluencia para altura nula {extrapolados).

Referencias:

Valor Peso de fluencia

N.« (extrap.) (g.)

240

(g./cm^) % H,0

1

(extrap.) (g.)

240 19,6 30,9 2 270 22,1 30,9 3 400 32,7 30,2 4 490 40,1 30,0 5 580 47,5 29,2 6 620 50,7 28,7 7 770 63,0 26,6 8 1.030 84,3 24,6

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GENERALIZACIÓN PARA EL CALCULO DEL VALOR DE FLUENCIA.

TABLA 1

N.» w H H,0 C C N.» (g.) (cm.)

3,68

(%) (g/cm.)

179

(ergios)

1 1.220

(cm.)

3,68 28,6

(g/cm.)

179 175.000 8 746 3,88 28,7 20 19.600 15 1.690 3,80 26,5 182 178.000 17 970 3,97 26,5 7 6.900 26 361 3,87 31,1 13 12.800 28 555 3,75 30,7 72 70.000

Y. Yo dina/cm

500

¿00

300

200

100

O

A: Valores reales B: Valores calculados según

fórmula [1]

Ik 26 28 30 327.H2O

FiG. 4.—El valor de fluencia en función de la humedad,

TABLA II

N.» Y Y. líHi H,0 N.» (g/om^) (dinas/cm^) (%)

133 222 218 29,4 136 490 480 25,1 141 209 205 29,8 145 475 466 24,8 a 19,6 19,2 30,9 h 84,3 82,6 24,6

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3.2. RELACIÓN ENTRE C Y LA ALTUR\ DE CAÍDA

Con objeto de conocer la relación entre la energía C y la altura de caída ho, se llevaron a cabo ensayos con distintas alturas de caída de un peso constante de 1.220 gramos, sobre cilindros confeccionados con pastas con dos humedades diferentes. Las curvas obtenidas aparecen en la figura 5, y en la tabla III se pre­sentan algunos ejemplos de valores experimentales y calculados. A efectos com­parativos, en la figura aparecen también cuatro valores correspondientes a altu­ras de caída de 16,5 cm., que no corresponden a la misma curva debido a que los pesos deformantes son de 1.151 gramos.

(ergios)

20.000

15.000

10.000

5.000 h

20 h (cm)

FIG. 5.—Relaciones entre la energía C y la altura de caída.

Referencias:

Peso (g.) Altura inicial (cm.) % H,0

O 1.220 21,6 28,5 • 1.220 21,6 30,0 ©1.151 16,5 28,0 ©1.151 16,5 29,1 ©1.151 16,5 29,8 (11.151 16,5 30,2

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GENERALIZACIÓN PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE FLUENCIA.

TABLA III

N». h„ % H,0 C C X 10-ä N». (cm.) % H,0 (g. cm.)

323

(ergios)

42 4,00 30,3

(g. cm.)

323 317 45 5,29 30,0 2.313 2.267 50 10,02 30,1 8.011 7.851 57 5,29 28,4 1.193 1.169 59 6,79 28,6 4.203 4.119 65 5,29 28,6 2.281 2.235

3.3. RELACIÓN ENTRE C Y EL PESO DEFORMANTE

La relación entre C y el peso deformante se estudió considerando los mismos ensayos que se indican en 3.1. Se tomaron los valores correspondientes a cua­tro humedades para las cuales había mayor número de ensayos con pesos dife­rentes y se hallaron las relaciones entre C y w para cada humedad. Las curvas correspondientes aparecen en la figura 6. Algunos de los valores calculados se recogen en la tabla L

Cx10"3 (ergios)

1200 h

800

AOOh

800 1200 1600 2000 2A00 W{g)

FiG. 6.—Variación de C con el peso para distintas humedades. Referencias :

iV.° Peso limite (g.)

580 640 770

1.030

Valor de fluencia (g/cm^)

46,6 50,9 61,7 82,6

% H,0

29,2 28,7 26,6 24,6

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3.4. RELACIÓN ENTRE C Y LA HUMEDAD

Para estudiar la variación de la energía C con la humedad, se llevaron a cabo una serie de experimentos con distintas humedades, en los cuales se mantuvieron constantes las alturas de caída (ho = 21,6 cm.), y los pesos compresores (w = 970 gramos); se utilizaron además una serie de experimentos en los cuales ho = 16,5 centímetros y w = 1.151 gramos. Se obtuvieron, respectivamente, las curvas A y B, de la figura 7. La curva C, que se representa en la misma figura, fue obtenida con ensayos en los cuales, w = 4.371 gramos, y la serie de curvas D, con valores correspondientes a los ensayos citados en 3.1. Para todos los en­sayos de esta gráfica, la altura de caída, ho, fue de 4 centímetros. Dado que la altura inicial del cilindro de prueba es también de 4 centímetros, en los ensayos anteriores el peso compresor fue colocado inicialmente sobr la base superior del cilindro de prueba. Un ejemplo de los datos experimentales y calculados aparece en la tabla IV, y los valores para w = 4.371 gramos, en la tabla V.

TABLA IV

N.» w (g.) (cm.) % H,0 C

(g. . cm.) C X 10-5 (ergios)

70 970 21,6 30,4 17.728 173,7 74 970 21,6 26,8 15.548 152,4 76 970 21,6 25,0 15.486 151,8 84 970 21,6 29,8 17.458 171,1 85 970 21,6 27,1 15.788 154,7

111 970 21,6 27,8 16.187 158,6 112 970 21,6 27,5 16.183 158,6 132 1.151 16,5 29,4 14.901 146,0 137 1.151 16,5 30,5 15.626 153,1 139 1.151 16,5 28,0 14.202 139,2

TABLA . V

N.o w (g.)

h (cm.)

4,00

H (cm.)

1,38

% H,0 C (g. cm.)

8.153

C X 10-5 (ergios)

145 4.371

h (cm.)

4,00

H (cm.)

1,38 27,0

C (g. cm.)

8.153 79,90 146 4.371 4,00 1,17 27,3 8.737 85,62 147 4.371 4,00 2,08 25,9 6.029 59,08

4. Análisis de los resultados obtenidos

4.1. VALORES DE FLUENCIA

Los valores de Yo en función de la humedad, dan la recta A de la figura 4. Rigurosamente, si se pudiera considerar un intervalo más amplio de contenidos

ENERO-FEBRERO 1971 81

GENERALIZACIÓN PARA EL CÁLCULO DEL VALOR DE FLUENCIA...

de agua, la resultante sería una curva parabólica, dado que para bajas humedades la curva de crecimiento de Y« se haría asintótica con respecto al eje de coorde­nadas; de igual modo, para contenidos de agua muy altos, la curva sería asintó­tica con respecto al eje de las abscisas. En el intervalo de humedades estudiado, la recta trazada es la que mejor representa los valores experimentales obte­nidos, que provienen de la extrapolacióin de las curvas que aparecen en la figura 3.

La curva B de la figura 4, representa los valores de Y calculados según la fórmula [1]. En la misma figura se puede observar la discrepancia significativa entre Yo e Y, lo que indica la importancia de la corrección en los valores de fluencia, que surge de este trabajo. Si se comparan los resultados obtenidos (cur­va A), con valores obtenidos por otros autores para pastas similares (2), se ob­serva una buena concordancia.

4.2. VALORES DE LA ENERGÍA C

Existe una relación lineal entre C y la altura de caída (fig. 5). Aun para el caso de una variación del 2 % en la humedad, los valores caen sobre la misma recta. Por el contrario, una disminución en el valor del peso compresor (ensa­yos 133, 138, 139 y 140), da lugar a valores menores de C. Este efecto es lógico si se analiza la fórmula [13].

Las curvas que representan la relación entre C y w, para altura de caída nula, muestran un aumento en C con el incremento del peso de caída, resultado que refleja también la fórmula [13].

Para sacar conclusiones acerca de la influencia de la humedad, la figura 7 es más ilustrativa. En ella, la curva C y el grupo de curvas D, indican claramente un aumento del valor de C cuando la humedad es mayor; pero la forma de las curvas A y B requiere mayor explicación. Se puede observar que en el intervalo de humedades entre 27 y 32 %, el valor de C aumenta al crecer el contenido de agua de la muestra; en la zona de contenidos de agua entre 24,5 y 27, C es aproximadamente constante e independiente de la humedad, y en la zona corres­pondiente a pastas más secas (representada sólo en la curva A), el valor de C disminuye al aumentar la humedad. La explicación surge del análisis de la fórmula [13] :

C = —K + K'logH + w?(Ao —H) [13] (a) ib) (c)

Para contenidos de agua muy altos, el valor de Yo es muy bajo. Por tanto (a) y (b), serán despreciables con respecto a (c); un aumento de humedad se tradu­cirá en un valor menor de la altura final H, de este modo (c), aumentará cuanto más húmeda sea la muestra, y el valor de C será mayor.

8 2 BOL. SOC. ESP. CERÁM., VOL. 10 - N.° 1

H. J. CHAMORRO, R. J. J. WILLIAMS Y T. G. KENKEL

Cx10~ö (ergios)

19 h

17

15

13

0,5 O

D

70H2O 22 26 30

FIG, 7.— Variación de la energía C con la humedad,

Referencias :

Peso (gO

0 970 9 1.151 -0-4.371 « 1.690 © 1.220

e 970 746

0 9

555 361

Altura inicial (cm.)

21,6 16,5 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0

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GENERALIZACIÓN PARA EL CALCULO DEL VALOR DE FLUENCIA...

En una zona de contenidos de agua intermedios (a), es constante, y los térmi­nos (b) y (c) se compensarán al variar H, ya que uno aumentará, mientras el otro disminuye.

Finalmente, en la zona de humedad correspondiente a pastas más secas, el término (c) tendrá menos importancia relativa con respecto a (b), que será ma­yor debido al aumento de Yo y de H. Por esta razón, en este caso habrá un aumento de energía C al disminuir la humedad.

Este último caso se puede aclarar mediante un ejemplo hipotético. Supóngase que: A = 100; w = 1.000 gramos y ho = 20 centímetros, y que para tres hume­dades diferentes se cuenta con los siguientes valores :

N.° % H,0 H (cm.) Yo

1 22 3 100 2 23 2 90 3 24 1,5 80

Reemplazando en la fórmula [12], se tiene : Q = _ 6.000 + 4.800 + 17.000 -: 15.800 C = — 5.400 + 3.000 + 18.000 = 15.600 C3 = — 4.800 + 1.400 + 18.500 = 15.100

Lo cual permite observar que en estos casos, el valor de C aumenta al disminuir la humedad.

5. Conclusiones

1. Existe una diferencia significativa en el cálculo del valor de fluencia, cuando se incluye el término que indica la variación de Y con los pará­metros de la ecuación de Capriz (ecuación [1]).

2. El valor de corrección C (en unidades de energía), se debe restar al se­gundo miembro de la fórmula [8], para obtener el verdadero valor de fluencia.

3. El valor de C depende de las variables que indica la fórmula [13]; es decir, de Yo, H, ho y w.

BIBLIOGRAFÍA

1. BLOOR, E . C , «Plasticity: A Critical Surveyy>. Trans, Brit. Cer. Soc. 56, (1957), 423-481.

2. CAPRIZ, G., «A Theoretical Analysis of Extrusion Processes», Trans. Brit. Ceram. So€. 62 (1963), 339-361, y comunicación privada del autor.

3. CHAMORRO, H. ].; KRENKEL, T. G. y BOTTO, I. L., «El valor de fluencia y su relación con la plasticidad de un sistema formado con arcilla y agua». Bol. Soc. Esp. Cerám. 8 (1969), 525-534.

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