Generalización Pitágoras 2007
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INSTITUCION EDUCATIVA JUAN BAUTISTA LA SALLE Florencia, Caquetá. Generalización del Teorema de Pitágoras y otras relaciones en triángulos rectángulos MEN Noviembre 1 y 2 de 2007 1 SEGUIMIENTO DEL ESTUDIANTE Equipo ____ Estudiante Edad Grado Institución Educativa INTRODUCCIÓN El Teorema de Pitágoras, de mucha trascendencia en la matemática euclidiana, en especial, para la resolución de problemas de agrimensura, topografía, astronomía, física, ingeniería y de la matemática escolar misma, cobra vital importancia en la Geometría Analítica para determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuando se conocen sus dos catetos o, hallar un cateto, cuando se conocen su hipotenusa y el otro. OBJETIVO GENERAL Estimular el desarrollo de las habilidades y competencias matemáticas, mediante el trabajo cooperativo entre estudiantes de diferentes regiones del país, desarrollada a través de la metodología Estudio de clase, consolidada con la ejecución de la clase demostrativa “Generalización del Teorema de Pitágoras y otras relaciones en triángulos rectángulos”. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Construir polígonos regulares sobre los lados de un triángulo rectángulo utilizando las potencialidades del programa Cabri Géomètre. Explorar el teorema de Pitágoras, con triángulos, cuadrados, semicírculos y polígonos irregulares sobre cada uno de los lados de un triangulo rectángulo para determinar las relaciones entre las áreas de estos polígonos.
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INSTITUCION EDUCATIVA JUAN BAUTISTA LA SALLE Florencia, Caquetá.
Generalización del Teorema de Pitágoras y otras relaciones
en triángulos rectángulos MEN
Noviembre 1 y 2 de 2007
1
SEGUIMIENTO DEL ESTUDIANTE
Equipo ____
Estudiante Edad Grado Institución Educativa
INTRODUCCIÓN
El Teorema de Pitágoras, de mucha trascendencia en la matemática euclidiana, en especial, para
la resolución de problemas de agrimensura, topografía, astronomía, física, ingeniería y de la
matemática escolar misma, cobra vital importancia en la Geometría Analítica para determinar la
hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuando se conocen sus dos catetos o, hallar un cateto,
cuando se conocen su hipotenusa y el otro.
OBJETIVO GENERAL
Estimular el desarrollo de las habilidades y competencias matemáticas, mediante el trabajo
cooperativo entre estudiantes de diferentes regiones del país, desarrollada a través de la
metodología Estudio de clase, consolidada con la ejecución de la clase demostrativa
“Generalización del Teorema de Pitágoras y otras relaciones en triángulos rectángulos”.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Construir polígonos regulares sobre los lados de un triángulo rectángulo utilizando las
potencialidades del programa Cabri Géomètre.
Explorar el teorema de Pitágoras, con triángulos, cuadrados, semicírculos y polígonos
irregulares sobre cada uno de los lados de un triangulo rectángulo para determinar las
relaciones entre las áreas de estos polígonos.
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Explorar la relación entre el área del cuadrado mayor y la suma de las áreas de los cuadrados
pequeños construidos sobre un triangulo rectángulo a través de representaciones graficas,
tabulares y algebraicas.
Encontrar otras relaciones de triángulos rectángulos en los árboles Pitagóricos del Tipo I y del
Tipo II
Demostrar el teorema de Pitágoras utilizando técnicas de papiroflexia y la demostración de
Henry Perigal.
REQUERIMIENTOS PREVIOS
De orden geométrico
- Construcción de familias de polígonos
- Construcción de familias de triángulos rectángulos.
- Algunas demostraciones algebraicas del teorema de Pitágoras.
- Construcción de Macros cuadrado, Macro Triángulo rectángulo, Macro semicírculo, Macro
Pentágono
De orden Tecnológico
-Manejo de la aplicación de Geometría de la calculadora TI-92, Voyage 200.
-Software Cabri Géomètre II para computador.
-Manejo de tangram en construcción de figuras planas.
-Construcciones geométricas utilizando el doblado de papel.
METODOLOGÍA
Conformen 9 equipos de tres estudiantes de diferentes instituciones educativas y elijan un
líder.
En cada equipo se dispone de los siguientes instrumentos computacionales:
Computador con software Cabri Géomètre
Calculadora graficadora TI-92 Plus, o Voyage 200
Regla, compás, lápiz, regla, goniómetro, borrador, papel para papiroflexia
Un formato de registro de las respuestas.
Hojas de papel blanco.
Resuelvan cinco problemas, algunos con apoyo de tecnología (computacional y
convencional) y en otros resuelvan de acuerdo con la competencia. En éste tipo de
pregunta no se deben usar instrumentos computacionales.
Los nueve equipos deben resolver el mismo problema.
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Para cada problema propuesto tienen 12 minutos en promedio para su resolución,
respondan los interrogantes planteados en cada situación, realicen un registro escrito de la
solución. Una vez culminada esta etapa se hace una puesta en común a nivel general, para
la cual disponen de 12 minutos, en donde se presentan y comparan las conclusiones de los
diferentes equipos en torno a sus propias resoluciones, y también expresen las dificultades
y avances. Seguidamente se les presenta la solución dada por los becarios quienes
plantearon el problema o se valida la solución de los equipos que resolvieron
correctamente el problema.
SUGERENCIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS QUE IMPLICAN OBJETOS GEOMÉTRICOS.
o Lea el problema hasta que lo comprenda. Para ello con frecuencia es útil dibujar diagramas
si es posible y utilizar recursos de situaciones parecidas previamente estudiadas, en
especial construcciones geométricas.
o Determine los objetos geométricos, las variables conocidas y desconocidas.
o Utilice un símbolo para las variables dependiente e independiente.
o Registre cualquier hecho numérico conocido, o las relaciones de los objetos geométricos
que aparezcan en la construcción.
o A partir de la información que se vaya registrando, determine las expresiones algebraicas
en términos de las variables independiente y dependiente.
o Escriba una conclusión, la cual responda a las preguntas del problema.
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SITUACIONES PROBLEMICAS
EL UNIVERSO DE LOS FRACTALES
El término fractal fue incorporado por Benoît Mandelbrot, en 1975, para describir las formas
complejas de la naturaleza, ya que con la sola ayuda de la geometría euclidiana, no se pueden
explicar algunas formas tales como: líneas costeras, ramificaciones arbóreas, rocas, montañas,
nubes, sistema neuronal, brócolis, corales, cortezas de árboles, y ciertos objetos matemáticos: el
conjunto de Cantor, la curva de Peano y el triángulo de Sierpinski entre otros muchos, cuyo
comportamiento rebasa el marco de la matemática tradicional.
La palabra fractal significa “interrumpido” y, en cierta forma, algunos objetos de la naturaleza son
fragmentados, irregulares, rugosos. Por esto se creó una nueva geometría para estudiar dichos
objetos. Así surgió la geometría fractal como la geometría de la naturaleza. Entre las
ramificaciones arbóreas tenemos una clase de fractales llamados “árboles pitagóricos”, cuya
construcción se realiza aplicando el teorema de Pitágoras repitiéndose indefinidamente.
Figura 1 Figura 2
Árbol pitagórico isósceles rectángulo. Tipo I Árbol pitagórico escaleno rectángulo. Tipo II
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1. Construcción de un árbol pitagórico del Tipo I
Profesor moderador: Eduardo Polanía Ramírez
Tiempo disponible para resolución: 20 minutos
Tiempo para la socialización: 12 minutos
o Enunciado de la situación. Reproducir virtualmente el árbol pitagórico de la figura 3, sin alterar las relaciones estructurales
entre las partes constitutivas de la figura, cuando sea modificada por arrastre y determine la
expresión algebraica para la hipotenusa de uno cualquiera de los triángulos isósceles rectángulo.
Figura 3
Árbol pitagórico del Tipo I
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Previsión de posibles resultados, comportamientos u obstáculos.
o Recomendaciones para la construcción.
Identifique los objetos geométricos que componen el árbol pitagórico TIPO I.
Construya un cuadrado mayor de lado 5 cms que sirva de base para el árbol.
Construya un triángulo isósceles rectángulo con hipotenusa a uno de los lados del cuadrado.
Automatice la macro CUADRADO sobre cada cateto del triángulo isósceles rectángulo.
Automatice la macro TRIAREC2 sobre el cuadrado resultante.
Repita el procedimiento, aplicando las macro CUADRADO y TRIAREC2 hasta completar la
construcción.
Mida las hipotenusas resultantes de los triángulos isósceles rectángulo.
Registre en una matriz, el número de la hipotenusa y su medida correspondiente.
o Preguntas orientadoras
¿Qué relación encuentra entre la longitud de la hipotenusa 1 y la hipotenusa 3? ¿Y entre la
longitud hipotenusa 2 y la hipotenusa 4?
¿Cómo calcula la longitud de la primera hipotenusa? ¿y, el cálculo de la tercera hipotenusa?
¿Puede predecir sin hacer cálculos, la longitud de la hipotenusa del séptimo triángulo
isósceles rectángulo?
¿Cuál es la relación entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los catetos y la
hipotenusa de cada triángulo isósceles rectángulo?
Explore otras expresiones algebraicas y trigonométricas que le permitan calcular las
longitudes de las hipotenusas?
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2. Árbol pitagórico del Tipo II “LA SILLA DE LA NOVIA”
Profesor moderador: Eduardo Polanía Ramírez
Tiempo disponible para resolución: 5 minutos
Tiempo para la socialización: 12 minutos
Euclides de Alejandría (Siglo III a. c), autor del libro los Elementos, tratado de geometría y de
teoría de números, que durante muchos años sirvieron de modelo para el razonamiento lógico.
Los Elementos divididos en trece libros o capítulos, seis de ellos dedicados a la Geometría plana,
tres sobre Teoría de Números, tres a la geometría de los sólidos y un libro sobre los números
inconmensurables. El libro I, concluye en las proposiciones 47 y 48 con las demostraciones del
Teorema de Pitágoras y su recíproco, Euclides utilizó una bella demostración que se ha descrito a
veces como un “Molino de viento”, o una “Cola de pavo real” o bien como “La Silla de la novia”.
La figura 4 ilustra “La Silla de la Novia” en
el contexto de la primera guerra mundial.
Si el área del cuadrado que soporta “La Silla de la Novia” es la mitad del área del cuadrado donde
el soldado lleva su equipo de campaña, entonces el área del cuadrado que debe soportar el
sistema “Novia _ Equipo” es:
A. La mitad del área del cuadrado que ocupa el equipo de campaña. B. El doble del área del cuadrado que ocupa el equipo de campaña. C. El triple del área del cuadrado que soporta la “Silla de la novia”.
D. La tercera parte del área del cuadrado que soporta la “Silla de la novia”.
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3. RELACIONES ENTRE LAS FIGURAS PLANAS SEMEJANTES Y EL
TEOREMA DE PITÁGORAS
Profesor moderador: Eugenio Therán y Danilo Agudelo
Tiempo disponible para resolución: 15 minutos
Tiempo para la socialización: 12 minutos
o Enunciado de la situación. Construya semicírculos sobre cada uno de los lados del triángulo rectángulo CAB y, encuentra la
relación que existe entre el área del semicírculo mayor y la suma de las áreas de los semicírculos
menores. Figura 5
Recomendaciones para la construcción. o Construya un triángulo rectángulo CAB cuyo forma dependa de la variación de un punto T
sobre el segmento RS
o Aplique la macro Semicírculo, sobre los catetos y la hipotenusa del triángulo rectángulo.
o Mida el área de cada semicírculo.
Preguntas para la exploración
Mueve el punto T sobre el segmento RS y escribe tus conclusiones.
¿Qué relación existe entre las áreas del semicírculo mayor y la suma de las áreas de los
semicírculos menores?
Pregunta para la competencia1 El triángulo sombreado que aparece en la figura 6, es rectángulo.
Sobre los lados de este triángulo se han construido figuras planas
semejantes.
Si las áreas de los semicírculos 1 y 2 son respectivamente
2
2
9cm y
28 cm ,
¿Cuál es el diámetro del semicírculo 3?
A. 6 cms B. 8 cms C. 9 cms D. 10 cms
1 Tomado de las pruebas Icfes. 2006-2.
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4. PAPIRO DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 2
Profesores moderadores: Martha Macías Rojas, con apoyo de Becarios
Tiempo disponible para resolución: 15 minutos
Tiempo para la socialización: 12 minutos
Existen varias demostraciones que utilizan la papiroflexia para justificar este teorema y que se basan en pruebas geométricas clásicas.
Recomendaciones para la construcción.
Recorte un triángulo rectángulo de catetos a, b y de hipotenusa c
Recorte un cuadrado cuyo lado mida el doble que el cateto menor del triángulo rectángulo y construya la pieza cuadrada. Siga los pasos que ilustran las siguientes figuras.
Figura 9 Figura 10
Figura 8
2 Autorizada por Belén Garrido. Profesora de La Universidad de Valencia.
10
Construimos cuatro piezas trapezoidales de la siguiente manera:
Recorte un cuadrado de lado igual que el cateto mayor y construya la pieza trapezoidal. Siga los pasos que ilustran las siguientes figuras.
Figura 11
Sobre uno de los lados del cuadrado se marcan centradamente la longitud del cateto menor.
Marcas b,c
Figura 12
Figura 13 Figura 14 Figura 15
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Figura 17 Figura 18
Figura 16
Exploración geométrica
Con las cuatro piezas trapezoidales obtenidas, más el cuadrado construido sobre el
otro cateto cubra el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Figura 19
Determine sobre el mayor de los cuadrados
construidos sobre los catetos, la relación geométrica
que hace posible la disección y la verificación del
teorema de Pitágoras.
Figura 20
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5. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LOS POLÍGONOS IRREGULARES
Profesor moderador: José Danilo Agudelo
Tiempo disponible para resolución: 15 minutos
Tiempo para la socialización: 12 minutos
o Enunciado de la situación. Dado el triángulo rectángulo ABC, donde su hipotenusa tiene una medida dada, al igual que
cada uno de sus catetos, construya un polígono irregular sobre su hipotenusa y demuestre que si
se construyen sobre los catetos polígonos irregulares semejantes al construido sobre la
hipotenusa se verifica el Teorema de Pitágoras.
Recomendaciones Se construye sobre la hipotenusa, un polígono cualquiera como el de la figura 1.
Figura 21
Figura 22
Construya sobre los catetos, polígonos semejantes al construido sobre la hipotenusa.
Buscamos el módulo entre la hipotenusa y los catetos que nos permita realizar la homotecia,
y a partir de esto construimos los polígonos semejantes.
Determine el área de cada uno de los polígonos construidos, sobre los catetos.
Relacione las áreas de los tres polígonos construidos.
¿Qué pueden concluir?
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PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS PARA LA PRÓXIMA CLASE. Resolver los siguientes problemas en horario extraescolar.
1. El triángulo sombreado que aparece en la figura 24, es rectángulo. Sobre los lados de este
triángulo se han construido Pentágonos.
Figura 24
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?
A. El área del Pentágono 2 más el área del Pentágono 3 es igual al área del Pentágono 1.
B. El área del Pentágono 1 menos el área del Pentágono 3 es igual al área del Pentágono 2.
C. El área del Pentágono 3 menos el área del Pentágono 1 es igual al área del Pentágono 2.
D. El área del Pentágono 1 más el área del Pentágono 3 es igual al área del Pentágono 2.
Justifica su respuesta.
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2. DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Henry Perigal ideó esta demostración en 1830, aunque no la publicó hasta 1873. Su característica
principal es que podemos construir el cuadrado correspondiente a la hipotenusa a base de piezas
de los dos pequeños. El corte se da en la mitad del exceso del lado del cuadrado grande sobre el
pequeño.
“Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no
necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a
la hipotenusa del triángulo”.
¿Cuál de las siguientes figuras no cumple con el enunciado propuesto por Perigal?
A. B.
C. D.
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FORMATO 1
REPORTE ESCRITO ESTUDIANTES
Equipo Nº ___
Estudiantes___________________________________________
1. CONSTRUCCIÓN DE UN ÁRBOL PITAGÓRICO DEL TIPO I
a) ¿Qué relación encuentra entre la longitud de la hipotenusa 1 y la hipotenusa 3? ¿Y entre la
longitud hipotenusa 2 y la hipotenusa 4?
b) ¿Cómo calcula la longitud de la primera hipotenusa? ¿y, el cálculo de la tercera hipotenusa?
c) ¿Puede predecir sin hacer cálculos, la longitud de la hipotenusa del séptimo triángulo
isósceles rectángulo?
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d) ¿Cuál es la relación entre las áreas de Los cuadrados que se construyen sobre los catetos y
la hipotenusa de cada triángulo isósceles rectángulo?
e) Explore otras expresiones algebraicas y trigonométricas que le permitan calcular las
longitudes de las hipotenusas.
f) ¿Cómo encontró la expresión algebraica para la hipotenusa de uno cualquiera de los
triángulos isósceles rectángulo?
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3. Árbol pitagórico del Tipo II “LA SILLA DE LA NOVIA”
a) Describan, ¿Cómo abordó el equipo la situación?
b) ¿Cuál es su respuesta? , ¿Qué técnicas emplearon en la selección de la respuesta?
c) ¿Qué argumentos matemáticos utilizaron en la resolución de la situación?
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3. RELACIONES ENTRE LAS FIGURAS PLANAS SEMEJANTES Y EL
TEOREMA DE PITÁGORAS
Preguntas para la exploración
Mueve el punto T sobre el segmento RS y escribe tus conclusiones.
¿Qué relación existe entre las áreas del semicírculo mayor y la suma de las áreas de los semicírculos menores?
Pregunta para la competencia
Describan ¿Cómo abordó el equipo la situación?
¿Cuál es su respuesta? , ¿Qué técnicas emplearon en la selección de la respuesta?
¿Qué argumentos matemáticos utilizaron en la resolución de la situación?
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4. PAPIRO DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.
Determine sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos, la relación
geométrica que hace posible la disección y la verificación del teorema de Pitágoras.
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5. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LOS POLÍGONOS IRREGULARES
Relacione las áreas de los tres polígonos construidos.
¿Qué pueden concluir?
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FORMATO 2
REPORTE ESCRITO ESTUDIANTES
Equipo Nª___ Estudiantes___________________________________________ Respondan las preguntas de este formato después de haber terminado con la última
situación propuesta. 9:30 AM. a 10:00 AM.
1) Los conocimientos previos, son suficientes para resolver el problema.
2) Las recomendaciones, preguntas orientadoras y las ayudas computacionales y
convencionales contribuyeron a solucionar las situaciones problemas propuestas. ¿Por qué?
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3) Describa brevemente los momentos vividos en el desarrollo de la situación, por ejemplo,
como se organizaron, estado de ánimo, actitud del equipo, conocimientos.
