Geogebra en el aula trabajo fin de máster
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GEOGEBRA EN EL AULA USO DE GEOGEBRA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA‐ APRENDIZAJE DE MATEMATICAS EN 3º Y 4º DE LA ESO MÁSTER DE FORMACIÓN DE PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA Trabajo de Fin de Máster Curso 2010‐2011 Alumno: Martín Ruiz Jerez Director TFM: Pedro Viñuela
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GEOGEBRA EN EL AULA
USO DE GEOGEBRA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA‐
APRENDIZAJE DE MATEMATICAS EN 3º Y 4º DE LA ESO
MÁSTER DE FORMACIÓN DE PROFESORADO
DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Trabajo de Fin de Máster Curso 2010‐2011
Alumno: Martín Ruiz Jerez
Director TFM: Pedro Viñuela
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0. ÍNDICE 1. RESUMEN ................................................................................................................. 3 2. INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 4
2.1. Presentación y justificación .................................................................................................. 4 2.2. Objetivos ....................................................................................................................................... 6 2.3. Metodología ................................................................................................................................. 6
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................. 8 3.1. El estado de la cuestión (Revisión de fuentes) ............................................................. 8
3.1.1. Las TIC en la legislación educativa ........................................................................... 8 3.1.2. Introducción de las TIC en la actividad educativa ............................................ 11
3.1.2.1. ¿Para qué las TIC? .......................................................................................... 11 3.1.2.2. Impacto de las TIC en Europa: The ICT Impact Report. ................. 12
3.1.3. Geogebra en el aula de Matemáticas ...................................................................... 14 3.1.3.1. Sistemas de Geometría Dinámica ............................................................ 14 3.1.3.2. GeoGebra ........................................................................................................... 16
4. FORMULACIÓN DE LA PROPUESTA .......................................................... 18 4.1. Recursos TIC empleados en el aula de Matemáticas: GeoGebra .......................... 18
4.1.1. GeoGebra ........................................................................................................................... 19 4.1.1.1. ¿Qué es GeoGebra? ......................................................................................... 19 4.1.1.2. Un ejemplo de uso .......................................................................................... 20
4.2. Propuesta metodológica para el uso de GeoGebra en el aula de matemáticas22 4.2.1. 3º de ESO ........................................................................................................................... 23 4.2.2. 4º de ESO (Opción B) .................................................................................................... 29
5. RESULTADOS ...................................................................................................... 37 5.1. Aportaciones del trabajo ...................................................................................................... 37 5.2. Discusión .................................................................................................................................... 38 5.3. Conclusiones ............................................................................................................................. 40 5.4. Implicaciones, recomendaciones y aplicaciones ........................................................ 41 5.5. Limitaciones y sugerencias ................................................................................................. 43
6. BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA ..................................................................... 44 6.1. Bibliografía ................................................................................................................................ 44 6.2. Webgrafía ................................................................................................................................... 44
7. ANEXOS .................................................................................................................. 46 7.1. Anexo I: Álgebra, geometría y funciones en el RD 1631/2006 ............................ 46
7.1.1. 3º ESO: ................................................................................................................................ 46 7.1.2. 4º ESO (Opción B): ........................................................................................................ 48
7.2. Anexo 2: Índice de figuras ................................................................................................... 49 7.3. Anexo 3: Índice de tablas ..................................................................................................... 49
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1. RESUMEN
El uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) se impone
en el aula de la misma manera que en la sociedad, con sus ventajas y con sus limitaciones.
Introducir las TIC en la escuela significa integrarla en el día a día de cada asignatura de
manera que, en cada una de ellas, tanto alumnos como profesores puedan obtener el
provecho de las ventajas que les ofrecen.
La necesidad y los beneficios de avanzar en la aplicación de estas tecnologías en el
aula han sido y siguen siendo constatados en numerosos estudios. Aunque la introducción
de instrumentos tecnológicos en los centros es cada vez mayor, las posibilidades que
ofrecen sólo se intuyen. Podemos decir, por tanto, que estamos desperdiciando un gran
recurso simplemente porque no sabemos qué hacer con él y no estamos preparados para
utilizarlo. En este trabajo recogeremos algunos de estos estudios y analizaremos las
respuestas observadas en nuestra experiencia docente.
Veremos que el software matemático GeoGebra es una herramienta que permite
realizar de forma eficiente ejercicios y explicaciones que hasta ahora eran costosas y no
dejaban satisfechos ni a los docentes ni a los estudiantes. Como caso paradigmático hemos
tomado el estudio de la geometría analítica en 3º y 4º de la ESO, que incluye las áreas de
álgebra, funciones y geometría euclidiana. Abarca una amplia parte del currículum,
incluyendo muchos conceptos importantes para cursos posteriores y que a menudo resultan
difíciles para los alumnos. Propondremos una serie de actividades que nos podrán servir
tanto de ayuda a la hora de explicar los conceptos como para que los propios alumnos
trabajen.
Del uso de GeoGebra con nuestros alumnos y alumnas podemos concluir que,
efectivamente, supone una herramienta muy útil tanto para la enseñanza por parte del
profesor como para el aprendizaje por parte de los alumnos.
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2. INTRODUCCIÓN
Observando el día a día de un profesor descubrimos que las potencialidades de las
TIC como recurso educativo están muy lejos de estar eficientemente aprovechadas.
Queremos hacer una aportación para avanzar en este aspecto.
2.1. Presentación y justificación
Las “Nuevas Tecnologías” llevan tanto tiempo entre nosotros que el uso del
adjetivo ya no tiene sentido. Ordenadores, Internet, móviles, etc. Disponemos ampliamente
de todo tipo de aparatos y tecnologías que debieran servir para facilitarnos la vida. Incluso,
está muy extendido el mito de que los jóvenes de hoy en día nacen sabidos en cuanto a TIC
y saben sacar de ellos todo el partido que quieran.
Sin embargo, el verdadero uso que la sociedad hace de tanto avance es muy
escaso. En el caso de estos jóvenes, que sienten especial atracción por estas tecnologías y
tienen un fácil acceso a ellas, el uso se queda limitado muchas veces al ocio y el
entretenimiento. Mientras tanto, estamos perdiendo la oportunidad de aprovechar el gran
potencial que las TIC para la principal tarea que tienen, que es el aprendizaje. Además, no
estamos sabiendo educarlos para que realmente hagan de ellas el mejor uso posible.
La legislación educativa actual incluye las TIC no como fin en sí mismo sino
como una herramienta más integrada en el aula. Es decir, no es suficiente enseñar a utilizar
un ordenador o un procesador de texto, sino que debemos usarlas de tal manera que
proporcionen nuevas y mejores metodologías educativas que permitan al alumno alcanzar
los objetivos del proceso, comenzando por las competencias básicas.
En este trabajo analizaremos algunos estudios que demuestran los beneficios que
tiene en la educación introducir las TIC y las características de GeoGebra como
herramienta para el estudio de las matemáticas.
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Veremos algunas aplicaciones realizadas con GeoGebra de cara al estudio de la
geometría analítica en 3º y 4º de la ESO. Son aplicaciones que requieren poco trabajo de
preparación gracias a la sencillez del programa, pero que hacen un gran papel a la hora de
explicar los conceptos necesarios, pues permiten hacer clara y dinámicamente lo que antes
se hacía de manera estática y con dificultad. Nos referimos, por ejemplo, al estudio de las
razones de los lados del triángulo rectángulo, a los puntos notables de un triángulo, a la
resolución gráfica de sistemas, etc.
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2.2. Objetivos
Con la elaboración de este trabajo pretendemos mostrar en qué aspectos y de qué
manera las TIC ayudan en el proceso de enseñanza y aprendizaje de una asignatura
tradicional. Estudiaremos los beneficios que el uso del Sistema de Geometría Dinámica
GeoGebra supone en las matemáticas, concretamente en el área de la geometría analítica.
Lo objetivo principal es:
• Ofrecer una propuesta de metodología y actividades para el uso de GeoGebra
en el estudio de la geometría analítica (álgebra, funciones y geometría) en 3º y
4º ESO;
Adicionalmente, nos proponemos mostrar que el uso de GeoGebra en el aula
• Mejora la adquisición de conceptos, la comprensión de los problemas y la
capacidad para resolverlos;
• Aumenta el interés, la motivación y la actitud de los alumnos.
Además, ofrecemos un estudio de la legislación educativa en relación con la
introducción y uso de las TIC.
2.3. Metodología
Para conseguir los objetivos propuestos hemos seguido varios procesos
metodológicos. En primer lugar, hemos realizado una investigación bibliográfica y
webgráfica, en el Boletín Oficial del Estado (Real Decreto), a través de bases de datos
como Dialnet y de buscadores web, recogiendo:
• El marco legal estatal que justifica la necesidad de introducir las TIC en la
educación
• Las aportaciones de diferentes autores y autoras que demuestran tanto los
beneficios que tiene en la educación el uso de las TIC y de software
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matemático como GeoGebra, así como los déficits que en este sentido existen
hoy en día.
En segundo lugar, hemos realizado un trabajo de investigación activa en el aula,
observando los resultados de introducir GeoGebra en Matemáticas de 3º y 4º de la ESO. En
concreto, la observación directa ha sido realizada el Colegio Calasanz - Escolapios de
Pamplona (Navarra). Se trata de un centro privado concertado, situado en el centro de
Pamplona y bien comunicado con los barrios de la ciudad y las poblaciones de alrededor.
Además, como parte de la propia identidad escolapia, el colegio realiza la opción de dar
oportunidades a todos los sectores sociales, lo que permite que haya alumnos y alumnas
social y culturalmente diversos.
La observación se ha realizado sobre dos grupos de 3º de la ESO de 30 y 31
alumnos y alumnas respectivamente y un grupo de 4º de la ESO de 25. Existe otro grupo en
4º de la ESO, también de 25 alumnos. En este grupo, la asignatura es impartida por otra
profesora, de manera coordinada, por lo que las observaciones realizadas son puestas en
común entre los dos. En ambos grupos de 4º de la ESO la opción es la B.
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3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Como hemos indicado, integrar las TIC en el proceso educativo de cualquier
centro es algo imprescindible hoy en día. La Sociedad de la Información o del
Conocimiento exigen hombres y mujeres competentes en estas tecnologías, no como
expertos informáticos o telemáticos como usuarios capaces de aprovechar las
potencialidades que las TIC ofrecen, como un acceso inmediato a información, una gestión
eficaz de la misma mediante programas informáticos capaces de realizar cada vez más
operaciones, comunicación instantánea, etc.
Es obvio que las TIC no son imprescindibles para la vida humana. De hecho,
hemos vivido milenios sin ellas. Sin embargo, nuestra época ofrece unos recursos y exige
que respondamos al nivel de esos recursos.
¿Podemos, entonces, privar a los alumnos, de los conocimientos necesarios para
hacer el mejor uso de dichos recursos? ¿No es deficitario de por sí un sistema educativo que
no prepare para a los jóvenes para el futuro? Si es así, ¿qué debemos o podemos hacer para
que las TIC formen parte del aula?
Obviamente, harán falta muchos estudios para acabar de dar respuesta a estas
preguntas. Queremos, mediante este trabajo, hacer una aportación en este sentido
recogiendo algunas conclusiones de estudios realizados por otros autores y autoras y en
nuestra propia actividad docente y planteando una propuesta metodológica.
3.1. El estado de la cuestión (Revisión de fuentes)
3.1.1. Las TIC en la legislación educativa
El Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre (RD 1631/2006) (España, 2006),
que establece las enseñanzas mínimas para la ESO destaca la importancia de las TIC en el
proceso educativo.
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La competencia en tratamiento de la información y competencia digital
(competencia 4) forma parte de las competencias básicas propuestas en el marco europeo y
asumidas por la legislación del estado español. El RD 1631/2006, en el Anexo I, expresa de
forma clara en qué se basa la necesidad de adquirir esta competencia:
• De modo general, las competencias básicas tienen su razón de ser en la
importancia de que el proceso de enseñanza-aprendizaje permita a los
estudiantes una formación integrada que los haga capaces (competentes) para
las tareas cotidianas de la vida, en todos sus ámbitos. El desarrollo de estas
competencias implica la asunción de medidas en diversos ámbitos como el
uso de determinadas metodologías y recursos didácticos.
• De modo particular, el tratamiento de la información y competencia digital
deben capacitarlos para buscar, obtener, procesar y comunicar información.
[…] aprovechar la información que proporcionan y analizarla de forma crítica.
En cuanto al papel que las TIC juegan en el desarrollo de esta competencia, en el
mismo anexo, el RD 1631/2006 añade: “la competencia digital comporta hacer uso habitual
de los recursos tecnológicos disponibles para resolver problemas reales de modo eficiente”.
El Anexo II del RD 1631/2006 establece los contenidos mínimos de cada
asignatura impartida en la ESO por cursos y analiza su contribución al desarrollo de las
competencias básicas. En efecto, enfocar las matemáticas como herramienta para resolver
situaciones de la vida real hará a los estudiantes más competentes. El uso de las TIC,
concretamente, contribuye a una mejor adquisición de la competencia 4, en cuanto que
permite asimilar mejor los contenidos y gestionar datos como los gráficos y los estadísticos,
tan utilizados hoy en día.
El uso de herramientas informáticas en la asignatura de Matemáticas en la ESO
está previsto en diferentes áreas de la asignatura desde el primer curso. Conforme avanzan
los cursos, el RD 1631/2006 prevé una mayor introducción de las TIC. En relación a la
geometría y al análisis de funciones, el RD 1631/2006 marca los siguientes mínimos:
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• Común a todos los cursos:
o Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo
numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la
comprensión de propiedades geométricas.
• 1º ESO:
o Empleo de herramientas informáticas para construir, simular e investigar
relaciones entre elementos geométricos.
• 2º ESO:
o Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la
construcción e interpretación de gráficas.
• 3º ESO:
o Uso de las tecnologías de la información para el análisis conceptual y
reconocimiento de propiedades de funciones y gráficas.
• 4º ESO A:
o Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales:
exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información
para su análisis.
• 4º ESO B:
o Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo
de expresión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de
situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical.
o Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de
proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a
contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información
en la representación, simulación y análisis gráfico.
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3.1.2. Introducción de las TIC en la actividad educativa
3.1.2.1. ¿Para qué las TIC?
Como varios expertos y expertas en didáctica afirman, las TIC suponen un reto en
muchos ámbitos para la educación actual, que no afecta sólo a los recursos de que
disponemos sino a toda la estructura del sistema educativo.
En el año 2006, la Universidad Internacional de Andalucía (UNIA) ofreció un
curso de verano con el título Tecnologías de Información y la Comunicación y práctica
docente. La encargada de organizar el curso fue la catedrática de la Universidad de
Barcelona Juana Mª Sancho Gil. El curso contó con varios expertos en la materia y sus
contenidos fueron sintetizados en el libro Tecnologías para transformar la educación,
(Sancho, 2006), editado por la propia UNIA y AKAL. En el primer capítulo del libro (pp.
15-37), Sancho realiza un análisis de los retos que citamos. Como ya hemos indicado
anteriormente, Sancho nos dice que las TIC son una realidad y que van a estar presentes por
mucho tiempo, están transformando el mundo que conocemos y no podemos obviarlas en la
educación. Es decir, capacitar a los alumnos y alumnas en el buen uso de las TIC es una
exigencia de la sociedad en la que tienen que desenvolverse.
El principal reto que plantea es precisamente el de que la implantación de las TIC
en la escuela no tendrá éxito si no se replantea y rehace la estructura toda de un centro
educativo. Ante la irrupción de esta nueva herramienta, Sancho advierte de la posibilidad
de que se quede en una nueva “promesa rota”, como otras que han ocurrido a lo largo de las
últimas décadas, si no se reflexiona sobre el papel que deben jugar y las verdaderas
consecuencias que deben tener para la educación.
Como indica Sancho, cada “escuela” pedagógica puede simplemente adaptar su
metodología para que incluya las TIC como una herramienta más. Tanto conductistas,
como cognitivistas pueden hacerlo sin que su modelo educativo cambie. Es menos común,
afirma, que el profesor cambie su mentalidad y su modelo para adaptarlo a las
consecuencias que las TIC traen a la sociedad, en cuanto a formas de comunicación,
acceso, a la información, gestión de contenidos, procesado de datos, cálculos, etc.
12
La cuestión que se plantea es: ¿debemos seguir enseñando de la misma manera y
con los mismos objetivos que antes de las TIC? En la práctica, es lo que se está haciendo.
¿Cuáles son las dificultades que impiden una forma diferente de educar, acorde al
paradigma que plantean las TIC? Citando varias fuentes, Sancho señala como principales
obstáculos: una cerrada y anticuada organización escolar; un desigual uso de las TIC por
parte de los docentes; y una consideración parcial de las posibilidades de las TIC que
refuerza su visión de la educación.
3.1.2.2. Impacto de las TIC en Europa: The ICT Impact Report.
Varios de los aspectos señalados por Sancho son recogidos también en “The ICT
Impact Report” (Balanskat, Blamire y Kefala, 2006), redactado por la European SchoolNet
(grupo constituido por los ministerios de educación de 31 países), que analiza los resultados
de una serie de estudios realizados en Europa, a distintos niveles administrativos, en
relación a la introducción de las TIC en los centros educativos europeos. Algunos de los
resultados que arroja el informe (2006, p. 6), en relación al punto anterior, son:
• El impacto de las TIC sobre los resultados de los estudiantes depende del uso
que se les dé y de la capacidad del profesor de sacarles provecho;
• Los profesores de Europa utilizan más las TIC cuando perciben que refuerzan
sus creencias y se amoldan a sus métodos tradicionales;
• Existen obstáculos que dificultan la implantación de las TIC en la escuela.
Estos obstáculos pueden estar en el profesor, en la propia estructura e
infraestructura de la escuela o, incluso, en el sistema educativo nacional.
El informe resalta una serie de beneficios de las TIC en la educación, tanto para
los estudiantes como para los profesores (2006, pp. 4-5). Algunos de estos beneficios son:
• Para los estudiantes:
o Las TIC tienen un impacto positivo en varias áreas de la educación
primaria (principalmente en Inglés1, y escasamente en Matemáticas2);
1 Considerando el inglés como lengua nativa
13
o Las pruebas PISA, realizadas a alumnos de todos los países de la OCDE
revelan que hay relación entre el acceso a las TIC y el resultado en
Matemáticas;
o El mayor uso de las TIC y mejores recursos suponen más rápidos
avances;
o El uso de pizarras digitales interactivas mejora los resultados de los
alumnos, incluyendo las Matemáticas;
o Ayudan a desarrollar ciertas habilidades transversales, como la búsqueda
de información y la investigación;
o Refiriéndose a la atención a la diversidad, el informe destaca que el uso
de las TIC mejora el desempeño de alumnos con menores capacidades.
• Para los profesores:
o Aumentan el entusiasmo por la labor docente;
o Aumenta la eficiencia en la preparación y el planeamiento, y la
colaboración con los compañeros;
o Pueden servir de apoyo a su labor tradicional o motivarlos para buscar
nuevas metodologías.
• Además, los estudios recogidos en el informe analizan también la percepción
subjetiva que los miembros de la comunidad educativa tienen del impacto de
las TIC sobre los estudiantes. Según el informe:
o El 86% de los profesores opina que sus alumnos están más motivados y
prestan más atención cuando se usan TIC en el aula, además de mejorar
sus capacidades de comunicación y procesado de la información;
o Las TIC tienen un impacto positivo en el comportamiento en los alumnos;
o El uso de material multimedia e interactivo les resulta atractivo y
motivador (sobre todo en educación primaria).
2 Algunos resultados para las matemáticas son contradictorios, aunque se refieren a niveles
escolares diferentes. El informe destaca que sean positivos para las pruebas PISA (entre otros).
14
A la vista de estos resultados, el informe aconseja dedicar esfuerzos a diseñar un
plan para introducir las TIC en los centros educativos que aproveche al máximo las
posibilidades que éstas ofrecen (2006, p. 8).
3.1.3. Geogebra en el aula de Matemáticas
3.1.3.1. Sistemas de Geometría Dinámica
GeoGebra es una aplicación informática dentro de los llamados Sistemas de
Geometría Dinámica (DGS por sus siglas en inglés). Este término hace referencia a
aquellos programas informáticos de representación geométrica que permiten al usuario
modificar los elementos (por ejemplo, arrastrándolo) y observar la respuesta de otros
elementos de manera dinámica o, dicho de otra manera, en “tiempo real”. Por ejemplo,
podemos dibujar un triángulo y observar cómo varía su área si arrastramos uno de sus
vértices a lo largo de la gráfica.
Los DGS permiten dibujar, de manera sencilla, “cualquier” figura geométrica,
hallar áreas, distancias, elementos característicos, etc. Además, podemos observar qué
ocurre con estos parámetros si modificamos las coordenadas u otras características de la
figura.
Algunos ejemplos de DGS son GeoGebra, que será nuestra referencia en este
trabajo, Cabri, Calques 3D, Cinderella, etc.
La Doctora en Matemática Educativa Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, de la
Universidad Autónoma del Estado de México, realizó en 2009 un estudio sobre la
influencia de la geometría dinámica en el aprendizaje de alumnos entre 15 y 18 años
(Sandoval, 2009). El estudio destaca que el uso de DGS “ofrece un campo de exploración
que no es factible en las representaciones con lápiz y papel” (p. 8). Es decir, permiten
representar figuras geométricas de una manera mucho más sencilla y clara.
Además, Sandoval observa que el carácter dinámico de la aplicación (Cabri)
permite explorar las variaciones de un problema y sacar conclusiones teóricas sobre el
comportamiento de los elementos geométricos y sus propiedades. Los alumnos realizaban
15
conjeturas y comprobaban, de manera sencilla, su validez. Evidentemente, esto no lleva a
una demostración teórica, pero los alumnos construyen una nueva manera de entender el
problema (Sandoval, pp. 23-25).
El estudio muestra, por lo tanto, que el uso de DGS en el aprendizaje de la
geometría facilita el ver y entender con mayor claridad los conceptos ligados a las figuras,
además de permitir la formulación y comprobación de conjeturas y acercar el problema y su
solución al alumno.
Otro estudio realizado en Rio de Janeiro, utilizando el SGD Calques 3D, muestra
que el uso de estas herramientas facilita “la comprensión de las fórmulas de los volúmenes
de los sólidos geométricos más utilizados en la enseñanza de secundaria” (Alves, Soares y
Lima, 2007). Además, ofrece resultados cualitativos obtenidos en tres pruebas realizadas,
atendiendo a otros tantos aspectos: la calificación obtenida en la evaluación académica, el
conocimiento geométrico adquirido y el raciocinio espacial. Las pruebas fueron aplicadas a
dos grupos, uno de los cuales utilizó DGS y el otro recibió clases normales. En los tres
aspectos, el grupo que recibió clases utilizando Calques 3D obtuvo resultados
significativamente mejores que el grupo de control que siguió con las clásicas.
La Unión Europea puso en marcha el proyecto Inter2geo 3 (Interoperable
Interactive Geometry for Europe), en el que participaron varias universidades (entre ellas la
Universidad de Cantabria) y empresas desarrolladoras de DGS (GeoGebra, Cabri,
Cinderella…). El proyecto fue llevado a cabo entre los años 2007 y 2010 con el objetivo de
promover el uso de esta herramienta y facilitar recursos para los docentes. El proyecto se
presenta a sí mismo como “una vía para mejorar la enseñanza matemática con la ayuda de
un ordenador”. Pretende difundir las herramientas de geometría dinámica ofreciendo
recursos y aplicaciones ya preparadas que pueden ser usadas de manera libre en el aula.
Actualmente cuenta con casi 3400 recursos y más de 1100 miembros y, aunque el proyecto
como tal ha concluido, cada usuario puede contribuir con sus propias aplicaciones, de
manera que la página siga funcionando por sí sola y sirva de fuente para los docentes.
3 El sitio en internet del proyecto es: http://i2geo.net/
16
3.1.3.2. GeoGebra
En su artículo GeoGebra, la eficiencia de la intuición (Losada, 2011), Rafael
Losada, que es uno de los expertos españoles de en DGS y GeoGebra, repasa las cualidades
que hacen de esta aplicación una gran herramienta para la docencia de Matemáticas.
Losada enfatiza varios aspectos de GeoGebra que lo hacen destacar sobre otros
software. En primer lugar, tiene licencia GNU GPL (gratuito y de código abierto), es
multiplataforma (Windows, Linux, Solaris, MacOS X) y cuenta ya con varios premios.
Gracias a su licencia y a las posibilidades que ofrece como aplicación, tiene una
gran comunidad multidisciplinar que lo apoya y lo mejora. Así, cuenta con foros, wikis, etc.
donde compartir experiencias y dudas. Además, está traducido a multitud de idiomas,
incluidos el castellano, el euskara, el catalán y el gallego, lo cual es un valor añadido que
permite ser utilizado en las diferentes comunidades autónomas del estado según la
cooficialidad de las lenguas y su modelo lingüístico y educativo. Es el caso de Navarra,
donde hemos realizado el trabajo y en gran parte de cuyo territorio el euskara es lengua
cooficial, y los modelos bilingües son una opción cada vez más extendida.
GeoGebra permite también publicar de forma muy sencilla las realizaciones en
páginas web, lo que hace que haya muchas páginas que ofrecen applets muy útiles.
Como dice Losada, desde el punto de vista de su utilidad, la gran ventaja de
Geogebra es que aúna las características de dos tipos de programas matemáticos: es, al
mismo tiempo, un DGS y un CAS (Sistema de Álgebra Computacional, entre los que se
encuentran Derive, Mathematica y Matlab). Esto significa que los comandos pueden ser
introducidos de dos maneras: con el ratón (como en los DGS) y con el teclado (como en los
CAS). Es decir, podemos dibujar una recta que pasa por dos puntos clicando con el ratón
sobre la gráfica y buscando la herramienta que crea una recta que pasa por esos dos puntos,
o podemos teclear la ecuación de la recta en la línea de comandos. Permite mezclar las dos
funcionalidades, por ejemplo para realizar cálculos referidos a las figuras representadas,
como puntos de intersección, derivadas, áreas, etc.
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Su sistema de doble ventana, geométrica y algebraica, permite visualizar al mismo
tiempo. Lo que hagamos en una de las ventanas se refleja automáticamente en la otra, de
manera que introducir un punto con el ratón o tecleando sus coordenadas da el mismo
resultado.
Aunque es posible realizar aplicaciones con una elaboración compleja, Geogebra
está pensado ser sencillo e intuitivo, de manera que profesores y alumnos puedan utilizarlo
sin grandes conocimientos informáticos. Además, su objetivo no está en la realización de
cálculos complejos y de mucha complejidad, sino el aprendizaje escolar de la geometría,
por lo que los esfuerzos realizados van más en la creación de herramientas útiles.
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4. FORMULACIÓN DE LA PROPUESTA
Volviendo a las preguntas que formulábamos anteriormente, al presentar el
problema, y habiendo analizado lo que otros autores y autoras han publicado sobre TIC en
el aula y sobre el uso de DGS como GeoGebra, queremos presentar aquí nuestra propuesta
metodológica para la introducción de las TIC en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
4.1. Recursos TIC empleados en el aula de Matemáticas:
GeoGebra
Para el tema que nos ocupa, el proceso de aprendizaje-enseñanza, la grandeza de
estas aplicaciones es que permiten a los profesores hacer de manera efectiva y sencilla lo
que antes, sobre la pizarra, resultaba prácticamente imposible por mucho empeño y
habilidad que se pusiera: hacer que los alumnos entendieran los fundamentos gráficos de
las matemáticas en general y de la geometría en particular.
Por ejemplo, demostrar que el circuncentro, el baricentro y el ortocentro de
cualquier triángulo están alineados (dando lugar a la recta de Euler) con tiza, compás y
regla (y borrador) era una tarea laboriosa, imprecisa, estática y cuya explicación acababa
apelando a la fe de los alumnos: “¿Entendéis? Pues así ocurre con todos”. Posteriormente,
el dibujo se borraba y con él, en muchos casos, la explicación. Aunque es cierto que
algunos alumnos aprendían y ejercitaban la capacidad espacial y de abstracción, también es
cierto que muchos de ellos no lo hacían: no entendían el dibujo, ni el problema, ni el
resultado, y como mucho, aprendían el proceso y lo hacían en el examen.
Utilizando un DGS podemos dibujar el triángulo, las alturas, mediatrices y
medianas necesarias para hallar los puntos notables y trazar la recta que pasa por esos
puntos. Todo esto con precisión, claridad y limpieza, rapidez, invirtiendo más tiempo en
explicar los conceptos que en trazar los arcos y rectas, utilizando colores y trazos diferentes
para remarcar elementos más importantes, ocultando y volviendo a exhibir objetos cuando
sea necesario, etc. Una vez hecho esto, podemos modificar el triángulo y observar qué
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ocurre con las alturas, los puntos, su alineación, etc., sin tener que dibujar todo desde el
principio.
Evidentemente, no queremos con esto decir que, a partir de ahora, todo el trabajo
de geometría deba ser realizado con el ordenador. Es evidente el valor que tienen el lápiz y
el papel (y la regla, el compás, etc.) para aprender geometría, conocer las figuras básicas,
entender qué es una tangencia, etc. Ambas herramientas deben combinarse para ser
utilizadas en los momentos en que sean necesarias y con los beneficios que cada una aporta
al aprendizaje.
4.1.1. GeoGebra
4.1.1.1. ¿Qué es GeoGebra?
Como ya hemos comentado en el punto 3.1.3.2 de la revisión de fuentes, en el que
analizábamos el artículo de Rafael Losada, GeoGebra es un programa informático de
matemáticas orientado a la educación. La gran ventaja que presenta sobre otros software es
la integración de diferentes tipos de vista, algebraica y gráfica, que nos permite trabajar
dinámicamente de las dos maneras, observando también los resultados algebraicos y
geométricos al mismo tiempo.
Además, desde la versión 3.2, lanzada en 2009 y la última versión estable hasta
ahora, incorpora una hoja de cálculo que nos permite observar, por ejemplo, los valores que
toma una función en diferentes puntos o, incluso, trabajar con estadística. En la actualidad,
los desarrolladores están trabajando en la creación de un entorno 3D, que debe suponer un
gran avance por su importancia en la geometría.
La web oficial es www.geogebra.org. Desde ella podemos descargar el programa
(ya hemos dicho que es gratuito) y acceder a gran cantidad de recursos de ayuda para
comenzar e ir avanzando.
20
4.1.1.2. Un ejemplo de uso
Vista gráfica, algebraica y hoja de cálculo
En la siguiente imagen vemos una captura de pantalla de GeoGebra con las tres
vistas: algebraica, en la que aparecen las expresiones de las curvas, puntos, etc.; gráfica, en
la que se muestran los elementos dibujados en los ejes cartesianos y la hoja de cálculo.
Las curvas han sido dibujadas escribiendo en la ventana “Entrada” (parte inferior)
la expresión analítica. Los puntos, calculando los valores en la hoja de cálculo y pidiendo a
GeoGebra que los dibuje.
Como vemos, tenemos diversas formas de trabajar con GeoGebra, de la misma
forma que existen diferentes formas de trabajar con funciones y puntos.
Vemos en la vista algebraica que tenemos objetos libres y objetos dependientes.
Los objetos libres son aquellos que no dependen de otros. Los objetos dependientes utilizan
parámetros referidos a otros objetos, y varían en la medida en que estos lo hacen. Por
ejemplo, la curva g(x) tiene la expresión g(x)=ax2+bx+c. Es decir, depende de tres objetos
a, b y c. En nuestra aplicación, estos tres objetos son sendos deslizadores cuyos valores
Figura 1. Integración de vistas algebraica y gráfica y la hoja de cálculo.
21
podemos modificar en la ventana gráfica. En la hoja de cálculo hemos recogido los puntos
para x desde -16 hasta 17. Si movemos los deslizadores, se actualizan automáticamente
tanto la gráfica como la expresión en la vista algebraica y los valores en la hoja de cálculo.
Todos los objetos utilizados son muy sencillos de crear. Simplemente hay que
respetar algunas reglas sintácticas. Modificar el color, el nombre y otras propiedades
también es muy fácil, podemos ocultar los objetos si no nos interesa que se vean, hacerlos
fijos en la gráfica, etc. El deslizador también es muy simple: tiene su propio comando en el
menú y podemos modificar, entre otras cosas, los valores extremos y el incremento.
Vemos también que podemos escribir en la ventana gráfica. Los textos también
pueden ser dinámicos, utilizando una sintaxis que incluye variables e, incluso, fórmulas
típicas de LaTex. Por ejemplo, el texto que aparece en la aplicación mostrando la abscisa
del vértice de g(x) también varía dinámicamente al variar los deslizadores, re-calculando el
valor de la abscisa según la fórmula p=-b/2a. La cadena utilizada para crear este texto ha
sido la siguiente:
"Abscisa del Vértice: P= - \frac{ b }{2a } = - \frac{ " + b + " }{2" + a + " }=" + (-(b) / (2 a))
Esta es la única parte complicada de la aplicación, aunque un pequeño estudio
permite ver que son pocas las reglas y conocimientos necesarios. En todo caso,
probablemente no encontraremos complicaciones mayores que ésta en GeoGebra.
Ya hemos dicho que la comunidad entorno a GeoGebra es muy amplia. En ella
podemos encontrar todo tipo de recursos que nos ayuden en nuestro trabajo con el
programa: manuales y tutoriales (también video-tutoriales), wikis, blogs, páginas de
profesores en el que muestran cómo trabajan en el aula con GeoGebra y páginas con gran
cantidad de aplicaciones diseñadas y libres para ser usadas.
22
4.2. Propuesta metodológica para el uso de GeoGebra en el
aula de matemáticas
Como hemos visto, GeoGebra no es sólo un Sistema de Geometría Dinámica. Es,
además, un Sistema de Cálculo Algebraico. Con él podemos estudiar las figuras
geométricas como tales, pero también podemos estudiar funciones y hacer álgebra. Como
ejemplo para la creación de una metodología que haga uso de Geogebra vamos a considerar
el estudio de la geometría analítica en 3º y 4º de la ESO.
El currículum de la Opción B de 4º de la ESO incluye el estudio de la geometría
analítica. La geometría analítica es la parte de las matemáticas que estudia la geometría a
través de cálculos algebraicos y funciones. Evidentemente, para poder trabajar este tema en
4º de ESO es necesario tener conocimientos de álgebra y funciones. Es decir, integra
conocimientos de varios bloques del currículum.
El Anexo I recoge los contenidos que el RD 1631/2006 marca para los bloques de
Álgebra, Geometría y Funciones y gráficas en 3º y 4º de la ESO (Opción B). Los tres
bloques son trabajados también en 1º y 2º, pero vamos a considerar aquí los contenidos del
segundo ciclo. Veremos algunas actividades que podemos realizar con Geogebra para
acompañar el estudio de estas áreas, tanto para facilitar el ejercicio de la explicación del
profesor, como para afianzar después la compresión y capacidad de resolución de
problemas de los alumnos. Para ello seguiremos las Unidades Didácticas de los currículos,
tomando como referencia los libros de texto de la editorial Anaya para 3º y para 4º de la
ESO. Muchos de los ejemplos y ejercicios propuestos son extraídos del texto, pero los
utilizamos aquí como base para presentar las propuestas de uso de GeoGebra. Destacamos,
para cada Unidad Didáctica, algunos puntos importantes que podemos trabajar con
GeoGebra y realizamos propuestas para este trabajo.
23
4.2.1. 3º de ESO
Sistemas de ecuaciones lineales
• Cuando tenemos ecuaciones con dos incógnitas x e y las soluciones son
parejas (x,y).
• En general, existen infinitas parejas que cumplen la ecuación.
• Dichas parejas pueden ser entendidas como las coordenadas cartesianas de un
punto del plano.
• A este nivel, las ecuaciones con dos incógnitas con las que se trabaja son
ecuaciones lineales. Los infinitos puntos que son solución de la ecuación
forman una recta.
• Podemos dibujar la recta que contiene las soluciones de la ecuación dibujando
dos de las soluciones y uniéndolas.
• Interpretación gráfica de la solución de un sistema de ecuaciones.
Propuestas GeoGebra
Actividad 1: Soluciones de una ecuación lineal
Para entender qué significa un sistema de ecuaciones y cómo interpretar su
solución es necesario entender qué es una ecuación de dos incógnitas y cómo son sus
soluciones. En el campo de la geometría, una ecuación de dos incógnitas, es una relación
entre esas dos incógnitas, de manera que a cada valor de una de ellas le corresponde otro
valor de la otra. Aún no hablamos de funciones ni de variables independientes o
dependientes, aunque en la práctica tenderemos a usar la x como variable independiente y
la y como dependiente.
Podemos utilizar GeoGebra de la siguiente manera para apoyar nuestra
explicación. Proponemos una ecuación de dos incógnitas dada por la siguiente expresión:
2 5 7
Despejamos la variable y:
24
2 75
Propondremos a los alumnos que vayan dando parejas de valores a x y hallen el
correspondiente valor de y. Estos pares de puntos son solución de la ecuación. Además,
iremos dibujando en la gráfica de GeoGebra los puntos que corresponden esas parejas de
valores, introduciéndolos por la entrada de comandos. Por ejemplo:
Tabla 1. Soluciones x y 0 -7/5 1 -1 2 -3/5 -1 -9/5 -2 -11/5 -4 -3 -3 -13/5 … …
Conforme vayamos obteniendo soluciones veremos más claramente que todos los
puntos están alineados. Las infinitas soluciones que podemos obtener forman la recta que se
expresa con la ecuación.
Podemos dibujar la recta que forman todos esos puntos con el comando “Recta
que pasa por dos puntos” y comprobar que la expresión analítica es la misma (según qué
puntos tomemos la expresión será la que hemos trabajado o una equivalente).
Una vez que tenemos la recta, podemos comprobar que cualquier punto es
solución de la ecuación. Obtenemos las coordenadas de cualquier punto con el comando
“Nuevo punto” y pasando el ratón sobre la recta. Después, podemos comprobar que esa
pareja de coordenadas cumplen la ecuación. Por último, podemos comprobar que los puntos
externos a la recta no la cumplen.
Figura 2. Soluciones de una ecuación lineal
25
Actividad 2: Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales
Es fundamental que los alumnos entiendan que resolver un sistema de ecuaciones
es buscar aquellas de las infinitas soluciones de ambas ecuaciones que es común a las dos.
Tratándose de ecuaciones lineales y, por tanto, de rectas, en general habrá un único par
(x,y) que sea solución de las dos ecuaciones, o ningún punto (si son paralelas), o infinitos
(si las dos ecuaciones son equivalentes). Tanto en 3º como en 4º de la ESO se insiste en
relacionar la resolución analítica de un sistema con su resolución gráfica (en 3º con lineales,
en 4º con otros tipos de ecuaciones). Para ello, se proponen sistemas y se pide resolverlos
de ambas maneras.
Podemos apoyarnos para la
explicación representando en Geogebra el
siguiente sistema:
5 4 321
Para ello escribimos las ecuaciones
en la entrada (podemos cambiar el color de
las rectas para añadir claridad). Con el
comando “Intersección de Dos Objetos”
podemos hallar el punto de cruce de las rectas (punto A).
Insistiremos en que cada recta por separado tiene infinitas soluciones, pero sólo
una de ellas es común a las dos.
Podemos hacer más ejemplos, incluyendo rectas paralelas y ecuaciones
equivalentes. Indagar sobre el número de soluciones que tiene un sistema (una, ninguna o
infinitas) forma parte del contenido de esta unidad didáctica.
Figura 3. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales
26
Actividad 3: Ejercicios para los alumnos
Proponemos algunos ejercicios para que los alumnos realicen:
• Representa los puntos {(1,-1), (3,5;0), (6,1), (1,3), (0;1,4,)}.
• Representa la recta 2x-5y = 7. ¿Qué observas?
• Representa las rectas de ecuaciones: 2x-y = 6, x+y = 0. ¿Cuál es la solución
común de ambas ecuaciones?
• Comprueba cuáles de los pares de valores siguientes son soluciones de la
ecuación 4x-3y = 12:
(6,4); (6,12); (0,-4).
• Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di que pasa
con ellas: {x-2y = -2, 2x+2y=8}, {y-x = 0, y = 2} (Cada pareja de rectas de
diferente color a las otras).
• Representa las siguientes rectas y di qué relación hay entre ellas: {2x+3y = 15,
4x+6y = 18}.
• Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones (hazlas todas en
la misma gráfica, ocultando las que ya hayas resuelto y cada par de un color
diferente):
3 12 5
3 03 6 3 5
2 4 2 3 4
8 2
Funciones y gráficas
• Entender la función como la relación entre dos variables.
• Relacionar la expresión analítica de una función y su gráfica. Representar
gráficas de funciones dando valores a las incógnitas (hallando soluciones).
• Reconocer las características de una función: dominio, crecimiento, máximos
y mínimos, continuidad, periodicidad y tendencia.
• Comprender que el dominio puede variar en el contexto de un problema
concreto.
27
Propuestas Geogebra
Actividad 4: Ejercicios para los alumnos
Realizar los siguiente ejercicios, describiendo de cada gráfica: dominio de definición,
continuidad, crecimiento, máximos y mínimos, periodicidad, tendencia…
• Representa la función y = x·(40-x). Una vez la tengas, ocúltala y representa la
misma función en otro color, pero sólo para el dominio de definición de 0-40.
• Representa el valor del área de un cuadrado en función de la longitud de su
lado. Representa en una gráfica el coste de conexión de una tarifa de internet,
sabiendo que pagamos 15 € fijos más 0.5 € por hora.
• Sabiendo que una libra corresponde a 0.45 kg, representa una gráfica que nos
sirva para traducir los precios.
• Representa las siguientes funciones y comenta que puedes decir de ellas
(dominio, máximos, mínimos, crecimiento, decrecimiento, continuidad) :
√ 3 y = x2 + 20 x + 110 y=tg(x)
• Representa la siguiente función definida a trozos:
, 0 23 4, 2 42 16, 4 64, 6 913, 9 107, 10 11
En el ejercicio 4 hay que tener en cuenta que las funciones presentadas no son
objeto de estudio en 3º de la ESO. Sin embargo, podemos dibujarlas con GeoGebra y
analizar sus propiedades, sin profundizar en ellas. De esta manera vemos varios ejemplos
de comportamientos.
28
Funciones lineales y afines
• El concepto de pendiente y su cálculo es fundamental para entender estas
funciones: qué información nos da la gráfica, que significa la expresión
analítica y cómo se relacionan ambas.
• Coordenada en el origen.
• Dar la expresión analítica a partir de la gráfica (conociendo la pendiente y la
ordenada en el origen u otro punto, o conociendo dos puntos) y viceversa.
• ¿Pertenece un punto a una recta?
Propuestas GeoGebra
Entender qué es y cómo se calcula la pendiente de una recta es fundamental. En
nuestra experiencia hemos observado que, aunque todos los alumnos entienden qué es la
pendiente en el “mundo real”, tienen cierta dificultad para comprenderla como concepto
matemático. Por esto, es importante relacionar el uno con el otro. Resultó útil para ello
hablar de la pendiente en términos de movimiento: cómo aumenta (o disminuye) la y en la
medida en que “nos movemos” por el eje de las x.
Actividad 5: Pendiente de una función de proporcionalidad
Hemos diseñado una aplicación
que contiene los siguientes elementos:
• Una recta y=mx;
• Un deslizador m para elegir la
pendiente de la recta;
• Un deslizador x0 para
movernos en el eje x;
• Un punto A que depende del
desliza-dor x0;
• Un punto B=(0,0) para explicitar que la recta pasa por este punto sea cual sea
m;
Figura 4. Pendiente de una función de proporcionalidad
29
• Una fórmula que calcula la relación entre la y y la x en cada momento;
• Una casilla para mostrar u ocultar las líneas de las coordenadas del punto.
Al mover el deslizador x0 el punto A se mueve, cambian las coordenadas
mostradas en la pantalla y se calcula y0/x0. Se verá que este valor siempre es igual a la
pendiente. Si movemos el deslizador m se dibuja la nueva recta.
Actividad 6: Pendiente de una función afín
Podemos hacer una pequeña
variación en la aplicación anterior para
mostrar cómo se halla la pendiente a partir
de dos puntos. En esta ocasión, podemos
modificar la pendiente y la ordenada en el
origen, y elegir dos puntos. Remarcaremos
los siguientes aspectos:
• Una función afín se obtiene a
partir de una de
proporcionalidad (n=0), sumando una cantidad (n);
• La pendiente es la relación entre lo que varían las coordenadas y y lo que
varían las coordenadas x.
• La pendiente no depende de los puntos que escojamos;
• Tampoco depende del valor de n.
4.2.2. 4º de ESO (Opción B)
Ecuaciones, sistemas e inecuaciones
• Resolver sistemas de primer grado, de segundo grado, con radicales, con
variables en el denominador.
• Resolver inecuaciones con una incógnita algebraica y gráfica. Interpretación
de las soluciones de una inecuación.
Figura 5. Pendiente de una función afín
30
• Resolver sistemas de inecuaciones y representar sus soluciones por medio de
intervalos. Interpretación gráfica.
Propuestas GeoGebra
Entender la relación entre la resolución analítica y gráfica de un sistema de
ecuaciones sigue siendo un objetivo en 4º de la ESO. En este curso trabajamos con otro tipo
de ecuaciones más complicadas. El procedimiento con los ejercicios será hallar la solución
de las dos formas y, así, comprobar que es correcta. También lo haremos así con
GeoGebra.
Actividad 7: Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones
Proponemos realizar con GeoGebra algunos de los ejercicios que se hagan en
clase, como los del libro. Por ejemplo:
Ejercicio 17:
a) 3 0
5 b) 12 2
c) 2 3
0 d) 3 2 0
2 8
En la imagen se muestra cómo
quedaría la resolución del ejercicio 17 a).
Para construir las figuras, basta con
escribir la expresión algebraica en la
Entrada de comandos. Vemos en la Vista
algebraica que GeoGebra modifica la
expresión para adaptarla a las estándar
(por defecto, ha expresado la recta
mediante su expresión general).
Vemos que GeoGebra nos da el valor exacto de los puntos de intersección.
Figura 6. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones
31
Otros ejemplos de los ejercicios que aparecen en el libro y que podemos utilizar
son:
Ejercicio 26 a): 2
Ejercicio 27 a): √7 3 1
Actividad 8: Resolución gráfica de inecuaciones
Resolver gráficamente una inecuación consiste en dibujar las expresiones que
aparecen a cada lado del signo de la desigualdad como si fueran funciones y ver en la
gráfica para qué valores de x se cumple tal desigualdad:
4 2 3
La expresión de la izquierda
corresponde a la parábola y la de la
derecha a la recta. Como nos interesan que
los puntos en los que la parábola es
estrictamente mayor que la recta,
observando los puntos de cruce en la Vista
algebraica tenemos que el intervalo es el
(-1, 3).
Actividad 9: Sistemas de inecuaciones
En este caso, realizamos un
proceso parecido al anterior pero con dos
parejas de expresiones buscamos aquellos
valores de x para los que se cumplan al
mismo tiempo las dos desigualdades:
2 4 02 7 3
Figura 7. Resolución gráfica de inecuaciones
Figura 8. Sistemas de inecuaciones
32
Para la primera inecuación son válidas las x mayores que -2. Para la segunda, los x
menores o iguales que 4. Por tanto, la solución es el intervalo (-2,4].
Funciones. Características
Dada la similitud con la unidad de Funciones y gráficas de 3º, se puede utilizar los
mismos o parecidos ejemplos para explicar y dejar los ejercicios prácticos para las
siguientes unidades. Además, sólo en la unidad siguiente se explican las características de
funciones diferentes a las lineales, que son las que conocen de cursos anteriores.
Funciones elementales
• Conocer las características analíticas y gráficas de funciones lineales,
cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y
logarítmicas,
• Detectar sus propiedades: dominio y recorrido, máximos y mínimos relativos,
cortes con los ejes, tendencias y asíntotas, etc.
• Estudio analítico conjunto de rectas y parábolas. Interpretación gráfica de los
puntos de corte de una función lineal y una cuadrática.
Propuestas GeoGebra
Además de estudiar la forma característica de cada uno de los tipos de funciones
indicados, se estudia qué ocurre con la función cuando sus parámetros cambian y cómo se
desplaza a lo largo de los ejes cuando x se convierte en x-a o se suma a la función una
cantidad b (f(x) pasa a ser f(x-a)+b).
Actividad 10: Funciones cuadráticas (y=ax2+bx+c)
Construimos una apli-cación que nos permite comparar la función y=x2 con las
parábolas que obtenemos si variamos la expresión cua-drática general y=ax2+bx+c.
Podemos variar los tres parámetros y ver cómo varía la forma de la parábola.
Destacaremos los siguientes aspectos:
33
• El valor de la abscisa del
vértice se calcula como
p=-b/2ª;
• Son simétricas respecto
al eje x=p;
• Si a>0 la parábola es
abierta hacia arriba; si
a<0 hacia abajo;
• Si el valor absoluto de a aumenta la parábola se hace más cerrada;
• Si varía c la parábola se mueve a lo largo del eje de ordenadas;
• Más bien como curiosidad, mostraremos que, si variamos el parámetro b, el
vértice de la parábola de expresión
y ax2 bx c
se mueve a lo largo de la parábola de expresión
y ‐ax2 c
(es decir, -a en vez de a, b=0 y c con el mismo valor que tenía)
Actividad 11: Funciones de proporcionalidad inversa (y=k/(x-a) + b)
En este caso, podemos variar el parámetro k, que determina la apertura de la
hipérbola, y los parámetros a y b, que controlan las asíntotas (y, por tanto, la “posición” de
la curva). Como referencia tenemos la
función y=1/x.
Es importante tener en cuenta que:
• La función está definida en
todo ℜ excepto en x=0;
• El signo de k determina la
orientación de la hipérbola;
Figura 9. Funciones cuadráticas
Figura 10. Funciones de proporcionalidad inversa
34
• Si k aumenta, la curva es más abierta;
• Si a y b varían, la hipérbola se desplaza a lo largo de los ejes.
Actividad 12: Funciones radicales ( √
Las funciones radicales son las inversas de las parábolas, sólo que aparece la mitad
de la curva, en este caso “tumbada” (si apareciese toda ella no sería una función).
Podemos variar los diferentes
parámetros y observar cómo cambia la
apertura de la curva, la dirección, la
posición del vértice, etc. (el deslizador
k’ está configurado para valer +1 o -1,
controlando el signo de x).
Debemos resaltar el dominio de
la función, que depende del valor de a y
del signo de x (calcular de manera analítica el dominio de una función radical, así como el
de las de proporcionalidad inversa, es un problema importante en 4º de la ESO).
Actividad 13: Funciones exponenciales (y=ax)
Lo más destacable de las gráficas exponenciales es:
• Es siempre mayor que 0;
• Todas pasan por los puntos
(0,1) y (1,a), sea cual sea el
valor de a;
• Tienen una asíntota en y=0;
• Si a>1 son crecientes y crecen
más rápido cuanto mayor es a;
si a<1 son decrecientes, y
decrecen más rápido cuanto más cercano es a a 0.
• La curva (1/a)x es simétrica a ax con respecto al eje de simetría x=1;
Figura 11. Funciones radicales
Figura 12. Funciones exponenciales
35
Actividad 14: Funciones logarítmicas (logax)
Las funciones logarítmicas son las
inversas de las exponenciales. En 4º de la
ESO se aprende la definición y la gráfica, y
en cursos posteriores se profundizará en sus
propiedades y su uso. Algunas características
son:
• Sólo están definidas para x>0 y
son crecientes;
• Al ser inversas a las expo-nenciales, sea cual sea el valor de a, pasarán por los
puntos (1,0) y (a,1).
• Al aumentar x el crecimiento es cada vez más lento (aunque siempre crece)
Trigonometría
• Figuras semejantes: razón de semejanza.
• Semejanza de triángulos. Criterios de semejanza de triángulos.
• Razones trigonométricas de un ángulo agudo: seno, coseno y tangente.
• Razones trigonométricas de los ángulos más frecuentes (30°, 45° y 60°).
• Resolución de triángulos rectángulos.
• Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura.
• Funciones seno, coseno y tangente: propiedades.
Propuestas GeoGebra
Actividad 15: Triángulos rectángulos y razones trigonométricas
Al comenzar esta unidad didáctica, que es totalmente nueva en 4º de la ESO,
conviene retomar el concepto de semejanza aplicada a triángulos rectángulos. La clave está
en que entiendan (o vean) que, si dos triángulos rectángulos son semejantes (es decir,
cambia el valor de sus lados pero no el de sus ángulos), las relaciones entre los lados se
mantienen constantes. A estas relaciones les daremos el nombre de seno, coseno y tangente,
Figura 13. Funciones logarítmicas
36
y debe quedar claro que su valor sólo depende
del ángulo, y no de la longitud de los catetos y
de la hipotenusa.
Podemos mover en la aplicación los
puntos B y C, modificando los lados y ángulos
del triángulo ABC. Automáticamente se
modifican los triángulos semejantes y se re-
calculan las razones de los lados.
Comprobamos que dichas razones sólo dependen del ángulo y no de los lados.
Geometría analítica
• Cálculo del punto medio de un segmento.
• Obtención del simétrico de un punto respecto de otro.
• Estudiar la alineación de tres puntos.
• Resolución de problemas de incidencia (¿pertenece un punto a una recta?),
intersección (punto de corte de dos rectas), paralelismo y perpendicularidad.
• Cálculo de la distancia entre dos puntos.
• Cálculo de la distancia de un punto a una recta.
• Cálculo del área del triángulo.
• Puntos notables del triángulo: ortocentro, baricentro y circuncentro. Recta de
Euler.
Propuestas GeoGebra
Actividad 16: Ejercicios para los alumnos
• Dibuja el triángulo que tiene como vértices A(1,-5), B(4,2) y C(-3,3). Halla el
área del triángulo. Dibuja la base y la altura y mídelas.
• Dibuja el triángulo que tiene como vértices A(4,-2), B(-2,8) y C(-8,2). Halla
las ecuaciones de las alturas y el ortocentro, el baricentro y el circuncentro.
Figura 14. Triángulos rectángulos y razones trigonométricas
37
5. RESULTADOS
5.1. Aportaciones del trabajo
Introducir las TIC en el aula es aún un desafío en cualquier nivel escolar y en
cualquier asignatura. A pesar de las políticas dirigidas al ámbito educativo desde las
instituciones públicas (competencia digital explícitamente indicada en la legislación,
programa Escuela 2.0, etc.), la realidad es que los profesionales de la educación acusan
fuertes carencias que permitan explotar mínimamente las posibilidades que estas
tecnologías ofrecen.
En la mayoría de los casos, la escasa competencia digital de los propios profesores
y la dificultad para acceder a recursos, principalmente de software, son los problemas clave
que dan lugar a esta situación.
Aún sigue siendo necesario mostrar estar realidad en los diversos ámbitos del
sistema educativo y a los diferentes agentes de la educación, de manera que consigamos
asumir que, hoy por hoy, cualquier propuesta educativa debe considerar la introducción de
las TIC. Obviamente, para cada nivel educativo y para cada asignatura, y desde cada
instancia del sistema educativo deberá estudiarse cómo realiza esta integración. En este
trabajo hemos recogido diversas aportaciones que muestran esta necesidad, tanto desde la
legislación vigente como a nivel de estudios realizados en Europa y otros lugares del
mundo.
Nuestro objetivo principal, sin embargo, ha sido llegar a realizar una propuesta
metodológica práctica que responda a cómo podemos realizar esta integración. Nos hemos
centrado en el campo de la geometría analítica en 3º y 4º de la ESO teniendo en cuenta los
conocimientos previos de álgebra, funciones y geometría euclidiana que van siendo
adquiridos como fundamento y base. De esta manera, nuestra aportación ha sido una serie
de actividades que pueden ser utilizadas en las unidades didácticas que conforman el
currículum en estas áreas. Son actividades que hemos utilizado en nuestra práctica docente.
38
En algunos casos son totalmente originales. En otras, hemos llevado a GeoGebra los
mismos ejemplos propuestos por los libros de texto de los alumnos (de la editorial Anaya
en nuestro caso), con la intención de relacionar el material de que ellos disponen con el
programa. De esta manera, conseguimos integrar los materiales que tienen a su disposición.
Cabe recordar que las actividades propuestas quieren ser una ayuda para el
profesor o ejercicios que los alumnos y alumnas pueden realizar por sí mismos y que, por
otra parte, sólo son una muestra de las actividades que se pueden hacer. Lógicamente,
nuestra propuesta no agota ningún campo. Al contrario, solamente lo abre. GeoGebra es
muy sencillo de utilizar, por lo que el límite está sólo en nuestra creatividad. Nuestro
objetivo ha sido abrir una vía de trabajo que permita caminar buscando nuevas actividades
y metodologías.
5.2. Discusión
La primera evidencia que arroja la observación realizada tiene que ver con la
aportación que el uso, en nuestro caso, de GeoGebra hace al trabajo propio del profesor.
Preparar y realizar explicaciones de conceptos como las razones trigonométricas ha
resultado más sencillo con gracias a las propiedades dinámicas del sistema.
De la misma forma, al igual que extraíamos del estudio de Ivonne Sandoval
(Sandoval, 2009), es más fácil para los alumnos y alumnas entender estos conceptos cuando
podemos presentarles el problema no a base de ejemplos individuales, sino mostrando que
los resultados se repiten si variamos las condiciones. Cuantos más parámetros podamos
variar a la vista de los estudiantes más claro y transparente queda el proceso. Con pizarra y
tiza podemos explicar lo que es, pero el salto de lo individual a lo general requiere muchas
veces un acto de fe por parte de los alumnos.
Además, las aplicaciones y las posibilidades de “jugar” con los elementos
encienden el interés del alumno de manera sorprendente. Si al presentar este trabajo
decíamos que los jóvenes tienen a su alcance las tecnologías y que su uso se reduce
prácticamente al entretenimiento, llama la atención su reacción cuando estas tecnologías
39
son llevadas a un terreno tan poco atractivo para ellos como el aula. En varias ocasiones
GeoGebra nos ha servido para hacer un ambiente más relajado y participativo, en el que los
propios alumnos iban haciendo sugerencias para comprobar el comportamiento de las
figuras. Durante las sesiones en que ellos mismos realizaban los ejercicios propuestos se
presentaba la posibilidad de “salir del guión marcado” y probar nuevas posibilidades,
despertando la creatividad de los alumnos y desarrollando la capacidad investigativa.
El Informe europeo sobre Impacto de las TIC nos arrojaba resultados en este
sentido y destacaba que los beneficios incluyen a alumnos que tienen más dificultades.
Aunque el resultado final del desempeño depende del propio alumno y más factores que las
TIC, hemos observado que los estudiantes tienden a engancharse más a la materia. Esto ha
supuesto una mejor comprensión de los conceptos por parte de algunos de ellos y,
consecuentemente, mejores resultados.
Como se ha visto en el desarrollo de la propuesta, la integración que GeoGebra
hace de álgebra y entorno gráfico (además de la hoja de cálculo), y que Losada destaca en
su artículo (Losada, 2011), son de gran utilidad en el área de las matemáticas que hemos
estudiado, la geometría analítica, que aúna álgebra, funciones y geometría euclidiana.
Por último, queremos destacar la importancia del entorno gráfico de GeoGebra, su
carácter intuitivo y su facilidad de uso. Es cierto que nuestros alumnos llegan a 3º de la
ESO con un conocimiento mínimo de GeoGebra, pero también lo es que han sido muy
pocas las dudas que hemos tenido que responder sobre su uso. Es decir, no hemos tenido
que invertir tiempo en la formación de los estudiantes para el uso del programa, pudiendo
pasar directamente a realizar ejercicios básicos. Evidentemente, si queremos alcanzar
ciertos niveles de profundidad de desarrollos, es necesario “estudiar” GeoGebra, pero, al
nivel que hemos presentado aquí, prácticamente ha bastado con que nos vieran a los
profesores trabajar durante las exposiciones de clase.
40
5.3. Conclusiones
La propuesta metodológica que hemos realizado tiene su fundamento en la
experiencia observada en nuestra actividad docente. Los profesores de Matemáticas del
Colegio Calasanz-Escolapios, en el que hemos realizado nuestra labor durante este curso,
llevan varios años trabajando con este tipo de software y, desde que lo conocieron, con
GeoGebra. Todos ellos coinciden en señalarlo como el más útil y el que más posibilidades
ofrece de todos los que conocen, además de estar rodeado de una amplísima comunidad que
crece y hace crecer la herramienta continuamente.
Aunque algunas de las aplicaciones presentadas pueden parecer muy elaboradas,
lo cierto es que GeoGebra está muy enfocado a las necesidades que a un profesor de
educación secundaria le pueden surgir. Esto es lógico si pensamos que quienes más
participan en su desarrollo son profesores con mucha experiencia de aula. Como resultado,
es muy sencillo desarrollar aplicaciones que nos ayuden a realizar una explicación
dinámica. Y, muy importante, presenta un entorno muy intuitivo para los alumnos y
alumnas, que lo manejan con facilidad.
Esta facilidad de uso ha propiciado observar algunas de las mejoras de la actitud
que planteábamos al principio. Hemos constatado cómo, alumnos y alumnas que habían
perdido interés por la asignatura, volvían a recobrarlo al comprobar que eran capaces de
realizar los ejercicios y de entender lo que hacían. Incluso eran capaces de utilizar sus
habilidades informáticas para resolver problemas de sus compañeros.
Además, ha resultado más sencillo explicar conceptos importantes y complicados.
Destacamos entre ellos el concepto de pendiente de una recta y su cálculo, las razones
trigonométricas y los puntos notables del triángulo. Incluso la profesora del otro grupo de
4º de la ESO comentaba la diferencia que suponía para ella explicar geometría de esta
manera, rápida, dinámica y precisa, en lugar de dibujar en la pizarra unas figuras estáticas
que nunca quedan tan claras. De hecho, los errores cometidos en los ejercicios de puntos
notables han sido en saber con qué rectas se corresponde cada punto. Es decir, alumnos
que, por ejemplo, utilizaban las alturas del triángulo en lugar de las mediatrices para
calcular el circuncentro. Después, la resolución del problema era correcta.
41
5.4. Implicaciones, recomendaciones y aplicaciones
Creemos haber mostrado con este trabajo que utilizar las TIC en el aula es
inexcusable y relativamente sencillo. Hay mucho que discutir sobre hasta dónde llegar con
su integración, pero cada vez menos sobre que hay que hacerlo. Por otro lado, la tecnología
puede llegar a hacerse bastante compleja, en niveles que probablemente no son necesarios.
Por eso, antes de comenzar un plan de integración TIC en nuestro centro o en
nuestra asignatura, debemos hacer una reflexión sobre los recursos con los que contamos,
logísticos, de formación, etc., y sobre lo que realmente nos proponemos hacer.
Los resultados obtenidos de la observación en relación a la atención a la
diversidad, comentada en el apartado Discusión, nos despierta la inquietud por buscar más
herramientas y recursos que podamos poner a su disposición. Si los beneficios que las TIC
tienen para aquellos alumnos que “van bien” justifican el esfuerzo de introducirlas, mucho
más lo justifican los beneficios que vemos en alumnos a los que les cuesta más o a los que
tienen mayor rechazo a la institución escolar.
Hemos comentado en el apartado de Aportaciones que nuestro trabajo es sólo una
propuesta a modo de ejemplo de que las TIC sirven y de qué podemos hacer con un recurso
concreto aplicado a un área concreta. Existen otras muchas herramientas que podemos
utilizar y una gran cantidad de recursos y aportaciones en Internet que podemos consultar.
Además, siendo como es un tema en boga, son muchos los cursos de formación de
profesorado dirigidos tanto a enseñar a utilizar las herramientas como a darles aplicación en
la actividad docente.
Por otra parte, el uso de GeoGebra en educación no está limitado a la geometría,
ni siquiera considerando el concepto más amplio de geometría analítica. Un rápido vistazo
a la web nos hace descubrir otras muchas aplicaciones como la estadística, gracias a su hoja
de datos, etc. Hay mucha gente que dedica mucho esfuerzo a pensar nuevas aplicaciones
que acerquen a los estudiantes los propios contenidos curriculares u otras curiosidades
matemáticas que puedan resultar motivadoras. Destacamos la web de Manuel Sada (Sada,
2011) y el Proyecto Gauss, impulsado por el Ministerio de Educación (España, 2011).
42
Más allá del ámbito puramente académico, la condición de software libre de
GeoGebra hace que haya una gran comunidad a su alrededor. Además de ser una gran
fuente de conocimiento sobre el programa, puede ser una oportunidad para trabajar otros
aspectos como la web 2.0, la colaboración mediante blogs o wikis, etc.
Por último, recordamos que GeoGebra se encuentra traducido no sólo al
castellano, sino al euskara, al catalán y al gallego, y muchos otros idiomas europeos y
mundiales. En el ámbito lingüístico en que nos movemos, tanto a nivel europeo como
estatal, con diferentes modelos lingüísticos y asignaturas impartidas en diferentes lenguas,
también estas traducciones pueden ser de ayuda. Además, cambiar el idioma es tan sencillo
e instantáneo que podemos ir de uno a otro si no entendemos un término concreto sin
necesidad de salir del programa (basta con seguir la ruta Opciones-Idioma y elegir el que
queramos).
43
5.5. Limitaciones y sugerencias
La primera de las limitaciones que tiene el presente trabajo la encontramos en la
profundidad del cambio metodológico propuesto. Como hemos destacado en el artículo de
Sancho, el cambio propiciado por las TIC no puede quedarse en sustituir unas herramientas
por otras. La Sociedad del Conocimiento ha revolucionado el modo en que la información
se gestiona y esto hace que los tradicionales métodos educativos basados en la
memorización y la acumulación de información vayan quedando obsoletos. Ya no es
necesario aprender de memoria lo que en un clic de ratón nos aparece en la pantalla del
ordenador. Nunca habríamos conseguido memorizar una mínima parte de lo que hoy en día
tenemos tan fácilmente a disposición.
La institución educativa, por tanto, debe ser revisada de arriba abajo con ayuda de
las TIC. Así, las sugerencias que se pueden hacer van en el sentido de buscar la manera de
crear un nuevo método (no de mejorar o modificar el actual) más acorde con las exigencias
de la nueva sociedad y, sobre todo, centrado en formar otros aspectos de la persona que
antes el tiempo invertido en memorizar no permitía.
Hay otros estudios realizados y, sobre todo, por realizar, en torno al tema de este
trabajo. Hemos incluido aquellos que creemos que muestran mejor el estado de la cuestión
y dan idea de cómo afrontar el problema. Es evidente que este problema no está
solucionado ni cerrado y que es necesario seguir investigando. De hecho, nuestra propuesta
se ha centrado en un aspecto muy concreto de la educación, como muestra de que es bueno
y posible utilizar las TIC en la escuela. Quedan muchas propuestas que hacer tanto en
Matemáticas como en otras asignaturas para que los profesores podamos contar con nuevos
recursos que utilizar y ofrecer en nuestra actividad docente.
Aunque parece que quien usa GeoGebra tiende a elegirlo existen otros Sistemas de
Geometría Dinámica (DGS) que también tienen su potencial y sus seguidores. Hemos
escogido GeoGebra porque creemos que es muy bueno para nuestros propósitos y para el
nivel de educación secundaria, pero ya hemos comentado que puede tener algunas
limitaciones para otros niveles académicos o profesionales.
44
6. BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA
6.1. Bibliografía
Colera, J., García R., Gaztelu, I., Oliveira, M.J. (2008). Matemáticas 3º ESO.
Madrid: Anaya.
Colera, J., Oliveira, M.J., Gaztelu, I., Martínez, M. (2008). Matemáticas 4º ESO.
Madrid: Anaya.
Balanskat, Anja, Blamire, Roger, y Kefala, Stella. The ICT Impact Report. A
review of studies of ICT impact on schools in Europe, European SchoolNet, 2006.
España. Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre (RD). Boletín Oficial del
Estado, 5 de enero de 2006, núm. 5.
Sancho Gil, Juana Mª (2006), Tecnologias para transformar la educación.
Madrid: Akal.
Sandoval Cáceres, Ivonne Twiggy (2009). La geometría dinámica como una
herramienta de mediación entre el conocimiento perceptivo y el geométrico. Educación
Matemática, vol. 21, núm. 1, pp. 5-27.
6.2. Webgrafía
ALVES, George; SOARES, Adriana y LIMA, Cabral. El razonamiento del espacio
y la geometría dinámica: un estudio de caso en la educación media en Río de Janeiro.
Psicol. Am. Lat. [En línea]. 2007, n.11. Disponible en:
<http://pepsic.bvsalud.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1870-
350X2007000300005&lng=pt&nrm=iso>. ISSN 1870-350X. [citado 2011-06-08].
45
España, “Proyecto Gauss”. [Sitio de internet]. Consultado: 2011-06-18. Enlace:
http://recursostic.educacion.es/gauss/web/.
GeoGebra (2011). [Sitio de internet]. Consultado: junio 18, 2011. Enlace:
http://www.geogebra.org.
LOSADA LISTE, Rafael. GeoGebra, la eficiencia de la intuición. [En línea].
[citado 2011-06-09].Disponible en:
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/RecInternet/Geogebra/Geogebra1.asp.
SADA, Manuel. Webs interactivas de matemáticas [Sitio de Internet]. Consultado
junio 18, 2011]. Enlace: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm.
46
7. ANEXOS
7.1. Anexo I: Álgebra, geometría y funciones en el RD
1631/2006
Recogemos en este anexo, de manera textual y al completo, los contenidos
mínimos que el RD establece para los bloques de Álgebra, Geometría y Funciones y
Gráficas para los cursos de 3º y 4º de la ESO (Opción B).
7.1.1. 3º ESO:
o Álgebra:
Análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y
geométricas.
Sucesiones recurrentes. Las progresiones como sucesiones
recurrentes.
Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y
propiedades que aparecen en conjuntos de números.
Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico.
Transformación de expresiones algebraicas. Igualdades notables.
Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una
incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones,
sistemas y otros métodos personales. Valoración de la precisión,
simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes
situaciones de la vida cotidiana.
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o Geometría:
Determinación de figuras a partir de ciertas propiedades. Lugar
geométrico.
Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de
problemas geométricos y del medio físico.
Traslaciones, simetrías y giros en el plano. Elementos invariantes de
cada movimiento.
Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y
configuraciones geométricas.
Planos de simetría en los poliedros.
Reconocimiento de los movimientos en la naturaleza, en el arte y en
otras construcciones humanas.
Coordenadas geográficas y husos horarios. Interpretación de mapas y
resolución de problemas asociados.
Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y
relaciones geométricas.
o Funciones y gráficas.
Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan
fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias.
Análisis de una situación a partir del estudio de las características
locales y globales de la gráfica correspondiente: dominio,
continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. Uso de las
tecnologías de la información
para el análisis conceptual y reconocimiento de propiedades
de funciones y gráficas.
Formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno
que representa una gráfica y su expresión algebraica.
Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional
dadas mediante tablas y enunciados.
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Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones
provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida
cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación
gráfica y la obtención de la expresión algebraica.
Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la
recta.
7.1.2. 4º ESO (Opción B):
o Álgebra:
Manejo de expresiones literales para la obtención de valores
concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos.
Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones.
Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento
mediante ecuaciones y sistemas.
Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a
partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos.
o Geometría:
Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas
en los triángulos.
Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones
trigonométricas.
Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de
problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y
volúmenes.
Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.
o Funciones y gráficas:
Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla,
gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados.
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La tasa de variación media como medida de la variación de una
función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento
en tablas, gráficas y enunciados verbales.
Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de
situaciones reales.
Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de
proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a
contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la
información en la representación, simulación y análisis gráfico.
7.2. Anexo 2: Índice de figuras
Figura 1. Integración de vistas algebraica y gráfica y la hoja de cálculo. .............. 20
Figura 2. Soluciones de una ecuación lineal .......................................................... 24
Figura 3. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales ........................... 25
Figura 4. Pendiente de una función de proporcionalidad ....................................... 28
Figura 5. Pendiente de una función afín ................................................................. 29
Figura 6. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones ........................................ 30
Figura 7. Resolución gráfica de inecuaciones ........................................................ 31
Figura 8. Sistemas de inecuaciones ........................................................................ 31
Figura 9. Funciones cuadráticas ............................................................................. 33
Figura 10. Funciones de proporcionalidad inversa ................................................ 33
Figura 11. Funciones radicales ............................................................................... 34
Figura 12. Funciones exponenciales ...................................................................... 34
Figura 13. Funciones logarítmicas ......................................................................... 35
Figura 14. Triángulos rectángulos y razones trigonométricas ............................... 36
7.3. Anexo 3: Índice de tablas
Tabla 1. Soluciones ................................................................................................ 24
