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GEOMETRÍA ALGEBRAICA INOTAS DE CURSO

ELHOIM SUMANO RAMÍREZ

Índice

1. Anillo de polinomios en una indeterminada 2

2. Anillo de polinomios en varias indeterminadas 18

Tarea 1 22

3. Topoloǵıa de Zariski 26

4. El caso: k campo y n = 1 35

5. Conjuntos algebraicos sobre dominios neterianos 39

Tarea 2 48

6. Ideales radicales 56

7. Subespacios irreducibles 59

8. Conjuntos algebraicos irreducibles del plano sobre un DFU 71

Tarea 3 85

9. El Teorema de los ceros de Hilbert 89

10. El funtor X 7→ k[X ] 9511. El espectro de un anillo 105

Tarea 4 110

1

2 Geometŕıa algebraica I

1. Anillo de polinomios en una indeterminada

Sea k un anillo conmutativo con uno (por ejemplo k es igual a Z,Q,R,C ó Z/mZ para

algún entero m ≥ 2). Un polinomio con coeficientes en k en una indeterminada es unafunción σ : N // k tal que

{s∣∣σ(s) 6= 0} es un subconjunto finito de N (aqúı 0 denota

al elemento neutro aditivo de k). Si σ es un polinomio con coeficientes en k en una

indeterminada, a σ(s) ∈ k lo llamamos el coeficiente de σ en grado s. Denotamos comok[N] al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en k en una indeterminada:

k[N] :={σ : N // k

∣∣∣ {s ∣∣σ(s) 6= 0} es finito}La función constante de N en k con valor 0 es llamada el polinomio cero. El grado

de un polinomio distinto del polinomio cero es denotado como grad(σ) y definido como

el elemento máximo del subconjunto no vaćıo{s∣∣σ(s) 6= 0} de los números naturales.

Si σ, µ ∈ k[N] son polinomios, la suma σ + µ y el producto σ · µ de σ y µ son lospolinomios definidos por las fórmulas:

(1)(σ + µ

)(s) = σ(s) + µ(s) y

(σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) ,

respectivamente.

Aqúı el śımbolo∑

r+t=srepresenta la suma sobre todas las parejas ordenadas de núme-

ros naturales (r, t) ∈ N×N tales que r+t = s. La expresión∑

r+t=sσ(r) ·µ(t) tiene sentido

sin ningún orden en el conjunto de ı́ndices por la asociatividad y la conmutatividad de

la suma en el anillo k.

Por ejemplo, para s = 0, 1, 2 tenemos:(σ · µ

)(0) =

∑r+t=0

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(0)(σ · µ

)(1) =

∑r+t=1

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(1) + σ(1) · µ(0)(σ · µ

)(2) =

∑r+t=2

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(2) + σ(1) · µ(1) + σ(2) · µ(0) .

En general:

Geometŕıa algebraica I 3

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(s) + σ(1) · µ(s− 1) + · · ·+ σ(s− 1) · µ(1) + σ(s) · µ(0)

= σ(s) · µ(0) + σ(s− 1) · µ(1) + · · ·+ σ(1) · µ(s− 1) + σ(0) · µ(s) .

Mostremos:

Lema 1.1. Si k es un anillo conmutativo con uno, el conjunto k[N] con la suma y elproducto definidos en (1) es también un anillo conmutativo con uno. Más aún, si σ, µ,

σ + µ y σ · µ no son el polinomio cero, se tiene que:

grad(σ + µ) ≤ max(grad(σ), grad(µ)

)y grad(σ · µ) ≤ grad(σ) + grad(µ) .

Por otro lado, si k es un dominio entero entonces k[N] también lo es, es decir siσ, µ ∈ k[N] son polinomios distintos del polinomio cero entonces el polinomio σ · µ noes el polinomio cero; en este caso se tiene que grad(σ · µ) = grad(σ) + grad(µ).

Demostración. Si k es un anillo conmutativo con uno, mostremos que el conjunto k[N]con la suma y el producto definidos en (1) es también un anillo conmutativo con uno

(ver también el Ejercicio 3):

(i) La suma es asociativa, es decir (σ + µ) + ν = σ + (µ + ν) si σ, µ, ν ∈ k[N]. Enefecto si s ∈ N tenemos que:((σ + µ) + ν

)(s) = (σ + µ)(s) + ν(s) (Definición de la suma en k[N])

=(σ(s) + µ(s)

)+ ν(s) (Definición de la suma en k[N])

= σ(s) +(µ(s) + ν(s)

)(Asociatividad de la suma en k)

= σ(s) + (µ+ ν)(s) (Definición de la suma en k[N])

=(σ + (µ+ ν)

)(s) (Definición de la suma en k[N])

(ii) La suma es conmutativa, es decir σ+µ = µ+σ si σ, µ ∈ k[N]. En efecto si s ∈ N:

(σ + µ)(s) = σ(s) + µ(s) (Definición de la suma en k[N])


= µ(s) + σ(s) (Conmutatividad de la suma en k)

= (µ+ σ)(s) (Definición de la suma en k[N])

(iii) El neutro aditivo en k[N] es el polinomio cero σ0 ∈ k[N] definido como σ0(s) = 0para todo s ∈ N, es decir σ + σ0 = σ = σ0 + σ para todo σ ∈ k[N]. En efecto siσ ∈ k[N] y s ∈ N tenemos por un lado que:

(σ + σ0)(s) = σ(s) + σ0(s) (Definición de la suma en k[N])

= σ(s) + 0 (Definición del polinomio cero)

= σ(s) (0 es neutro aditivo de k)

Además σ0 + σ = σ se sigue de (ii).

(iv) El inverso aditivo de un polinomio σ ∈ k[N], es el polinomio −σ ∈ k[N] definidocomo

(− σ

)(s) = −

(σ(s)

), donde denotamos como −a al inverso aditivo de un

elemento a ∈ k; es decir σ+(−σ) = σ0 = (−σ)+σ. En efecto si σ ∈ k[N] y s ∈ N,entonces:(σ + (−σ)

)(s) = σ(s) +

(− σ

)(s) (Definición de la suma en k[N])

= σ(s) +(−(σ(s)

))(Definición de −σ)

= 0 (-a es inverso aditivo de a en k)

= σ0(s) (Definición del polinomio cero)

Por otro lado (−σ) + σ = σ0 se sigue de (ii).

(v) El producto es asociativo, es decir (σ ·µ) ·ν = σ · (µ ·ν) si σ, µ, ν ∈ k[N]. En efectosi s ∈ N tenemos que:((σ · µ

)· ν)

(s) =∑r+t=s

(σ · µ

)(r) · ν(t) (Definición del producto en k[N])

=∑r+t=s

( ∑p+q=r

σ(p) · µ(q)

)· ν(t) (Definición del producto en k[N])


=∑r+t=s

∑p+q=r

(σ(p) · µ(q)

)· ν(t) (Distributividad en k)

=∑

(p+q)+t=s

(σ(p) · µ(q)

)· ν(t) (Reacomodo de ı́ndices)

=∑

p+(q+t)=s

σ(p) ·(µ(q) · ν(t)

)(Asociatividad en N y en k)

=∑

p+r=s

∑q+t=r

σ(p) ·(µ(q) · ν(t)

)(Reacomodo de ı́ndices)

=∑

p+r=s

σ(p) ·

(∑q+t=r

µ(q) · ν(t)

)(Distributividad en k)

=∑

p+r=s

σ(p) ·(µ · ν

)(r) (Definición producto en k[N])

=(σ ·(µ · ν

))(s) (Definición producto en k[N])

(vi) El producto es conmutativo, es decir σ ·µ = µ ·σ si σ, µ ∈ k[N]. En efecto si s ∈ Ntenemos que:

(σ · µ)(s) =∑r+t=s

σ(r) · µ(t) (Definición del producto en k[N])

=∑t+r=s

µ(t) · σ(r) (Conmutatividad en N y en k)

= (µ · σ)(s) (Definición del producto en k[N])

(vii) El neutro multiplicativo en k[N] es el polinomio σ1 ∈ k[N] definido como σ1(0) = 1y σ1(s) = 0 para todo s ∈ N\{0}, es decir σ · σ1 = σ = σ1 · σ para todo σ ∈ k[N].En efecto si σ ∈ k[N] y s ∈ N tenemos que:

(σ · σ1)(s) =∑r+t=s

σ(r) · σ1(t) (Definición · en k[N])

=

∑r+t=st=0

σ(r) · σ1(t)

+∑

r+t=st6=0

σ(r) · σ1(t)

(Asociatividad + en k)


=(σ(s) · 1

)+

∑r+t=st6=0

σ(r) · 0

(Definición de σ1)= σ(s) + 0 (1 neutro multiplicativo de k)

= σ(s) (0 neutro aditivo de k)

Se sigue de (vi) que también σ1 · σ = σ.

(viii) El producto distribuye a la suma en k[N], es decir σ ·(µ + ν

)= σ · µ + σ · ν y(

σ + µ)· ν = σ · ν + µ · ν si σ, µ, ν ∈ k[N]. En efecto si s ∈ N tenemos que:

(σ ·(µ+ ν

))(s)

=∑r+t=s

σ(r) ·(µ+ ν

)(t) (Definición del producto en k[N])

=∑r+t=s

σ(r) ·(µ(t) + ν(t)

)(Definición de la suma en k[N])

=∑t+r=s

(σ(r) · µ(t) + σ(r) · ν(t)

)(Distributividad en k)

=

(∑t+r=s

σ(r) · µ(t)

)+

(∑t+r=s

σ(r)ν(t)

)(Conmutatividad y asociatividad suma en k)

=(σ · µ

)(s) +

(σ · ν

)(s) (Definición producto en k[N])

Usando (vi) deducimos también que(σ + µ

)· ν = σ · ν + µ · ν.

Para mostrar la segunda parte del Lema supongamos que σ, µ ∈ k[N] son dos poli-nomios. Notemos primero que como (σ+µ)(s) = σ(s)+µ(s) para toda s ∈ N, entonces:

{s ∈ N

∣∣σ(s) = 0 y µ(s) = 0} ⊆ {s ∈ N ∣∣σ(s) + µ(s) = 0} ,aśı que tomando complementos en N obtenemos:

(2){s ∈ N

∣∣σ(s) + µ(s) 6= 0} ⊆ {s ∈ N ∣∣σ(s) 6= 0 ó µ(s) 6= 0} .


Esto implica que si σ, µ y σ + µ no son el polinomio cero, entonces:

grad(σ + µ) = max{s ∈ N

∣∣σ(s) + µ(s) 6= 0}≤ max

{s ∈ N

∣∣σ(s) 6= 0 ó µ(s) 6= 0}= max

({s ∈ N

∣∣σ(s) 6= 0} ∪ {s ∈ N ∣∣µ(s) 6= 0})= max

(max

{s ∈ N

∣∣σ(s) 6= 0}, max{s ∈ N ∣∣µ(s) 6= 0})= max

(grad(σ), grad(µ)

).

Finalmente, notemos que para mostrar lo que falta es suficiente con demostrar que

si σ, µ ∈ k[N] son polinomios no cero tales que grad(σ) = n y grad(µ) = m, entonces:

(3)(σ · µ

)(s) =

σ(n) · µ(m) si s = n+m0 si s > n+m.En efecto, se sigue de (3) que si σ(n) · µ(m) = 0 entonces σ · µ es el polinomio cero

o grad(σ · µ) < n+m = grad(σ) + grado(µ), mientras que si σ(n) · µ(m) 6= 0 entoncesσ · µ no es el polinomio cero y grad(σ · µ) = n+m = grad(σ) + grado(µ). Más aún, sik es un dominio entero entonces σ(n) · µ(m) 6= 0, pues por definición del grado de unpolinomio en una indeterminada tenemos que σ(n) 6= 0 6= µ(m).

Mostremos (3). Supongamos primero que s > n + m y consideremos una pareja

ordenada (r, t) de números naturales tales que r + t = s. Queremos mostrar que para

que esto pase se debe tener r > n ó t > m. En efecto, notemos que si r ≤ n y t ≤ mentonces sumando ambas desigualdades tendŕıamos que r+ t ≤ n+m, mientras que porhipótesis r + t = s > n+m lo cual es contradictorio. Entonces para que la desigualdad

r + t = s > n+m se cumpla, es necesario que r > n ó t > m; en cuyo caso tendŕıamos

que σ(r) = 0 ó µ(t) = 0, respectivamente. Por lo tanto, σ(r) · µ(t) = 0 para toda parejaordenada (r, t) de números naturales tales que r + t = s > n+m.

Deducimos que si s > n+m entonces:(σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) =∑r+t=s

0 = 0 .


Supongamos ahora que s = n + m y sea (r, t) una pareja ordenada de números

naturales tales que r+ t = s. Mostremos que si r 6= n entonces σ(r) ·µ(t) = 0. En efecto,si r > n entonces σ(r) = 0 por lo que σ(r) · µ(t) = 0. Si por otro lado r < n entoncesn+m = s = r + t < n+ t, lo que implica que t > m, en cuyo caso µ(t) = 0 por lo que

σ(r) · µ(t) = 0. Más aún, notemos que si r = n entonces n + m = s = r + t = n + t, loque implica que t = m. Por lo tanto si s = n+m tenemos que:(

σ · µ)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) = σ(n) · µ(m) .

�

Nota que los polinomios de grado cero son exactamente aquellas funciones σ de Nen k tales que σ(0) 6= 0 y σ(s) = 0 siempre que s 6= 0. Se sigue que la función:

(4) kσ• // k[N] definida como σa(s) =

a si s = 00 si s 6= 0tiene como imagen al conjunto de los polinomios de grado cero junto con el polinomio

cero. La imagen de σ• en k[N] es por definición el conjunto de los polinomios constantes.En particular, los polinomios de grado cero son los polinomios constantes distintos del

cero.

Lema 1.2. Si k es un anillo conmutativo con uno, la función σ• de (4) es un morfismo

de anillos (con uno) el cual es inyectivo, en particular el conjunto de los polinomios

constantes es un subanillo de k[N] que podemos identificar con k.

Demostración. Mostremos que si a, b ∈ k, entonces σa + σb = σa+b y σa · σb = σa·b.En efecto, por un lado tenemos que:

(σa + σb)(0) = σa(0) + σb(0) = a+ b = σa+b(0) .

Mientras que si s 6= 0, entonces:

(σa + σb)(s) = σa(s) + σb(s) = 0 + 0 = 0 = σa+b(s) .

Por lo tanto σa + σb = σa+b.


Notemos ahora que (σa · σb)(0) =∑

r+t=0σa(r) · σb(t) = σa(0) · σb(0) = a · b pues la

única pareja (r, t) ∈ N×N que cumple que r+ t = 0 es la pareja (0, 0). Además, si s 6= 0tenemos que (σa · σb)(s) =

∑r+t=s

σa(r) · σb(t) = 0, pues toda pareja (r, t) ∈ N×N tal que

r + t = s ≥ 1 debe tener r 6= 0 o t 6= 0 (si r = 0 = t entonces r + t = 0 < s). Por lo queσa · σb = σa·b.

Esto muestra que σ• es un morfismo de anillos. El morfismo σ• es un morfismo

de anillos con uno, pues el neutro multiplicativo del anillo k[N] es igual al polinomio

σ1(s) =

1 si s = 00 si s 6= 0 como vimos en la prueba del Lema 1.1.Finalmente, notemos que si σa = σb entonces σa(s) = σb(s) para todo s ∈ N. En

particular a = σa(0) = σb(0) = b. Por lo que σ• es una función inyectiva. �

Por el Lema 1.2, es posible usar la misma letra para denotar a un elemento a ∈ k yal polinomio constante σa, es decir vamos a escribir σa = a.

El polinomio indeterminada, al cual denotamos por la letra X, es definido como la

función:

(5) N X // k tal que X(s) =

1 si s = 10 si s 6= 1 .Para el siguiente enunciado recordemos que si A es un anillo conmutativo con uno

y α ∈ A, se define de manera recursiva para m ∈ N el siguiente elemento de A:

(6) αm =

1 si m = 0αm−1 · α si m ≥ 1 .Mostremos:

Lema 1.3. Si k es un anillo conmutativo con uno, en el anillo de polinomios k[N] secumple:

(i) Si m ≥ 0 es un número entero, entonces el polinomio Xm es igual la función:

Xm(s) =

1 si s = m0 si s 6= m.


(ii) Si m ≥ 0 es un número entero y a ∈ k, entonces el polinomio a ·Xm es igual ala función:

(a ·Xm

)(s) =

a si s = m0 si s 6= m.En particular, si σ : N // k es un polinomio con coeficientes en k en una indeter-

minada distinto del polinomio cero, entonces:

σ =∑s∈N

σ(s) ·Xs = σ(d) ·Xd + · · ·+ σ(1) ·X + σ(0)

donde d = grad(σ).

Demostración. Notemos que (i) para m = 0, 1 se sigue fácilmente de las definiciones.

Supongamos que m ≥ 2 y que:

Xm−1(s) =

1 si s = m− 10 si s 6= m− 1 .Deducimos que si s ∈ N entonces:

Xm(s) =(Xm−1 ·X

)(s) =

∑r+t=s

Xm−1(r) ·X(t) = Xm−1(s− 1)

=

1 si s− 1 = m− 10 si s− 1 6= m− 1 , =1 si s = m0 si s 6= m,

pues X(t) = 0 si t 6= 1 y X(1) = 1.Por otro lado, notemos que de (6) se sigue fácilmente (ii) para m = 0. Supongamos

que:

(a ·Xm−1

)(s) =

a si s = m− 10 si s 6= m− 1 ,


se tiene entonces que:

a ·Xm(s) =[a ·(Xm−1 ·X

)](s) =

[(a ·Xm−1

)·X]

(s)

=∑r+t=s

(a ·Xm−1

)(r) ·X(t) =

(a ·Xm−1

)(s− 1)

=

a si s− 1 = m− 10 si s− 1 6= m− 1 . =a si s = m0 si s 6= m.

�

Una vez que hemos elegido una letra para denotar al polinomio indeterminada defi-

nido en (5), en nuestro caso hemos elegimos a X, denotamos al anillo de polinomios k[N]como k[X]. Más aún, cada vez que queramos hablar del polinomio σ : N // k definidocomo σ(s) = as si 0 ≤ s ≤ d y σ(s) = 0 si s > d, denotamos a σ como:

(7) P (X) =d∑s=0

asXs = adX

d + · · ·+ a1X + a0

y decimos que (7) es un polinomio con coeficientes en k en una indeterminada.

Proposición 1.4. Si k es un anillo conmutativo con uno, el anillo de polinomios en

una indeterminada k[X] junto con el morfismo de anillos con uno σ• : k // k[X] y

el polinomio indeterminada X ∈ k[X], tienen la siguiente propiedad universal (ver elEjercicio 8):

Si A es un anillo conmutativo con uno, f : k //A es un morfismo de

anillos con uno y x0 ∈ A, entonces existe un único morfismo de anillos conuno ϕ : k[X] //A tal que ϕ ◦ σ• = f y ϕ(X) = x0:

k[X] 3 Xϕ��

_

��k

σ• 33

f ,, A 3 x0

Dicho de otra manera, si A es un anillo conmutativo con uno, la siguiente función

es biyectiva:HomAnillo(k[X], A) //HomAnillo(k,A) × A

ϕ 7→(ϕ ◦ σ•, ϕ(X)

) ,


donde HomAnillo denota el conjunto de los morfismos de anillos con uno.

Demostración. Sea A un anillo conmutativo con uno, f : k //A un morfismo de anillos

con uno y x0 ∈ A. Definimos la función ϕ : k[X] //A como:

(8) ϕ(σ) =∑s∈N

f(σ(s)

)· xs0 si σ ∈ k[X] .

Notemos primero que en (8) la suma∑s∈N

es finita, pues el siguiente conjunto es finito:

{s ∈ N

∣∣∣ f(σ(s)) 6= 0} .Por otro lado, se tiene que:

ϕ(X) = f(X(1)

)· x10 = f(1) · x0 = 1 · x0 = x0 ,

pues si s 6= 1 es un número natural entonces f(X(s)

)· xs0 = f(0) · xs0 = 0; mientras que

si a ∈ k entonces:

ϕ ◦ σ•(a) = ϕ(σa) = f(σa(0)

)· x00 = f(a) · 1 = f(a) ,

pues si s 6= 0 es un número natural entonces f(σa(s)

)· xs0 = f(0) · xs0 = 0 · xs0 = 0.

Mostremos ahora que ϕ definido como en (8) es un morfismo de anillos con uno. En

efecto, si σ, µ ∈ k[X] tenemos por un lado que:

ϕ(σ + µ) =∑s∈N

f((σ + µ)(s)

)· xs0 (Definición de ϕ)

=∑s∈N

f(σ(s) + µ(s)

)· xs0 (Definición de suma en k[X])

=∑s∈N

[f(σ(s)

)+ f(µ(s)

)]· xs0 (f morfismo de anillos)

=∑s∈N

f(σ(s)

)· xs0 +

∑s∈N

f(µ(s)

)· xs0 (A es un anillo)

= ϕ(σ) + ϕ(µ) (Definición de ϕ)


mientras que:

ϕ(σ · µ)

=∑s∈N

f((σ · µ)(s)

)· xs0 (Definición de ϕ)

=∑s∈N

f

(∑r+t=s

σ(r) · µ(t)

)· xs0 (Definición producto en k[X])

=∑s∈N

∑r+t=s

f(σ(r)

)· f(µ(t)

)· xs0 (f morfismo de anillos)

=∑s∈N

∑r+t=s

(f(σ(r)

)· xr0)·(f(µ(t)

)· xt0)

(A es un anillo conmutativo)

=

[∑r∈N

(f(σ(r)

)· xr0)]·

[∑t∈N

(f(µ(t)

)· xt0)]

(Reacomodo de ı́ndices)

= ϕ(σ) · ϕ(µ) (Definición de ϕ)

Además ya mostramos que ϕ(σ1) = f(1) = 1. Por lo tanto ϕ es un morfismo de

anillos con uno.

Notemos finalmente que si ψ : k[X] //A es un morfismo de anillos con uno tal que

ψ ◦ σ• = f y ψ(X) = x0, se tiene entonces que si σ ∈ k[X]:

ϕ(σ) =∑s∈N

f(σ(s)

)· xs0 =

∑s∈N

ψ(σ(s)

)·(ψ(X)

)s= ψ

(∑s∈N

σ(s) ·Xs)

= ψ(σ) .

�

§1.1. Funciones algebraicas en una variable. Sea k un anillo conmutativo conuno.

Si vemos al conjunto{f : k → k

∣∣ f es una función} como un anillo conmutativocon uno, donde (f + g)(α) = f(α) + g(α) y (f · g)(α) = f(α) · g(α) para toda α ∈ k ypara cualesquiera dos funciones f, g : k → k; se sigue de la Proposición 1.4 que existeun único morfismo de anillos con uno:

(9) k[X]ev• //

{f : k → k

∣∣ f es una función} ,


tal que:

eva : k // k es la función constante de valor a, para toda a ∈ k:

eva(α) = a si α ∈ k .

evX : k // k es la función identidad, donde X ∈ k[X] es el polinomio indetermi-nada.

evX(α) = α si α ∈ k .

De manera expĺıcita, si P (X) =d∑s=0asX

s = adXd + · · · + a1X + a0 es un polinomio

y α ∈ k, entonces:

evP (X)(α) =d∑s=0

evas(α)(evX(α)

)s=

d∑s=0

asαs = adα

d + · · ·+ a1α + a0 .

Denotamos también P (α) = evP (X)(α) si P (X) ∈ k[X] y α ∈ k. Llamamos almorfismo (9) el morfismo evaluación de k[X]. Si α ∈ k y P (X) ∈ k[X] cumplen queP (α) = 0, diremos que α es un cero del polinomio P (X). En particular un polinomio

P (X) ∈ k[X] pertenece al núcleo del morfismo evaluación, si y solamente si el conjuntode los ceros de P (X) es igual a k.

El anillo imagen de ev• es llamado el anillo de las funciones polinomiales sobre k en

una variable o de las funciones algebraicas sobre k en una variable. Se sigue del Primer

Teorema de isomorfismo para anillos, que el morfismo (9) induce un isomorfismo entre el

anillo de las funciones polinomiales sobre k en una variable y el cociente que se obtiene

de dividir al anillo k[X] de los polinomios con coeficientes en k en una indeterminada,

módulo el ideal ker(ev•) de los polinomios que definen la función cero de k en k:

(10) k[X]/

ker(ev•) ∼=Anillo de las funciones

polinomiales sobre k

en una variable.

En el Lema 1.5 y el Corolario 1.7 vemos algunos casos particulares de (10).


Lema 1.5. Si k = Z/pZ donde p es un número primo, entonces el núcleo del morfismo

(9) es igual al ideal generado por el polinomio Xp −X ∈ Z/pZ[X]; en particular:

Z/pZ[X]

/〈Xp −X

〉 ∼= Anillo de las funcionespolinomiales sobre Z/pZen una variable.

Demostración. Como(Z/pZ)×

=(Z/pZ)∖{

0}

es un grupo multiplicativo con p −

1 elementos, se sigue que todos los elementos de(Z/pZ)×

son ceros del polinomio

Xp−1− 1 ∈ Z/pZ[X]. Por lo tanto todos los elementos de Z

/pZ son ceros del polinomio

Xp −X ∈ Z/pZ[X]. Dicho de otro modo, Xp −X ∈ ker(ev•).

Supongamos ahora que P (X) ∈ Z/pZ[X] es un polinomio en el núcleo del morfismo

evaluación. Recordemos que como Z/pZ es un campo, el anillo Z

/pZ[X] tiene un al-

goritmo de la división, en particular existen únicos polinomios Q(X), R(X) ∈ Z/pZ[X]

tales que:

(11) P (X) = (Xp−X)·Q(X)+R(X) y(R(X) = 0 ó 0 ≤ grad

(R(X)

)< p).

Más aún, el algoritmo de la división en Z/pZ[X] también implica (ver el Lema 1.8

de abajo) que si S(X) ∈ Z/pZ[X], entonces el número de los ceros de S(X) en Z

/pZ

es menor o igual al grado de S(X). Como supusimos que P (X) está en el núcleo del

morfismo evaluación, se sigue en particular de (11) que si R(X) no es el polinomio

cero, entonces R(X) seŕıa un polinomio de grado menor que el número de sus ceros. Ya

que esto es contradictorio concluimos que en (11) el polinomio R(X) es cero, es decir

P (X) ∈〈Xp −X

〉. Por lo tanto ker(ev•) ⊆

〈Xp −X

〉. �

Observación 1.6. Si n es un número compuesto, en Z/nZ[X] se puede encontrar un

polinomio de grado menor que n en el núcleo del morfismo evaluación (9). Por ejemplo

R(X) = X5 −X3 ∈ Z/

8Z[X] define la función cero de Z/

8Z en Z/

8Z.

Para dominios enteros infinitos la situación es distinta:

Corolario 1.7. S k es un dominio entero infinito, la función (9) es inyectiva; es decir,

en este caso el anillo de las funciones polinomiales sobre k en una variable es isomorfo

al anillo de polinomios k[X].


Demostración. Recordemos que si k no es un campo, entonces k[X] no tiene un algoritmo

de la división. Sin embargo:

Lema 1.8. Sea k un anillo conmutativo con uno. Si P (X) ∈ k[X] es un polinomio concoeficientes en k en una indeterminada, entonces para todo a ∈ k existe un polinomioQ(X) tal que P (X) = (X − a)Q(X) + P (a).

Más aún, si P (X) es un polinomio constante entonces Q(X) = 0 y si P (X) es un

polinomio de grado d ≥ 1 entonces Q(X) 6= 0 y grad(Q(X)

)= d− 1 ≥ 0.

En particular, si P (X) no es el polinomio cero y k es un dominio entero, se tiene

que:

#{a ∈ k

∣∣P (a) = 0} ≤ grad(P (X)) .Demostración. Sea a ∈ k y P (X) ∈ k[X] un polinomio con coeficientes en k en unaindeterminada. Notemos que si P (X) = a0 es un polinomio constante, entonces:

P (X) = (X − a) · 0 + a0 = (X − a) · 0 + P (a) .

También si P (X) = a1X + a0 es un polinomio de grado uno, tenemos que:

P (X) = (X − a) ·(a1)

+(a1a+ a0

)= (X − a) ·

(a1)

+ P (a) .

Supongamos ahora que P (X) = adXd + · · · + a1X + a0 es un polinomio de grado

d ≥ 2 y que ya sabemos que podemos escribir S(X) = (X − a)Q(X) + S(a) para todopolinomio S(X) de grado d− 1 ≥ 1, donde Q(X) 6= 0 y grad

(Q(X)

)= d− 2.

Tenemos entonces que:

P (X) = adXd + · · ·+ a1X + a0

=(adX

d−1 + · · ·+ a1)X + a0

=(

(X − a)Q(X) +(ada

d−1 + · · ·+ a1))X + a0

= (X − a)(Q(X)X

)+((ada

d−1 + · · ·+ a1)X + a0

)= (X − a)

(Q(X)X

)+ (X − a)

(ada

d−1 + · · ·+ a1)

+((ada

d−1 + · · ·+ a1)a+ a0

)= (X − a)

(Q(X)X +

(ada

d−1 + · · ·+ a1))

+(ada

d + · · ·+ a1a+ a0)

= (X − a)(Q(X)X +

(ada

d−1 + · · ·+ a1))

+ P (a) ,


donde adXd−1 + · · · + a1 es un polinomio de grado d − 1 ≥ 1 (pues ad 6= 0), por lo

que Q(X) 6= 0 y grad(Q(X)

)= d − 2 ≥ 0. Notemos en particular (ver la prueba del

Lema 1.1) que Q(X)X 6= 0 y grad(Q(X)X

)= d − 1 ≥ 1, por lo tanto el polinomio

Q(X)X +(ada

d−1 + · · ·+ a1)

es no cero y de grado d− 1 ≥ 1.Mostremos finalmente que si k es un dominio entero y P (X) = adX

d+ · · ·+a1X+a0es un polinomio no cero de grado d ≥ 0, entonces:

#{a ∈ k

∣∣P (a) = 0} ≤ grad(P (X)) .La prueba es por inducción en el grado d de P (X). Si d = 0 tenemos que P (X) =

a0 6= 0, entonces:

#{a ∈ k

∣∣ a0 = P (a) = 0} = 0 = grad(P (X)) .Supongamos ahora que grad

(P (X)

)= d ≥ 1 y que el resultado es válido para todo

polinomio no cero de grado d−1 ≥ 0. Notemos que si el polinomio P (X) no tiene ceros,entonces:

#{a ∈ k

∣∣ a0 = P (a) = 0} = 0 < grad(P (X)) .Si por otro lado a ∈ k cumple que P (a) = 0, escribamos:

P (X) = (X − a)Q(X) + P (a) = (X − a)Q(X) ,

donde Q(X) 6= 0 y grad(Q(X)

)= d− 1. Tenemos entonces por hipótesis de inducción

que:

#{b ∈ k

∣∣Q(b) = 0} ≤ d− 1 .Más aún, notemos que si b ∈ k cumple que Q(b) = 0, entonces P (b) = (b− a)Q(b) =

(b − a) 0 = 0. Por otro lado, si b ∈ k cumple que P (b) = 0, entonces 0 = P (b) =(b− a)Q(b); como k es un dominio entero tenemos que b = a o Q(b) = 0. Por lo tanto:{

b ∈ k∣∣P (b) = 0} = {b ∈ k ∣∣Q(b) = 0} ∪ {a} .

Concluimos que:

#{b ∈ k

∣∣P (b) = 0} ≤ #{b ∈ k ∣∣Q(b) = 0}+ 1 ≤ (d− 1) + 1 = d .�


Por el Lema 1.8 que acabamos de demostrar, si k es un dominio entero y p(X) ∈k[X]\{0}, entonces:

#{a ∈ k

∣∣P (a) = 0} ≤ grad(P (X)) .En particular, si k es infinito y P (X) ∈ k[X] está en el núcleo del morfismo evalua-

ción, es decir{a ∈ k

∣∣P (a) = 0} = k; entonces P (X) debe ser el polinomio cero. �2. Anillo de polinomios en varias indeterminadas

Sea k un anillo conmutativo con 1 y n ≥ 1 un número natural. Definimos un po-linomio con coeficientes en k en n indeterminadas como una función σ : Nn // k , talque el subconjunto

{s = (s1, . . . , sn)

∣∣σ(s) 6= 0} del producto cartesiano Nn es finito.En este caso llamamos a σ(s) ∈ k el coeficiente de σ en grado s. El conjunto de todoslos polinomios con coeficientes en k en n indeterminadas es denotado como k[Nn].

Si σ, µ ∈ k[Nn] son polinomios, la suma de σ y µ es el polinomio σ+µ definido como(σ + µ

)(s) = σ(s) + µ(s) para toda s = (s1, . . . , sn) y el producto es el polinomio σ · µ

definido como:

(12)(σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t)

para toda s = (s1, . . . , sn), donde r + t = (r1 + t1, . . . , rn + tn) si r = (r1, . . . , rn) y

t = (t1, . . . , tn).

Lema 2.1. Si k es un anillo conmutativo con uno, el conjunto k[Nn] con la suma y elproducto definidos arriba forman un anillo conmutativo con uno.

Demostración. Este es el caso particular del Ejercicio 3 cuando M es el monoide Nn conla suma coordenada a coordenada. �

Consideremos la función σ• : k // k[Nn] definida como:

(13) σa(s1, . . . , sn) =

a si (s1, . . . , sn) = (0, . . . , 0) ,0 si (s1, . . . , sn) 6= (0, . . . , 0) .


Los polinomios de la forma σa para alguna a ∈ k son llamados los polinomios cons-tantes.

Lema 2.2. Para todo anillo conmutativo con uno y todo número natural n ≥ 1, lafunción definida arriba σ• : k // k[Nn] es un morfismo inyectivo de anillos con uno.En particular el conjunto de los polinomios constantes es un subanillo de k[Nn] al quepodemos identificar con k, es decir si a ∈ k escribimos σa = a.

Demostración. Este enunciado es un caso particular del Ejercicio 5. �

Para cada número natural 1 ≤ i ≤ n definimos al polinomio i-ésima indeterminadaXi como la función de Nn en k definida por:

(14) Xi(s) =

1 si s = ei = (0, . . . , 0, 1i , 0, . . . , 0) ,0 si s 6= ei .Lema 2.3. Si k es un anillo conmutativo con uno, en el anillo k[Nn] se cumple:

(i) Si m ≥ 0 e 1 ≤ i ≤ n son números naturales, entonces el polinomio Xmi es iguala la función definida como:

(15) Xmi (s) =

1 si s = mei = (0, . . . , 0,mi , 0, . . . , 0) ,0 si s 6= mei .(ii) Si m1, . . . ,mn ≥ 0 e 1 ≤ i ≤ n, el polinomio Xm11 · · ·Xmnn es igual a la función

definida como:

(16) Xm11 · · ·Xmnn (s) =

1 si s = (m1, . . . ,mn) ,0 si s 6= (m1, . . . ,mn) .(iii) Si m1, . . . ,mn ≥ 0 e 1 ≤ i ≤ n son números naturales, se tiene que para todo

a ∈ k el polinomio aXm11 · · ·Xmnn es igual a la función definida como:

(17) aXm11 · · ·Xmnn (s) =

a si s = (m1, . . . ,mn) ,0 si s 6= (m1, . . . ,mn) .


Se sigue en particular que si σ : Nn // k es un polinomio con coeficientes en k enn indeterminadas, entonces:

σ =∑

(s1,...,sn)∈Nnσ(s1, . . . , sn)X

s11 · · ·Xsnn =

∑s∈Nn

σ(s)Xs .

Demostración. La prueba se pide como un ejercicio (ver el Ejercicio 9). �

Una vez que hayamos elegido letras para denotar a los polinomios indeterminadas

definidos en (14), en nuestro caso hemos elegimos a X1, . . . , Xn, denotamos al anillo

de polinomios k[Nn] como k[X1, . . . , Xn]. Más aún, cada vez que queramos hablar delpolinomio σ : Nn // k definido como σ(s) = as si s ∈ Nn, denotamos a σ como:

(18) P (X1, · · · , Xn) =∑

a(s1,...,sn)Xs11 · · ·Xsnn =

∑asX

s

y decimos que (18) es un polinomio con coeficientes en k en n indeterminadas.

Proposición 2.4. Si k es un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1 es un número natural,el anillo de polinomios con coeficientes en k en n indeterminadas k[X1, . . . , Xn] junto con

el morfismo de anillos con uno σ• : k // k[X1, . . . , Xn] y los n polinomios indeterminada

X1, . . . , Xn ∈ k[X1, . . . , Xn], tienen la siguiente propiedad universal (ver el Ejercicio 8):


anillos con uno y x1, . . . , xn ∈ A son n elementos de A, entonces existe unúnico morfismo ϕ : k[X1, . . . , Xn] //A tal que ϕ ◦ σ• = f y ϕ(Xi) = xipara 0 ≤ i ≤ n:

k[X1, . . . , Xn] 3 Xiϕ��

_

��k

σ• 33

f ++ A 3 xi

Dicho de otra manera, la siguiente función es biyectiva:

HomAnillo(k[X1, . . . , Xn], A) //HomAnillo(k,A) × An

ϕ 7→(ϕ ◦ σ•, ϕ(X1), . . . , ϕ(Xn)

) ,donde HomAnillo denota el conjunto de morfismos de anillos con uno.


Demostración. Esta Proposición es el caso particular del Ejercicio 7 donde M es el

monoide Nn con la suma coordenada a coordenada. Ver tambien el Ejercicio 12. �

Se deduce:

Corolario 2.5. Si k es un anillo conmutativo con uno, n ≥ 2 es un número naturaly ρ ∈ Sn (es decir ρ :

{1, . . . , n

}//{

1, . . . , n}

es una biyección), entonces existe un

único isomorfismo de anillos con uno:

k[X1, . . . , Xn]ϕ //

(k[Y1, . . . , Yn−1]

)[Yn]

tal que ϕ(a) = a para toda a ∈ k y ϕ(Xi) = Yρ(i) para toda 1 ≤ i ≤ n.


§2.1. Funciones algebraicas en varias variable. Sea k un anillo conmutativocon uno y consideremos al conjunto

{f : kn → k

∣∣ f es una función} como un anilloconmutativo con uno, donde (f + g)(α) = f(α) + g(α) y (f · g)(α) = f(α) · g(α) paratoda α = (α1, . . . , αn) ∈ kn y para cualesquiera dos funciones f y g de kn en k.

Notemos que por la Proposición 2.4 existe un único morfismo de anillos con uno:

(19) k[X1, . . . , Xn]ev• //

{f : kn → k

∣∣ f es una función}tal que:

eva : kn // k es la función constante de valor a, para toda a ∈ k; es decir:

eva(α1, . . . , αn) = a para todo (α1, . . . , αn) ∈ kn .

evXi : kn // k es la i-ésima proyección para toda 1 ≤ i ≤ n; es decir:

evXi(α1, . . . , αn) = αi para todo (α1, . . . , αn) ∈ kn .

Se sigue que si P (X1, · · · , Xn) =∑asX

s =∑a(s1,...,sn)X

s11 · · ·Xsnn es un polino-

mio en n indeterminadas y α = (α1, . . . , αn) ∈ kn, entonces:

evP (α) = P (α) = P (α1, . . . , αn) =∑

asαs =

∑a(s1,...,sn) α

s11 · · ·αsnn .


Si σ = P (X1, . . . , Xn) ∈ k[X1, . . . , Xn] es un polinomio, una n-áda de elementosen k, es decir un α = (α1, . . . , αn) ∈ kn, es llamado un cero de P si se cumple queevσ(α) = P (α1, . . . , αn) = 0.

El anillo imagen del morfismo ev• es llamado el anillo de las funciones polinomiales

sobre k en n variables o de las funciones algebraicas sobre k en n variables. Por el

Primer Teorema de isomorfismo para anillos, el morfismo (19) induce un isomorfismo

entre el anillo de las funciones polinomiales sobre k en n variables y el cociente que se

obtiene de dividir al anillo k[X1, . . . , Xn] de los polinomios con coeficientes en k en n

indeterminadas, módulo el ideal ker(ev•) de los polinomios que definen la función cero

de kn en k:

(20) k[X1, . . . , Xn]/

ker(ev•) ∼=Anillo de las funciones

polinomiales sobre k

en n variables.

Corolario 2.6. Si k es un dominio entero infinito (19) es una función inyectiva; es

decir, en este caso el anillo de las funciones polinomiales sobre k en n variables es

isomorfo al anillo de los polinomios k[X1, . . . , Xn].


Tarea 1

1.- Si k es un dominio entero, deduce del Lema 1.1 y del Corolario 2.5 que para n ≥ 1el anillo de polinomios k[X1, . . . , Xn] es un dominio entero.

2.- Si σ ∈ k[X1, . . . , Xn] es un polinomio distinto del cero, definimos el grado totalde f como el número natural:

grad(σ) = max{s1 + · · ·+ sn

∣∣σ(s1, . . . , sn) 6= 0} .Muestra:

a) grad(σ) = 0 si y solamente si σ es un polinomio constante no cero.


b) grad(σ + µ) ≤ max(grad(σ), grad(µ)

)si σ, µ ∈ k[X1, . . . , Xn] son polinomios

tales que σ, µ y σ + µ no son el polinomio cero.

c) grad(σ · µ) ≤ grad(σ) + grad(µ) si σ, µ ∈ k[X1, . . . , Xn] son polinomios talesque σ, µ y σ · µ no son el polinomio cero.

d) Si k es un dominio entero y σ, µ ∈ k[X1, . . . , Xn] son polinomios no cero,muestra que grad(σ · µ) = grad(σ) + grad(µ) (ver el Ejercicio 1).

3.- Sea k un anillo conmutativo con uno y M =(M,+

)un monoide conmutativo. Un

M -polinomio con coeficientes en k es una función σ : M // k tal que el conjunto{s ∈ M

∣∣σ(s) 6= 0} es un subconjunto finito de M . Denotamos como k[M ] alconjunto de todos los M -polinomios con coeficientes en k. Muestra que k[M ] =(k[M ],+, ·

)es un anillo conmutativo con uno donde la suma y el producto son

definidos como:(σ + µ

)(s) = σ(s) + µ(s) y

(σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t)

para todo s ∈M , respectivamente y donde el uno es el polonomio:

1 = σ1(s) =

1 si s = e (el elemento neutro de M) ,0 si s 6= e .4.- Sea ` ≥ 2 un número natural. Si σ1, . . . σ` ∈ k[M ] muestra que el producto

(σ1 · · ·σ`) ∈ k[M ] cumple:(σ1 · · ·σ`

)(s) =

∑r1+···+r`=s

σ1(r1) · · ·σ`(r`)

para cada s ∈ M , donde la suma está indexada sobre las `-ádas (r1, · · · , r`) deelementos de M tales que r1 + · · ·+ r` = s.

5.- Verifica que la función σ• : k // k[M ] definida como:

σa(s) =

a si s = e (el elemento neutro de M) ,0 si s 6= e .


es un morfismo de anillos con uno inyectivo.

6.- Sea X(•) : M // k[M ] la función definida en t ∈M como el M -polinomio:

X(t)(s) =

1 si s = t ,0 si s 6= t .Muestra que X(•) es un morfismo de monoides inyectivo, donde k[M ] es vistocomo monoide multiplicativo.

7.- Si k es un anillo conmutativo con uno y M un monoide conmutativo, el anillo

k[M ] junto con el morfismo de anillos con uno σ• : k // k[M ] y el morfismo de

monoides X(•) : M // k[M ] de los Ejercicios 5 y 6 respectivamente, tienen lasiguiente propiedad universal (ver el Ejercicio 8):


anillos con uno y g : M //A es un morfismo de monoides (donde A es

visto como un monoide multiplicativo), entonces existe un único morfismo

de anillos con uno ϕ : k[M ] //A tal que ϕ ◦ σ• = f y ϕ ◦X(•) = g:

k[M ]

ϕ��

k

σ• 22

f..

M

X(•)ll

gppA

Dicho de otra manera, la siguiente función es biyectiva:

HomAnillo(k[M ], A) //HomAnillo(k,A) × HomMonoide(M,A)ϕ 7→

(ϕ ◦ σ•, ϕ ◦X(•)

) ,donde HomMonoide denota el conjunto de morfismos de monoides.

8.- Sea k un anillo conmutativo con uno y M un monoide conmutativo. Muestra

que si B es un anillo conmutativo con uno, f : k //B es un morfismo de anillos

con uno y g : M //B es un morfismo de monoides (B visto como monoide


multiplicativo), los cuales cumplen que para todo anillo conmutativo con uno A

la siguiente función es biyectiva:

HomAnillo(B,A) //HomAnillo(k,A) × HomMonoide(M,A)ψ 7→ (ψ ◦ f, ψ ◦ g)

entonces el único morfismo de anillos con uno ϕ : k[M ] //B tal que ϕ ◦ σ• = fy ϕ ◦X(•) = g, es un isomorfismo.

9.- Muestra el Lema 2.3 (puedes usar el ejercicio 4).

10.- Muestra el Corolario 2.5 (con ayuda de los Ejercicios 7, 8, 12 y 13).

11.- Muestra el Corolario 2.6 con ayuda del Ejercicio 10 y del Corolario 1.7.

12.- Sea L =(L, ·)

un monoide conmutativo y n ≥ 1 un número natural. Muestra quese tiene una biyection:

HomMonoide(Nn, L) // Ln

ϕ 7→(ϕ(e1), . . . , ϕ(en)

)donde HomMonoide denota al conjunto de los morfismos de monoides, Nn es vistocomo monoide con la suma coordenada a coordenada y ei = (0, . . . , 0, 1

i, 0, . . . , 0)

si 1 ≤ i ≤ n.

13.- Muestra que si L =(L, ·)

es un monoide conmutativo y n,m ≥ 1 son númerosnaturales, la función:

HomMonoide(Nn, L)× HomMonoide(Nm, L) F //HomMonoide(Nn+m, L)

definida como F (ϕ, ψ)(s1, . . . , sn, t1, . . . , tm) = ϕ(s1, . . . , sn) · ψ(t1, . . . , tm), es bi-yectiva; donde Nn, Nm y Nn+m son vistos como monoides con la suma coordenadaa coordenada.


14.- Si L =(L, ·)

es un monoide conmutativo con elemento neutro e y n ≥ 2 es unnúmero natural, demuestra que las siguientes funciones son biyectivas:

HomMonoide(Z, L) //{

(x, y) ∈ L2∣∣∣x · y = e}

ϕ 7→(ϕ(1), ϕ(−1)

) ,HomMonoide(Z, L) //

{x ∈ L

∣∣∣ existe y ∈ L con x · y = e}ϕ 7→ ϕ(1)

y HomMonoide(Z/nZ, L) //{x ∈ L

∣∣∣xn = e}ϕ 7→ ϕ(1)

donde Z y Z/nZ son considerados como monoides con la suma.

15.- Muestra que el anillo k[Z] es isomorfo al anillo que se obtiene de dividir al anillode polinomios k[X, Y ] en dos indeterminadas módulo el ideal generado por el

polinomio XY − 1.

16.- Si n ≥ 2 muestra que el anillo k[Z/nZ] es isomorfo al anillo de los polinomiosk[X] en una indeterminada módulo el ideal generado por el polinomio Xn − 1.¿Cuántos elementos tiene el anillo Z/2Z[Z/2Z]?

3. Topoloǵıa de Zariski

Si X es un espacio topológico denotemos como C0R(X ) al conjunto de las funcionescontinuas de X en R. Notemos que el conjunto C0R(X ) tiene la estructura de un anilloconmutativo con uno con las operaciones definidas puntualmente:

(21)(ϕ+ ψ

)(x) = ϕ(x) + ψ(x) y

(ϕ · ψ

)(x) = ϕ(x) · ψ(x) para todo x ∈ X .

Para ciertos espacios topológicos X se puede recuperar a X (el conjunto de puntosy su topoloǵıa) a partir del conjunto parcialmente ordenado de los ideales del anillo


conmutativo con uno CR(X ) (ver los Lemas 3.2 y 3.4). En efecto, para ello consideremoslas funciones:

(22)

{Subconjuntos

del anilloC0R(X )

}Z //

{Subconjuntos

delespacio X

},

Ioo

definidas en S ⊆ C0R(X ) como el subconjunto de X :

Z(S) ={x ∈ X

∣∣∣ϕ(x) = 0 para toda ϕ ∈ S}y en un subconjunto Ω ⊆ X como el subconjunto de C0R(X ):

I(Ω) ={ϕ ∈ C0R(X )

∣∣∣ϕ(x) = 0 para toda x ∈ Ω} .Notemos primero:

Lema 3.1. Las funciones en (22) tienen las siguientes propiedades:

(i) Si S ⊆ S ′ ⊆ C0R(X ) son subconjuntos, entonces Z(S ′) ⊆ Z(S).

(ii) Si Ω ⊆ Ω′ ⊆ X son subconjuntos, entonces I(Ω′) ⊆ I(Ω).

(iii) Si Ω ⊆ X es un subconjunto, entonces I(Ω) es un ideal del anillo C0R(X ).

(iv) Si S ⊆ C0R(X ) es un subconjunto y 〈S〉 es el ideal generado por S, entonces setiene que Z(S) = Z

(〈S〉).

Se sigue de (iii) que las funciones en (22) inducen por restricción:

(23)

{Ideales

del anilloC0R(X )

}Z //

{Subconjuntos

delespacio X

},

Ioo

además por (iv) la imagen de Z en (23) es igual a la imagen de Z en (22).Mostremos el siguiente enunciado:

Lema 3.2. Si X es un espacio topológico, entonces:

(i) Z(a) es un subconjunto cerrado de X para todo ideal a ⊆ C0R(X ).


(ii) Si Ω ⊆ X es un subconjunto arbitrario, se tiene que Ω ⊆ Z(I(Ω)

). Más aún, si

X es compacto (de Hausdorff) y Ω es un cerrado de X entonces Z(I(Ω)

)= Ω.

En particular, si X es un espacio topológico compacto (de Hausdorff) un subconjuntoΩ ⊆ X es cerrado si y solamente si Z

(I(Ω)

)= Ω.

Demostración. Para mostrar (i) notemos que Z(a) =⋂f∈a

f−1(0) es una intersección de

conjuntos cerrados f−1(0). En particular Z(a) ⊆ X siempre es un subconjunto cerrado.Por otro lado, si Ω ⊆ X es un subconjunto arbitrario se verifica fácilmente que

Ω ⊆ Z(I(Ω)

).

Para mostrar el resto de la afirmación, usaremos el siguiente enunciado de topoloǵıa:

Lema 3.3. Si X es un espacio topológico compacto (de Hausdorff), Ω ⊆ X es uncerrado y x ∈ X\Ω; entonces existe una función continua f : X //R tal que f(x) = 1y f(y) = 0 para toda y ∈ Ω.

Supongamos ahora que Ω ⊆ X es un subconjunto cerrado. Para mostrar la conten-ción Z

(I(Ω)

)⊆ Ω, mostremos que X\Ω ⊆ X\Z

(I(Ω)

). En efecto, si x ∈ X\Ω se sigue

del Lema 3.3 que existe f ∈ C0R(X ) tal que f(x) = 1 y f(y) = 0 para todo y ∈ Ω, puespor hipótesis Ω es cerrado y X es compacto (de Hausdorff). En particular f ∈ I(Ω) yf(x) = 1, por lo que x /∈ Z

(I(Ω)

). Es decir X\Ω ⊆ X\Z

(I(Ω)

). �

Notemos que otra forma de leer el Lema 3.2 es la siguiente: Si Ω ⊆ X es un subcon-junto arbitrario de un espacio topológico compacto (de Hausdorff) X , entonces Ω es uncerrado si y solamente si existe un ideal a ⊆ C0R(X ) tal que Z(a) = Ω. En particular, latopoloǵıa de un espacio compacto (de Hausdorff) X la podemos deducir de los idealesdel anillo conmutativo con uno C0R(X ).

Veamos ahora cómo se recupera al conjunto de puntos de un espacio compacto (de

Hausdorff) a partir del conjunto parcialmente ordenado de los ideales del anillo C0R(X ).Para ello notemos que si x ∈ X es un punto de un espacio topológico arbitrario, el idealde las funciones continuas de X en R que se anulan en x:

mxdef= I

({x})

={f ∈ C0R(X )

∣∣ f(x) = 0}


es un ideal máximo del anillo C0R(X ).En efecto, esto es una consecuencia de que el morfismo evaluación en x:

C0R(X )evx //R

f 7→ f(x)

induce un isomorfismo del anillo cociente C0R(X )/mx en el campo de los números reales.

Mostremos:

Lema 3.4. Si X es un espacio topológico compacto (de Hausdorff), la función:

(24) X m• //{

Ideales máximos de C0R(X )}

x 7→ mx ={f∣∣ f(x) = 0}

es biyectiva.

Demostración. Si x ∈ X y Z es la función en (23) se verifica fácilmente que x ∈ Z(mx).

Por otro lado, si y ∈ X es un punto distinto de x se sigue del Lema 3.3 que existe unafunción continua f : X //R tal que f(x) = 0 y f(y) = 1, es decir f ∈ mx y f(y) 6= 1.Dicho de otro modo y /∈ Z

(mx), por lo que {x} = Z

(mx). Esto implica en particular

que m• es una función inyectiva.

Consideremos ahora m ⊆ C0R(X ) un ideal máximo. Notemos que si x ∈ Z(m),

entonces:

m ⊆ I(Z(m))⊆ mx ⊆ C0R(X ) ,

por lo que m = mx.

Supongamos por el contrario que Z(m)

= ∅. Dicho de otro modo, para todo puntox ∈ X existe una función continua fx : X //R en m tal que fx(x) 6= 0. Se siguede la compacidad de X que existen funciones f1, . . . , fs ∈ m, con la propiedad quef−11(R\{0}

), . . . , f−1s

(R\{0}

)son una cubierta abierta de X .

Sea f = f 21 + · · · + f 2s ∈ m. Notemos que si z ∈ X entonces existe 1 ≤ i ≤ stal que z ∈ f−1i

(R\{0}

), en particular fi(z) 6= 0, es decir f 2i (z) > 0. Por lo tanto

f(z) = f 21 (z) + · · · + f 2s (z) ≥ f 2i (z) > 0, es decir f(z) 6= 0. Entonces f : X //R es unafunción continua en m que no se anula en ningún punto de X . En particular podemos


considerar la función continua 1/f : X //R . Por lo tanto 1 = (1/f)(f) ∈ m, lo cual esuna contradicción. Entonces Z

(m)6= ∅. �

Nota que en la prueba del Lema 3.4 se demuestra que (23) induce una biyección (ver

también el Ejercicio 18): {Ideales

máximos deC0R(X )

}Z //X .I

oo

§3.1. Conjuntos algebraicos. Sea k un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1.Si S ⊆ k[X1, . . . , Xn] es una familia de polinomios con coeficientes en k en n inde-

terminadas, denotamos como Z(S) al conjunto de ceros de S, es decir:

Z(S) ={a = (a1, . . . , an) ∈ kn

∣∣∣P (a) = 0 para todo P ∈ S } .Denotamos también Z(S) = Z(P1, . . . , P`) si S =

{P1, . . . , P`

}es un conjunto finito de

polinomios.

Rećıprocamente si Ω ⊆ kn es un subconjunto arbitrario, el ideal de Ω es el subcon-junto de k[X1, . . . , Xn] de los polinomios que se anulan en Ω:

I(Ω) ={P (X) ∈ k[X1, . . . , Xn]

∣∣∣ P (a) = 0 para todo a = (a1, . . . , an) ∈ Ω} .Mostremos:

Lema 3.5. Las funciones:

(25)

{Subconjuntos

del anillok[X1, · · · , Xn]

}Z //

{Subconjuntosdel producto

cartesiano kn

},

Ioo

tienen las siguientes propiedades:

(i) Z(R) ⊆ Z(S) siempre que S ⊆ R.

(ii) I(Ω) ⊆ I(Ω′) siempre que Ω′ ⊆ Ω.


(iii) Z(S) = Z(〈S〉) donde 〈S〉 es el ideal generado por S, es decir:

(26) 〈S〉 ={f1g1 + · · ·+ f`g`

∣∣∣ fi ∈ k[X1, . . . , Xn] , gi ∈ S y ` ≥ 0} ,aqúı la suma vaćıa (` = 0) es definida como el elemento cero de k[X1, . . . , Xn].

(iv) I(Ω) es un ideal del anillo k[X1, . . . , Xn].

(v) Ω ⊆ Z(I(Ω)

)si Ω ⊆ kn es un subconjunto arbitrario.

(vi) S ⊆ I(Z(S)

)si S ⊆ k[X1, . . . , Xn] es un subconjunto arbitrario.

(vii) Z(∅) = Z(0) = kn y Z(k[X1, · · · , Xn]) = Z(1) = ∅.

(viii) I(∅) = k[X1, . . . Xn] y si k es un dominio entero infinito entonces I(kn) = 0.

(ix)⋂α∈ΛZ(Sα) = Z(

⋃α∈Λ

Sα) si{Sα}α∈Λ es una familia de subconjuntos del anillo de

polinomios Sα ⊆ k[X1, . . . , Xn].

(x)⋂α∈ΛI(Ωα) = I(

⋃α∈Λ

Ωα) si{

Ωα}α∈Λ es una familia de subconjuntos Ωα ⊆ k

n.

(xi)⋃α∈λZ(Sα) ⊆ Z(

⋂α∈λ

S) si{Sα}α∈Λ es una familia de subconjuntos del anillo de

polinomios Sα ⊆ k[X1, . . . , Xn].

Además si S,R ⊆ k[X1, . . . , Xn], entonces Z(S) ∪ Z(R) ⊆ Z(S · R) donde S · Rdenota el producto de subconjuntos de un anillo: S ·R =

{P ·Q

∣∣P ∈ S y Q ∈ R}.Más aún si k es un dominio entero entonces Z(S) ∪ Z(R) = Z(S ·R).

(xii)∑α∈ΛI(Ωα) ⊆ I(

⋂α∈Λ

Ωα) si{

Ωα}α∈Λ es una familia de subconjuntos Ωα ⊆ k

n;

donde∑α∈ΛI(Ωα) es el ideal generado por la unión

⋃α∈ΛI(Ωα).

Demostración.

(i) Supongamos que S ⊆ R ⊆ k[X1, . . . , Xn] y sea a = (a1, . . . , an) ∈ Z(R), es decirP (a) = 0 para todo P ∈ R. Como S ⊆ R se sigue en particular que P (a) = 0 para todoP ∈ S, es decir a ∈ Z(S). Por lo tanto Z(R) ⊆ Z(S).


(ii) Supongamos que Ω′ ⊆ Ω ⊆ kn y sea P ∈ I(Ω), es decir P (a) = 0 para todoa ∈ Ω. Ya que Ω′ ⊆ Ω se tiene en particular que P (a) = 0 para todo a ∈ Ω′, por lo queP ∈ I(Ω′). Concluimos que I(Ω) ⊆ I(Ω′).

(iii) Sea S ⊆ k[X1, . . . , Xn]. Notemos primero que como S ⊆ 〈S〉, se sigue de (i) queZ(〈S〉)⊆ Z(S). Por otro lado si a ∈ Z(S) entonces se tiene que g(a) = 0 para todo

g ∈ S; en particular, si k ≥ 1, fi ∈ k[X1, . . . , Xk] y gi ∈ S se tiene que:

(f1g1 + · · ·+ fkgk

)(a) = f1(a)g1(a) + · · ·+ fk(a)gk(a) = f1(a) 0 + · · ·+ fk(a) 0 = 0 ;

por lo que a ⊆ Z(〈S〉). Entonces Z(S) ⊆ Z

(〈S〉).

(iv) Si Ω ⊆ kn mostremos que I(Ω) es un ideal del anillo de polinomios k[X1, . . . , Xn].En efecto, notemos que el polinomio cero 0 ∈ k[X1, . . . , Xn] tiene la propiedad que0(a) = 0 para todo a ∈ kn, en particular 0(a) = 0 si a ∈ Ω; entonces 0 ∈ I(Ω).

Supongamos ahora que P,Q ∈ I(Ω), se sigue que si a ∈ Ω entonces (P + Q)(a) =P (a) + Q(a) = 0 + 0 = 0; es decir P + Q ∈ I(Ω). Del mismo modo si P ∈ I(Ω) y R ∈k[X1, . . . , Xn], para cualquier a ∈ Ω se tiene que (RP )(a) = R(a)P (a) = R(a) 0 = 0;es decir RP ∈ I(Ω). Por lo tanto I(Ω) ⊆ k[X1, . . . , Xn] es un ideal.

(v) Sea Ω ⊆ kn un subconjunto arbitrario. Notemos que si a ∈ Ω y P ∈ I(Ω)entonces P (a) = 0 por la definición de I(Ω), en particular a ∈ Z

(I(Ω)

)si a ∈ Ω. Por

lo tanto Ω ⊆ Z(I(Ω)

).

(vi) Sea S ⊆ k[X1, . . . , Xn] un subconjunto arbitrario. Por definición de Z(S) setiene que si P ∈ S y a ∈ Z(S) entonces P (a) = 0, en particular P ∈ I

(Z(S)

)si P ∈ S.

Por lo tanto S ⊆ I(Z(S)

).

(vii) Por (iii) tenemos que Z(∅) = Z(0) y Z(k[X1, . . . , Xn]

)= Z(1). Por otro

lado Z(0) = kn porque todo elemento de kn es cero del polinomio cero. Mientras queZ(1) = ∅ porque ningún elemento de kn es cero del polinomio constante 1.

(viii) Notemos que I(∅) = k[X1, . . . , Xn] porque si P ∈ k[X1, . . . , Xn] no existea ∈ ∅ tal que P (a) 6= 0. Por otro lado I(kn) = 0 si k es un dominio entero infinito porel Corolario 2.6 (ver el Ejercicio 11).


(ix) Sea{Sα ⊆ k[X1, . . . , Xn]

}α∈Λ una familia de subconjuntos del anillo de polino-

mios. Notemos por un lado que como Sβ ⊆⋃α∈Λ

Sα para todo β ∈ Λ, se sigue de (i) que

Z(⋃α∈Λ

Sα) ⊆ Z(Sβ) para todo β ∈ Λ, por lo tanto Z(⋃α∈Λ

Sα) ⊆⋂α∈ΛZ(Sα).

Por otro lado supongamos que a ∈⋂α∈ΛZ(Sα) es decir a ∈ Z(Sα) para toda α ∈ Λ;

si P ∈⋃α∈Λ

Sα se tiene que existe β ∈ Λ tal que P ∈ Sβ, en particular P (a) = 0 pues

a ∈ Z(Sβ); entonces⋂α∈ΛZ(Sα) ⊆ Z(

⋃α∈Λ

Sα).

(x) Sea{

Ωα ⊆ kn}α∈Λ una familia de subconjuntos de k

n. Como Ωβ ⊆⋃α∈Λ

Ωα

para todo β ∈ Λ, se sigue de (ii) que I( ⋃α∈Λ

Ωα)⊆ I(Ωβ) para todo β ∈ Λ; entonces

I( ⋃α∈Λ

Ωα)⊆⋂α∈ΛI(Ωα).

Supongamos ahora que P ∈⋂α∈ΛI(Ωα), es decir P ∈ I(Ωα) para todo α ∈ Λ. Si

a ∈⋃α∈Λ

Ωα entonces a ∈ Ωβ para alguna β ∈ Λ y aśı P (a) = 0 porque P ∈ I(Ωβ). Por

lo tanto⋂α∈ΛI(Ωα) ⊆ I

( ⋃α∈Λ

Ωα).

(xi) Si{Sα ⊆ k[X1, . . . , Xn]

}α∈Λ es una familia de subconjuntos del anillo de poli-

nomios, como⋂α∈Λ

Sα ⊆ Sβ para todo β ∈ Λ, se sigue de (i) que Z(Sβ) ⊆ Z(⋂α∈λ

S) para

todo β ∈ Λ. Por lo tanto⋃α∈λZ(Sα) ⊆ Z(

⋂α∈λ

S).

Sean ahora S,R ⊆ k[X1, . . . , Xn]. Notemos que como S·R ⊆ 〈S〉 y S·R ⊆ 〈R〉 se siguede (i) y (iii) que Z(S) = Z

(〈S〉)⊆ Z(S ·R) y también que Z(R) = Z

(〈R〉)⊆ Z(S ·R).

Por lo tanto Z(S) ∪ Z(R) ⊆ Z(S ·R).Supongamos ahora que k es un dominio entero. Consideremos a ∈ Z(S · R) tal que

a /∈ Z(R); es decir(P ·Q

)(a) = 0 para cualesquiera P ∈ S yQ ∈ R, pero existeG ∈ R tal

que G(a) 6= 0. En particular, para todo P ∈ S se tiene que P (a) ·G(a) =(P ·G

)(a) = 0

donde G(a) 6= 0; como k es un dominio entero deducimos que P (a) = 0 para todoP ∈ S, es decir a ∈ Z(S). Esto demuestra que Z(S ·R) ⊆ Z(S) ∪ Z(R).

(xii) Sea{

Ωα ⊆ kn}α∈Λ una familia de subconjuntos de k

n. Como⋂α∈Λ

Ωα ⊆ Ωβ para

todo β ∈ Λ, se sigue de (ii) que I(Ωβ) ⊆ I( ⋂α∈Λ

Ωα)

para todo β ∈ Λ. Ya que I( ⋂α∈Λ

Ωα)

es un ideal por (iv), se sigue que∑α∈ΛI(Ωβ) ⊆ I

( ⋂α∈Λ

Ωα). �


Los conjuntos que son los ceros de una familia de polinomios son llamados variedades

algebraicas af́ınes (clásicas). Más precisamente:

Definición 3.6. Si k es un anillo conmutativo con uno, un conjunto algebraico sobre k

o una variedad algebraica af́ın (clásica) sobre k es un subconjunto X ⊆ kn de la formaX = Z(S) para alguna n ≥ 1 y algún subconjunto S ⊆ k[X1, . . . , Xn].

Notemos que las funciones en (25), inducen por (iv) del Lema 3.5 y la Definición 3.6

las siguientes funciones:

(27)

{Ideales

del anillok[X1, · · · , Xn]

}Z //

{Conjuntosalgebraicos

contenidos en kn

},

Ioo

Observemos que:

Lema 3.7. Si k es un anillo conmutativo con uno y X ⊆ kn es un conjunto algebrai-co, entonces X = Z

(I(X )

). En particular en (27) la función I es inyectiva y Z es

sobreyectiva.

Demostración. Se sigue de (v) del Lema 3.5 que X ⊆ Z(I(X )

)para todo subconjunto

X ⊆ kn. Por otro lado, si X ⊆ kn es un conjunto algebraico, por la Definición 3.6tenemos que X = Z(S) para algún subconjunto S ⊆ k[X1, . . . , Xn]. Entonces por (i) y(vi) del Lema 3.5 tenemos que Z

(I(X )

)= Z

(I(Z(S)

))⊆ Z(S) = X . �

Deducimos del Lemma 3.7 que el conjunto parcialmente ordenado que forman los

conjuntos algebraicos contenidos en kn, se puede identificar con un subconjunto del

conjunto parcialmente ordenado de los ideales del anillo k[X1, . . . Xn] (con la contención

opuesta pues I invierte la contención por (ii) del Lema 3.5).

§3.2. Topoloǵıa de Zariski. Si k es un dominio entero, notemos que por las pro-piedades (vii), (ix) y (xi) del Lema 3.5 los conjuntos algebraicos sobre k contenidos en

kn son los cerrados de una topoloǵıa en kn llamada la topoloǵıa de Zariski. Si k es un

dominio entero llamamos a un conjunto algebraico sobre k un cerrado de Zariski.

Mostremos:


Lema 3.8. Si k es un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1, entonces los puntos de kn

son conjuntos algebraicos sobre k. En particular si k es un dominio entero, la topoloǵıa

de Zariski en kn contiene a la topoloǵıa cofinita1 de kn.

Más aún, si k es un dominio entero y n = 1 la topoloǵıa de Zariski en k es exac-

tamente la topoloǵıa cofinita; entonces si k es un dominio entero finito, es decir si k

es un campo finito, la topoloǵıa de Zariski de k es la topoloǵıa discreta (ver también la

sección 4).

Demostración. Si (a1, . . . , an) ∈ kn es un punto cualquiera, no es dif́ıcil mostrar queZ(X1 − a1, . . . , Xn − an) =

{(a1, . . . , an)

}. Por otro lado, si k es un dominio entero se

sigue de (xi) del Lema 3.5 que la unión finita de cerrados de Zariski es un cerrado de

Zariski, por lo que un conjunto finito de puntos de kn es un cerrado de Zariski.

Rećıprocamente, supongamos que n = 1 y sea S ⊆ k[X]. Si S = ∅ o S = {0}entonces Z(S) = kn. Si por otro lado P ∈ S es un polinomio no cero, se sigue de (i)del Lema 3.5 que Z(S) ⊆ Z(P ). Como k es un dominio entero, se sigue del Lema 1.8que la cardinalidad de Z(P ) está acotada por el grado de P , por lo tanto Z(S) es unconjunto finito. �

Si k es un anillo normado (por ejemplo k = R con el valor absoluto) entonces latopoloǵıa de Zariski de kn está contenida en la topoloǵıa métrica de kn (ver el Ejercicio

19 abajo). En general esta contención es propia (ver el Ejercicio 27 abajo).

4. El caso: k campo y n = 1

En esta sección vamos a revisar las funciones en (27) cuando k es un campo y n = 1:

(28)

{Ideales

del anillok[X]

}Z //

{Conjuntosalgebraicos

contenidos en k

},

Ioo

Por el Lema 3.8, sabemos que el lado derecho de (28) está formado por k mismo y

por los conjuntos finitos (incluido el conjunto vaćıo). Recordemos que el lado izquierdo

1La topoloǵıa cofinita es un conjunto es la topoloǵıa donde los cerrados son los conjuntos finitos más el espacio total.


de (28) es igual al conjunto de los ideales principales de k[X], es decir de los ideales

generados por un solo elemento:

Lema 4.1. Si k es un campo y a ⊆ k[X] es un ideal, entonces existe un polinomioP (X) ∈ k[X] tal que:

a =〈P (X)

〉={P (X)Q(X)

∣∣∣Q(X) ∈ k[X]} ,es el ideal generado por P (X).

Demostración. Si a ⊆ k[X] es el ideal cero entonces a = 〈0〉. Supongamos por otro ladoque a\{0} no es vaćıo y consideremos P (X) ∈ a\{0} de grado mı́nimo. Notemos primeroque 〈P (X)〉 ⊆ a pues P (X) ∈ a. Si ahora F (X) ∈ a, por el algoritmo de la división enk[X] sabemos que existen Q(X), R(X) ∈ k[X] tales que:

F (X) = P (X)Q(X) +R(X)

donde R(X) = 0 ó 0 ≤ grad(R(X)

)< grad

(P (X)

).

Como R(X) = F (X) − P (X)Q(X) ∈ a y P (X) es de grado mı́nimo en a\{0},se sigue que R(X) = 0. En particular F (X) = P (X)Q(X) ∈ 〈P (X)〉. Por lo tantoa ⊆ 〈P (X)〉. �

Es bien sabido que el conjunto parcialmente ordenado de los ideales principales en un

dominio entero A con la contención, es simplemente el conjunto parcialmente ordenado

de los elementos de A módulo sus unidades con la relación opuesta a la divisibilidad:

§4.1. Divisibilidad en un dominio entero. Sea A un dominio entero. Si a y b sonelementos de A, decimos que a divide b o que b es múltiplo de a si existe x ∈ A tal quea · x = b. En este caso escribimos a | b.

La divisibilidad tiene las siguientes propiedades:

Lema 4.2. Si A es un dominio entero se tienen las siguientes propiedades:

(i) a | a para todo elemento a de A.

(ii) Si a | b y b | c entonces a | c.


(iii) a |x para todo elemento a ∈ A si y solamente si x = 0, el neutro aditivo de A.

(iv) x | a para todo elemento a ∈ A si y solamente si x es una unidad de A.

(v) a | b y b | a si y solamente si existe una unidad u ∈ A tal que a = u · b.

(vi) a | b si y solamente si a · u | b · v para cualesquiera u, v unidades de A

(vii) Si a | b entonces a · c | b · c para todo c ∈ A.

(viii) Si a | b y a | c entonces a | (b · z + c · w) para cuales quiera z, w ∈ A.

En particular el conjunto de los elementos de un dominio entero A con la relación

de divisibilidad es un conjunto pre-ordenado (ver (i) y (ii) del Lema 4.2), pero no es

un conjunto parcialmente ordenado si A× 6= {1}, donde A× denota al conjunto de lasunidades de A (ver (v) del Lema 4.2).

Dos elementos a y b de un dominio entero A son llamados asociados si a | b y b | a.No es dif́ıcil demostrar que ser asociado es una relación de equivalencia en A (ver (v)

del Lema 4.2). Si a ∈ A entonces la clase de equivalencia de a por esta relación deequivalencia es igual al conjunto a · A× =

{a · u

∣∣u unidad de A}. Denotamos comoA/A× al conjunto cociente que obtenemos de A módulo asociados. Nota que A/A×

hereda una relación de divisibilidad la cual es un orden parcial (ver (vi) del Lema 4.2).

La clase de equivalencia del neutro aditivo 0 ·A× ={

0}

es la cota superior de A/A× y

la clase del neutro multiplicativo 1 · A× = A× ={u∣∣u unidad de A} la cota inferior

(ver (iii) y (iv) del Lema 4.2).

Notemos que la función:

(29) A〈 · 〉

//{

Ideales de A}

a 7→ 〈a〉

que a cada elemento a de A asocia 〈a〉 ={xa ∈ A

∣∣x ∈ A} el ideal generado por a,tiene la propiedad:

a | b si y solamente si 〈b〉 ⊆ 〈a〉.


La imagen de la función (29) es el conjunto de los ideales principales de A; además,

dos elementos a, b ∈ A cumplen que 〈a〉 = 〈b〉 si y solamente si a y b son asociados.Por lo tanto el conjunto parcialmente ordenado A/A× con la divisibilidad es isomor-

fo al conjunto parcialmente ordenado opuesto de los ideales principales de A con la

contención.

En particular, si A es un dominio de ideales principales como el anillo de los poli-

nomios con coeficientes en un campo k[X] (ver el Lema 4.1), el conjunto parcialmen-

te ordenado A/A× con la divisibilidad es isomorfo al conjunto parcialmente ordenado

opuesto de todos los ideales de A con la contención.

§4.2. La función (27) si k campo y n = 1. Si k es un campo, notemos que lasunidades del anillo de polinomios k[X] son los polinomios constantes distintos del cero,

en particular el conjunto de los polinomios módulo asociados k[X]/k[X]× se puede

identificar con el conjunto de los polinomios mónicos de grado mayor o igual a uno, el

polinomio constante 0 (el neutro aditivo de k) y el polinomio constante 1 (el neutro

multiplicativo de k):

(30) k[X]/k[X]× ∼=

{Xn + an−1X

n−1 + · · ·+ a1X + a0∣∣∣n ≥ 1, ai ∈ k} t {0} t {1} .

Concluimos que las funciones en (28) más arriba se pueden identificar, usando la

biyección (29), con las funciones:

(31) k[X]/k[X]×

Z ′ //{

Subconjuntosfinitos propiosno vaćıos de k

}t {k} t {∅} ,

I ′oo

donde Z ′(P (X)

)={a ∈ k

∣∣P (a) = 0} es el conjunto de los ceros de P (X) ∈ (30) e:I ′(X)

=

(X − a1) . . . (X − a`) si ∅ 6= X = {a1, . . . , a`} ⊆ k (donde ai 6= aj si i 6= j) ,

0 si X = k no es finito ,

1 si X = ∅ .


Notemos en particular que Z ′(I ′(X )

)= X para todo conjunto algebraico X ⊆ k

(ver el Lema 3.7). Sin embargo, si P (X) ∈ (30) se tiene entonces que:

I ′(Z ′(P (X)

))=

(X − a1) . . . (X − a`) si ∅ 6= {a1, . . . , a`} ⊆ k son los ceros (distintos) de P (X) ,

0 si P (X) = 0 es el polinomio cero y k no es finito ,

1 si P (X) no tiene ceros en k .

Por ejemplo, si tenemos que ∅ 6= {a1, . . . , a`} ⊆ k son ` ≥ 1 elementos diferentes dek, s1, . . . , s` ≥ 1 son números naturales y Q(X) ∈ (30) no tiene ceros en k, entonces:

(32) I ′(Z ′((X − a1)s1 · · · (X − a`)s`Q(X)

))= (X − a1) · · · (X − a`) .

Si k es un campo infinito se tiene en particular que I ′(Z ′(0)

)= 0 y si P (X) 6= 0

es un elemento de (30) entonces I ′(Z ′(P (X)

))= P (X) si y solamente si P (X) tiene

grado(P (X)

)ceros diferentes en k.

5. Conjuntos algebraicos sobre dominios neterianos

En esta sección mostramos que los conjuntos algebraicos (propios y no vaćıos) so-

bre un dominio neteriano son unión finita de intersecciones finitas de ceros de un solo

polinomio irreducible (ver los Corolarios 5.3 y 5.5).

§5.1. Anillos neterianos. Recordemos la siguiente consecuencia del Lema de Zorn:

Lema 5.1. Si A es un anillo conmutativo con uno, son equivalentes:

a) Si a ⊆ A es un ideal entonces existen a1, . . . , am ∈ A tales que a = 〈a1, . . . , am〉.

b) Si a0 ⊆ a1 ⊆ · · · ⊆ as ⊆ · · · ⊆ A es una sucesión de ideales, entonces existeN ∈ N tal que aN = as para toda s ≥ N .

c) Todo conjunto no vaćıo de ideales de A admite un elemento máximo (respecto de

la contención).


Demostración. Mostremos que a)⇒b)⇒c)⇒a).a)⇒b): Supongamos que a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ as ⊆ · · · ⊆ A es una sucesión de ideales.

Tomemos a =⋃s∈N

as y notemos primero que a es un ideal de A. En efecto, 0 ∈ a1 ∈ a.

Si ahora a, b ∈ a entonces a ∈ as1 y b ∈ as2 para algunos s1, s2 ∈ N por lo que a, b ∈ assi s = max{s1, s2}, de modo que a + b ∈ as ⊆ a. Por último si a ∈ a y x ∈ A tenemosque a ∈ as para alguna s ∈ N por lo que xa ∈ as ⊆ a. Por lo tanto a ⊆ A es un ideal.

Por a) sabemos que existen a1, . . . , am ∈ A tales que 〈a1, . . . , am〉 = a =⋃s∈N

as,

de modo que ai ∈ asi para alguna si ∈ N. Si N = max{s1, . . . , sm} se sigue queai ∈ asi ⊆ aN , por lo que 〈a1, . . . , am〉 ⊆ aN . Concluimos que si s ≥ N entonces:

as ⊆ a = 〈a1, . . . , am〉 ⊆ aN ⊆ as ,

por lo que as = aN .

b)⇒c): Sea Ω un conjunto no vaćıo de ideales de A visto como un conjunto parcial-mente ordenado con la contención. Si a0 ⊆ a1 ⊆ · · · ⊆ as ⊆ · · · es una sucesión deelementos de Ω sabemos que existe N ∈ N tal que as ⊆ aN para toda s ∈ N, por lo quela cadena es acotada superiormente por un elemento de Ω. Se sigue del Lema de Zorn

que Ω admite un elemento máximo.

c)⇒a): Sea a ⊆ A un ideal y consideremos el siguiente conjunto parcialmente orde-nado por la contención:

Ω =

{b ⊆ A

∣∣∣∣ b es un ideal de A contenido en a tal queb = 〈b1, . . . , b`〉 para algunos b1, . . . , b` ∈ A}.

Notemos que {0} ∈ Ω por lo que Ω no es vaćıo. Se sigue de b) que Ω admite unelemento máximo, digamos a′. Entonces a′ es un ideal de A contenido en a tal que

a′ = 〈a1, . . . , am〉 para algunos a1, . . . , am ∈ A. Mostremos que a′ = 〈a1, . . . , am〉 = a.En efecto, si a′ a tenemos que existe am+1 ∈ a\a′ de modo que:

a′ = 〈a1, . . . , am〉〈a1, . . . , am, am+1〉 ⊆ a ,

por lo que 〈a1, . . . , am, am+1〉 seŕıa un elemento de Ω que contiene propiamente a a′. Estocontradice que a′ es un elemento máximo de Ω. Por lo tanto a′ = 〈a1, . . . , am〉 = a. �


Un anillo conmutativo con uno que cumple las propiedades equivalentes del Lema

5.1 es llamado un anillo neteriano. Mostremos el siguiente enunciado conocido como

Teorema de la base de Hilbert

Proposición 5.2. Si A es un anillo neteriano, entonces el anillo de polinomios en una

indeterminada A[X] también es un anillo neteriano.

Demostración. Sea A un anillo neteriano. Mostraremos que A[X] cumple la propiedad a)

del Lema 5.1. En efecto, si a ⊆ A[X] es el ideal cero tenemos que a = 〈0〉. Supongamosque a ⊆ A[X] es un ideal no cero. Si n ∈ N definimos:

In ={a ∈ A\{0}

∣∣∣ existe P (X) ∈ a tal que P (X) = aXn + an−1Xn−1 + · · ·+ a0} t {0} .Mostremos los enunciados i) a vi) de abajo:

i) In es un ideal de A para todo n ∈ N.

Por definición 0 ∈ In. Por otro lado supongamos que a, b ∈ In. Si a+ b = 0 entoncesa+b ∈ In. Consideremos el caso a+b 6= 0 y notemos que por definición existen polinomiosP (X), Q(X) ∈ a de la forma:

P (X) = aXn + an−1Xn−1 + · · ·+ a0 y Q(X) = bXn + bn−1Xn−1 + · · ·+ b0 .

En particular:

P (X) +Q(X) = (a+ b)Xn + (an−1 + bn−1)Xn−1 + · · ·+ (a0 + b0)

es un elemento de a donde a+ b 6= 0, por lo que a+ b ∈ In.Sea finalmente a ∈ In y x ∈ A tales que ax 6= 0. Tenemos entonces que existe

P (X) ∈ a de la forma:

(33) P (X) = aXn + an−1Xn−1 + · · ·+ a0

donde a 6= 0, si consideramos al polinomio:

xP (X) = (xa)Xn + (xan−1)Xn−1 + · · ·+ (xa0)

se tiene que xP (X) ∈ a donde xa 6= 0, por lo que xa ∈ In.


ii) In ⊆ In+1 para todo n ∈ N.

En efecto, si a ∈ In\{0} sabemos que existe P (X) ∈ a un polinomio de la forma(33). En particular P (X)X ∈ a es un polinomio de la forma:

P (X)X = aXn+1 + an−1Xn + · · ·+ a0X ,

donde a 6= 0. En particular a ∈ In+1.

iii) Existe n ≥ 0 tal que In 6= {0}.

Como por hipótesis a es un ideal distinto del cero, tenemos que existe P (X) ∈ a\{0}de la forma (33) donde a 6= 0, por lo que a ∈ In\{0}. En particular In 6= {0}.

Denotemos ahora como N1 ≥ 0 al mı́nimo número natural n tal que In 6= {0}.Notemos que por el Lema 5.1 existe N2 ∈ N tal que IN2 = Is para toda s ≥ N2.

iv) N1 ≤ N2.

En efecto, por un lado tenemos que si s ≥ N2 entonces Is = IN2, si s < N1 entoncesIs = {0} y además tenemos que IN1 6= {0}; por lo que de suponer N2 < N1 se tendŕıaque {0} 6= IN1 = IN2 = {0} lo cual es una contradicción.

Notemos ahora que por el Lema 5.1, si N1 ≤ n ≤ N2 entonces In = 〈an,1, . . . , an,`n〉para algunos an,1, . . . , an,`n ∈ In\{0} donde `n ≥ 1. Si N1 ≤ n ≤ N2 y 1 ≤ j ≤ `nconsidera Pn,j(X) ∈ a de la forma:

Pn,j(X) = an,jXn + an−1X

n−1 + · · ·+ a0 .

Mostremos:

v) Sea F (X) ∈ a\{0} de la forma F (X) = bnXn+bn−1Xn−1+· · ·+b0 donde bn 6= 0; enparticular bn ∈ In. Si n ≥ N2 existe Q(X) ∈ 〈PN2,1, . . . , PN2,`N2〉 con la propiedadque F (X)−Q(X) = 0 o tal que N1 ≤ grad

(F (X)−Q(X)

)< N2.


En efecto, como bn ∈ In = 〈an,1, . . . , an,`n〉 existen elementos α1, . . . , α`N2 ∈ A talesque:

bn =

`N2∑j=1

αj an,j .

En particular el polinomio:

G1(X) = F (X)−`N2∑j=1

αj PN2,j(X)

es un elemento de a igual al polinomio cero o tal que grad(G1(X)

)= n1 < n.

Si G1(X) = 0 o n1 < N2 terminamos escribiendo Q(X) =`N2∑j=1

αj PN2,j(X). Si n1 ≥ N2

y G1(X) = b1,n1Xn1 +b1,n1−1X

n1−1 + · · ·+b1,0 existen elementos α1,1, . . . , α1,`N2 ∈ A talesque:

b1,n1 =

`N2∑j=1

α1,j an1,j .

Tenemos entonces que el polinomio:

G2(X) = G1(X)−`N2∑j=1

α1,j PN2,j(X)

es un elemento de a igual al polinomio cero o tal que grad(G2(X)

)= n2 < n1 < n.

Si G2(X) = 0 o n2 < N2 terminamos con Q(X) =`N2∑j=1

(αj + α1,j)PN2,j(X). Si por

otro lado n2 ≥ N2, proseguimos de esta forma hasta obtener un polinomio de la forma:

Q(X) =

`N2∑j=1

(αj + α1,j + · · ·+ αm,j)PN2,j(X) ,

tal que F (X)−Q(X) = 0 o N1 ≤ grad(F (X)−Q(X)

)< N2.

Mostremos ahora:

vi) Sea G(X) ∈ a\{0} de la forma G(X) = cmXm + cm−1Xm−1 + · · · + c0 dondecm 6= 0; en particular cm ∈ Im. Si N1 ≤ m < N2 entonces:

G(X) ∈ 〈Ps,j |N1 ≤ s < N2, 1 ≤ j ≤ `s〉 .


En efecto, como cm ∈ Im = 〈am,1, . . . , am,`m〉 existen elementos β1, . . . , β`m ∈ A con:

cm =

`m∑j=1

βj am,j .

En particular el polinomio:

H1(X) = G(X)−`m∑j=1

βj Pm,j(X)

es un elemento de a igual al polinomio cero o tal que grad(H1(X)

)= m1 < m < N2.

Si H1(X) = 0 terminamos pues en este caso G(X) =`m∑j=1

βj Pm,j(X). Si H1(X) =

c1,m1Xm1 + c1,m1−1X

m1−1 + · · · + c1,0 donde c1,m1 6= 0 y m1 < m < N2, sabemos queexisten β1,1, . . . , β1,`m1 ∈ A tales que:

c1,m1 =

`m1∑j=1

β1,j am1,j .

En este caso el polinomio:

H2(X) = H1(X)−`m1∑j=1

β1,j Pm1,j(X)

es un elemento de a igual al polinomio cero o tal que grad(H2(X)

)= m2 < m1 < m.

Si H2(X) = 0 terminamos pues G(X) =`m∑j=1

βj Pm,j(X) +`m1∑j=1

β1,j Pm1,j(X). Si en

cambio H2(X) 6= 0, proseguimos de la misma forma hasta obtener que:

0 = G(X)−`m∑j=1

βj Pm,j(X)−`m1∑j=1

β1,j Pm1,j(X)− · · · −`mt∑j=1

βt,j Pmt,j(X) ,

donde N1 ≤ mt < · · · < m2 < m1 < m < N2 por lo que:

G(X) ∈ 〈Ps,j |N1 ≤ s < N2, 1 ≤ j ≤ `s〉 .

Notemos que de v) y vi) se sigue que a = 〈Ps,j |N1 ≤ s ≤ N2, 1 ≤ j ≤ `s〉. Por lotanto A[X] es un anillo neteriano. �


Deducimos del Corolario 2.5 y de la Proposición 5.2:

Corolario 5.3. Si k es un anillo neteriano y X ⊆ kn es un conjunto algebraico,entonces existen un número finito de polinomios f1, . . . fm ∈ k[X1, . . . , Xn] tales queX = Z(f1, · · · , fm) = Z(f1) ∩ · · · ∩ Z(fm).

Demostración. Si X ⊆ kn es un conjunto algebraico sabemos de (iii) del Lema 3.5 yde la Definición 3.6 que existe un ideal a ⊆ k[X1, . . . , Xn] tal que X = Z(a). Por otrolado, por el Corolario 2.5 y la Proposición 5.2 tenemos que k[X1, . . . , Xn] es un anillo

neteriano, de modo que existen un número finito de polinomios f1, . . . fm ∈ k[X1, . . . , Xn]tales que 〈f1, · · · , fm〉 = a. Concluimos de (iii) y (ix) del Lema 3.5 que:

X = Z(a) = Z(f1, · · · , fm) = Z(f1) ∩ · · · ∩ Z(fm) .

�

§5.2. Descomposición en irreducibles en dominios neterianos. Un dominioneteriano es un anillo conmutativo el cual es un dominio entero y también un anillo

neteriano.

Para la siguiente Proposición recordemos que si A es un dominio entero, un elemento

g ∈ A es llamado irreducible si se cumple que g 6= 0, g no es una unidad y siempre queg = g1 g2 se tiene que g1 es una unidad o g2 es una unidad.

Proposición 5.4. Sea A un dominio neteriano. Si f ∈ A\{0} no es una unidad, en-tonces existen un número finito de elementos irreducibles g1, . . . , gs ∈ A tales que:

f = g1 · · · gs .

Demostración. Mostremos primero que todo elemento distinto de cero y no unidad de

un dominio neteriano es múltiplo de un elemento irreducible. En efecto, sea f ∈ A\{0}un elemento que no es una unidad, donde A es un dominio neteriano. Notemos que si f

es irreducible, entonces f es múltiplo de f donde f es irreducible.


Supongamos que por el contrario f no es irreducible. Como f no es cero y no es una

unidad, tenemos que:

(34) f = f1 f2 donde f1, f2 ∈ A no son unidades .

Consideremos el siguiente conjunto de ideales de A:

Ω ={〈g〉 ⊆ A

∣∣∣ g ∈ A no es una unidad y g divide a f} .Notemos que Ω es un conjunto no vaćıo, pues por (34) los ideales 〈f1〉 y 〈f2〉 son

elementos de Ω. Se sigue de la condición c) del Lema 5.1 que existe g ∈ A no unidadcon g

∣∣ f y tal que 〈g〉 es un elemento máximo de Ω.Si g es un elemento irreducible, como f es múltiplo de g terminamos. Supongamos

entonces que g no es irreducible y lleguemos a una contradicción. En efecto, como g no

es irreducible tenemos que:

(35) g = g1 g2 donde g1, g2 ∈ A no son unidades ,

pues g no es una unidad y no puede ser el elemento cero (g∣∣ f donde f 6= 0).

Por otro lado como g1∣∣ g y g ∣∣ f tenemos que g1 ∣∣ f donde g1 ∈ A no es una unidad,

por lo tanto 〈g1〉 ∈ Ω y 〈g〉 ⊆ 〈g1〉. Ya que 〈g〉 es un elemento máximo de Ω se sigue que〈g〉 = 〈g1〉. Por lo tanto g1 = z g para algún z ∈ A y g = g1 g2. Como g 6= 0 y A es undominio entero concluimos que z g2 = 1, es decir g2 es una unidad de A. Esto contradice

(35).

Hemos demostrado que todo elemento distinto de cero y no unidad de un dominio

neteriano es múltiplo de un elemento irreducible. Si f ∈ A\{0} no es una unidad,mostremos ahora que existen g1, . . . , gs ∈ A elementos irreducibles tales que f = g1 · · · gs.Para ello consideremos el siguiente conjunto de ideales:

Ω′ ={〈w〉 ⊆ A

∣∣∣ f = w g1 · · · gs , s ≥ 1 y g1, . . . , gs ∈ A irreducibles)} .Notemos primero que Ω′ no es vaćıo porque existe g ∈ A irreducible tal que f = z g,

de modo que 〈z〉 ∈ Ω′. Se sigue de la condición c) del Lema 5.1 que existe s ≥ 1y g1, . . . , gs ∈ A irreducibles tales que f = w g1 · · · gs y tal que 〈w〉 es un elementomáximo de Ω′.


Escribamos f = w g1 · · · gs donde w ∈ A. Notemos que si w es una unidad, entoncesw g1 ∈ A es irreducible (ver el inciso a) del Ejercicio 36) por lo que habŕıamos terminado.Supongamos que w no es una unidad y lleguemos a una contradicción. En efecto, como

w 6= 0 pues f 6= 0 entonces existe g ∈ A irreducible tal que g∣∣w es decir w = w1 g,

por lo que g, g1, . . . , gs ∈ A son irreducibles tales que f = w g1 · · · gs = w1 g g1 · · · gs.Esto implica que 〈w1〉 ∈ Ω′ y 〈w〉 ⊆ 〈w1〉. Como 〈w〉 es un elemento máximo de Ω′

concluimos que 〈w〉 = 〈w1〉, por lo que w1 = w z para algún z ∈ A. Deducimos dew = w1 g y w1 = w z que g z = 1 pues A es un dominio entero, es decir g es una unidad,

lo cual contradice que g es un elemento irreducible de A.

Por lo tanto f = (w g1) g2 · · · gs donde (w g1), g2, . . . , gs ∈ A son irreducibles. �

Deducimos:

Corolario 5.5. Si k es un dominio neteriano y X ⊆ kn es un conjunto algebraicono vaćıo y propio, entonces existen polinomios irreducibles gi,ji ∈ k[X1, . . . , Xn] donde1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ ji ≤ si, tales que:

X =⋃

(j1,...,jm)1≤ji≤si

(Z(g1,j1) ∩ · · · ∩ Z(gm,jm)

).

Demostración. Por el Corolario 5.3 sabemos que existe un número finito de polinomios

f1, . . . , fm ∈ k[X1, . . . , Xn] tales que X = Z(f1) ∩ · · · ∩ Z(fm).Notemos que si fi es una unidad de k[X1, . . . , Xn] para alguna 1 ≤ i ≤ m, entonces

Z(fi) = ∅ por lo que X = ∅, lo cual es una contradicción pues por hipótesis X 6= ∅. Porlo tanto f1, . . . , fm no son unidades de k[X1, . . . , Xn].

Por otro lado si f1 = · · · = fm = 0 son el polinomio cero, entonces Z(fi) = kn paratoda 1 ≤ i ≤ m, lo cual es una contradicción pues X 6= kn. Más aún, si fi = 0 paraalguna 1 ≤ i ≤ m tendŕıamos que:

X = Z(f1) ∩ · · · ∩ Z(fi−1) ∩ Z(fi+1) ∩ · · · ∩ Z(fm) .

En particular podemos suponer que fi 6= 0 para toda 1 ≤ i ≤ m. Se sigue dela Proposición 5.4 que para cada 1 ≤ i ≤ m existe si ≥ 1 y polinomios irreducibles


gi,1, . . . , gi,si ∈ k[X1, . . . , Xn] tales que fi = gi,1 · · · gi,si; entonces:

Z(fi) = Z(gi,1 · · · gi,si) = Z(gi,1) ∪ · · · ∪ Z(gi,si)

de acuerdo a (xi) del Lema 3.5, pues k es un dominio entero.

Por lo tanto:

X =m⋂i=1

(Z(gi,1) ∪ · · · ∪ Z(gi,si)

)=

⋃(j1,...,jm)1≤ji≤si

(Z(g1,j1) ∩ · · · ∩ Z(gm,jm)

).

�

Tarea 2

17.- Prueba el Lema 3.1.

18.- Sea X un espacio topológico compacto (de Hausdorff). Si C0R(X ) es el anillo de lasfunciones continuas de X en R con las operaciones puntuales, denotemos comoSpecm

(C0R(X )

)al conjunto de los ideales máximos de C0R(X ).

Si a ⊆ C0R(X ) es un ideal, definimos V(a) ⊆ Spec(C0R(X )

)como el conjunto de

los ideales máximos m de C0R(X ) tales que a ⊆ m. Muestra:

a) Los conjuntos de la forma V(a) donde a ⊆ C0R(X ) es un ideal, son los cerradosde una topoloǵıa en Spec

(C0R(X )

).

b) La función biyectiva (24) definida más arriba:

(36) X m• // Specm(C0R(X )

).

es un homeomorfismo con la topoloǵıa en a).

19.- Un anillo normado k = (k, | · |) es un anillo (conmutativo con uno) k junto conuna función | · | : k //R verificando las propiedades:

(i) |a| ≥ 0 para todo a ∈ k y |a| = 0 si y solamente si a = 0.


(ii) |a+ b| ≤ |a|+ |b| y |a b| ≤ |a| |b| para cualesquiera a, b ∈ k.

Si k es un anillo normado y n ≥ 1, el producto cartesiano kn es un espacio métricocon la distancia definida por la fórmula:

d(a, b) =

√√√√ n∑i=1

|ai − bi|2 donde a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) ∈ kn.

Muestra que si k es anillo normado, entonces todo conjunto algebraico sobre k es

un cerrado de la topoloǵıa métrica.

20.- Si P yQ son conjuntos parcialmente ordenados, una función monótona decrecien-te (resp. monótona creciente) es una función F : P //Q tal que F (B) ≤ F (A)(resp. F (A) ≤ F (B)) siempre que A ≤ B sean objetos de P . Si F : P //Q yG : Q //P son dos funciones monótonas decrecientes, muestra que las siguientespropiedades son equivalentes:

(i) Si A es un objeto de P y X es un objeto de Q entonces X ≤ F (A) si ysolamente si A ≤ G(X).

(ii) Si A es un objeto de P y X es un objeto de Q entonces A ≤ G(F (A)

)y

X ≤ F(G(X)

).

Una conexión de Galois es una pareja F : P //Qoo : G de funciones monótonasdecrecientes que verifica las propiedades equivalentes de arriba. Por ejemplo, las

funciones (25) son una adjunción de Galois (para todo anillo conmutativo con

uno k).

Si F : P //Qoo : G es una conexión de Galois muestra los siguientes enunciados:

a) FA = F(G(FA)

)y G(X) = G

(F (GX)

)si A es un objeto de P y X es un

objeto de Q.

b) G(Q) ={A ∈ P

∣∣A = GF (A)} y F (P) = {X ∈ Q ∣∣X = FG(X)}.c) F y G inducen por restricción un isomorfismo (decreciente) entre los conjuntos

parcialmente ordenados G(Q) ⊆ P y F (P) ⊆ Q.


21.- Si k es un dominio entero y Ω ⊆ kn es un subconjunto arbitrario, muestra queZ(I(Ω)

)es la cerradura de Ω en kn respecto de la topoloǵıa de Zariski. En

particular, deduce que X ⊆ kn es un cerrado de Zariski si y solamente si se tieneque X = Z

(I(X )

)(ver el inciso a) del Ejercicio 20).

22.- Supongamos que k es un dominio entero. Si f : k // k es una función biyectiva,

muestra que f y f−1 son continuas respecto de la topoloǵıa de Zariski.

23.- Sea k un anillo conmutativo con uno. Muestra que si X y Y son conjuntos alge-braicos sobre k, entonces el producto cartesiano X ×Y es un conjunto algebraicosobre k.

24.- Sea k un anillo conmutativo con uno. Usando el Corolario 2.5 y el Lema 1.8,

muestra que si a = (a1, . . . , an) ∈ kn y P ∈ k[X1, . . . , Xn] entones existe unpolinomio Q ∈ 〈X1 − a1, . . . , Xn − an〉 en el ideal generado por los polinomiosX1 − a1, . . . , Xn − an, tal que:

P (X1, . . . , Xn) = Q(X1, . . . , Xn) + P (a1, . . . , an) .

Concluye que I(Z(X1 − a1, . . . , Xn − an)

)= I(a) = 〈X1 − a1, . . . , Xn − an〉.

Muestra que I(a) es un ideal primo (resp. un ideal máximo) para algún a ∈ kn, siy solamente si I(b) es un ideal primo (resp. un ideal máximo) para todo b ∈ kn,si y solamente si k es un dominio entero (resp. un campo).

25.- Si k es un anillo conmutativo con uno, a ∈ k, n ≥ 1 e 1 ≤ i ≤ n, sabemos que enel anillo k[X1, . . . , Xn] se cumple la siguiente contención:

(37) 〈Xi − a〉 ⊆ I(Z(Xi − a)

).

a) Determina los elementos del conjunto Z(Xi − a) ⊆ kn. Haz un dibujo paran = 1, 2, 3 donde k = R.

b) Si n = 1 muestra que (37) es una igualdad.


c) Si n ≥ 2 y k = Z\pZ donde p es primo, muestra que la contención (37) espropia.

d) Calcula el ideal I(Z(X − a)

)⊆ Z\pZ[X, Y ].

e) Si k es un dominio entero, muestra que 〈Xi − a〉 ⊆ k[X1, . . . , Xn] es un idealprimo.

f ) Si k es un dominio entero infinito, muestra que (37) es una igualdad.

26.- Sea k un anillo conmutativo con uno, n ≥ 1 y f ∈ k[X1, . . . , Xn] un polinomio.

a) Determina los elementos del conjunto Z(Y −f) ⊆ kn+1, llamado la gráfica def , donde Y − f ∈ k[X1, . . . , Xn, Y ].

b) Si n = 1 y k = R, haz un dibujo de Z(Y − f) ⊆ R2 donde:

f(X) = aX + b y f(X) = aX2 + bX + c con a, b, c ∈ R , a 6= 0 .

c) Si n = 2 y k = R, haz un dibujo de Z(Y − f) ⊆ R3 donde:

f(X) = X2 + Y 2 y f(X) = X2 − Y 2 .

d) Usando el Corolario 2.5 y el Lema 1.8, muestra que si P ∈ k[X1, . . . , Xn, Y ]entonces existe un polinomio Q ∈ k[X1, . . . , Xn, Y ] ta

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