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POLÍGONOS

1. DEFINICIÓN Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos y coplanares tales que, el extremo del primero coincida con el extremo del último; ningún par de segmentos se interceptan, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos no son colineales. En símbolos: Sean P1, P2, P3, P4,......, Pn‒1, Pn, “n” puntos distintos en un plano (n 3≥ ) tales que tres puntos consecutivos no son colineales. Llamamos polígono al conjunto de todos los segmentos 1 2PP , 2 3P P , 3 4P P , ... ,

n 1 nP P− , n 1P P, tales que, cada par de segmentos consecutivos tienen solamente un extremo común.

En la figura, la parte punteada indica otros posibles puntos y segmentos puesto que n es un número natural cualquiera igual o mayor que 3.

1.1. Elementos del polígono:

a. Vértices. Son los puntos: A, B, C, D, E,……..

b. Lados. Segmentos consecutivos determinados por los vértices: AB , BC , CD , DE , ……..

c. Ángulos interiores. Ángulos formados por dos lados consecutivos: α, β, θ, ……..

d. Ángulos exteriores. Ángulos formados por un

lado y la prolongación del lado consecutivo: x, y, z,…

e. Diagonal. Segmento que une dos vértices no consecutivos: AC , AE , …….

f. Diagonal media. Segmento que une los puntos

medios de dos lados cualesquiera: PQ , PR , …..

g. Perímetro. Es igual a la suma de las longitudes de todos sus lados:

2p AB BC CD DE EF ... = + + + + +

h. Semiperímetro: Es la mitad del perímetro:

AB BC CD DE EF .....p2

+ + + + + =

Observación: Todo polígono divide al plano en tres subconjuntos

de puntos: puntos interiores y exteriores al polígono, y puntos que pertenecen al polígono. Un punto está en el interior de un polígono si está en el interior de cada uno de los ángulos internos del polígono, y está en el exterior, si no está ni en el interior ni en el polígono.

Región poligonal es una figura formada por los

puntos del polígono y los puntos interiores al polígono.

GEOMETRÍA

5 CIENCIAS

PUNTOSEXTERIORES

PUNTOS DEL POLÍGONO

PUNTOSINTERIORES

P 3

P 4

P 5

P 6

P 7

P n-1

P n

P 1 P 2

Geometría Teoría y ejercicios – Semana 5

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2. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Se clasifican por su número de lados y por su forma.

2.1. Por su número de lados. Se clasifican en:

Observación:

Los demás polígonos no tienen nombre especial, se designan según su número de lados. Por ejemplo: polígono de 14 lados, polígono de 25 lados, etc.

2.2. Por su forma. Se clasifican en:

a. Polígono Convexo. Si tienen todos sus ángulos

interiores convexos, es decir, mayor que cero y menor que 180°.

Observación:

Si una recta intercepta al polígono en, a lo más, dos puntos, dicho polígono es convexo.

b. Polígono no Convexo o Cóncavo. Si tienen uno o más ángulos internos no convexos, es decir, mayor que 180° y menor que 360°.

Observación:

Si el polígono es interceptado por una recta secante en más de dos puntos, dicho polígono es no convexo o cóncavo.

c. Polígono Equilátero: Si todos sus lados son congruentes. Ejemplo:

d. Polígono Equiángulo. Si todos sus ángulos internos son congruentes. Ejemplo:

e. Polígono Regular. Si es convexo, equilátero y equiángulo a la vez. Ejemplo:

f. Polígono Irregular. Si no es regular.

3. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

3.1. Propiedades en los polígonos convexos de “n”

lados. En todo polígono convexo de “n” lados se cumple:

i. El número de lados es igual al número de

vértices y al número de ángulos. #lados # vértices # ángulos = =

ii. Suma de ángulos interiores. La suma de las

medidas de los ángulos interiores es:

m iS 180 (n 2)∠ = ° −

iii. Suma de ángulos exteriores. La suma de las

medidas de los ángulos exteriores es:

m eS 360∠ = °

Triángulo 3 lados Cuadrilátero 4 lados Pentágono 5 lados Hexágono 6 lados Heptágono 7 lados Octágono 8 lados Nonágono o Eneágono

9 lados

Decágono 10 lados Endecágono o Undecágono

11 lados

Dodecágono 12 lados Pentadecágono 15 lados Icoságono 20 lados

120º

120º 120º

120º

120º

120º

60º

60º 60º

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iv. Número de diagonales. El número total de diagonales es:

n(n 3)#D2−

=

v. Número de diagonales medias. El número

total de diagonales medias es: n(n 1)#DM

2−

=

vi. Número de diagonales trazadas desde “k” vértices consecutivos

k(k 1)(k 2)#D nk

2+ +

= −

vii. Número de diagonales medias trazadas desde 1 lado

1lado#DM n 1 = −

3.2. Propiedades en polígonos regulares y

equiángulos. En todo polígono convexo regular o equiángulo de “n” lados se cumple:

i. Medida de un ángulo interior. En todo

polígono equiángulo la medida de un ángulo interior es:

180 (n 2)m in

° − ∠ =

ii. Medida de un ángulo exterior. En todo

polígono equiángulo la medida de un ángulo exterior es:

360m en

° ∠ =

iii. Medida de un ángulo central. La medida de un ángulo central de un polígono regular es:

360m cn

° ∠ =

3.3. Propiedades especiales en polígonos

i. En todo polígono el número de diagonales

trazadas desde un vértice es: n 3 −

ii. En todo polígono el número de triángulos formados al trazar las diagonales desde un solo vértice es:

n 2 −

iii. En todo polígono el número de cuadriláteros determinados al trazar las diagonales medias desde un punto medio es:

n 2 −

iv. El número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo es:

2(n 2) −

v. El número de ángulos llanos a que equivale la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo es:

n 2 −

vi. El mínimo número de ángulos internos obtusos que puede existir en un polígono convexo es:

n 3 −

vii. El máximo número de ángulos internos agudos que puede existir en un polígono convexo es:

3

EJERCICIOS DE CLASE 1. Se tiene un polígono equiángulo ABCDEF tal que BC

= 4 cm; DE = 2 cm, CD = 8 cm y AF = 6 cm. Calcule el perímetro de dicho polígono. A) 18 cm B) 22 cm C) 20 cm D) 30 cm E) 15 cm

2. Las medidas de los ángulos interiores de un pentágono convexo se encuentran en progresión aritmética de razón 10º. Calcule la medida del mayor ángulo interior. A) 108º B) 138º C) 128º D) 118º E) 48º

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3. En un polígono regular la medida de un ángulo interior y la medida de un ángulo exterior están en la relación de 7 a 1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono. A) 2520° B) 2550° C) 2530° D) 2540° E) 2600°

4. Se tiene dos polígonos regulares donde uno de ellos tiene 4 lados menos que el otro. Si el ángulo central de uno de ellos mide 45° menos que la medida del ángulo central del otro, entonces el número de diagonales del polígono de mayor número de lados es: A) 20 B) 15 C) 25 D) 18 E) 24

5. En un pentágono convexo, la suma de tres ángulos

interiores consecutivos es 310°. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de los otros dos ángulos. A) 65° B) 75° C) 80° D) 100° E) 50°

6. ¿Cómo se llama el polígono en el cual desde 4 vértices consecutivos se pueden trazar 25 diagonales? A) Triángulo B) Decágono C) Pentágono D) Hexágono E) Octógono

7. En un polígono equiángulo ABCDEF…., las

mediatrices de AB y DE se interceptan en un punto interior P y cortan a AB y DE en M y N. Si la m∠MPN = 135°, calcule el número de lados del polígono.

A) 8 B) 7 C) 6 D) 9 E) 10

8. En un polígono regular ABCDEF.... de “n” lados, se construye exteriormente el pentágono regular CDPQR. Si la m∠BRC = 44°, calcule el valor de “n”.

A) 20 B) 16 C) 22 D) 18 E) 24

9. En un octágono equiángulo, ABCDEFGH, AB 5 2 cm= y BC = 7 cm. Calcule la longitud de AC .

A) 12 cm B) 13 cm C) 15 cm D) 4 10 cm E) 3 2 cm

10. En un polígono convexo el número total de triángulos que se pueden formar trazando diagonales desde un solo vértice es al número de diagonales como 4 es a 9. Calcule el número de diagonales medias de dicho polígono. A) 19 B) 17 C) 15 D) 18 E) 20

11. En un hexágono regular ABCDEF, calcule la medida del ángulo formado por las diagonales CF y DF. A) 60° B) 15° C) 45° D) 30° E) 90°

12. En un polígono regular ABCDEF.... de “n” lados, las diagonales AE y BF se cortan en P. Si la m∠APB = 20°, entonces, el número de diagonales del polígono es: A) 130 B) 115 C) 135 D) 120 E) 125

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos

interiores de un polígono convexo cuyo número de lados es igual al número de diagonales de un heptágono regular. A) 1800º B) 2160º C) 1260º D) 1980º E) 2340º

2. Se tiene hexágono equiángulo convexo ABCDEF tal que AB = CD = EF = 2 cm y BC = DE = AF= 3 cm. Calcule la m∠FBD. A) 53° B) 37° C) 30° D) 45° E) 60°

3. En un polígono regular las mediatrices de dos lados

consecutivos forman un ángulo cuya medida es 18°, calcule el número de diagonales del polígono. A) 120 B) 170 C) 180 D) 130 E) 150

4. La diferencia de medidas de un ángulo interior y exterior de un polígono regular es 90°. ¿Qué polígono es? A) Triángulo B) CuadriláteroC) Pentágono D) Hexágono E) Octógono

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5. Se tiene un pentágono convexo ABCDE cuyos ángulos interiores B, C y D miden 70°, 150° y 50° respectivamente. Calcule la medida del ángulo que forman las prolongaciones de BA y DE . A) 70° B) 110° C) 100° D) 80° E) 90°

6. El ángulo exterior de un polígono regular mide a. Calcule la diferencia entre el número de diagonales medias y el número de diagonales de dicho polígono.

A) 360°/a B) 270°/a C) 200°/a D) 180°/a E) 90°/a

7. En un polígono equilátero la cantidad total de diagonales que se puede trazar es numéricamente igual al doble del número que expresa su perímetro. Si el lado del polígono mide 1,75 cm, entonces el número de lados es: A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

8. Se tienen dos polígonos regulares cuyos números de lados se diferencian en 2 y cuyas medidas de sus ángulos centrales son entre sí como 3 es a 4. Calcule la medida del ángulo interno del polígono de mayor número de lados. A) 135° B) 120° C) 144° D) 108° E) 105°

9. En un polígono regular MNPQRS…, se cumple que la m∠MNQ = 90°. Calcule la medida del ángulo central de dicho polígono. A) 50° B) 70° C) 60° D) 80° E) 90°

10. Si al número de lados de un polígono convexo, se le aumenta 3, su número de diagonales aumentará en 15. Calcule el número de diagonales medias del polígono original. A) 15 B) 10 C) 14 D) 12 E) 14

11. Calcule el número de lados de un polígono regular si tiene dos lados más que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que la medida del otro. A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6

12. En el interior de un polígono regular ABCDE… de “n” lados se construye el pentágono regular CDPQR. Si la m∠PDE = 42°, entonces el número de diagonales del polígono de n lados es: A) 54 B) 12 C) 52 D) 56 E) 60

13. En un polígono regular ABCDEF.... de “n” lados, se construye interiormente el triángulo equilátero COD Si la m∠BCO = 90°, calcule el valor de “n”. A) 14 B) 13 C) 12 D) 15 E) 16

14. Si aumentamos en 1 el número de lados de un polígono, el número de diagonales aumenta en 6. Si disminuimos en 1 el número de lados, el número de diagonales disminuye en: A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2