Geometría en el espacio. Poliedros - cs.us.es · longitudes y super cies en los poliedros. Gemma...

Programación de la unidadAdquisición de conocimientos mínimos al �nalizar la unidadOrganización por sesiones de las clasesDesarrollo de la unidad

Geometría en el espacio. Poliedros

Gemma Hermida GranadoTrinidad Gómez Ramírez

28 de junio de 2006

Gemma Hermida Granado Trinidad Gómez Ramírez Geometría en el espacio. Poliedros

1 Programación de la unidadObjetivos didácticosConceptosProcedimientosActitudesCriterios de evaluación

2 Adquisición de conocimientos mínimos al �nalizar la unidad3 Organización por sesiones de las clases

Sesiones4 Desarrollo de la unidad

PoliedrosRectas y planos. Posición relativaExamenCuriosidades

Objetivos didácticosConceptosProcedimientosActitudesCriterios de evaluación

Objetivos didácticos

Reconocer y clasi�car los poliedros.

Desarrollar los poliedros y obtener la super�cie del desarrollo(conocidas todas las medidas necesarias).

Reconocer, nombrar y describir los poliedros regulares

Resolver problemas geométricos que impliquen cálculos delongitudes y super�cies en los poliedros.

Conceptos

Características de los poliedros

Elementos de los poliedros: caras, aristas y vértices.

Prismas.

Paralelepípedos. Ortoedros. El cubo como caso particular.

Pirámides: características y elementos. Tronco de unapirámide.

Los poliedros regulares. Tipos.

Secciones planas de un poliedro.

Identi�cación de la posición relativa en que se encuentran dosaristas, dos caras o una arista y una cara en una �gurageométrica.

Conceptos

Prismas.

Conceptos

Prismas.

Conceptos

Prismas.

Conceptos

Prismas.

Conceptos

Prismas.

Conceptos

Prismas.

Conceptos

Prismas.

Procedimientos

Descripción de un poliedro por sus elementos: tipos de caras,número de aristas y vértices, etcétera.

Clasi�cación de los prismas según el polígono de las bases.

Desarrollo de un prisma recto.

Aplicación de la fórmula para averiguar áreas de prismas apartir del análisis de su desarrollo en el plano.

Cálculo de áreas de ortoedros.

Cálculo del área del cubo.

Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la diagonalde un ortoedro.

Desarrollo de una pirámide regular.

Procedimientos

Cálculo del área de pirámides.

Desarrollo y cálculo del área en un tronco de pirámide.

Descripción de los cinco poliedros regulares.

Desarrollo en el plano de los poliedros regulares.

Cálculo de áreas de poliedros regulares.

Rectas y planos en el espacio. Posiciones relativas.

Proyección de una recta sobre un plano.

Ángulo de dos planos. Ángulo diedro.

Procedimientos

Actitudes

Reconocimiento y apreciación de la geometría para descubrir yresolver situaciones cotidianas.

Gusto por identi�car �guras y relaciones geométricas en loselementos cotidianos.

Interés y gusto por la descripción verbal precisa de �guras.

Gusto e interés por enfrentarse con situaciones geométricas.

Sentido crítico ante las representaciones en el plano paraefectuar mediciones indirectas.

Actitudes

Flexibilidad para enfrentarse a distintas situacionesgeométricas desde distintos puntos de vista.

Interés por la presentación ordenada, limpia y clara de lostrabajos geométricos, reconociendo el valor práctico que posee.

Curiosidad e interés por la investigación sobre formasgeométricas en el plano y en el espacio.

Capacidad de crítica ante errores geométricos enconstrucciones o representaciones.

Gusto por la limpieza y precisión en la construcción de �gurasgeométricas.

Actitudes

Criterios de evaluación

Reconocer y clasi�car los poliedros.Conoce y nombra los distintos elementos de un poliedro(aristas, vértices, caras, caras laterales de los prismas, bases delos prismas y pirámides...).Selecciona, entre un conjunto de �guras, las que son poliedrosy justi�ca la elección realizada.Clasi�ca un conjunto de poliedros.Describe un poliedro y lo clasi�ca atendiendo a lascaracterísticas expuestas.

Dibuja de forma esquemática el desarrollo de un ortoedro y seapoya en él para calcular su super�cie.Dibuja de forma esquemática el desarrollo de un prisma y seapoya en él para calcular su super�cie.Dibuja de forma esquemática el desarrollo de una pirámide y seapoya en él para calcular su super�cie.Dibuja de forma esquemática el desarrollo de un tronco depirámide y se apoya en él para calcular su super�cie.

Reconocer, nombrar y describir los poliedros regularesAnte un poliedro regular: justi�ca su regularidad, lo nombra, loanaliza dando el número de caras, aristas, vértices, caras porvértice y dibuja esquemáticamente su desarrollo.Nombra los poliedros regulares que tienen por caras undeterminado polígono regular.

Calcula la diagonal de un ortoedro.Calcula la altura de una pirámide recta conociendo las aristasbásicas y las aristas laterales.Calcula la super�cie de una pirámide cuadrangular regularconociendo la arista de la base y la altura.Resuelve otros problemas de geometría.

Reconocer, nombrar y describir los poliedros regularesAnte un poliedro regular: justi�ca su regularidad, lo nombra, loanaliza dando el número de caras, aristas, vértices, caras porvértice y dibuja esquemáticamente su desarrollo.Nombra los poliedros regulares que tienen por caras undeterminado polígono regular.

Calcula la diagonal de un ortoedro.Calcula la altura de una pirámide recta conociendo las aristasbásicas y las aristas laterales.Calcula la super�cie de una pirámide cuadrangular regularconociendo la arista de la base y la altura.Resuelve otros problemas de geometría.

Conocer las posiciones relativas de dos rectas, de una recta yun plano y de dos planos en el espacio.

Identi�car los distintos tipos de poliedros y describir susprincipales características.

Calcular el área de paralelepípedos, ortoedros, prismas,pirámides y poliedros regulares.

Desarrollar en el plano un poliedro sencillo.

Programación de la unidadAdquisición de conocimientos mínimos al �nalizar la unidadOrganización por sesiones de las clasesDesarrollo de la unidadSesiones

Primera Sesión: Del plano al espacio. Introducción yrecordatorio de conceptos (polígono, regularidad, ect).

Segunda Sesión: De�nición y clasi�cación de los poliedrosregulares conforme a sus elementos (aristas, caras,..).

Tercera Sesión: Ejercicios.

Cuarta Sesión: Prismas, paralelepípedos y ortoedros,de�niciones, areas y volumenes. Ejemplos.

Quinta Sesión: Pirámides: De�nición área y volumen.Ejercicios.

Sexta Sesión: Rectas y planos. Posiciones relativas.

Septima Sesión: Ejercicios y aclaración de dudas.

Octava Sesión: Examen.

Introducción

"No entre aquí quien no sepa geometría"Esta frase se podía leer encima de la puerta de entrada a laAcademia de Platón (siglo IV a. de C.) donde se reunían a discutirproblemas de �losofía, lógica, política, arte, etc. y nos da una ideade la importancia que desde antiguo se ha concedido alconocimiento de la Geometría.

Concepto previos

Para esta unidad los conocimientos básicos necesarios son:

Las caracteristicas de los polígonos.

Las fórmulas de las áreas de los polígonos

Las caracteristicas son:

Número de aristas.

Número de vértices.

Concepto previos

Número de aristas.

Concepto previos

Número de aristas.

Concepto previos

Número de aristas.

Concepto previos

Número de aristas.

Concepto previos

Número de aristas.

Recordamos algunos polígonos con sus características.

Triángulo:Polígono regular con 3 aristas y 3 vértices (3 lados). Su área es

A =base · altura

Cuadrado:Polígono regular con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es

A = lado · lado

A =base · altura

A = lado · lado

A =base · altura

A = lado · lado

A =base · altura

A = lado · lado

A =base · altura

A = lado · lado

Rectángulo:Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es

A = base · altura

Rombo:Polígono con 4 aristas y 4 vértices (4 lados). Su área es

A =diagonal mayor · diagonal menor

A = base · altura

Polígono regular:Polígono con el número de aristas y número de vértices segúnindique el tipo de polígono, es decir, pentágono, 5 aristas y 5vértices, hexágono 6 aristas y 6 vértices, ect. Su área es:

A =perímetro · apotema

Polígono regular:Polígono con el número de aristas y número de vértices segúnindique el tipo de polígono, es decir, pentágono, 5 aristas y 5vértices, hexágono 6 aristas y 6 vértices, ect. Su área es:

A =perímetro · apotema

De�nición

Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares.

De�nición

En los poliedros distinguimos:

Vértices: puntos donde concurren tres aristas

Aristas: lados de los polígonos regulares

Caras: polígonos regulares

De�nición

Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares.

De�nición

En los poliedros distinguimos:

Vértices: puntos donde concurren tres aristas

Aristas: lados de los polígonos regulares

Caras: polígonos regulares

Ejemplo

Un poco de historia

POLIEDROS REGULARESEntre todos los poliedros que existen hay unos especialmenteimportantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real:los poliedros regulares. Se les conoce con el nombre de sólidosplatónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.) que los cita en elTimeo, pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron aconocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro ydodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto(415-369 a. de C.). Para Platón los elementos últimos de la materiason los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro(El fuegotiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento máspequeño, ligero, móvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mássólido de los cinco),

Un poco de historia

el aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y�uidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y elagua al icosaedro(El agua, el más móvil y �uido de los elementos,debe tener como forma propia o "semilla", el icosaedro, el sólidomás cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidadpuede rodar), mientras que el dodecaedro (el universo) (Como losgriegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin parejaal dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con elUniverso como conjunción de los otros cuatro: La forma deldodecaedro es la que los dioses emplean para disponer lasconstelaciones en los cielos. Dios lo utilizó para todo cuando dibujóel orden �nal).

Un poco de historia

A �nales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cincopoliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solarentonces conocidos (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno).Según él cada planeta se movía en una esfera separada de lacontigua por un sólido platónico.

De�nición

Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales ytodos sus vértices son del mismo orden.

Los poliedros regulares son los cinco siguientes:

De�nición

Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales ytodos sus vértices son del mismo orden.

Los poliedros regulares son los cinco siguientes:

Poliedros regulares

El TETRAEDRO:Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menorvolumen de los cinco en comparación con su super�cie. Representael fuego. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.

Poliedros regulares

El CUBO:Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Poreso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8vértices.

Poliedros regulares

El OCTAEDRO:Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando sesujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire enmovimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.

Poliedros regulares

El DODECAEDRO:Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo,pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco.Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.

Poliedros regulares

El ICOSAEDRO:Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayorvolumen en relación con su super�cie y representa al agua. Tiene20 caras, 30 aristas y 12 vértices.

Ejercicios

1 Rellena la siguiente tabla:Nombre Forma de las caras Caras Vértices Aristas

TetraedroCuadrados

Ejercicios

2 Di a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.

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Ejercicios

3 Indica cuál de los siguientes desarrollos dan lugar a un cubo

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Ejercicios

4 ¾Cuáles de estos poliedros son regulares?

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Ejercicios con teselas

5 El tetraedro.Une dos triángulos por un lado. La �gura resultante puede moverseen torno a la ARISTA común. Une otro triángulo a uno de losanteriores Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La �guraobtenida ya es rígida pero aún es abierta. Utiliza otro triángulo paraCERRAR la �gura y obtendrás un poliedro regular.

6 El tetraedro.Une dos triángulos por un lado. La �gura resultante puede moverseen torno a la ARISTA común. Une otro triángulo a uno de losanteriores Dobla por las aristas y une los triángulos libres. La �guraobtenida ya es rígida pero aún es abierta. Utiliza otro triángulo paraCERRAR la �gura y obtendrás un poliedro regular.

7 Otros poliedros de orden 3 (En cada vértice tres caras).Parte ahora del cuadrado y repite el proceso anterior hasta cerrar la�gura. Obtendrás un poliedro regular muy conocido.Inténtalo ahora con pentágonos.Prueba con hexágonos. ¾Qué pasa?

8 Poliedros de orden superior a 3. Hasta ahora hemos unido tres carasen cada vértice. Podemos intentarlo con más. Prueba con cuatrotriángulos en cada vértice.Ahora con cuatro cuadrados o con cuatro pentágonos. ¾Qué pasa?Inténtalo con cinco triángulos en cada vértice.Prueba con seis triángulos, con siete...

9 Por qué no hay más. Los cinco poliedros regulares que hasconstruido son los únicos posibles. En la construcción de unpoliedro:

¾Cuántos triángulos equiláteros caben en un vértice?¾Cuántos cuadrados pueden concurrir en un vértice?¾Cuántos pentágonos regulares?¾Por qué no puede construirse un poliedro regular conhexágonos?

Muestra de �guras con teselas

Prismas

De�nición

Los prismas son poliedros limitados por dos polígonos iguales,llamados bases, situados en planos paralelos, y por variosparalelogramos, llamados caras laterales.

Ejemplo

Prismas

De�nición

Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que sesitúan sus bases.

De�nición

Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... segúnque sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos.

Prismas

De�nición

Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que sesitúan sus bases.

De�nición

Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... segúnque sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos.

Prismas

De�nición

Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares alas bases:

Prismas

De�nición

En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Sisus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.Unprisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a losplanos de las bases.

Prismas

De�nición

Prismas

De�nición

Prismas

De�nición

Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caraslaterales. El área lateral de un prisma recto es:Alat = perímetro de la base · altura.

De�nición

El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:Atot = área lateral +2· área de la base.

De�nición

El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base porla altura:V = área de la base · altura.

Prismas

De�nición

Prismas

De�nición

Prismas

De�nición

Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partirun prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales sellama tronco de prisma.

Paralelepípedos

De�nición

Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llamanparalelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras sonparalelogramos.

Ejemplo:

Paralelepípedos

Un paralelepípedo es un caso particular de prisma, por tanto lasfórmulas anteriormente enunciadas (área y volumen) son válidaspara esta �gura.

Pirámides

De�nición

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es unpolígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos conun vértice común llamado vértice de la pirámide.

Pirámides

De�nición

La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base.Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal... segúnque su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono...

De�nición

Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vérticese proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base.En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isóscelescuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

Pirámides

De�nición

Pirámides

De�nición

Pirámides

De�nición

Pirámides

¾Cómo calculamos la apotema?Utilizamos el teorema de Pitágoras en el espacio.

Teorema

Teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y

que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos). El

teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un

triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite

calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos:

a2 = b2 + c2 −→ a =√

b2 + c2

Pirámides

De�nición

El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de lascaras laterales) es:

Atol =perímetro de la base · apotema

y el área total:

Atot = Alat + Abase

Pirámides

De�nición

El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de lascaras laterales) es:

Atol =perímetro de la base · apotema

y el área total:

Atot = Alat + Abase

De�nición

El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto delárea de la base por la altura:

V =13Abase · altura

Ejercicios de prismas

1 Dibuja un prisma hexagonal recto y un prisma pentagonal oblicuo(regulares o irregulares).Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismascuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porquelos cuadriláteros de las bases son paralelogramos. Si elparalelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases sonrectángulos, éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo uortoedro. Un caso particular de paralelepípedo rectángulo es unsólido platónico que ya has estudiado. ¾Cuál es?

2 Construye el prisma cuyo desarrollo es:

3 Dibuja un cubo, un ortoedro y un romboedro.

Ejercicios de paralelepípedos

4 ¾Cuántas diagonales tiene un paralelepípedo? ¾Se cortan? ¾Dónde?

Ejercicios de paralelepípedos

5 Una regla de 60 cm. ¾cabe dentro de un cajón de una mesa de 27cm. de ancho, 54 cm. de largo y 18 cm. de alto? ¾Cabrá echada enel fondo?

Ejercicios de pirámides

6 En una pirámide regular, se llama apotema a la altura de unacualquiera de sus caras laterales. La apotema, la altura de lapirámide y la apotema de la base forman un triángulo, ¾de qué tipoes?

7 Si tomamos dos pirámides de bases iguales y las unimos de formaque ajusten completamente sus bases, obtenemos un poliedrollamado bipirámide. ¾Puede ser una bipirámide un sólido platónico?¾Cuál?

8 Una pirámide tiene por base un cuadrado cuya diagonal mide 3 cm.Hallar su área lateral y total sabiendo que su arista mide 7 cm.

9 Me han encargado que presupueste la construcción de una pirámideregular de base hexagonal, en el centro de una plaza. Los lados sonde chapa metálica, a razón de 30 euros el metro cuadrado y elcortado de la chapa se valora en 250 euros. Si la base ha de irinscrita en una circunferencia de 8 m de diámetro y la altura es de6 m ¾qué presupuesto he de presentar teniendo en cuenta que misganancias son del 20% del coste? (Se considera que se necesitanotras 180 euros en gastos varios).

Posición de rectas en el espacio

De�nición

Dos rectas:

Son paralelas cuando están en el mismo plano y no tienenningún punto en común.

Se cortan cuando están en el mismo plano y tienen un puntoen común.

Son coincidentes cuando están en el mismo plano y tienen almenos dos puntos en común.

Se cruzan cuando están en planos distintos.

De�nición

Dos rectas:

De�nición

Dos rectas:

De�nición

Dos rectas:

De�nición

Dos rectas:

Posición de recta y plano

De�nición

Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntosde la recta pertenecen al plano.

Una recta y un plano se cortan cuando tienen un punto encomún.

Una recta y un plano son paralelos cuando no tienen ningúnpunto en común.

De�nición

Posición de dos planos

De�nición

Dos planos:

Se cortan cuando tienen una recta común.

Son paralelos cuando no tienen ningún punto en común.

Son coincidentes cuando tienen al menos dos recta en común.

De�nición

Dos planos:

De�nición

Dos planos:

Ejercicios

1 Nombra las posiciones relativas de dos rectas. Dibújalas.

Ejercicios

2 Nombra las posiciones relativas de una recta y un plano. Dibújalas.

Ejercicios

3 Nombra las posiciones relativas de dos planos. Dibújalas.

Ejercicios

4 Da al menos un ejemplo extraído de la realidad en el que observes:1 Dos planos que se corten.2 Dos rectas que sean paralelas.3 Una recta y un plano que sean paralelos.4 Una recta y un plano que se corten.

Ejercicios

5 Di que posiciones entre rectas, entre planos y entre rectas y planosdiferencias en la siguiente �gura.

1 Un pozo prismático tiene 23 m de altura y como base un hexágonode 3 m de lado. Hallar su área (fondo más lateral)

2 En la �gura siguiente tienes un ortoedro (también llamado cuboide).

Dibuja un desarrollo suyo en papel cuadriculado.

3 ¾Qué altura alcanza el agua en esta pecera, sabiendo que contiene171 litros de agua?

4 De�ne arista, vértice y cara. De las siguientes poliedros indica elnúmero de aristas ,vértices y caras.¾Hay algún poliedro pitagórico?.Si la respuesta es a�rmativa dí cuál o cuales son.

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Los poliedros y lo cotidiano

Vemos algunos casos, donde se utilizan los poliedros comoherramienta para arte.

Algunos poliedros

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¾Poliedros?

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