GEOMETRA

Mara del Rosario Velzquez Camacho

20 a 23 de Julio de 2011

Primero algunos ejercicios de calentamiento:

Ejercicio 1. Sobre los lados AB y AC de un tringulo ABC se construyenexternamente los tringulos equilteros ABP y ACQ respectivamente.Demostrar que CP = BQ.

Ejercicio 2. Si en un tringulo ABC, Y es un punto sobre BC y X sobre ACde tal manera que AY es perpendicular a BC y BX es perpendicular a AC.Si el ngulo ABC = 50 y el ngulo BAC = 60, cunto mide el nguloBTY ?

Ejercicio 3. Considere un tringulo ABC en el cual AC > AB. Si un rayocon origen B corta a AC en D de tal manera que los ngulo ABD y ACBson congruentes, deduzca que AB2 = AC AD

Ejercicio 4. En un tringulo equiltero XY Z se dividen los lados en trespartes iguales. Llamemos a las divisiones A, B, C, D, E y F, cul es el readel hexgono ABCDEF si el rea del tringulo XY Z es 18.

Ejercicio 5. En el tringulo ABC, D y F estn sobre AB y E sobre AC demanera que DEBC, FEDC, si AF = 4 y FD = 6. Encontrar DB.

Ejercicio 6. Inscribimos un cuadrado en un tringulo rectngulo de lados 3, 4,5 como se muestra en la figura. Qu fraccin del tringulo ocupa el cuadrado?

1

Puntos y Rectas Notables en el Tringulo

Mediana Lnea recta que une el vrtice de un trangulo con el punto mediodel lado opuesto.

Mediatriz Lnea recta que pasa por el punto medio de un segmento y esperpendicular a este.

Altura Lnea recta que pasa por el vrtice y es perpendicular al lado opuesto.

Bisectriz Lnea recta que divide un ngulo en dos ngulos congruentes.

2

Ejemplo 1 La bisectriz es el lugar geomtrico1 de los puntos en el plano talesque equidistan 2 a dos rectas fijas.

Demostracin =) SeanAB y

AC dos rectas con l su bisectriz. Sea P

un punto sobre su bisectriz. Se trazan PQ y PR de manera que PQAC yPRAB, R y Q en las rectas AB y AC respectivamente.

Demostrar que PQ = PR.P est en l, es decir QAP = RAP , como PQAC y PRAB entonces

AQP = 90=ARP , luego tambin se tendr que QPA = RPA y comoAP = AP , entonces 4AQP u 4ARP por criterio de congruencia ALA, por loque PQ = PR.=) Sean

AB y

AC dos rectas. Si D es un punto en el plano, Q y R en

AB y

AC respectivamente tales que DQ = DR y DQAB y DRAC, probar

que D est en la bisectriz de BAC.4DRA y 4DQA son tringulos rectngulos entonces AD2 = AR2 +DR2 y

AD2 = AQ2+DQ2, de donde AR2+DR2 = AQ2+DQ2, pero como DR = DQentonces DR2 = DQ2, por lo que AR2 = AQ2, entonces AR = AQ.

As que ahora tenemos AQ = AR, DQ = DR, AD = AD

Entonces 4DRA u 4DQA, por criterio de congruencia LLL, por lo queQAD = RAD, por lo tanto AD es bisectriz de BAC.

1Un lugar geomtrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedadesgeomtricas.

2Tienen la misma distancia.

3

Ejemplo 2 La mediatriz es el lugar geomtrico de los puntos en el plano talesque equidistan a dos puntos fijos.

Demostracin =) Sea AB un segmento con mediatriz l. Sean P queest en l y M es el punto medio de AB. Demostrar que P equidista de A y B.

PMAB entonces PMB = 90=PMA, PM = PM y como M es puntomedio entonces AM = BM , entonces 4PMA u 4PMB por criterio de con-gruencia LAL. De donde PA = PB por lo que P equidista de A y B.=) Sean AB un segmento, P un punto en el plano tal que PA = PB. Si

M es punto medio de AB, demostrar que PMAB.Se tiene que PA = PB, AM = BM ya que M es puntomedio y PM = PM , entonces 4PMA u 4PMB por criterio de congruenciaLLL, entonces PMB = PMA, pero como PMB + PMA = 180 porqueA, M yB son colineales, de donde PMB = PMA = 90 . Por lo tantoPMes mediatriz de AB.

Ejemplo 3 El baricentro3, corta a cada mediana en razn 2:1

Demostracin Sea G el punto de interseccin de BM y AL.Probar que AGGL =

BGGM =

CGGN =

21

L y M son puntos medio de BC y AC, respectivamente. Entonces LMABy ABLM =

21

LMG = ABG y MLG = BAG por ser alternos internos. Entonces4LMG v 4ABG por criterio de semejanza AA.

Luego ABLM =AGLG =

BGMG y como

ABLM =

21 , entonces

21 =

ABLM =

AGLG =

BGMG ,

por lo que AGLG =BGMG =

21 .

Anlogamente se prueba que CGNG =21

3Punto de interseccin de las medianas.

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Ejercicios I

Ejercicio 1. La bisectriz interna y la bisectriz externa de un ngulo sonperpendiculares.

Ejercicio 2. Las bisectrices internas de un tringulo concurren.4 Al punto deconcurresncia se le llama Incentro y es el centro de la circunferencia Inscrita.5

Ejercicio 3. Las mediatrices del tringulo concurren. Al punto de concurren-cia se le llama Circuncentro y es el centro de la circunferencia Circunscrita6.

Ejercicio 4. Las medianas del tringulo concurren en el baricentro.

Ejercicio 5. Las alturas del tringulo concurren. El punto de concurrencia sellama ortocentro.

Ejercicio 6. Sea ABC un tringulo. Sean P, Qy R los puntos medios de loslados AB, BC y CA, respectivamente. Sea S el punto de interseccin entre ellado AB (o su prolongacin) y la bisectriz del ngulo PQR. Demostrar que eltringulo PRS es issceles.

Ejercicio 7. P es cualquier punto del interior de un tringulo ABC. Sean A,B y C los puntos medios de los segmentos PA, PB y PC respectivamente.Demuestra que los tringulos ABC y ABC son semejantes en razn 2:1

Ejercicio 8. La mediana AL del tringulo ABC divide a este en dos tringulosde reas congruentes.

Ejercicio 9. Las medianas dividen al tringulo en seis tringulos de reascongruentes.

Ejercicio 10. En un paralelogramo ABCD, si P es el punto de interseccinde las diagonales.Demuestre que cualqueir recta que pasa por P divide al parelelogramo en dosfiguras que tienen la misma rea.

Ejercicio 11. Considere un tringulo equiltero ABC de lado 2, y D, E,puntos sobre los lados BC y CA, de manera tal que el segmento DE sea tangenteal crculo inscrito del tringulo. Encuentre el permetro del tringulo CDE.

4Las tres lneas se cortan en el mismo punto.5Que es tangente a los tres lados del tringulo.6Que pasa por los tres vrtices del tringulo.

5

Ejercicio 12. Con seis reglas con los extremos perforados y cinco pernos seconstruye un dispositivo como el que se muestra en la figura, dos de las reglastienen longitud b y las otras cuatro tienen longitud a, de manera que a < b.Se observa que al moverlos brazos b, los vrtices marcados con las letras P y Qse juntan o separan segn el valor del ngulo entre las longitudes b sea mayoro menor.Demuestra que no importa la abertura del ngulo , el producto de las distanciasOP OQ es constante.

Ejercicio 13. Consideremos el crculo con centro O, A y B puntos en lacircunferencia tales que AOB = 60. Sean M un punto cualquiera en elarco AB, P, Q, ,R, S, los puntos medio de los segmentos AM, OB, OA, BM,respectivamente. Demuestre que PQ es perpendicular a RS.

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ngulos en una circunferencia

ngulo Central. Es aquel que est formado por dos radios de la circun-ferencia.

ngulo Inscrito. Es aquel que est formado por dos cuerdas de la circun-ferencia.

ngulo Semi-inscrito. Es aquel que est formado por una cuerda y unatangente a la circunferencia.

Teorema. Los ngulos inscritos y semi-inscritos que abarcan el mismo arcoson congruentes y miden la mitad del ngulo central que abarca dicho arco.

Teorema. El punto medio de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es elcircuncentro de dicho tringulo.

Proposicin. Sea AB es dimetro de una circunferencia C, si P es un puntosobre C, entonces el tringulo APB es un tringulo rectngulo con ngulo rectoen P.

7

Cuadrilteros Cclicos

Definicin. Un cuadriltero es cclico si est inscrito7 en una circunferencia.

Teorema. Un cuadriltero ABCD es cclico si y slo si se cumple alguna delas dos afirmaciones siguientes

a) ABC + CDA = 180b) ADB = ACD

Demostracin =) Sea un cuadrittero cclico, probar que

ABC + CDA = 180 o ADB = ACD

ABCD es cclico, sea = COA tomando el arco que contiene al punto Dy sea = COA tomando el arco que contiene el punto B. Se tiene entonces+ = 360

Por otro lado, sabemos que ABC = 12 y CDA =12, entonces

ABC + CDA = 12+12 =

12 (+ ) =

12 (360)=180.

7Sus vrtices estn todos sobre la misma circunferencia.

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Tambin, como ABCD es cclico ABD y ACD abarcan el mismo arco(AD), entonces ABD = ACD=) Sea ABCD un cuadriltero tal que BCD+DAB = 180, demostrar

que ABCD es cclico.

Sea C la circunferencia circunscrita al tringuloDemostracin BCD, sea Ela interseccin de

AB y C.

Sabemos entonces que DCB + DEB = 180 y BCD + DAB = 180,entonces

BCD + DAB = DCB + DEB, pero BCD = DCBluego DAB = DEB y como A,B y E son colineales, entonces A = E.Por lo tanto ABCD es cclico.

La demostracin es similar si se supone que ADB = ACD

Teorema de Ptolomeo Si ABCD es un cuadriltero cclico entonces

AB CD +BC AD = BD AC

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Demostracin Sean P la interseccin de las diagonales AC y BD y E enBP tal que DAE = CAB.DAE = CAB y ADE = ACB, entonces 4DAE v 4CAB por criteriode semejanza AA.De donde DACA =

AEAB =

DECB AD BC = AC DE

Por otro ladoACD = ABE y BAE = BAC = DAE = PAE + EAD = PADas que 4CAD v 4BAEde donde CABA =

ADAE =

CDBE , por lo que AC BE = AB CD

Luego AB CD+AD BC = AC BE+AC DE = AC(BE+DE) = AC BD

NOTA: El recproco del Teorema tambin es cierto.

Ejercicios II

Ejercicio 1. Dado un tringulo ABC con circunferencia circunscrita de centroen O y un punto P cualquiera de la circunferencia circunscrita distinto de A.Demostrar que la interseccin de la circunferencia de dimetro AO y el segmentoAP es el punto medio de este segmento.

Ejercicio 2. Dos rectas perpendiculares entre si cruzan dos lados AB, CD yBC, AD del cuadrado ABCD en los puntos E, F, G, H, respectivament