Geometria - 5to Año - Guia Nº7 - Relaciones Métricas en Los

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  • II BIM GEOMETRA 5TO. AO

    Colegio Particular Integrado CESARS 162

    Nacido en el ao 1793. Es conocido por la ruptura con el pasado geomtrico de Euclides. Con su obra PANGEOMETRA este gemetra ruso rompi definitivamente con el pasado Euclidiano. Fue criticado duramente, nadie le entendi ni le hizo caso, hasta que su memoria fue traducida al francs, en 1837 y al alemn en 1840. Para Lobatschewski, las paralelas eran RECTAS COPLANARAS QUE NO SE ENCUENTRAN POR MUCHO QUE SE LAS PROLONGUEN. Existe otra teora suya que rompe con el postulado de Euclides.

  • II BIM GEOMETRA 5TO. AO

    Colegio Particular Integrado CESARS 163

    RELACIONES MTRICAS EN LOS TRINGULOS OBLICUNGULOS

    ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    1 . TEOREM A DE EUCLIDES

    1er Caso: si: < 90

    a2 = b2 + c2

    AB

    2bm a, b, c: son lados m: proyeccin o sombra de sobre AC .

    ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    Ejemplo: Hallar: x

    2do Caso: si: > 90

    a2 = b2 + c2

    AB

    + 2bm a, b, c: son lados

    m: proyeccin de sobre AC Ejemplo: Hallar: x ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 7 QUINTO AO

    A C

    B

    m b

    a c

    53

    8

    5 x QU SIGNIFICA

    RELACIONES M ETRICAS?

    QU ES UNA PROYECCIN?

    m b A

    C

    B

    a c

    120

    4 x

    3

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    Colegio Particular Integrado CESARS 164

    2. TEOREM A DE LA M EDIANA

    222

    2 ac2

    bx2 +=+

    a, b, c: son lados x: mediana relativa

    Hallar: x ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    ________________________________________

    3. TEOREM A DE HERN (Para calcular alturas)

    )cp)(bp)(ap(p.b2h =

    h: Altura relativa a AC = b b: Lado relativo a la altura p: Semipermetro

    Mira:

    Si:

    92

    864p =++=

    Ejemplo: Hallar: h

    4. CALCULO DE LA BISECTRIZ INTERIOR

    x2

    = c x a m . n

    x: Bisectriz

    c y a: Lados

    m y n: Segmentos determinados por la Bisectriz

    Hallar: x

    A M C

    B

    c a x

    b

    PROFE, NO ENTIENDO, HAGA UN

    EJEM PLO

    4 5

    6

    x

    A C

    B

    b

    h

    c

    a

    8

    4 6

    14

    14 15 h

    A C

    B

    c a x

    m n

    NO ENTIENDO

    6 8

    3 4

    x

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    Colegio Particular Integrado CESARS 165

    Calcule x en cada caso:

    1. 2. 3. 4. 5.

    EJERCICIOS DE APLICACION

    1. En un tringulo ABC de lados 6, 8 y 9, se desea hallar la proyeccin del lado menor sobre el lado mayor. a) 19/15 b) 19/16 c) 20/13 d) 21/12 e) 22/13

    2. Dado un tringulo ABC, se cumple: 2bccba 222 +=

    Hallar: m A; si: BC = a AC = b AB = c a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60

    3. Los lados de un tringulo ABC: AB = 5, BC = 4 y AC = 2; calcular la proyeccin de BC sobre AC . a) 3/4 b) 5/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 2/3

    4. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior AF ; por un punto M de AC , se traza

    una paralela a AB que corta en N a AF .

    Hallar la distancia de N a AB ; AN = 54 y AM = 5. a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3,5

    5. En un trapecio de lados no paralelos 13 y 15, hallar la altura del trapecio si las bases miden 6 y 20. a) 10 b) 12 c) 11 d) 9 e) 13

    6. Calcular: BH; AB = 4, BC = 3, AC = 2

    a) 1543

    b) 215

    c) 15

    d) 152

    e) 13

    5 x

    37

    6

    5 x

    127

    2

    3

    2 4

    x

    4 5 x

    7

    4

    6

    9

    6 x

    B

    H A C

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    Colegio Particular Integrado CESARS 166

    7. En un tringulo de lados 5, 6 y 7. Hallar la altura intermedia. a) 5 b) 6 c) 2

    d) 3 e) 62

    8. Hallar el lado del rombo. Si: AM2 + MD2

    9. Hallar: AE

    = 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

    2 + EB a) R

    2

    2 + r

    b) 2(R

    2 2 + r2)

    c) 3(R2 + r2

    )rR(23 22 +

    )

    d)

    e) 2R2 + r

    10. Hallar: x

    2

    a) 31

    b) 29

    c) 33

    d) 41

    e) 37

    11. En un trapecio issceles ABCD de bases:

    ADyBC ; se traza la mediana: MN (M en AB y

    N en CD ). Hallar: MN. Si: CM = 6, MD = 8 y CD = 12 a) 7 b) 72 c) 73

    d) 14 e) 142

    12. En un tringulo ABC, se desea hallar la

    proyeccin de la mediana AM sobre AC conociendo que AB = 5, AC = 7 y BC = 8. a) 27/7 b) 16/7 c) 18/7 d) 21/11 e) 23/11

    13. Hallar la bisectriz BD en un tringulo ABC; AB = 6, BC = 8, AC = 7. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

    14. Hallar: (a x b) a) 182 b) 192 c) 172 d) 162 e) 100

    15. Hallar: a) 23 b) 3 c) 2

    d) 2

    e) 3

    TAREA DOM ICILIARIA N7 1. Hallar: x

    a) 21

    b) 19

    c) 17 d) 5 e) 4

    2. En un tringulo de lados 2, 3 y 4 calcular la proyeccin del menor lado sobre el lado intermedio. a) 1 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 4/3

    3. Hallar: x a) 23

    b) 33 c) 6

    d) 53

    e) 63

    A D

    B C M

    A

    B

    E

    R r

    5

    7

    3

    x

    6

    8 12

    a

    b

    4 6

    5

    x

    4 x

    5

    2

    5

    x

    143

    O

    60

  • II BIM GEOMETRA 5TO. AO

    Colegio Particular Integrado CESARS 167

    4. En un tringulo ABC; AB = c; BC = a y AC = b Hallar: m A; si se cumple: a2 = b2 + c2

    5. Hallar la mayor altura de un tringulo de lados: 2, 6 y 6.

    bc a) 60 b) 120 c) 45 d) 30 e) 135

    a) 30 b) 35 c) 34 d) 6 e) 5

    6. Hallar: h a) 2 b) 3 c) 4

    d) 14

    e) 1434

    7. Hallar h

    a) 3 b) 4 c) 5

    d) 5

    e) 10

    8. En un tringulo de lados 7, 8 y 9, hallar la menor altura.

    a) 358 b)

    758 c) 5

    d) 52 e) 58

    9. Hallar: (AM2 + MD2

    a) 10 b) 5 c) 15 d) 20 e) 30

    ). En el rombo de permetro 8.

    10. Hallar: x a) 7 b) 8 c) 9 d) 10,5 e) 12,5

    11. Hallar: MN; MP = 2, MQ = 3, PQ = 4

    a) 25 b)

    35 c)

    23

    d) 32 e)

    21

    12. En un tringulo de lados 6, 7 y 8, calcular la

    menor mediana.

    a) 2101 b)

    2102 c)

    2103

    d) 2104 e)

    2105

    13. Hallar la bisectriz interior intermedia en un

    tringulo de lados 6, 7 y 8. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

    14. Hallar: x a) 33

    b) 23 c) 3 d) 4 e) 5

    15. Hallar: x a) 5

    b) 22 c) 4 d) 1

    e) 23

    3 6

    5

    5

    5

    h 54

    A D

    C B M

    7 24

    25

    x

    P

    M Q

    N

    5 12

    10

    x

    4 6

    2

    x

    NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 7 QUINTO AORELACIONES MTRICAS EN LOSTRINGULOS OBLICUNGULOS