II BIM GEOMETRA 5TO. AO

Colegio Particular Integrado CESARS 162

Nacido en el ao 1793. Es conocido por la ruptura con el pasado geomtrico de Euclides. Con su obra PANGEOMETRA este gemetra ruso rompi definitivamente con el pasado Euclidiano. Fue criticado duramente, nadie le entendi ni le hizo caso, hasta que su memoria fue traducida al francs, en 1837 y al alemn en 1840. Para Lobatschewski, las paralelas eran RECTAS COPLANARAS QUE NO SE ENCUENTRAN POR MUCHO QUE SE LAS PROLONGUEN. Existe otra teora suya que rompe con el postulado de Euclides.

II BIM GEOMETRA 5TO. AO

Colegio Particular Integrado CESARS 163

RELACIONES MTRICAS EN LOS TRINGULOS OBLICUNGULOS

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

1 . TEOREM A DE EUCLIDES

1er Caso: si: < 90

a2 = b2 + c2

AB

2bm a, b, c: son lados m: proyeccin o sombra de sobre AC .

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

Ejemplo: Hallar: x

2do Caso: si: > 90

a2 = b2 + c2

AB

+ 2bm a, b, c: son lados

m: proyeccin de sobre AC Ejemplo: Hallar: x ________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 7 QUINTO AO

A C

B

m b

a c

53

8

5 x QU SIGNIFICA

RELACIONES M ETRICAS?

QU ES UNA PROYECCIN?

m b A

C

B

a c

120

4 x

3

II BIM GEOMETRA 5TO. AO

Colegio Particular Integrado CESARS 164

2. TEOREM A DE LA M EDIANA

222

2 ac2

bx2 +=+

a, b, c: son lados x: mediana relativa

Hallar: x ________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

3. TEOREM A DE HERN (Para calcular alturas)

)cp)(bp)(ap(p.b2h =

h: Altura relativa a AC = b b: Lado relativo a la altura p: Semipermetro

Mira:

Si:

92

864p =++=

Ejemplo: Hallar: h

4. CALCULO DE LA BISECTRIZ INTERIOR

x2

= c x a m . n

x: Bisectriz

c y a: Lados

m y n: Segmentos determinados por la Bisectriz

Hallar: x

A M C

B

c a x

b

PROFE, NO ENTIENDO, HAGA UN

EJEM PLO

4 5

6

x

A C

B

b

h

c

a

8

4 6

14

14 15 h

A C

B

c a x

m n

NO ENTIENDO

6 8

3 4

x

II BIM GEOMETRA 5TO. AO

Colegio Particular Integrado CESARS 165

Calcule x en cada caso:

1. 2. 3. 4. 5.

EJERCICIOS DE APLICACION

1. En un tringulo ABC de lados 6, 8 y 9, se desea hallar la proyeccin del lado menor sobre el lado mayor. a) 19/15 b) 19/16 c) 20/13 d) 21/12 e) 22/13

2. Dado un tringulo ABC, se cumple: 2bccba 222 +=

Hallar: m A; si: BC = a AC = b AB = c a) 30 b) 37 c) 45 d) 53 e) 60

3. Los lados de un tringulo ABC: AB = 5, BC = 4 y AC = 2; calcular la proyeccin de BC sobre AC . a) 3/4 b) 5/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 2/3

4. En un tringulo ABC, se traza la bisectriz interior AF ; por un punto M de AC , se traza

una paralela a AB que corta en N a AF .

Hallar la distancia de N a AB ; AN = 54 y AM = 5. a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 3,5

5. En un trapecio de lados no paralelos 13 y 15, hallar la altura del trapecio si las bases miden 6 y 20. a) 10 b) 12 c) 11 d) 9 e) 13

6. Calcular: BH; AB = 4, BC = 3, AC = 2

a) 1543

b) 215

c) 15

d) 152

e) 13

5 x

37

6

5 x

127

2

3

2 4

x

4 5 x

7

4

6

9

6 x

B

H A C

II BIM GEOMETRA 5TO. AO

Colegio Particular Integrado CESARS 166

7. En un tringulo de lados 5, 6 y 7. Hallar la altura intermedia. a) 5 b) 6 c) 2

d) 3 e) 62

8. Hallar el lado del rombo. Si: AM2 + MD2

9. Hallar: AE

= 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2 + EB a) R

2

2 + r

b) 2(R

2 2 + r2)

c) 3(R2 + r2

)rR(23 22 +

)

d)

e) 2R2 + r

10. Hallar: x

2

a) 31

b) 29

c) 33

d) 41

e) 37

11. En un trapecio issceles ABCD de bases:

ADyBC ; se traza la mediana: MN (M en AB y

N en CD ). Hallar: MN. Si: CM = 6, MD = 8 y CD = 12 a) 7 b) 72 c) 73

d) 14 e) 142

12. En un tringulo ABC, se desea hallar la

proyeccin de la mediana AM sobre AC conociendo que AB = 5, AC = 7 y BC = 8. a) 27/7 b) 16/7 c) 18/7 d) 21/11 e) 23/11

13. Hallar la bisectriz BD en un tringulo ABC; AB = 6, BC = 8, AC = 7. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

14. Hallar: (a x b) a) 182 b) 192 c) 172 d) 162 e) 100

15. Hallar: a) 23 b) 3 c) 2

d) 2

e) 3

TAREA DOM ICILIARIA N7 1. Hallar: x

a) 21

b) 19

c) 17 d) 5 e) 4

2. En un tringulo de lados 2, 3 y 4 calcular la proyeccin del menor lado sobre el lado intermedio. a) 1 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 4/3

3. Hallar: x a) 23

b) 33 c) 6

d) 53

e) 63

A D

B C M

A

B

E

R r

5

7

3

x

6

8 12

a

b

4 6

5

x

4 x

5

2

5

x

143

O

60

II BIM GEOMETRA 5TO. AO

Colegio Particular Integrado CESARS 167

4. En un tringulo ABC; AB = c; BC = a y AC = b Hallar: m A; si se cumple: a2 = b2 + c2

5. Hallar la mayor altura de un tringulo de lados: 2, 6 y 6.

bc a) 60 b) 120 c) 45 d) 30 e) 135

a) 30 b) 35 c) 34 d) 6 e) 5

6. Hallar: h a) 2 b) 3 c) 4

d) 14

e) 1434

7. Hallar h

a) 3 b) 4 c) 5

d) 5

e) 10

8. En un tringulo de lados 7, 8 y 9, hallar la menor altura.

a) 358 b)

758 c) 5

d) 52 e) 58

9. Hallar: (AM2 + MD2

a) 10 b) 5 c) 15 d) 20 e) 30

). En el rombo de permetro 8.

10. Hallar: x a) 7 b) 8 c) 9 d) 10,5 e) 12,5

11. Hallar: MN; MP = 2, MQ = 3, PQ = 4

a) 25 b)

35 c)

23

d) 32 e)

21

12. En un tringulo de lados 6, 7 y 8, calcular la

menor mediana.

a) 2101 b)

2102 c)

2103

d) 2104 e)

2105

13. Hallar la bisectriz interior intermedia en un

tringulo de lados 6, 7 y 8. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

14. Hallar: x a) 33

b) 23 c) 3 d) 4 e) 5

15. Hallar: x a) 5

b) 22 c) 4 d) 1

e) 23

3 6

5

5

5

h 54

A D

C B M

7 24

25

x

P

M Q

N

5 12

10

x

4 6

2

x

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N 7 QUINTO AORELACIONES MTRICAS EN LOSTRINGULOS OBLICUNGULOS