Introducción a la GEOMETRIA ANALITICA

Introducción a la GEOMETRIA ANALITICA

Versión Preliminar

Geometría Euclidiana Geometría Cartesiana

Geometría Sintética Geometría Analítica

EUCLIDES

Nació alrededor de 325 AC

Murió alrededor de 265 AC en Alejandría, Egipto.

Los seis primeros contienen una sistematización del conocimiento de Geometría Plana básica de su época.

Se convierten en el paradigma de exposición científica.

Autor de trece volúmenes de ELEMENTOS.

RENE DESCARTES

Nació el 31 de marzo de 1596 en Francia

Murió el 11 de febrero de 1650 en

Suecia.

Creador, junto con Fermat, del METODO DE LAS COORDENADASque transforma problemas geométricos en problemas algebraicos

Plano Euclidiano Plano Cartesiano

Lugares geométricos Ecuaciones

PLANO CARTESIANO

P

O

eje de abscisasej

e de

ord

enad

asorigen de coordenadas

x

(x,y)

y

x

y

(0,0)

Geometría Sintética Geometría Analítica

Ecuación de la rectaDos puntos determinan una recta.

RECTAS QUE PASAN POR EL ORIGEN:

O

P

Q

P´ Q´

(x,y)

(x1,y1)

El punto Q es un punto arbitrario sobre la recta,con coordenadas (x,y)

Consideremos la recta que uneel origen con el punto P.

P

Las coordenadas de P son (x1,y1) Al trazar las proyecciones, obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes: OPP´ y OQQ´.

1

1 xy

xy

El teorema de Thales implica

x

y

De ser así, llamamos, como se acostumbra,

pendiente. Despejamos y tenemos que

1

1 xy

xy .01 x

1

1

xy

m

tiene sentido siempre cuando

Notemos que la expresión

mxy

es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto ).,(P 11 yx

mxy

es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto significa que los puntos de esa recta son precisamente aquellos que tienen la forma

),,(P 11 yx

Decir que

).,( mxx

PREGUNTA

¿ Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto cuando ? ¿Cuál es esta recta?

01 x),P( 11 yx

RECTAS ARBITRARIAS:

P´ Q´R(x,y)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)De nuevo,

12

12

2

2

xxyy

xxyy

.RP'PP'

RQ'QQ'

En coordenadas,

x

y

12 yy

yy 2

xx 1

xx 2

Consideremos la recta l que pasa por los puntos

P(x1,y1) y Q(x2,y2).

.021 xx

tiene sentido siempre cuando

Como en el caso de las rectas que pasan por el origen, la expresión

21

21

2

2

xxyy

xxyy

Despejamos para obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos y

)( 22 xxmyy

),(P 11 yx

. 21

21

xxyy

m

Si , llamamos como antes pendiente de la recta a

:),(Q 22 yx

021 xx

INTERPRETACION DE LA PENDIENTE:

12 xx P(x1,y1)

Q(x2,y2)

12 yy 12

12

xxyy

m

Observemos que es también el ángulo que forma la recta con el eje de las abscisas. Por lo tanto,

x

y

Por las definiciones,

y también,

tan 12

12 xxyy

La pendiente es la tangente del ángulo que forma el eje de las abscisas con la recta (en esta dirección).

Geometría Sintética Geometría Analítica

Rectas secantes. Condiciones sobrela pendiente.

Geometría Analítica: Rectas secantes.

l1

l2

x

y

P(x0,y0)11 bxmy

22 bxmy

Si Si P(x0,y0) está sobre la recta

l 1 de ecuación

y sobre la recta l2 de

ecuación

Entonces

0

0

yy

xx11 bxmy

22 bxmy

es solución del sistema

22

11

bxmy

bxmy

Geometría Analítica: Rectas secantes.

Resolvamos el sistema

22

11

bxmy

bxmy

Cuando remplazamos el valor de y de la segunda ecuación en la primera obtenemos

.2211 bxmbxm Operamos y agrupamos

1221 )( bbxmm

Geometría Analítica: Rectas secantes.

La ecuación

tiene solución siempre que

1221 )( bbxmm

.21 mm

CONSECUENCIA

Dos rectas con pendientes distintassiempre se intersectan.

POR CONSIGUIENTE…

Geometría Sintética Geometría Analítica

Rectas Paralelasson aquellas queno se intersectan.

Tienen la misma pendiente.

Geometría Sintética Geometría Analítica

Teorema de Pitágoras Distancia entredos puntos

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

P

Q

(x1,y1)

(x2,y2)

|y2-y1|

|x2-x1|

Por el Teorema de Pitágoras

221

221 )( )(PQ yyxx

x

y

El triángulo POQ es rectángulo. Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras afirma

Condiciones sobrela pendiente.

Como P(x1,y1) está sobre la recta

l 1 de ecuación

Geometría Sintética Geometría Analítica

Rectas Perpendiculares.

Geometría Analítica: Rectas Perpendiculares.

l1

l2

x

y

Q(x2,y2)

xmy 1

xmy 2

y como Q(x2,y2) está sobre la

recta l2 de ecuación

xmy 1

xmy 2

P(x1,y1)

O

Las rectas l 1 y l 2 son

perpendiculares

|OP|2+|OQ|2=|PQ|2

entonces

111 xmy

entonces

222 xmy

Geometría Analítica: Rectas perpendiculares.

,)(|OP| 211

21

2 xmx

obtenemos

Como

22211

221

2 )()(|PQ| xmxmxx

222

22

2 )(|OQ| xmx

11xm

y

22211

221

222

22

211

21

)()(

)()(

xmxmxx

xmxxmx

Geometría Analítica: Rectas perpendiculares.

obtenemos

De

11xm

22211

221

222

22

211

21

)()(

)()(

xmxmxx

xmxxmx

212121 220 xxmmxx 1x

y cuando simplificamos

121 mm

Geometría Analítica: Rectas perpendiculares.

Hemos mostrado que dos rectas de pendientes

11xm 21 y mm 1x

son perpendiculares, cuando y sólo cuando

121 mm

Geometría Analítica: Algunos ejercicios.

Hallar los puntos sobre el eje de las abscisas que distan 5 del punto P(2,-3)

11xm 1x

Dados P(2,2) y Q(5,-2), hallar los puntos R sobre el eje de las abscisas tales que

el ángulo es recto.QRP

Geometría Sintética Geometría Analítica

Circunferencia:

Lugar geométrico detodos los puntos que

equidistan de un punto dado

Ecuación de lacircunferencia

ECUACION DE UNA CIRCUNFERENCIA:

C

Q

(x1,y1)

(x,y)

21

21 )( )(CQ yyxxr

r