Formulario de matemáticas III (preparatoria)

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1

FÓRMULAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

CONCEPTOS BÁSICOS

7

Condición para que dos rectas sean paralelas

13 Forma simétrica (intersección con los ejes)

Forma general (igualar a cero)

Pendiente de la recta Ordenada de la recta

1 Distancia entre dos puntos:

8 Condiciones para que dos rectas sean perpendiculares

14

2 División de un segmento en una

razón dada:

P(x,y) ,

9 Área de un polígono de n lados

15 Cálculo de la distancia de un punto a una recta

3 Punto medio de un segmento recta

P(x,y) ,

ECUACIONES DE LA RECTA

CÓNICAS

Pendiente de una recta Dado el ángulo Dado dos puntos

4

10 Forma ordinaria (pendiente / ordenada)

16 Ecuación general de las cónicas

5 Ángulo de inclinación de una recta

11 Forma punto / pendiente

17 Identificación de las cónicas

Discriminante:

Elipse: (negativo) Parábola: (cero)

Hipérbola: (positivo)

6 Ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes

12 Forma cuando pasa por dos puntos

CIRCUNFERENCIA

!

m1

= m2

!

x

a+y

b=1

!

d = (x2" x

1)2

+ (y2" y

1)2

!

m1•m

2= "1 o m

2= "

1

m1

!

Ax + By + C = 0

!

m = "A

B

!

b = "C

B

!

"

!

x =x1+ + rx

2

1+ r

!

y =y1+ ry

2

1+ r

!

A =1

2

x1y1

x2y2

M

xn yn

x1y1

=1

2

+ x1y2

+ x2y3

+K+ xn y1( )

" x2y1

+ x3y2

+K+ x1yn( )

#

$ % %

&

' ( (

!

d =Ax + By + C

A2

+ B2

!

"

!

x =x1+ x

2

2

!

y =y1+ y

2

2

!

y = mx + b

!

Ax2

+ Bxy + Cy2

+ Dx + Ey + F = 0

!

m = tan"

!

m =y2" y

1

x2" x

1

!

" = tan#1(m)

!

y " y1

= m(x " x1)

!

I = B2" 4AC

!

B2" 4AC < 0

!

B2" 4AC = 0

!

B2" 4AC > 0

!

" = tan#1 m

2#m

1

1+ m1•m

2

$

% &

'

( )

!

y " y1

=y2" y

1

x2" x

1

#

$ %

&

' ( x " x

1( )

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2

18

Datos importantes para obtener la

ecuación de la circunferencia:

C(h,k) = coordenadas del centro.

r = radio

22

Datos importantes para obtener la ecuación

de la parábola:

V(h,k) = coordenadas del vértice.

p = distancia del vértice al foco.

Eje focal = horizontal / vertical

26

Horizontal

(vértice fuera del origen)

Ecuación Vértice V(h,k)

Foco Directriz Lado recto

!

" LR = 4 p Eje focal

19 Ecuación ordinaria con centro en el origen

23 Horizontal (vértice en el origen)

Ecuación Vértice V(0,0) Foco

!

" (p,0) Directriz Lado recto

!

" LR = 4 p Eje focal

27 Forma general de la parábola

(caso con eje horizontal)

!

y2

+ Dx + Ey + F = 0 donde:

!

D = "4 p

E = "2k

F = k2

+ 4 ph

20 Ecuación ordinaria con centro fuera del origen

24 Vertical (vértice en el origen)

Ecuación Vértice V(0,0) Foco

!

" (0, p) Directriz Lado recto

!

" LR = 4 p

Eje focal

28 Forma general de la parábola

(caso con eje vertical)

!

x2

+ Dx + Ey + F = 0 donde:

!

D = "2h

E = "4 p

F = h2

+ 4 pk

21 Ecuación general o desarrollada

donde: , ,

25 Vertical (vértice fuera del origen)

Ecuación Vértice V(h,k)

Foco

Directriz Lado recto

!

" LR = 4 p

Eje focal

ELIPSE

PARÁBOLA

!

" y # k( )2

= 4 p x # h( )

!

"

!

"

!

h + p,k( )

!

" x = h # p

!

" y = k

!

x2

+ y2

= r2

!

" y2

= 4 px

!

"

!

" x = #p

!

" y = 0

!

(x " h)2

+ (y " k)2

= r2

!

" x2

= 4 py

!

"

!

" y = #p

!

" x = 0

!

x2

+ y2

+ Dx + Ey + F = 0

!

h = "D

2

!

k = "E

2

!

r =D2

+ E2" 4F

2

!

" x # h( )2

= 4 p y # k( )

!

"

!

"

!

h,k + p( )

!

" y = k # p

!

" x = h

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3

29 Datos importantes para obtener la ecuación de la elipse:

C

!

(h,k) = coordenadas del centro. a = longitud del semieje mayor. b = longitud del semieje menor. Eje mayor = Horizontal / Vertical

32 Forma ordinaria en el origen (eje mayor - vertical)

Ecuación

!

"

!

x2

b2

+y2

a2

=1 Centro

!

" C(0,0)

Vértices

!

"

!

Vmayor(0 ,±a)

Vmenor(±b,0)

Focos

!

"

!

F(0, ± c)

35 Forma general de la elipse (caso horizontal)

!

Ax2

+ Cy2

+ Dx + Ey + F = 0 donde:

!

A = b2

C = a2

D = "2b2h

E = "2a2k

F = b2h2

+ a2k2" a

2b2

30 Ecuaciones importantes de la elipse

c = distancia del centro al foco.

!

c = a2" b

2

LR = Lado recto

!

LR =2b

2

a

e = excentricidad ( e < 1)

!

e =c

a=

a2" b

2

a

33 Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor - horizontal)

Ecuación

!

"

!

(x " h)2

a2

+(y " k)

2

b2

=1 Centro

!

" C

!

h,k( )

Vértices

!

"

!

Vmayor(h ± a,k)

Vmenor(h ,k ± b)

Focos

!

"

!

F(h ± c,k)

36 Forma general de la elipse (caso vertical)

!

Ax2

+ Cy2

+ Dx + Ey + F = 0 donde:

!

A = a2

C = b2

D = "2a2h

E = "2b2k

F = a2h2

+ b2k2" a

2b2

31 Forma ordinaria en el origen (eje mayor - horizontal)

Ecuación

!

"

!

x2

a2

+y2

b2

=1 Centro

!

" C(0,0)

Vértices

!

"

!

Vmayor(±a,0)

Vmenor(0 ,±b)

Focos

!

"

!

F(±c,0)

34 Forma ordinaria fuera del origen (eje mayor – vertical)

Ecuación

!

"

!

(x " h)2

b2

+(y " k)

2

a2

=1 Centro

!

" C

!

h,k( )

Vértices

!

"

!

Vmayor(h,k ± a)

Vmenor(h ± b,k)

Focos

!

"

!

F(h,k ± c)

HIPÉRBOLA

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4

37 Datos importantes para obtener

la ecuación de la hipérbola:

C

!

(h,k) = coordenadas del centro. a = long. del semieje transverso. b = long. del semieje conjugado. Eje Focal = Horizontal / Vertical

40 Forma ordinaria en el origen (eje focal - vertical)

Ecuación

!

"

!

y2

a2"x2

b2

=1 Centro

!

" C(0,0)

Asíntotas

!

"

!

y

a+x

b= 0

y

a"x

b= 0

Focos

!

"

!

F(0,±c)

43 Forma general de la hipérbola (caso horizontal)

!

Ax2

+ Cy2

+ Dx + Ey + F = 0 donde:

!

A = b2

C = "a2

D = "2b2h

E = 2a2k

F = b2h2" a

2k2" a

2b2

38 Ecuaciones importantes de la hipérbola

c = distancia del centro al foco.

!

c = a2

+ b2

LR = Lado recto

!

LR =2b

2

a

e = excentricidad ( e > 1)

!

e =c

a=

a2

+ b2

a

41 Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - horizontal)

Ecuación

!

"

!

x " h( )2

a2

"y " k( )

2

b2

=1 Centro

!

" C(h,k)

Asíntotas

!

"

!

x " h

a+y " k

b= 0

x " h

a"y " k

b= 0

Focos

!

"

!

F(h ± c,k)

Forma general de la hipérbola (caso vertical)

!

Ax2

+ Cy2

+ Dx + Ey + F = 0 donde:

!

A = "a2

C = b2

D = 2a2h

E = "2b2k

F = b2k2" a

2h2" a

2b2

39 Forma ordinaria en el origen (eje focal - horizontal)

Ecuación

!

"

!

x2

a2"y2

b2

=1 Centro

!

" C(0,0)

Asíntotas

!

"

!

x

a+y

b= 0

x

a"y

b= 0

Focos

!

"

!

F(±c,0)

42 Forma ordinaria fuera del origen (eje focal - vertical)

Ecuación

!

"

!

y " k( )2

a2

"x " h( )

2

b2

=1 Centro

!

" C(h,k)

Asíntotas

!

"

!

y " k

a+x " h

b= 0

y " k

a"x " h

b= 0

Focos

!

"

!

F(h,k ± c)