Ec uac i ón de l a rec t a que pas a po r dos pun t os

Teoría

Ejerc ic ios

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Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:

Cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la forma continua:

Ejemplos:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)

1 Escr ibe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que

pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

2 De un para le logramo ABC D conocemos A(1, 3), B(5, 1), C (−2, 0).

Halla las coordenadas de l vértice D.

3 C lasif icar e l tr iángulo determinado por los pu ntos: A(6, 0), B(3, 0)

y C (6, 3).

4 Hallar la pendiente y la ordenada en e l or igen de la recta 3x + 2y

− 7 = 0.

5 Estudiar la posic ión re lativa de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y − 4 =0

2 x − 2y + 1= 0

3 3x − 2y − 9 = 0

4 4x + 6y − 8 = 0

5 2x − 4y − 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

6 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es para le la

a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

7 Se tiene e l cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4),

C (−3, 2) y D(−1, −2). C omprueba que es un para le logramo y

determina su centro.

8 Hallar la ecuación de la recta que pasa por e l punto (2, −3) y es

para le la a la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).

9 Los puntos A(−1, 3) y B(3, −3), son vértices de un tr iángulo

isósce les ABC que tiene su vértice C en la rec ta 2x − 4y + 3 = 0

siendo AC y BC los lados iguales. C alcular las coordenadas de l vértice

C .

10 La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por e l punto A(3, 2) y es

para le la a la recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. C alcula m y n.

11 Dado e l tr iángulo ABC , de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C (4,

4); ca lcula la ecuación de la mediana que pasa por e l vértice C .

12 De un para le logramo se conoce un vértice, A(8, 0), y e l punto de

corte de las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro

vértice se encuentra en e l or igen de c oordenadas. C alcular:

1 Los otros vértices.

2 Las ecuaciones de las diagonales.

3 La longitud de las diagonales.

Soluciones

Ejercicio 1 resuelto

Escr ibe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por

los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).

De un para le logramo ABC D conocemos A(1, 3), B(5, 1), C (−2, 0). Halla las

coordenadas de l vértice D.

C lasif icar e l tr iángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C (6, 3).

Hallar la pendiente y la ordenada en e l or igen de la recta 3x + 2y − 7 = 0.

studiar la posic ión re lativa de las rectas de ecuaciones:

1 2x + 3y − 4 =0

2 x − 2y + 1= 0

3 3x − 2y − 9 = 0

4 4x + 6y − 8 = 0

5 2x − 4y − 6 = 0

6 2x + 3y + 9 = 0

Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus coefic ientes son

proporcionales:

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son para le las respectivamente , ya que

ex iste proporcionalidad entre los coefic ientes de x y de y , pero no en e l

término independiente.

Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es para le la a la

recta s ≡ 2x + y + 2 = 0.

Se tiene e l cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C (−3, 2)

y D(−1, −2). C omprueba que es un para le logramo y determina su centro.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por e l punto (2, −3) y es para le la a

la recta que une los puntos (4, 1)) y (−2, 2).

Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un tr iángulo isósce les ABC

que tiene su vértice C en la recta 2x − 4y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados

iguales. C alcular las coordenadas de l vértice C .

La recta r ≡ 3x + ny − 7 = 0 pasa por e l punto A(3, 2) y es para le la a la

recta s ≡ mx + 2y − 13 = 0. C alcula m y n.

Ejercicio 11 resuelto

Dado e l tr iángulo ABC , de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C (4, 4); ca lcula la

ecuación de la mediana que pasa por e l vértice C .

Ejercicio 12 resuelto

De un para le logramo se conoce un vértice, A(8, 0), y e l punto de corte de

las dos diagonales, Q(6, 2). También sabemos que otro vértice se encuentra

en e l or igen de coordenadas. C alcular:

1 Los otros vértices.

2 Las ecuaciones de las diagonales.

3 La longitud de las diagonales.

1 C alcula la distancia de l punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x

+ 4y = 0.

2 Hallar la distancia entre r ≡ 3x − 4y + 4 = 0 y s ≡ 9x − 12y − 4 =

0.

3 C alcular e l ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus

vectores directores son: = (−2, 1) y = (2, −3).

4 C alcula e l ángulo que forman las rectas r ≡ x + 3y − 2 = 0 y s ≡

2x − 3y + 5 = 0.

5 Hallar una recta para le la y otra perpendicular a r ≡ x + 2y + 3 = 0,

que pasen por e l punto A(3, 5).

6 Hallar la ecuación de la mediatr iz de l segmento de extremos A(2,

5) y B(4, −7).

7 Hallar las ecuaciones de las bisectr ices de los ángulos que

determinan las rectas r ≡ 3x − 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

8 C alcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0

y pasa por e l punto P(−3, 2).

9 Una recta de ecuación r ≡ x + 2y − 9 = 0 es mediatr iz de un

segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2, 1). Hallar las

coordenadas de l otro extremo.

10 Halla e l punto s imétr ico A ', de l punto A (3, 2), respecto de la

recta r ≡ 2x + y − 12 = 0.

11 Hallar e l ángulo que forman las rectas que tienen por ecuacione s:

1

2

12 Hallar e l ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:

1

2

13 Dadas las rectas r ≡ 3x + y − 1 = 0 y s ≡ 2x + my − 8 = 0,

determinar m para que formen un ángulo de 45°.

14 Una recta es para le la a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y −

12 = 0, y dista 6 unidades de l or igen. ¿C uál es su ecuación?

15 Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x −

7y + 12 = 0 y dista 4 unidades de l or igen. ¿C uál es su ecuación?

16 Se tiene e l cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4),

C (−3, 2) y D(−1, −2). C alcular su área.

17 Dado e l tr iángulo A(−1, −1), B(7, 5), C (2, 7); ca lcular las

ecuaciones de las a lturas y determinar e l ortocentro de l tr iángulo.

18 C alcular las bisectr ices de los ángulos determinados por la rectas:

Ejercicio 1 resuelto

C alcula la distancia de l punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x + 4 y =

0.

Ejercicio 2 resuelto

Hallar la distancia entre r ≡ 3x − 4y + 4 = 0 y s ≡ 9x − 12y − 4 = 0.

C alcular e l ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores

directores son: = (−2, 1) y =(2, −3).

Ejercicio 4 resuelto

C alcula e l ángulo que forman las rectas r≡ x + 3y − 2 = 0 y s≡ 2x − 3y + 5

= 0.

Ejercicio 5 resuelto

Hallar una recta para le la y otra perpendicular a r ≡ x + 2y + 3 = 0, que

pasen por e l punto A(3, 5).

Ejercicio 6 resuelto

Hallar la ecuación de la mediatr iz de l segmento de extremos A(2, 5) y B(4,

−7).

Ejercicio 7 resuelto

Hallar las ecuaciones de las bisectr ices de los ángulos que determinan las

rectas r ≡ 3x − 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

Ejercicio 8 resuelto

C alcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0 y pasa

por e l punto P(−3, 2).

Ejercicio 9 resuelto

Una recta de ecuación r ≡ x + 2y − 9 = 0 es mediatr iz de un segmento AB

cuyo extremo A tiene por coordenadas (2, 1). Hallar las coordenadas de l

otro extremo.

Ejercicio 10 resuelto

Halla e l punto s imétr ico A ', de l punto A (3, 2), respecto de la recta r ≡ 2x +

y − 12 = 0.

Ejercicio 11 resuelto

Hallar e l ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:

1

2

Ejercicio 12 resuelto

Hallar e l ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones:

1

2

Ejercicio 13 resuelto

Dadas las rectas r ≡ 3x + y − 1 = 0 y s ≡ 2 x + my − 8 = 0, determinar m

para que formen un ángulo de 45°.

Ejercicio 14 resuelto

Una recta es para le la a la que tiene por ecuación r ≡ 5x + 8y − 12 = 0, y

dista 6 unidades de l or igen. ¿C uál es su ecuación?

Ejercicio 15 resuelto

Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r ≡ 5x − 7y + 12 = 0

y dista 4 unidades de l or igen. ¿C uál es su ecuación?

Ejercicio 16 resuelto

Se tiene e l cuadrilátero ABC D cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C (−3, 2)

y D(−1, −2). C alcular su área.

Ejercicio 17 resuelto

Dado e l tr iángulo A(−1, −1), B(7, 5), C (2, 7); ca lcular las ecuaciones de las

alturas y determinar e l ortocentro de l tr iángulo.

Ejercicio 18 resuelto

C alcular las bisectr ices de los ángulos determinados por la rectas:

Ec uac i ón de l a c i rc un f erenc i a

Teoría

Ejerc ic ios

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Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

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Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la

ecuación queda reducida a:

Ejemplos

1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

2. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el

radio.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3),

C(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación por las

coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

E j erc i c i o s de l a ec uac i ón de l a c i rc un f erenc i a

Teoría

Ejerc ic ios

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Problemas

Soluciones Ad by BBrOw ser Shop | Close

1 Determina las coordenadas del centro y del radio de las

circunferencias:

1

2

3

4 4x2 + 4y2 − 4x − 8y − 11 = 0

2 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro

en (2 , −3) y es tangente al eje de abscisas.

3 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro

en (−1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

4 Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro

en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1

= 0, y su radio es igual a 5.

5 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la

ecuación , y que pasa por el

punto (−3,4).

6 Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al

triángulo de vértices:A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7).

7 Los extremos del diámetro de una circunferencia son los

puntos A(−5, 3) y B(3, 1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

8 Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la

circunferencia que sea tangente a

la recta 3x − 4y + 7 = 0.

9 Estudiar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 − 4x

+ 2y − 20 = 0 con las rectas:

1 x + 7y − 20 = 0

2 3x + 4y − 27 = 0

3 x + y − 10 = 0

Ejercicio 1 resuelto

Determina las coordenadas de l centro y de l radio de las c ircunferencias:

1

2

3

4 4x 2 + 4y 2 − 4x − 8y − 11 = 0

Ejercicio 2 resuelto

C alcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2, −3) y es

tangente a l e je de abscisas.

Ejercicio 3 resuelto

C alcula la ecuación de la c ircunferencia que tiene su centro en (−1, 4) y es

tangente a l e je de ordenadas.

Ejercicio 4 resuelto

C alcula la ecuación de la c ircunferencia que tiene su centro en e l punto de

intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual

a 5.

Ejercicio 5 resuelto

Hallar la ecuación de la c ircunferencia concéntr ica con la

ecuación , y que pasa por e l punto (−3, 4).

Por ser concéntr icas tienen e l mismo centro.

Ejercicio 6 resuelto

Hallar la ecuación de la c ircunferencia c ircunscr ita a l tr iángulo de

vértices:A(0, 0), B(3, 1), C (5, 7).

Ejercicio 7 resuelto

Los extremos de l diámetro de una circunferencia son los puntos A(−5, 3) y

B(3, 1). ¿C uál es la ecuación de esta c ircunferencia?

Ejercicio 8 resuelto

Hallar la ecuación de la c ircunferencia concéntr ica a la

c ircunferencia que sea tangente a la recta 3x −

4y + 7 = 0.

Ejercicio 9 resuelto

Estudiar la posic ión re lativa de la c ircunferencia x 2 + y 2 − 4x + 2y − 20 = 0

con las rectas:

1 x + 7y − 20 = 0

2 3x + 4y − 27 = 0

3 x + y − 10 = 0

EJERCCIOSS

1 Hallar la ecuación de la c ircunferencia que tiene e l centro en e l

punto C (3, 1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0.

2 Hallar la ecuación de la c ircunferencia que pasa por los puntos

A(2, 1) y B(−2, 3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0 .

3 C alcula la ecuación de la c ircunferencia que pasa por e l punto (0,

−3), cuyo radio es y cuyo centro se halla en la bisectr iz de l

pr imer y tercer cuadrantes.

Ejercicio 1 resuelto

Hallar la ecuación de la c ircunferencia que tiene e l centro en e l punto C (3,

1) y es tangente a la recta: 3x − 4y + 5 = 0.

Ejercicio 2 resuelto

Hallar la ecuación de la c ircunferencia que pasa por los puntos A(2, 1) y

B(−2, 3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.

Ejercicio 3 resuelto

C alcula la ecuación de la c ircunferencia que pasa por e l punto (0, −3), cuyo

radio es y cuyo centro se halla en la bisectr iz de l pr imer y tercer

cuadrantes.

Cón i c as

Teoría

Ejerc ic ios

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Elementos de las cónicas:

Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo

oblicuo.

Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β),

pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

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Elipse

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el

mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.

α < β <90º

La elipse es una curva cerrada.

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Circunferencia

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

β = 90º

La circunferencia es un caso particular de elipse.

Parábola Ad by BBrOw ser Shop | Close

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por

un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

α = β

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

Hipérbola

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por

un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

α > β

La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.