PARABOLAELIPSE HIPERBOLA

TEMA 3. Secciones Cónicas.

I. Generalidades.

1. Definición de Secciones Cónicas.Se denominan secciones cónicas a las curvas que se obtienen al cortar un cono de dos

mantos con un plano, tal como se muestra en la figura. Estas curvas son:

- La elipse, se obtiene al cortar un cono con un plano cuya inclinación es menor al ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base.

- La parábola, se obtiene al cortar un cono con un plano cuya inclinación es la misma que la de la superficie lateral del cono.

- La hipérbola, se obtiene al cortar un cono con un plano cuya inclinación es mayor al ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base, en este caso el plano corta ambos mantos del cono.

Es posible considerar algunos casos particulares de las secciones cónicas, las cuales se muestran en la figura mostrada:- La circunferencia, siendo un caso particular de la elipse, cuando el plano corta el cono

horizontalmente.- Dos rectas que se cortan, como caso particular de la hipérbola, cuando el plano de corte

es vertical y pasa por el vértice de los conos.- Un punto, cuando el plano corta a los conos únicamente en el vértice.- Una recta, cuando el plano es tangente a los dos conos.

Estas definiciones geométricas no resultan prácticas para aplicaciones de este tipo de curvas, es por ello que se aplican definiciones equivalentes dadas en términos de distancias, que permiten establecer propiedades y aplicaciones más prácticas.

Las definiciones de las cónicas generales son:

1

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

- Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo que no está en ella.

- Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a dos puntos fijos, tiene una suma constante.

- Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a dos puntos fijos, tiene una diferencia constante.

Objetivo N° 6: Determinar la ecuación de la parábola, dados algunos de sus elementos notables y graficarla en un sistema de coordenadas bidimensional.

II. La Parábola.

1. Definición:Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo que no está en ella, llamaremos a la recta fija directriz (l) y al punto fijo foco (F).

2. Elementos notables de una parábola.La recta a que pasa por F y es perpendicular a l, se llama eje de la parábola. y llamaremos A, el punto de intersección de l y a.El punto V, es el punto medio del segmento AF, y por definición está sobre la parábola, este punto es el vértice. Cualquier segmento que una dos puntos cualesquiera de la parábola, se denomina cuerda, tales como BB´, LL´, y CC´, particularmente las cuerdas LL´ y CC´, pasan por el foco, por tanto se les llama cuerda focal, y en el caso de LL´ la cual es perpendicular al eje de la parábola se le llama lado recto.Cualquier segmento comprendido de un punto cualquiera de la parábola y el foco, se le llama radio focal o radio vector.

3. Ecuación canónica. a) Vértice en el origen y eje de la parábola coincidente con el eje X.:

y2 = 4px

b) Vértice en el origen y eje de la parábola coincidente con el eje Y.:

x2 = 4py

TEOREMA:La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje de la parábola coincidente con el eje X, es y2 = 4px, en donde el foco es el punto (p,0) y la ecuación de la directriz es x=-p.

A P(X,Y)

F(p,0)

0

l

X

Y

L’

L

C’

C

B’

B

A V F a

l

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

Si p0, la parábola abre hacia la derecha.Si p0, la parábola abre hacia la izquierda.Si el eje de la parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es x2

= 4py, en donde el foco es el punto (0,p) y la ecuación de la directriz es y=-p. Si p0, la parábola abre hacia arriba.Si p0, la parábola abre hacia abajo.En cada caso la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

4. Ecuación ordinaria.Es necesario encontrar la ecuación de la parábola cuando su vértice no está en el origen, y cuando el eje es paralelo a uno de los ejes de coordenadas y no necesariamente coincidente, para ello se aplica la traslación de ejes de coordenadas

a) Vértice (h,k) y eje paralelo al eje X.Tomando las ecuaciones de traslación de ejes de coordenadas::

(y - k)2 = 4p(x – h)

b) Vértice (h,k) y eje paralelo al eje Y.Se efectúa el mismo análisis y se obtiene:

(x - h)2 = 4p(y – k)

TEOREMA:La ecuación de la parábola de vértice (h,k) y el eje paralelo al eje X, es de la forma (y - k)2 = 4p(x – h), siendo p la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice. Si p0, la parábola abre hacia la derecha, si p0, la parábola abre hacia la izquierda. La ecuación de la parábola de vértice (h,k) y el eje paralelo al eje Y, es de la forma (x - h)2 = 4p(y – k), Si p0, la parábola abre hacia arriba, si p0, la parábola abre hacia abajo.

5. Ecuación de la recta tangente a una Parábola.La tangente a la parábola y2 = 4px en cualquier punto P1(x1,y1) de la curva tiene por ecuación:

y1 y = 2p (x + x1)

Y´Y

X´

X

P

O´(h,k)

O

O´(h,k)

A

F

0

l

Y

X

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

La tangente de pendiente m a la parábola y2 = 2px tiene por ecuación:

y = mx + p/m m 0

Objetivo N° 7: Aplicar las propiedades de reflexión de la parábola a problemas específicos de la Física.

6. Propiedad de reflexión de la Parábola.Una de las propiedades más importantes de la parábola es su propiedad de reflexión, que consiste en que si un rayo de luz, o de otro tipo de onda, paralelo al eje de simetría, choca con la parábola, se refleja hasta el foco y recíprocamente, si colocamos una fuente de luz en el foco de la parábola, los rayos reflejados por la parábola serán paralelos al eje de simetría.Esta propiedad tiene muchas aplicaciones, tanto en óptica como en comunicaciones: faros de autos, antenas de microondas, antenas parabólicas de comunicaciones, radios telescopios entre otros, utilizan esta propiedad.

EJERCICIOS PROPUESTOSOBJETIVOS N° 6 y 7

Hacer la gráfica correspondiente para cada problema:

En cada uno de los ejercicios del 1 al 4, hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto para la ecuación dada y discutir el lugar geométrico correspondiente.1. y2 = 12x2. x2 = 12y3. y2 + 8x = 04. x2 + 2y = 05. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (3,0).6. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto (0,-3).7. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta y – 5 = 0.8. Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0.9. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X pasa por el

punto (-2,4). Hallar la ecuación de la parábola. las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

Objetivo N° 8: Determinar la ecuación de la elipse, dados algunos de sus elementos notables y graficarla en un sistema de coordenadas bidimensional.

III. La Elipse.

1. Definición.Es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a dos puntos fijos es una suma constante, llamaremos a los puntos fijos focos (F y F´).

2. Elementos notables de una elipse.La recta l que pasa por F y F´ la llamaremos eje focal, el eje focal corta

A´

C VV´ F´

l´A

lF

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

la elipse en los puntos V y V´, los cuales llamaremos vértices. El segmento comprendido entre los vértices VV´, se llama eje mayor, el punto medio del eje mayor señalado como C, es el centro de la elipse. La recta l´ perpendicular al eje mayor en el centro de la elipse se llama eje normal. el cual intercepta a la elipse en los puntos llamados A y A´, el segmento AA´, se denomina eje menor.Cualquier segmento que una dos puntos cualesquiera de la elipse, se denomina cuerda, particularmente si la cuerda pasa por uno de los focos, se le llama cuerda focal. Si la cuerda focal es perpendicular al eje mayor se le llama lado recto. Si la cuerda pasa por el centro se le llama diámetro. El segmento que une un punto cualquiera de la elipse y cualquiera de los focos, se le llama radio focal o radio vector.

3. Ecuación canónica. a) Centro en el origen y eje focal coincide

con el eje X.

b) Centro en el origen y eje focal coincidente con el eje Y.Efectuando un análisis análogo al anterior se obtiene:

TEOREMA:La ecuación de una elipse con centro en el origen y eje focal en el eje X, distancia focal igual a 2c y la cantidad constante 2a es:

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas del foco son: (0,c) y (0,-c), la ecuación de la elipse es:

Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro a cada foco, y a,b,c, están ligados por la relación: a2=b2+c2.

A´

V(a,0)V(-a,0) X

Y

P(x,y)

F(c,0)F(-c,0)

+ = 1a2 b2

x2 y2

x2 y2

b2 a2+ = 1

+ = 1a2 b2

x2 y2

+ = 1b2 a2

x2 y2

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

También para cada elipse, la longitud del lado recto es (2b2/a) y la excentricidad e está dada por la fórmula:

4. Ecuación ordinaria..a)Centro (h,k) y eje focal paralelo al eje X.

b) Centro (h,k) y eje focal paralelo al eje Y.Se efectúa el mismo análisis y se obtiene:

TEOREMA:La ecuación de la elipse de centro (h,k) y el eje focal paralelo al eje X, está dada por la ecuación de la forma:

Si el eje focal es paralelo al eje Y, la ecuación está dada por:

Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro a cada foco, y a,b,c, están ligados por la relación: a2=b2+c2.También para cada elipse, la longitud del lado recto es (2b2/a) y la excentricidad e está dada por la fórmula:

Objetivo N° 9: Aplicar las propiedades de reflexión de la elipse a problemas específicos de la Física.

5. Propiedades de reflexión de la elipse.Las elipses tienen dos aplicaciones comunes con las demás secciones cónicas y algunas de aplicaciones únicas.Durante dos mil años, se creyó que los planetas se movían en órbitas circulares alrededor de la Tierra, según el Modelo Aristotélico. Después en el s. XVII, Johannes Kepler, demostró que

e = = 1 a a

c a2 – b2

a2 b2

(x – h)2 (y – k)2

+ = 1

+ = 1 b2 a2

(x – h)2 (y – k)2

X´

Y´

O´(h,k)

O

X

Y

a2 b2

(x – h)2 (y – k)2+ = 1

+ = 1 b2 a2

(x – h)2 (y – k)2

e = = 1 a a

c a2 – b2

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

las órbitas son elíptices y que el Sol está en uno de los focos, sin embargo es posible la existencia de órbitas circulares o casi circulares como la de la Tierra.Otra propiedad que tienen en común las elipses, con las demás secciones cónicas es la propiedad reflectora. Una fuente luminosa en un foco de una elipse se refleja hacia el otro foco. La aplicación principal de esto se observa en las bóvedas de los murmullos, que son unos recintos con bóveda eliptica en donde una persona en uno de los focos puede murmurar a alguien que esté en el otro sin que lo oigan los demás. Ejemplos de estas galerías son: el vestibulo National Statuary Hall del Capitolio (E.U.A.), el Tabernáculo de Mormón en Salt Lake City (E.U.A.), el domo de la Catedral de San Pablo en Londres (Inglaterra).Una aplicación más científica es el empleo de reflectores elípticos de ultrasonido para disgregar cálculos renales: se coloca el reflector de tal modo que el cálculo esté en uno de los focos y la fuente sonora en el otro, las ondas se concentran en la piedra haciéndola vibrar y desintegrándola.

EJERCICIOS PROPUESTOSOBJETIVOS N° 8 y 9

Hacer la gráfica correspondiente para cada problema:

En cada uno de los ejercicios del 1 al 4, hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse corresppondiente.10. 9x2 + 4y2 = 3611. 4x2 + 9y2 = 3612. 16x2 + 25y2 = 40013. x2 + 3y2 = 614. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4,0), (-4,0) y cuyos focos

son los puntos (3,0) y (-3,0).15. Los vértices de una elipse son (0,6) y (0,-6) y sus focos son los puntos (0,4) y (0,-

4). Hallar su ecuación.16. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2,0), (-2,0) y su excentricidad

es igual a 2/3.17. Los focos de una elipse son los puntos (3,0), (-3,0) y la longitud de uno cualquiera de sus

lados rectos es igual a 9. Hallar su ecuación.18. Hallar la ecuación y la excentricidad de una elipse que tiene su centro en el origen, uno

de sus vértices en el punto (0,-7) y pasa por el punto (5, 14/3).19. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje X. Hallar su

ecuación sabiendo que pasa por los puntos (6,-1) y (2,2).20. Hallar la ecuación de una elipse que pasa por el punto ( 7/2,3), tiene su centro en el

origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor.

Objetivo N° 10: Determinar la ecuación de la hipérbola, dados algunos de sus elementos notables y graficarla en un sistema de coordenadas bidimensional.

IV. La Hipérbola.

1. Definición.Es el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya distancia a dos puntos fijos es una diferencia constante, llamaremos a los puntos fijos focos (F y F´).

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

2. Elementos notables de la hipérbolaLa recta l que pasa por F y F´ la llamaremos eje focal, el eje focal corta la hipérbola en los puntos V y V´, los cuales llamaremos vértices. El segmento comprendido entre los vértices VV´, se llama eje transverso, el punto medio del eje mayor señalado como C, es el centro de la hipérbola. La recta l´ perpendicular al eje transverso en el centro de la hipérbola se llama eje normal, este eje no corta la curva, sin embargo existe una porción del mismo definida por el segmento AA´ denominado eje conjugado.Cualquier segmento que una dos puntos cualesquiera de la elipse, se denomina cuerda, particularmente si la cuerda pasa por uno de los focos, se le llama cuerda focal. Si la cuerda focal es perpendicular al eje mayor se le llama lado recto. Si la cuerda pasa por el centro se le llama diámetro. El segmento que une un punto cualquiera de la elipse y cualquiera de los focos, se le llama radio focal o radio vector.

3. Ecuación canónica. a) Centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X.Los focos se encuentran sobre el eje X, entonces sus coordenadas son F(c,0) y F´(-c,0), siendo c la distancia del foco al centro, ya que este se encuentra en el origen, es decir C(0,0). Los vértices tendrán coordenadas V(-a,o) y V´(a,0), por tanto el eje transverso mide 2.a.

b) Centro en el origen y eje focal en el eje Y.Efectuando un análisis análogo al anterior se obtiene:

= 1a2 b2

x2 y2

– = 1a2 b2

y2 x2

P(x,y)

A´

C VV´F´(-c,0)

l´

A

lF(c,0)

A´

C VV´F́

l´A

l F

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

TEOREMA:La ecuación de una hipérbola con centro en el origen y eje focal en el eje X, y los focos los puntos (c,0) y (-c,0), es:

Si el eje focal de la hipérbola coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas del foco son: (0,c) y (0,-c), la ecuación de la hipérbola es:

Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b es la del semieje conjugado, c es la distancia del centro a cada foco, y a,b,c, están ligados por la relación: c2=a2+b2.También para cada hipérbola, la longitud del lado recto es (2b2/a) y la excentricidad e está dada por la fórmula:

4. Ecuación ordinaria.Al igual que en la parábola y en la elipse, para la hipérbola es necesario encontrar su ecuación cuando su centro no está en el origen, y cuando el eje focal es paralelo a uno de los ejes de coordenadas y no necesariamente coincidente, para ello se aplica, al igual que en la parábola, la traslación de ejes de coordenadas.

a)Centro (h,k) y eje focal paralelo al eje X.

y la ecuación de la elipse es:

sustituyendo se tiene:

= 1a2 b2

x2 y2

= 1a2 b2

y2 x2

e = = 1 a a

c a2 + b2

– = 1a2 b2

x´2 y´2

X´

Y´

O´(h,k)

O

Y

X

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

b)Centro (h,k) y eje focal paralelo al eje Y.Se efectúa el mismo análisis y se obtiene:

TEOREMA:La ecuación de la hipérbola de centro (h,k) y el eje focal paralelo al eje X, está dada por la ecuación de la forma:

Si el eje focal es paralelo al eje Y, la ecuación está dada por:

Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b es la del semieje conjugado, c es la distancia del centro a cada foco, y a,b,c, están ligados por la relación: c2=a2+b2.También para cada hipérbola, la longitud del lado recto es (2b2/a) y la excentricidad e está dada por la fórmula:

5. Asíntotas.Si de la forma canónica de la hipérbola:

b2x2 – a2y2 = a2b2

despejamos a y, se obtiene:y = b/a x2 – a2

que puede escribirse de la forma:y = b/a x 1 – a2/x2

si el punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que x aumenta numéricamente sin límite, el radical de la expresión se aproxima más y más a la unidad y la ecuación tiene la forma:

Y = b/a xesta expresión corresponde a dos rectas:

y = b/a x ; y = - b/a xlas cuales son las asíntotas de la hipérbola

6. Hipérbola equilátera o rectangular.Se define esta hipérbola especial como aquella cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud, entonces:

a = by la ecuación:

b2x2 – a2y2 = a2b2

toma la forma más sencilla:

a2 b2

(x – h)2 (y – k)2

– = 1

– = 1 a2 b2

(y – k)2 (x – h)2

a2 b2

(x – h)2 (y – k)2

– = 1

c a2 + b2

a ae = = 1

a2 b2

(y – k)2 (x – h)2

– = 1

UNIDAD II. Geometria Analitica en el PlanoTEMA Nº 3. Secciones Cónicas

x2 – y2 = a2

y sus asíntotas son las rectas:x – y = 0; x + y = 0

EJERCICIOS PROPUESTOSOBJETIVO N° 10

Hacer la gráfica correspondiente para cada problema:

En cada uno de los ejercicios del 1 al 4, hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y la longitud de cada uno de sus lados rectos de la elipse corresppondiente.21. 9x2 - 4y2 = 3622. 4x2 - 9y2 = 3623. 9x2 - 4y2 = 3624. x2 - 4y2 = 425. Los vértices de una hipérbola son (2,0) y (-2,0) y sus focos son los puntos (3,0) y (-

3,0). Hallar su ecuación y excentricidad.26. El centro de una hipérbola está en el origen y su eje transverso está sobre el eje Y. Si un

foco es el punto (0,5) y la excentricidad es igual a 3, hallar su ecuación y la longitud de cada lado recto.

27. Los estremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y su excentricidad.

28. Los vértices de una hipérbola son (0,4) y (0,-4) y su excentricidad es igual a 3/2. Hallar su ecuación y las coordenadas de sus focos.

29. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que su excentricidad es ½6 y que la curva pasa pór el punto (2,1).

30. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado está sobre el eje X. La longitud de cada lado recto es de 2/3 y la hipérbola pasa por el punto (-1,2). Hallar su ecuación

En cada uno de los ejercicios del 67 al 69, usando la definición de la hipérbola, hallar su ecuación a partir de los datos dados, reduciendola a la primera forma ordinaria (canónica) por transformación de coordenadas.31. Focos: (-7,3) y (-1,3); longitud del eje transverso = 4.32. Vértices: (1,4). y (5,4); longitud del lado recto = 533. Vértices: (3,4) y (3,-2); excentricidad = 2.34. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y (3,3) y su excentricidad es 3/2. Hallar

su ecuación, las coordenadas de sus focos y las longitudes de sus ejes transverso y conjugado y de cada lado recto.

35. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-2,2) y (-2,4) y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

36. El centro de una hipérbola es el punto (2,-2) y uno de sus vértices es el punto (0,2). Si la longitud de cada lado recto es 8, hallar su ecueción, excentricidad y longitud de su eje conjugado.