GEOMETRÍA Circunferencia y Círculo Prof. Isaías Correa M.

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GEOMETRÍAGEOMETRÍA

Circunferencia y CírculoCircunferencia y Círculo

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• Identificar los elementos primarios de Círculo y Circunferencia.

• Calcular área y perímetro del sector y segmento circular.

• Calcular ángulos en la circunferencia

• Calcular medidas de trazos en la circunferencia

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1. Definición

Contenidos

1.1 Circunferencia

2. Elementos de la Circunferencia y del Círculo2.1 Radio

2.2 Cuerda

2.3 Diámetro

1.2 Círculo

2.4 Secante

2.5 Tangente

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2.6 Sagita y Apotema

2.7 Arco de circunferencia

2.8 Sector Circular

2.9 Segmento Circular

3. Áreas y Perímetros3.1 Área del Círculo

3.2 Perímetro de la Circunferencia

3.3 Medida de un arco de circunferencia

3.4 Área y Perímetro de un sector circular

3.5 Perímetro de un segmento circular

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1. Definición1.1 Circunferencia

Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro.

1.2 CírculoRegión del plano limitado por una circunferencia

•o

•o CircunferenciaCírculo

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2. Elementos de laCircunferencia y del Círculo

2.1 Radio (r)

o rA O: centro de la circunferencia

OA: radio = r

Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la circunferencia.

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2.2 CuerdaSegmento que une dos puntos distintos de la circunferencia.

AB: CuerdaA

B

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2.3 Diámetro (d)Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.Corresponde a la cuerda de mayor longitud.

AB: diámetro = d = 2r

A Brr

d

O•

O: centro de la circunferencia

El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferenciasiguales, es decir, Arco AB = Arco BA

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2.4 SecanteRecta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.

A

B•

AB: Cuerda

AB: Secante

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A: Punto de tangencia

2.5 TangenteRecta que intersecta en un sólo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.

O: centro de la circunferencia

OA ┴ L

OA: radio

LA

r

O

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2.6 Sagita y ApotemaSi el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales y el punto de intersección (P), divide al radio en dos segmentos llamados sagita y apotema.

O: centro de la circunferencia

OA: radio

D

CA

O

P

sagita

PA: sagita

OP: apotema

En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio P. CP=PD

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2.7 Arco de circunferenciaCorresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).

A

B

Los puntos A y B de la circunferencia,determinan el arco AB.

AB : arco de circunferencia

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2.8 Sector CircularCorresponde a una fracción del área del círculo determinada por un ángulo del centro (). Su perímetro corresponde a 2 radios más la longitud de un arco de circunferencia.

Sector circular

O: centro de la circunferencia

r : radio

A

BAB : arco de circunferencia

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B

A

2.9 Segmento CircularEs una parte del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco de la circunferencia.

Segmento circular

O : centro de la circunferencia

AB : arco de circunferencia

AB : cuerda

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3. Áreas y Perímetros

Área círculo = ∙ r2

3.1 Área del CírculoSi r es el radio, entonces:

Ejemplo:

Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.

Solución:

Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm.Luego, el área del círculo es:

A = ∙ 102 A = 100cm2

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Perímetro = 2∙r

3.2 Perímetro de la circunferencia

Perímetro = ∙ d

Si r es el radio y d el diámetro, entonces:

Ejemplo:

ó

Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.

Solución:

P = 2∙15 P = 30 cm.

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Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2r) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina ().

3.3 Medida de un Arco de Circunferencia

AB :arco de circunferencia

O:centro de la circunferencia

r :radio

Arco 2r ∙ 360°

=

=

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3.4 Área y Perímetro de un Sector Circular

O: centro de la circunferencia

r : radio

A

B

AB : arco de circunferencia

A sector ∙ r2

360°=

Psector = + 2r

Psector 2r ∙ 360°

+ 2r=

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B

A

3.5 Perímetro de un Segmento Circular

AB : cuerda

AB : arco de circunferencia

Psegmento = + AB

Psegmento 2r ∙ 360°

+ AB=

Segmento circular

O : centro de la circunferencia

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Ejemplo de aplicación:

Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.O: centro de la circunferencia.

Solución:

A Sector 80∙∙42

360°=

A Sector 2∙∙16

9=

=

A Sector 32 9

Psector 24 ∙80

360°+ 2∙4=

Psector 16 9

+ 8=

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1. Teoremas fundamentales - Ángulos

Ángulos en la Circunferencia

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

1.2 Igualdad de ángulos inscritos

1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

1.5 Teorema del ángulo exterior

1.6 Teorema del ángulo interior

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2.3 Teorema de las tangentes

2.4 Teorema de las cuerdas

2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

2. Teoremas fundamentales - Trazos

2.1 Teorema de las secantes

2.2 Teorema de la tangente y la secante

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1. Teoremas fundamentales (ángulos)

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 40º, entonces = 40º

O: centro de la circunferencia

40°

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Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 50º, entonces = 25º

50°

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Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito.

2

Además, se cumple que:

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Ejemplo:

En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°.

70°

O: centro de la circunferencia

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1.2 Igualdad de ángulos inscritos

Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales.

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1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.

180°

O: centro de la circunferencia

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1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

Ejemplo:

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1.5 Teorema del ángulo exterior

Si es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

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1.6 Teorema del ángulo interior

Si es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

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2. Teoremas fundamentales (trazos)

2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:

PA ∙ PD = PB ∙ PC

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Ejemplo:

12

20

6

x

12 ∙ PD = 20 ∙ 6

12 ∙ PD = 120

PD= 10

PA ∙ PD = PB ∙ PC

En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.

PA y PB secantes.

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2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:

(PA)2 = PC ∙ PD

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2.3 Teorema de las tangentes

PA = PC

Sean PA y PC dos tangentes, entonces:

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2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:

AP ∙ PB = CP ∙ PD

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2.5 Cuadrilátero circunscrito

a + c = b + d

5 + c = 7 + 8

c = 10

Ejemplo:

Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:

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2.6 Cuerdas Paralelas:

Dos cuerdas paralelas en una circunferencia determinan arcos interiores congruentes.

A B

D C

AB//CD

DA=BC

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