Geometría de Proporción Prof: Isaías Correa M.. Geometría de Proporción I.

Click here to load reader

  • date post

    14-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    232
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of Geometría de Proporción Prof: Isaías Correa M.. Geometría de Proporción I.

  • Slide 1

Geometra de Proporcin Prof: Isaas Correa M. Slide 2 Geometra de Proporcin I Slide 3 APRENDIZAJES ESPERADOS Identificar tringulos congruentes y semejantes. Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armnicamente o en seccin urea. Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de tringulos. Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras. Slide 4 1.Figuras congruentes Contenidos 1.1 Definicin 1.2 Tringulos Congruentes 3.1 Definicin 3.2 Tringulos Semejantes 2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes 3.3 Elementos homlogos 3.4 Razn entre reas y permetros 3.5 Postulados de semejanza Slide 5 4.1 Divisin Interior 4.2 Divisin Exterior 4.3 Divisin Armnica 4. Divisin de un segmento 4.4 Seccin urea o Divina Slide 6 1. Figuras congruentes ( ) 1.1 Definicin Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensin. Ejemplos: Slide 7 A C B D F E 1.2 Tringulos congruentes Para determinar si dos tringulos son congruentes, existen algunos criterios. Los ms utilizados son: 1 Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos tringulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 8 8 10 66 Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF Slide 8 2 Lado, ngulo, lado (L.A.L.) Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ngulo comprendido entre ellos congruente. AB C E F D 5 3 5 3 Ejemplo: Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF Slide 9 3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A) Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. AB C E F D 12 Ejemplo: Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF Slide 10 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma rea. Ejemplo: El cuadrado de lado 2 , es equivalente al crculo de radio 2 de la figura: rea = 4 Slide 11 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polgonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 3.1 Definicin Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices con ngulos congruentes. G F J I H A E D C B 1 que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y 2 que sus lados homlogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea. Slide 12 A E D C B G F J I H 6 5 4 3 12 10 8 6 42 Adems, estn en razn 1:2. Por ejemplo, los lados AB y GH son homlogos, como tambin lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG. Slide 13 Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes, y sus lados homlogos proporcionales. 3.2 Tringulos Semejantes Ejemplo: AB C E F D Los Lados homlogos estn en razn: 1:3 = k 5 3 15 9 4 12 Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homlogo a DE BC es homlogo a EF AC es homlogo a DF AB DE BC EF AC DF 1 3 ==== k Slide 14 P Q R AB C 3.3 Elementos Homlogos Los lados homlogos en los tringulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales. Ejemplo: 3 4 5 6 8 10 AB PQ = BC QR = CA RP = k 5 10 = 3 6 = 4 8 = 1 2 Adems, tambin los elementos que cumplen la misma funcin en cada uno de los tringulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homlogos y proporcionales). = k Slide 15 P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5 hChC hRhR Adems, = hChC hRhR 2,4 4,8 = 1 2 = k Recuerda: Teorema de Euclides hChC = a b c Slide 16 Entre los Permetros Entre los Permetros: La razn entre los permetros de dos tringulos semejantes, es igual a la razn entre sus elementos homlogos. 3.4 Razn entre reas y Permetros Ejemplo: Q 6 10 hRhR P R 8 A B 3 4 5 C hChC P ABC P PQR = 12 24 = 1 2 = k Slide 17 Entre las reas Entre las reas: La razn entre las reas de dos tringulos semejantes, es igual al cuadrado de la razn entre sus elementos homlogos. Ejemplo: Q 6 10 hRhR P R 8 A B 3 4 5 C hChC AB PQ = = k 5 10 = 1 2 A ABC A PQR = 6 24 = 1 4 = k 2 Slide 18 3.5 Postulados de semejanza 1 Postulado AA. Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes. Ejemplo: AB C E F D AB DF BC FE AC DE === k Adems ABC ~ DFE por AA Slide 19 2 Postulado LLL. Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. Ejemplo: ABC ~ FDE por LLL AB C E F D AB FD BC DE AC FE 1 2 ==== k Adems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED Slide 20 3 Postulado LAL. Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: AB C E F D ABC ~ FED por LAL Adems BAC=DFE y CBA=FED BC ED 4 12 5 15 1 3 === k AC FD = Slide 21 Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: AB C 410 Q R P 6 Solucin: 10 QR 4 6 =60 = 4QR15 = QR Es decir: AB PR 10 QR 4 6 == Los tringulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que ABC ~ PRQ, entonces: AB PR CB QR AC PQ = = = k Con k razn de semejanza Slide 22 4 Postulado: LLA> Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ngulo opuesto al mayor de esos lados, congruente. ABC ~ DEF por LLA> B C D E F Ejemplo: A Razn de semejanza: 1 : 2 Slide 23 4. Divisin de un segmento 4.1 Divisin interior C AB Si el punto C divide interiormente al segmento AB en razn m:n, entonces: Ejemplo: Q AB AC CB = m n Si Q divide interiormente al segmento AB en la razn 3:5, y QB= 45, entonces, cunto mide AB? Slide 24 Q AB 45 AQ QB = 3 5 Solucin: AQ 45 = 3 5 AQ = 345 5 AQ = 27 27 Por lo tanto, AB mide 72 Slide 25 4.2 Divisin exterior Si el punto D divide exteriormente al segmento AB en razn m:n, entonces: B A D Ejemplo: B A D 20 AD BD = m n Si D divide exteriormente al segmento AB en la razn 5:2, y AD = 20, entonces, cunto mide BD? Slide 26 AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 = 202 5 BD = 8 B A D 8 12 20 Solucin: Slide 27 4.3 Divisin armnica Dividir el segmento AB armnicamente en razn m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razn. Ejemplo: m AC CB = = n AD BD Al dividir armnicamente el segmento AB en la razn 3:2, cunto mide BD y CB, si AB = 12? A C B D A C B D 12 Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: Slide 28 4.4 Seccin urea o Divina El punto X divide el trazo AB en seccin urea, si el trazo mayor es media proporcional geomtrica entre el trazo completo y el menor. Si AX > BX, entonces: Ejemplo: X AB P AB AB AX = BX (AX) 2 = ABBX En la figura, P divide al segmento AB en seccin urea, con AP > PB. Cul es la ecuacin que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 OBS: En una seccin urea, siempre est involucrado el nmero de oro: Slide 29 Solucin: (AP) 2 = (AP + 5)5 (AP) 2 = 5AP + 25 (AP) 2 - 5AP - 25 = 0 5 P AB (AP) 2 = ABPB Slide 30 Geometra de Proporcin II Slide 31 APRENDIZAJES ESPERADOS: Conocer el teorema de Apolonio. Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides. Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolucin de ejercicios. Slide 32 Segmentos proporcionales Contenidos 2. Teorema de Euclides 1. Teorema de Apolonio 3. Teorema de Thales Slide 33 Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz) b u a v = b v u a D Este teorema es vlido para cualquier tringulo. En el tringulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporcin: Slide 34 D 9 5 10 Solucin: Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene: 9 AD 10 5 = AD = 9 2 Ejemplo: En la figura, determinar el valor de AD. Slide 35 2. Teorema de Euclides Sea ABC un tringulo rectngulo en C, y CD = h c, la altura sobre la hipotenusa, entonces: Adems, se cumple que: h c 2 = p qa 2 = c q b 2 = c p h c = ab c T. De la Bendicin T. De la Derecha T. De la Izquierda T. De la Altura Slide 36 De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Ejemplo: Aplicando Teorema de Euclides:(Bendicin) CD 2 = AD DB (Reemplazando) CD 2 = 4 3 (Aplicando raz) CD = 4 3 CD = 2 3 Slide 37 Adems, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que: AC 2 = AB AD (Reemplazando) (Aplicando raz) AC = 2 7 AC 2 = 7 4 2 7 2 3 Slide 38 C D F E A B L1L1 L2L2 L3L3 3. Teorema de Thales Sean L 1 // L 2 // L 3, entonces: Si tres o ms rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse: AB BC DE EF = BC AC EF DF = AB AC DE DF = a) Forma de Escalera: Slide 39 b) Forma de A o Teorema Particular de Thales: Sean L 1 // L 2, entonces: A O C DB L1L1 L2L2 OA AB OC CD = OA OB OC OD = OA AC OB BD = OC AC OD BD = AB OB CD OD = OA OB AC BD = OC OD AC BD = Slide 40 Sean L 1 // L 2, entonces: L1L1 L2L2 A C B O D AO OD BO OC = AB CD AO OD = AB CD BO OC = c) Forma de Reloj de Arena: Slide 41 Ejemplos: 1. En la figura, L 1 // L 2. Determinar el valor del trazo AC. A O C DB L1L1 L2L2 5 7 36 Solucin: Aplicando el Teorema particular de Thales o A: OA AC OB BD = 5 AC 12 36 = AC = 15 Slide 42 2. En la figura, L 1 // L 2. Determinar el trazo OD en funcin de x e y. Solucin: Aplicando la forma de reloj de arena del Teorema de Thales: L1L1 L2L2 A C B O D x + y 2y 2x AB CD AO OD = x+y 2x 2y OD = 4xy x+y OD = Slide 43 Ahora a estudiar.