Geometría de Proporción

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Geometría de Proporción. Prof: Isaías Correa M. Geometría de Proporción I. Congruencia, Equivalencias, Semejanza, Elementos Homólogos y División de Trazos. APRENDIZAJES ESPERADOS. Identificar triángulos congruentes y semejantes. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Geometra de ProporcinProf: Isaas Correa M.

  • Geometra de Proporcin I

  • APRENDIZAJES ESPERADOSIdentificar tringulos congruentes y semejantes.Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armnicamente o en seccin urea.Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de tringulos.Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.

  • Figuras congruentesContenidos1.1 Definicin1.2 Tringulos Congruentes3.1 Definicin3.2 Tringulos Semejantes2. Figuras Equivalentes3. Figuras semejantes3.3 Elementos homlogos3.4 Razn entre reas y permetros3.5 Postulados de semejanza

  • 4.1 Divisin Interior4.2 Divisin Exterior4.3 Divisin Armnica4. Divisin de un segmento4.4 Seccin urea o Divina

  • 1. Figuras congruentes ( )Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensin.Ejemplos:

  • Para determinar si dos tringulos son congruentes, existen algunos criterios. Los ms utilizados son:1 Lado, lado, lado (L.L.L.)Dos tringulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.Ejemplo:88101066Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF

  • 2 Lado, ngulo, lado (L.A.L.)Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ngulo comprendido entre ellos congruente.aa5353Ejemplo:Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF

  • 3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A)Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. aa1212Ejemplo:bbLos tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF

  • 2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma rea.Ejemplo:

  • 3. Figuras semejantes (~)Para que dos polgonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices con ngulos congruentes.1 que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y2 que sus lados homlogos sean proporcionales.Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea.

  • 654312108642Adems, estn en razn 1:2.

  • Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes, y sus lados homlogos proporcionales.Ejemplo:Los Lados homlogos estn en razn: 1:3 = k53159412

  • Los lados homlogos en los tringulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.Ejemplo:3456810=== k===Adems, tambin los elementos que cumplen la misma funcin en cada uno de los tringulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homlogos y proporcionales).= k

  • hChRAdems, === khC=

  • Entre los Permetros: La razn entre los permetros de dos tringulos semejantes, es igual a la razn entre sus elementos homlogos.Ejemplo:=== k

  • Entre las reas: La razn entre las reas de dos tringulos semejantes, es igual al cuadrado de la razn entre sus elementos homlogos.Ejemplo:

  • 1 Postulado AA. Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes. ABC ~ DFE por AA

  • 2 Postulado LLL. Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.Ejemplo: ABC ~ FDE por LLLAdems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

  • 3 Postulado LAL. Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos congruente.Ejemplo: ABC ~ FED por LALAdems BAC=DFE y CBA=FED

  • Ejemplo:Determinar la medida del segmento QR de la figura:Solucin:=60 = 4QR15 = QREs decir:Con k razn de semejanza

  • 4 Postulado: LLA>Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ngulo opuesto al mayor de esos lados, congruente. 1681428 ABC ~ DEF por LLA>BCDEFEjemplo:ARazn de semejanza: 1 : 2

  • 4. Divisin de un segmentoSi el punto C divide interiormente al segmento AB en razn m:n, entonces:Ejemplo:

  • Solucin:AQ = 2727

  • Si el punto D divide exteriormente al segmento AB en razn m:n, entonces:Ejemplo:20

  • BD = 881220Solucin:

  • Dividir el segmento AB armnicamente en razn m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razn.Ejemplo: Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:

  • El punto X divide el trazo AB en seccin urea, si el trazo mayor es media proporcional geomtrica entre el trazo completo y el menor.Si AX > BX, entonces:Ejemplo:OBS: En una seccin urea, siempre est involucrado el nmero de oro:

  • Solucin:(AP)2 = (AP + 5)5(AP)2 = 5AP + 25(AP)2 - 5AP - 25 = 0

  • Geometra de Proporcin II

  • APRENDIZAJES ESPERADOS:Conocer el teorema de Apolonio.

    Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides.

    Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolucin de ejercicios.

  • Segmentos proporcionalesContenidos2. Teorema de Euclides1. Teorema de Apolonio3. Teorema de Thales

  • Segmentos proporcionalesbvuaaaDEste teorema es vlido para cualquier tringulo.

  • Solucin:Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene:

  • 2. Teorema de EuclidesSea ABC un tringulo rectngulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces:Adems, se cumple que: T. De la BendicinT. De la DerechaT. De la IzquierdaT. De la Altura

  • De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:Ejemplo:Aplicando Teorema de Euclides:(Bendicin)(Reemplazando)(Aplicando raz)

  • Adems, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que:(Reemplazando)(Aplicando raz)

  • Sean L1 // L2 // L3, entonces:Si tres o ms rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:a) Forma de Escalera:

  • Sean L1 // L2, entonces:

  • Sean L1 // L2, entonces:c) Forma de Reloj de Arena:

  • Ejemplos:1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.Solucin:Aplicando el Teorema particular de Thales o A: AC = 15

  • 2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en funcin de x e y.Solucin:Aplicando la forma de reloj de arena del Teorema de Thales:

  • Ahora a estudiar.

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