1

R

P

C

D

A

Q

B

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

VOLUMEN Y SUPERFICIE DE FIGURAS EN EL ESPACIO.

Conceptos primitivos en el espacio geométrico

Ángulos diedros.

Se llama ángulo diedro a la abertura comprendida entre dos planos que se cortan. Los

planos que forman los diedros se llaman caras. El ángulo diedro se designa por dos letras de la

arista, o bien por cuatro letras: dos de la arista y una de cada cara (figura 12.1).

Todo ángulo diedro se mide por medio de su ángulo rectilíneo, el cual está formado por las

perpendiculares a la arista en un punto cualquiera de ella y situadas en cada plano del diedro

(figura 12.2).

Posiciones relativas entre dos planos.

Dos planos pueden tener las siguientes posiciones relativas:

a) planos paralelos: Son aquellos que no tienen punto en común alguno (figura 12.4).

b) planos que se cortan: Son aquellos que tienen infinitos puntos comunes situados en línea

recta, llamada ésta, intersección entre los planos (figura 12.5).

c) Planos perpendiculares: Son aquellos que forman un diedro recto (figura 12.6). El ∡ BAC es el

ángulo rectilíneo y, por lo tanto, PQ cuando ∡ BAC = 90 .

Coordenadas cartesianas en el espacio.

Para ubicar un punto en el espacio, se construye un sistema de coordenadas en tres

dimensiones (figura 12.7). Desde un origen O se trazan tres rectas perpendiculares entre sí,

llamadas ejes X, Y y Z. En cada uno de ellos fijamos una unidad de longitud y un sentido positivo

indicado por una flecha.

A

B

C

D

arista

Fig. 12.1

P

Q

Fig. 12.4: P//Q

P

Q

Fig. 12.5

Fig. 12.2

.2

P

Q

Fig. 12.6

B A

C

2

A a

2a

d

D

H

F

G

C

B

E

a

a

Para dibujar un punto P de coordenadas (a, b, c) en el espacio, ubicamos primero el punto

(a, b) en el plano horizontal XY y a continuación colocamos sobre él el punto a una altura c según

el eje Z (figura 12.8).

12.2. Superficie y volumen de cuerpos geométricos.

Cuerpo es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Se clasifican de la siguiente manera.

cubo

prisma paralelepípedo

prisma

poliedros

pirámide

Cuerpos geométricos pirámide

tetraedro regular

cilindro

redondos cono

esfera

12.2.1. Hexaedro regular o cubo.

Es el poliedro que está limitado por seis cuadrados

congruentes. Sus elementos son:

a) tiene 6 caras que son cuadrados congruentes; cualquiera

de las caras sirve de base

b) tiene 12 aristas iguales entre sí

c) tiene 8 vértices

d) tiene 4 diagonales iguales entre sí que se cortan en un

mismo punto

e) todos los ángulos diedros del cubo son iguales.

Diagonal del cubo: La medida de la diagonal del cubo se

obtiene al multiplicar la arista por 3 .

Demostración: Sea ABCDEFGH un cubo de arista a. En el ACG se cumple que 22

aACd ,

pero 2

AC es la diagonal del cuadrado ABCD, es decir su valor es 2a , luego

diagonal del cubo = 22

2 aad

222 aad

23ad

3ad

X

Y

Z

Plano XY

Plano YZ

Plano XZ

Fig. 12.7

X

Y

Z

Fig. 12.8

a

b

c

0

• P(a, b, c)

3

Superficie total del cubo: La superficie de cada cara del cubo es a2 por ser un cuadrado y, como

el cubo consta de 6 caras, la superficie total es 6a2.

Volumen del cubo: El volumen de un cubo de arista a es igual al cubo de la arista, es decir, a3.

12.2.2. Paralelepípedo rectangular recto.

Es aquel cuerpo cuya base es un cuadrado o un

rectángulo y las aristas laterales son perpendiculares

a la base.

Valor de la diagonal del paralelepípedo: Se obtiene de

manera análoga a lo realizado en el cubo.

222 cbad

Superficie del paralelepípedo: Corresponde a la

suma de las áreas de los 6 rectángulos que lo limitan.

AT =2ab+2bc+2ac

AT =2(ab+bc+ac)

Volumen del paralelepípedo: Es igual al producto de sus tres dimensiones

V=a·b∙c

12.2.3. Prisma recto de base triangular

Es aquel cuyas bases son triángulos congruentes y sus caras

laterales son paralelogramos.

Superficie lateral: Es igual al producto del perímetro basal por la

arista lateral.

Alat=Pb∙l ; Pb = perímetro basal

Superficie total del prisma: La superficie total es igual a la suma

del área lateral y el doble de la superficie basal.

Atotal = Alat + 2Abasal

Volumen del prisma: Es igual al producto de su área basal por la

altura o arista lateral.

V=Abasal ∙ h ; h = l

12.2.4. Pirámide

Es el cuerpo determinado al cortar por un plano todas las

aristas de un ángulo poliédrico.

Tetraedro regular: Es la pirámide que está limitada por 4 triángulos

congruentes entre sí.

Superficie total del tetraedro: Es igual al producto del cuadrado de

su arista por la constante 3 .

Atotal=a2 3

Volumen del tetraedro regular: Es igual a la doceava parte del

cubo de su arista por la constante 2 .

12

23aV

A a

22 ba

d

D

H

F

G

C

B

E

b

c

A

B

C

D

E

F

l

l

l

A

B

C

D

a a

a a

a a

4

12.2.5. Cilindro recto.

El cilindro recto es la figura

engendrada por el giro de un rectángulo en

torno de uno de sus lados

Superficie lateral: Se obtiene multiplicando

la longitud de la base por su generatriz

(altura del cilindro recto).

Alat = 2r∙h

Superficie total del cilindro: Es igual a la

suma del área lateral y el área de las bases.

2π22π rhrAtotal

)(π2 rhrAtotal

Volumen del cilindro: Es igual al producto de su área basal por la altura.

V = r2 · h

12.2.6. Cono recto

Se puede considerar como engendrado por el giro de un

triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos.

Superficie del manto: Corresponde al producto del semiperímetro

de la circunferencia basal por la generatriz.

Alat = r · g

Superficie total: Es igual a la suma del área del manto cónico y el

área basal.

rrgAT ππ 2

)(π rgrAT

Volumen: Es igual a un tercio del producto de su área basal por su altura

hrV 2π3

1

12.2.7. La esfera

La esfera es el sólido engendrado por la revolución

completa de un círculo alrededor de su diámetro.

Superficie de la esfera: Es igual a 4 veces el área del círculo

máximo.

AT = 4r2

Volumen de la esfera: Es igual a un tercio del producto del área

de la esfera por el radio.

rV 3π34

base

h

r

base

altura

manto

Generatriz g

g = h

A O

B

g

h

r

5

Ejemplos.

1. El área lateral de un paralelepípedo rectangular es de 64 cm² y su área total es de 94 cm².

Hallar las tres dimensiones del paralelepípedo, sabiendo que su volumen es de 60 cm³.

Atotal = 2(xy + yz + xz)

Alat = 2(xz + yz)

V = x ∙ y ∙ z

luego, 2(xy + yz + xz) = 94 /:2

2(xz + yz) = 64 /:2

x ∙ y ∙ z = 60

xy + yz + xz = 47

yz + xz = 32

xy = 15

xyz = 60

15z = 60

z = 4

pero xz + yz = 32

z (x + y) = 32

4(x + y) = 32 (1) x + y = 8

(2) xy = 15

de (1) x = 8 – y

reemplazando en (2) y(8 – y) = 15

y² - 8y + 15 = 0

(y – 3)(y – 5) = 0

y1=3 ; y2=5

por lo tanto, x = 5 ; y = 3 ; z = 4

2. Calcular el área total y el volumen de un prisma recto de 20 cm de arista, cuya base es un

triángulo equilátero y tal que el radio de la circunferencia circunscrita mide 12 cm.

En un triángulo equilátero de lado a, 3ra , siendo r el radio de la circunferencia

circunscrita. Por lo tanto, 312a . Además, la superficie del triángulo equilátero es

4

32a , por lo tanto

Área basal =

4

33122

= 3108 cm²

y el área lateral es igual a 3 veces el área del rectángulo de lados 312 cm y 20 cm. Por

lo tanto,

20312 · 3 latA = 720 3 cm2

y Áreatotal = Alat + 2Abasal

Áreatotal = 720 3 + 2 ∙ 3108 = 936 3 cm2

Volumen total = Área basal altura

Vtotal = 3108 ∙ 20

Vtotal = 2.160 3 cm3

3. Calcular la superficie y el volumen de una esfera de 9 cm de radio.

Aesfera = 4r2

Aesfera = 4∙81 = 324 cm2

Vesfera = 3π

3

4r = 9π

3

4 3 = 972 cm3

6

4. En un cilindro recto, cuya altura es igual al diámetro basal, se inserta una esfera y un cono.

Determine la razón entre los volúmenes respectivos.

a) Volumen del cilindro = área basal altura

Volumen del cilindro = r2 · 2r

Volumen del cilindro = 2r3

b) Volumen esfera = 3π3

4r

c) Volumen cono = 3

1 área basal altura

Volumen cono = rr 2π3

1 2

Volumen cono = 3π3

2r

A continuación establezcamos la razón entre los cuerpos

333 π3

2:π

3

4:π2:: rrrVVV conoesferacilindro

1:2:3:: conoesferacilindro VVV

ACTIVIDADES

1. Representa en el espacio los siguientes puntos:

A(3, 4, 0) B(3, 4, 1) C(3, 4, -1) D(1, 1, 1) E(2, 2, 2) F(5, 0,

1)

2. Determinar el valor de la arista de un tetraedro regular para que su área y su volumen

sean numéricamente iguales.

3. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuyo radio basal mide 3 cm

y cuya generatriz mide 7 cm.

4. Calcular el área lateral y el volumen de un cilindro generado por la rotación de un

rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm, respectivamente.

a) si se gira en torno al lado mayor.

b) si se gira en torno al lado menor.

5. Calcular el área total y el volumen engendrado por la rotación de un triángulo rectángulo

en torno a uno de los catetos si éstos miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.

6. ¿Qué valor debe tener el radio de una esfera para que su área y su volumen sean

numéricamente iguales?

Soluciones

2. arista = 66

3. Alat= 42 cm² AT = 60 cm² V = 63 cm³

4. a) AT = 80 cm² V = 200 cm³

b) Al = 80 cm² V = 320 cm³

5. a) AT = 96 cm² VT = 96 cm³

b) Al =144 cm² VT = 128 cm³

6. r = 3

7

A

B

C D

E

F

EJERCICIOS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

Las preguntas 1, 2 y 3 se refieren a un cubo cuya arista mide 15 cm.

1. ¿Cuál es su área total?

a) 225 cm2

b) 900 cm2

c) 1.350 cm2

d) 3.375 cm2

e) Ninguna de las anteriores

2. ¿Cuál es su volumen?

A) 15 cm3

B) 225 cm3

C) 900 cm3

D) 1.350 cm3

E) 3.375 cm3

3. ¿Cuál es la medida de su diagonal?

A) 15 cm

B) 15 2 cm

C) 15 3 cm

D) 225 2 cm

E) 225 3 cm

4. Si el volumen de un hexaedro regular es de 512 cm3, entonces su área es:

A) 64 cm2

B) 512 cm2

C) 384 cm2

D) 48 cm2

E) Ninguna de las anteriores

5. Las dimensiones basales de un paralelepípedo recto rectangular son 12 cm y 9 cm. ¿Qué

altura debe tener el paralelepípedo para que su diagonal mida 39 cm?

A) 6 cm

B) 15 cm

C) 36 cm

D) 48 cm

E) 1.296 cm

6. Se tiene un paralelepípedo de altura h y de base cuadrada, cuya superficie es a2. Si la

altura se cuadruplica y las dimensiones de la base disminuyen a la mitad, entonces

podemos afirmar que su volumen:

A) se cuadruplica

B) permanece igual

C) se reduce a la mitad

D) se reduce a la cuarta parte

E) se duplica

7. Sea ABCD cuadrado de lado 10 cm, Δ DCE y Δ ABF equiláteros. Calcular el volumen de la

figura.

A) 1.000 cm3

B) 250 3 cm3

C) 100 cm3

D) 500 3 cm3

E) Ninguna de las anteriores

8

8. Se genera un sólido de revolución haciendo rotar el romboide ABCD de la figura en 360

sobre el eje BA . ¿Cuál es la superficie total del sólido generado?

A) 104π u²

B) 84π u²

C) 80π u²

D) 72π u²

E) 68π u²

9. Un globo perfectamente esférico de q cm de radio está lleno de agua. Si se rompe y se vacía

su contenido en un recipiente cilíndrico de igual radio que el globo y de 3

2

q cm de altura,

entonces ¿qué cantidad de agua, en cm3, falta para llenar el cilindro?

A)

3π

6

q

B)

33π

2

q

C)

34π

3

q

D)

317π

6

q

E) Otro valor

10. ¿Qué cantidad de hormigón se necesita, aproximadamente, para fabricar un tubo abierto de

1,5 m de largo, 10 cm de espesor y 50 cm de diámetro interior? (use π = 3)

A) 0,27 m3

B) 0,495 m3

C) 2.700 m3

D) 4.950 m3

E) 10.800 m3

11. La base triangular equilátera de un prisma regular recto tiene una superficie de 4 3 cm2. Si

su volumen es de 32 3 cm3, entonces la superficie lateral del prisma es de:

A) 32 cm2

B) 48 cm2

C) 48 3 cm2

D) 64 cm2

E) 96 cm2

12. Si 1 L equivale a 1.000 cm3

diámetro basal es 5 cm y su altura es de 10 cm?

A) 62,5π L

B) 6,25π L

C) 0,625 L

D) 0,0625 L

E) 0,0625π L

A

B

C D

5 4

8

9

13. Un rectángulo de 10 cm 5 cm de lado, se traslada 1 metro en dirección perpendicular a

su superficie. ¿Cuál es el volumen del cuepo generado?

A) 5.000 L

B) 5.000 cm3

C) 500 L

D) 500 cm3

E) 50 L

14. ¿Cuál es la superficie total del cuerpo generado de la pregunta anterior?

A) 50 cm2

B) 500 cm2

C) 1.550 cm2

D) 3.100 cm2

E) 5.000 cm2

15. Se hace girar un círculo de 30 mm de diámetro en torno a la cuerda de mayor longitud.

¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera? (use π = 3)

A) 3,38 cm3

B) 6,75 cm3

C) 13,5 cm3

D) 72 cm3

E) 108 cm3

16. ¿Cuál es la superficie del cuerpo generado en la pregunta anterior?

A) 25 cm2

B) 27 cm2

C) 18,75 cm2

D) 1.875 cm2

E) 2.700 cm2

CLAVES DE LOS PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. C 2. E 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 8. A 9. A 10. A 11. E 12. E 13. B 14. D

15. C 16. B