Geometría del espacio
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DIEDROS
PLANO.- Llamaremos plano a la unión de tres
puntos no colineales.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN EL
PLANO:
I. DOS PLANOS
II. EL PLANO Y LA RECTA
III. DOS RECTAS
TEMA:
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO
P
Q
A y B son Secantes
A y B son Paralelas
Q y ABC son Coincidentes
𝑎 Q y 𝑎 son Secantes
�⃡� y R son Paralelos
𝑎 está contenida en Q 𝑎
𝐿1
𝐿2
𝐿1 𝑦 𝐿2 son rectas secantes
TEOREMA DE THALES
Si 𝐴 ⫽ 𝐵 ⫽ 𝐶, tenemos que:
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
POLIEDROS REGULARES
DEFINICIÓN
Es aquel sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales planas, dichas regiones se denominan caras del poliedro, los lados de las caras se denominan aristas.
Poliedro Convexo Poliedro no Convexo o Cóncavo
POLIEDROS REGULARES
Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones poligonales congruentes entre sí, de modo que en todos sus vértices concurran el mismo número de aristas. Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son:
TETRAEDRO REGULAR
Limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.
Del gráfico: G : baricentro de la región triangular ABC
𝑏 𝑎
𝑎 𝑦 𝑏 son rectas paralelas
�⃡� 𝑦 𝑛 son rectas
alabeadas
𝐸𝐹
𝐹𝐺=
𝑃𝑄
𝑄𝑅=
𝑀𝑁
𝑁𝐿
E F
B
𝐿1
𝑆𝑖: 𝐿1⟘𝑄 𝑦 𝐸𝐹⟘𝑎 ⇒ 𝐵𝐹⟘𝑎
A B
C
L
a
G
Notación: Tetraedro regular L – ABC
Altura : LG = 3
6a
Área de la superficie : A = a23
Área lateral : AL = 3a2 4
3
Volumen : A = 12
2a3
Desarrollo de la superficie del tetraedro regular
HEXAEDRO REGULAR
Limitado por seis regiones cuadradas.
Observación: O es el centro del hexaedro
regular.
Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH
Diagonal : AG = a 3
Área de la superficie : A = 6a2
Área lateral : AL = 4a2
Volumen : V = a3
Desarrollo de la superficie del hexaedro regular
OCTAEDRO REGULAR
Limitado por ocho regiones triangulares equiláteras.
Observación: O: centro del octaedro regular. ABCD ; AMCN ; BMDN : cuadrados
Notación: Octaedro regular M – ABCD – N
Diagonal : MN = a 2
Área de la superficie : A = 2a2 3
Volumen : V = 3
2a3
Desarrollo de la superficie del octaedro regular
A
E
B C
D
G
H
F
O
a
A
B C
D
M
N
O
a
DODECAEDRO REGULAR
Limitado por doce regiones pentagonales regulares.
Desarrollo de la superficie del dodecaedro
regular
ICOSAEDRO REGULAR
Limitado por veinte regiones triangulares equiláteras.
Desarrollo de la superficie del icosaedro
regular
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
PRISMA RECTO
Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.
Área de la Superficie Lateral: ASL = (2pBASE)aL
Área de la Superficie Total: AST = ASL + 2ABASE
Volumen: V = (ABASE) aL
Observación:
Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR,
ORTOEDRO O RECTOEDRO
Es un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos. En consecuencia, las seis caras son rectángulos.
a
a
A
B C
D
A´
F´ E´
D´
B´
E F
P
aL
C´
a
b
c D
Área de la Superficie Lateral:
ASL = 2ac + 2bc
Área de la Superficie Total: AST = 2ac + 2bc + 2ab
Volúmen:
V = abc
Diagonal:
D2 = a2 + b2 + c2
CILINDRO CIRCULAR RECTO
Denominado también “cilindro de revolución” debido a que puede generarse por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.
En forma práctica se dice que un cilindro se desarrolla en una región rectangular y dos círculos, aquí mostramos entonces el desarrollo de su superficie lateral.
Área de la Superficie Lateral:
ASL = 2rg
Área de la Superficie Total:
AST 2r (g + r)
Volúmen:
V = r2 g
PIRÁMIDE REGULAR
Es la pirámide recta que tiene la base limitada por un polígono regular.
O : Centro de la base
VH : Apotema de la pirámide
Área de la Superficie Lateral:
ASL = (pbase) . ap
Área de la Superficie Total:
AST = ASL + ABASE
Volúmen:
V = 3
hABASE
h
r
360°
g
r
r
g
r
g
2r
A
B C
D
H
E F
V
O
ap
h
Observaciones:
En una pirámide regular las aristas laterales tienen longitudes iguales.
En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice de la pirámide se denomina apotema.
En la pirámide regular las caras laterales son congruentes.
CONO CIRCULAR RECTO
Denominado también “cono de revolución” debido a que puede generarse por una región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos.
Para calcular el área de la superficie lateral ésta se desarrolla como un sector circular.
Área de la Superficie Lateral:
ASL = r g
Área de la Superficie Total:
AST = r (g + r)
Volúmen:
V = 3
hr2
Observaciones
Un cono se denomina equilátero si es revolución y la generatriz tiene la misma longitud que el diámetro de la base.
El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.
ESFERA
Es el sólido limitado por una superficie esférica, la cual se define como el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo denominado centro.
La distancia de todo punto de la superficie esférica al centro se denomina radio.
Un plano secante a una esfera determina en ella un círculo, al cual se le denomina máximo si contiene al centro de la esfera y menor en otro caso.
V = 3
4 R3 ASE = 4 R2
R
R
O
Círculo
máximo
g
r
O
h
r
g
360°
h