Geometria Del Espacio Cantasia

7/25/2019 Geometria Del Espacio Cantasia

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Departamento de Ciencias

MATEMATICA BSICACERO

SESION 15

GEOMETRIA DEL ESPACIO


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OBJETIVOS1. Identifcar y comprender los

elementos bsicos de la geometradel espacio.

2. Relacionar los distintos slidosgeomtricos con el entorno propiode la vida cotidiana.

3. Resolver diversas sitaciones

problemticas !e implican el so dealgoritmos de la geometra delespacio.


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I"#R$D%CCI&"


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'($)(#RI*D(+ (,-*CI$

-$+I(DR$,

,&+ID$,D(

R($+%CI&"

-$+I(DR$,R('%+*R(,

#I-$, C$"(/$

C$"C*$

#(#R*(DR$

$C#*(DR$

0(/*(DR$

D$D(C*(DR$

IC$,*(DR$

,$+ID$,'($)#RIC

$,

-*R*+(+(--(D$

-IR)ID(

-RI,)*

R(C#$

$4+IC%$

CI+I"DR$ R(C#$ D(R($+%CI&"

C$"$ D(R($+%CI&"

(,5(R*


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POLIEDROS

(s el slido 6ormado por catro ms polgonos planos7

donde cada lado de n polgono pertenece a dos caras delslido.


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+lena el sigiente cadro y encentra na relacin entre el n8 decaras7 n8 de vrtices y el n8 de aristas en las fgras9 :1; < :2; < :3; y:=;

> > ?

@ 1A

1>1

21A

2A1

113

22


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(n todos los poliedros conveBos se verifca siempre !e elnmero de caras ms el nmero de vrtices es igal al

nmero de aristas ms dos9

R(+*CI$" D( (%+(R9 C E * 2

Donde9 C 9 nmero de caras 9 nmero de vrtices

* 9 nmero de aristas

(ncentra la relacin de(ler en el sigiente-$+I(DR$


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TIPOS DE POLIEDROS:

CONVEXO:

(n n poliedro conveBo narecta slo peda cortar as sperfcie en dos pntos

CNCAVO:

(n n poliedro cncavo narecta pede cortar ssperfcie en ms de dospntos7 por lo !e poseealgn nglo diedroentrante.

Identifca cal o cales son poliedros cncavos oconveBos

C&"C*

$ C&"C*$ C$"(/$

C$"(/$


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POLIEDROS REGULARES:

%n poliedro reglar tiene todos ss nglos diedros y todos ss

nglos poliedros igales y ss caras son polgonos reglaresigales.

#(#*(DR$

R('%+*R

0(/*(DR$

R('%+*R

$C#*(DR$

R('%+*R

D$D(C*(DR$

R('%+*R

IC$,*(DR$

R('%+*R

,lo slidos platnicos sonpoliedros reglares :de lascaras idnticas;.


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F a l t r a * E a 32

3

F E . Ea G

3

a 2

1 2

EJEMPLO: Calcle el rea y el volmen de n tetraedroreglar de arista Gcm.SOLUCIN: arista E a E Gcm 7 reemplaHandotenemos9

* E 3G cm2

E 1? cm3

TETRAEDRO REGULAR:

(st limitado por catro regiones trianglares e!ilteras nidas

de tres en tres.

ha

aa

a


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HEXAEDRO REGULAR (CUBO)

(st limitado por seis regiones cadradas nidas de tres en tres.

Da

a

a

d d i a g o n a l d e l c b o

d E a 3

* E G a

. E a

2

3

EJEMPLO: Calcle el rea y el volmen de n octaedroreglar de arista =cm.SOLUCIN: arista E a E =cm 7 reemplaHandotenemos9

* E G cm2

E G= cm3


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OCTAEDRO REGULAR

(sta limitado por ocFo regiones trianglares e!ilteras nidas de

catro en catro.

a a a

a

a

d d E a 2

d d i a g o n a l d e l s l i d o

* E 2 a 32

3

. Ea 2

3

EJEMPLO: Calcle el rea y el volmen de n octaedroreglar de arista 3cm.SOLUCIN: arista E a E 3cm 7 reemplaHandotenemos9

* E 1? cm2

E cm3


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POLIEDROS EN LA VIDA COTIDIANA:


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PRISMAS:

%n prisma es n poliedro limitado por dos caras igales y

paralelas :bases; y tantos paralelogramos :caras laterales;como lados tienen las bases


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%n prisma se llama recto cando ss aristas laterales sonperpendiclares a las bases y oblico en caso contrario.

+a altra de n prisma ser el segmento perpendiclar a las

bases comprendido entre estas

Pri!aR"#$%

Pri!a

O&'i#%


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0ay nos prismas especialmente interesantes dentro de losprismas cadranglares. (stos son los paraleleppedosllamados as por!e los cadrilteros de las bases son

paralelogramos.,i el paraleleppedo es recto y los paralelogramos de lasbases son rectnglos7 ste recibe el nombre deparaleleppedo rectnglo ortoedro.


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PARALELEPPEDO REGULAR O RECTOEDRO:

EJEMPLO: %n paraleleppedo tiene como aristas 3cm7 >cm

y ?cm de longitd. Calcle s reatotal7 volmen y s diagonal.SOLUCIN:

* E 1>?cm2

E 12Acm3

D E cm


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S

S

aa

* a + A r i $ a 'a $ " r a '* S + r " a d " ' a & a "* A + r " a ' a $ " r a '

* A + r " a $ % $ a '

* V + V % ' ! " ,

L

T

A + A - . S

V + S / a

A + . 0 / a

T L

L & a "

PRISMA RECTO:

2p 9 -ermetro

EJEMPLO: Determine el rea lateral 7 volmen y rea totalde n prisma recto cya base es n tringlo recto7donde ss catetos son9 12cm y cm < adems s altraes de ?cm.

SOLUCIN: *+E 2?? cm2 E >32 cm3

*# E G=Acm2


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-IR)ID(

0(/*'$"*+

-IR)ID(

-("#*'$"*+

-IR)ID(

C%*DR*"'%+*R

PIRMIDES:

%na pirmide es n poliedro limitado por na base7 !e es n

polgono con na cara< y por caras7 !e son tringloscoincidentes en n pnto denominado pice.(l pice o cspide tambin es llamado vrtice de la pirmide7an!e na pirmide tiene ms vrtices7 tantos como elnmero de polgonos !e lo limitan.


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C

O

MH

DA

Bh

PIRMIDE CUADRANGULAR9

O + V 1 r $ i# "h + A ' $ r aO M + A 0 + A 0 % $ " ! a d " ' a P i r 2 ! i d "H M + a 0 + A 0 % $ " ! a d " ' a B a "A + r " a ' a $ " r a '

A + r " a $ % $ a '

V + V % ' ! " ,

L

T

EJEMPLO: Determine el rea lateral 7 volmen y reatotal de na pirmide cadranglar cya

base es n cadrado de lado 1Acm y de altra 12cm.

SOLUCIN: *+E 2GA cm2 E =AA cm3

*# E 3GAcm2

A + P / A 0

A + P ( A 0 - a 0 )

V + / S / h

L & a "

T & a "

& a "3

4


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SLIDOS DE REVOLUCIN:

CILINDRO RECTO DE REVOLUCIN:

%n cilindro es el cerpo de revolcin !e reslta al girar nrectnglo alrededor de n eJe.

g

( J e

r

F

* r + R a d i % d " ' a & a "* 5 + G " , " r a $ r i 6

* A + r " a $ % $ a '* A + r " a ' a $ " r a '

* V + V % ' ! " ,

T

L

A + . r 5

A + . r ( 5 - r )

V + r 5

L

T

EJEMPLO9 Determine el rea lateral7 rea total y volmende n cilindro generado por n rectnglo de base =cm yaltra cm.

SOLUCIN: *+E @2 cm2 *#E 1A= cm2 E 1== cm3


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CONO RECTO DE REVOLUCIN:

,e genera por la rotacin completa de n tringlo rectnglocndo gira alrededor de no de ss catetos tomado como eJe.

( J e

rO

h

C 7 r # ' %

5

r + R a d i % d " ' a B a "5 + G " , " r a $ r i 6A + r " a T % $ a '

h + A ' $ r aA + r " a L a $ " r a '

V + V % ' ! " ,

T

L

A + r 5

A + r ( 5 - r )

V + / r / h

L

T

34

.

EJEMPLO9 Determine el rea lateral7 rea total y volmende n cono recto de revolcin de radio 3cm y altra=cm.SOLUCIN: *+E 1> cm2 *#E 2= cm2 E 12 cm3


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ES8ERA:

(s el slido generado por n semicrclo cando gira 3GA8alrededor de s dimetro tomado como eJe.

R

2 R

EJEMPLO9 Determine el rea de la sperfcie y el volmende na es6era radio Gcm.

SOLUCIN: ,(E 1== cm2 (E 2??cm3


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