Intersección Línea - Plano, Método del Filo y Plano Cortante

La intersección de una recta con un plano es un punto común a los elementos geométricos. Esta intersección es fundamental para el buen desarrollo y aplicación de las demás intersecciones, ya que la abstracción mental de la penetración de un elemento, como la recta, con otro, el plano, en un espacio geométrico, permitirá señalar posiciones de formas geométricas, a las cuales no se tiene acceso, ya que éstas están conformadas por líneas imaginarias que limitan un espacio y localizan un plano real en un espacio geométrico, pero que al ser entendidas desde su elemento básico: la recta, se podrá llegar a comprender los demás elementos que se conforman por este primordial.

Existen dos métodos por los cuales se pueden llegar a obtener el punto de penetración real de los dos elementos que intervienen en la relación espacial: el método del Filo ó de Perfil, y el Método del Plano Cortante. Los dos métodos son confiables y deben llegar al mismo resultado, ya que están expresando la consecuencia de una relación espacial real entre dos elementos.

El Método del Filo ó también llamado de Perfil, busca llevar al plano que interviene en la intersección a Filo, por lo tanto, busca hacerlo ver como una línea, y con ello conseguir el punto de contacto entre los dos elementos (la recta con el plano).

El Método del Plano Cortante trabaja con las dos vistas dadas (Horizontal y Vertical), a partir de ellas selecciona elementos que parezcan intervenir en la relación espacial y a uno de ellos, en una de sus proyecciones, le traza un plano cortante imaginario que se extiende infinitamente hacia el otro elemento que se está interviniendo, por lo tanto necesariamente lo va a traspasar y con ello se consigue que se corten en determinados puntos que luego se transformarán en un solo punto de penetración, a través de un proceso que se explicará más adelante.

En esta Lección se enseñará a obtener el punto de penetración de dos elementos que se interceptan en el espacio geométrico, trabajando a partir de ejemplos que se presentarán por medio del proceso a realizar en todos los ejercicios relacionados, por lo tanto se mostrará paso a paso el proceso que el estudiante debe seguir para obtener el punto de penetración.

El primer método que se va a presentar es el de Filo, el cual es el más seguro, ya que al dejar al plano en una vista auxiliar, adicional a las dadas, como filo se hace más fácil señalar el punto de contacto y la visibilidad en las proyecciones.

Figura 1. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2 

  

Se presenta un plano a, b, c con una recta m, n, la cual al parecer lo interceptará, ya que ésta no está mostrándose paralela a ninguna de las rectas que conforman el plano y se encuentra en una posición cualesquiera, al igual que el plano, por lo tanto debe llevarse a filo para comprobar si existe un contacto, una penetración.

Para llevar el plano a Filo se procede de la forma en que siempre se debe hacer: si no existe una línea contenida en el plano que sea paralela a la Línea de Referencia, se trazará una recta auxiliar paralela a la Línea de Referencia, la cual surgirá desde un punto del plano; luego ésta se proyectará a la siguiente Vista, en la cual se mostrará con su Verdadera Longitud; Luego se deberá trazar una proyección Auxiliar de forma perpendicular a la Línea en Verdadera Longitud (c, e) para verla como punto y por lo tanto al plano como filo. Al obtener la vista del filo también se proyectará la recta, con ello se consigue el punto contacto entre el plano y la recta, punto al cual se le denominó "p".

Figura 2. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Filo. Paso 3 y 4 

 

El punto de penetración debe devolverse a las vistas Horizontal y Frontal para así localizar la intersección en todas sus proyecciones. La forma adecuada para devolver tal punto es a través de las líneas de proyección, las cuales se trazan de una proyección a otra de forma perpendicular a la Línea de Referencia a la que atraviesan, y se situará el punto en donde tenga contacto la línea de proyección con la recta m, n.

La visibilidad de la línea será definida por cercanía ó por el método de las líneas que se cruzan. El método de cercanía se utilizará para obtener la visibilidad correcta en la proyección Horizontal, ya que ésta se basa en la proyección de Filo para obtenerla. En ésta se debe observar que en la proyección Auxiliar J se tiene la recta m, n con el plano como filo, y lo que queda antes del plano es la segmento de la recta "m" hasta el punto de penetración "p", por lo tanto de la recta el segmento "m" hasta el punto de contacto con el plano, punto "p", será visible, luego la recta se volverá invisible, hasta los límites del plano a, b, c, por lo tanto, lo que esté después del punto de penetración será invisible, ya que se encuentra por detrás del plano y el observador no podrá verlo. Esto es en el caso de los elementos en la proyección Horizontal.

Para descubrir la Visibilidad de la proyección Frontal, el observador debe estar localizado en ésta y debe mirar hacia la proyección Horizontal pues es de ésta de la cual se obtendrá la visibilidad de los elementos de la Frontal. En este caso se trabajará a partir de las líneas que se cruzan, entonces, en la proyección Frontal se cruzan la recta m, n con la línea c, a, del plano; el observador debe mirar hacia la proyección Horizontal desde la proyección frontal y verificar en qué posición se encuentran las líneas que se cruzan en la vista Frontal; La línea m, n se encuentra en una posición anterior que la línea c, a, ya que el punto "m" es el más cercano al observador, mientras que la recta c, a, tiene a la recta m, n antes que ella, por lo tanto la recta visible va a ser el segmento de la recta "m" hasta la intersección "p", debido a que el punto "m" es el que se encuentra antes del plano y el punto "n" está después del plano y del punto de penetración, por lo tanto, solo el segmento m, p es el visible.

Ahora, por el Método del Plano Cortante se debe escoger un eje, una línea, el cual será extendido de forma perpendicular a la posición de la recta y se prolongará indefinidamente, de modo que corte el plano a, b, c, en algún punto necesariamente, sin importar su posición en el espacio, pues como el plano cortante no es limitado tendrá que hacer contacto con éste.

Figura 3. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Plano cortante. Paso 1.

El ejercicio presenta el plano a, b, c y la recta m, n, elementos que se interceptan en algún punto, el cual va a ser definido a través de la configuración de un Plano Cortante imaginario, el cual se localizará en la prolongación de la recta m, n y se extenderá de forma perpendicular a ésta, buscando cortar el plano a, b, c y definir dos puntos de contacto del plano con el Plano Cortante - 1.

El Plano Cortante 1 se puede señalar en cualquiera de las proyecciones, en este caso se realiza en la proyección Horizontal y éste debe indicarse con un tono de línea inferior al de los elementos y con el tipo de línea K. Los puntos en los que corta el Plano Cortante al plano a, b, c, se definirán con un número ó letra, en este caso se utilizaron los número 1 y 2. Los puntos de contacto se trasladarán a la siguiente proyección, en este caso a la Frontal, y se establecerán sobre la arista del plano a, b, c, que esté cortando el Plano Cortante, por lo tanto el punto 1 corta la arista c, b y el punto 2 corta a la arista a, b, por ello al trasladar los puntos de contacto a la siguiente proyección se establecerán sobre las aristas del Plano a, b, c; se debe unir el punto 1 con el 2 en esta proyección con línea tipo F.

Figura 4. Proceso Intersección Recta - Plano, Método del Plano cortante. Paso 2 y 3. 

 

La intersección de la recta formada por el punto 1 y el 2 en la proyección Frontal con la línea m, n, es el punto real de intersección: punto "p"; éste punto debe devolverse a la proyección anterior, proyección Horizontal, y donde corte la línea de proyección con la recta m, n, se indicará el punto "p".

Para la definición de la visibilidad se deberá realizar necesariamente por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección Horizontal la recta m, p se cruza con la línea c, b, el observador ubicado en esta proyección deberá mirar hacia la proyección Frontal para la verificación de la posición de las rectas; se puede ver que el segmento m, p, se encuentra antes que la recta c, b, por lo tanto la recta m, p, será la visible en la Vista Horizontal y la recta p, n, será oculta hasta el límite del plano a, b, c.

En la proyección Frontal se tomarán dos líneas que se cruzan: m, p con c, a. El observador dirigirá su mirada hacia la proyección Horizontal y verificará cuál de las dos se encuentra en una posición anterior, por lo tanto más cerca del observador. La recta m, p se localiza más cerca al observador que la recta a, c, por lo tanto la recta m, p en la proyección Frontal será el segmento de la recta visible y el segmento p, n será oculto hasta los límites del plano a, b, c.

 Se continuará trabajando con los dos métodos aprendidos en la lección anterior, pero se varían los elementos que se relacionan. En este caso los elementos que entran en contacto son dos planos.

En el método del Filo ó también llamado de Perfil, se debe colocar a uno de los dos planos como un Filo en una proyección Auxiliar. En el ejemplo que se presentan en esta lección se traza una línea auxiliar al plano m, n, o, de forma paralela a la Línea de Referencia H - F y se proyecta a la siguiente Vista, en este caso a la Horizontal, en la cual se mostrará en Verdadera Longitud; a partir de esta recta se trazará un Línea de Referencia perpendicular para definir el plano m, n, o, como un Filo y se haga evidente los puntos de contacto con el plano a, b, c.

Figura 5. Proceso Intersección Plano - Plano, Método del Filo. Paso 1 y 2  

 

En la proyección Auxiliar se definen los dos puntos de contacto del Filo con el plano a, b, c, y se identifican con una letra ó un número, en este caso el punto 1 se localiza sobre la arista c, b, y el punto 2 sobre la arista a, b. Estos puntos se deben devolver a las proyecciones anteriores a través de las líneas de construcción ó de proyección, las cuales deben quedar de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atraviesan y localizarse sobre las aristas que se encuentran, según lo indica el Filo.

El punto 1 se traslada de la proyección Auxiliar J a la proyección anterior H y deben situarse en las aristas correspondientes; el punto 1 sobre la arista c, b, el punto 2 sobre la arista a, b. Debido a que la recta de la intersección formada por el punto 1 y el punto 2 en la proyección Horizontal se encuentra por fuera del cruce de los dos planos, el segmento del punto 1 que se encuentra sobre uno de los planos (a, b, c) se debe acortar, señalando el punto 1', el cual forma con el punto 2 la intersección real de los planos.

Los puntos 1' y el 2 se deben trasladar a la proyección siguiente, proyección Frontal, y localizarse sobre las aristas que se encuentran en la Horizontal. El punto 2 sobre la arista a, b, y el punto 1' sobre la arista o, n. Los puntos 1' y 2 se deben unir con una línea continua e intensa que señale la intersección de los dos planos.

Figura 6. Proceso Intersección Plano - Plano, Método del Filo. Paso 3. 

  

Se debe definir la visibilidad correcta de los planos y para ello se debe proceder a la proyección anterior para verificar el segmento del plano más cercano al observador. Para definir la visibilidad de los planos en la Horizontal se observa la proyección Auxiliar J, en la cual el plano m, n, o, se presenta como filo; el segmento a, c, se encuentra antes que el segmento de la recta m, o, por lo tanto a, c, va a ser visible hasta la línea de intersección, después de la intersección cambia la visibilidad, entonces, el plano a, b, c, deja de ser visible y pasa a ser invisible, lo que quiere decir que después de la intersección el plano a, b, c, queda por debajo del plano m, n, o. Si no se tiene seguridad absoluta sobre la definición de la visibilidad, se verificará con otras líneas, por ejemplo, el segmento n, m , será visible porque en la proyección anterior (J) se están mostrando antes que el segmento del plano a, b, c, por lo tanto en la parte superior de la intersección de la proyección Horizontal, la recta n, m es la visible por localizarse más cerca del observador y antes que la recta b, c. Esta definición es el resultado del método de las líneas que se cruzan.

Para la definición de la visibilidad en la proyección Frontal debe procederse de la misma forma: el observador se localiza en la proyección Frontal y verifica dos líneas que se crucen en esta proyección, mira hacia la proyección Horizontal y verifica cuál de las dos líneas se encuentra en una posición anterior a la otra.

Figura 7. Proceso Intersección Plano - Plano, Método del Filo. Paso 4. 

 

La siguiente figura muestra de forma clara la intersección real de dos planos, en este paso se omitieron las líneas ocultas y se achuró uno de los planos, para que existiera mayor claridad sobre la verdadera intersección entre los planos, la cual es una intersección parcial, no es total, debido a que el plano m, n, o, no atraviesa por completo el plano a, b, c.

Figura 8. Proceso Intersección Plano - Plano, Método del Filo. Paso 5. 

 

El método del Plano Cortante consiste  en establecer dos aristas de un plano que se crucen completamente con el otro, y en estas se establecerán dos planos cortantes que atravesarán al otro plano.

En el ejemplo se tomó como referencia el plano a, c, b, y los planos cortantes se establecen sobre las aristas a, c, como Plano Cortante 1, y a, b, como Plano Cortante 2. Cada Plano Cortante corta al otro plano (m, n, o) en dos puntos: El plano Cortante 1 tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos 1 y 2, y el plano Cortante 2 tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos 3 y 4.

Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección y colocarse sobre las aristas que el Plano Cortante intercepta, por lo tanto el punto 1 se localizará sobre la arista m, o, debido a que el plano Cortante 1 tiene contacto con esta arista en el punto 1; el Plano Cortante 1 también tiene contacto con el otro plano en la arista n, o, en el punto 2. El Plano Cortante 2 tiene contacto con el plano m, n, o en los puntos 3 y 4; el punto 3 se localiza en la arista m, o, y el punto 4 sobre la arista m, n. Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección (Frontal) y situarse sobre las aristas correspondientes del plano m, n, o.

Figura 9. Proceso Intersección Plano - Plano, Método del Plano Cortante. Paso 1 y 2.

 

En la proyección Frontal se deben identificar los puntos que pertenecen al mismo plano Cortante: 1 y 2 son del PC-1, 3 y 4 son del PC-2. Los puntos que pertenecen a cada plano se unirán por medio de líneas discontinuas, formando dos rectas segmentada en la proyección Frontal. Esta recta que conforman los puntos de contacto deben pasar, tocar ó interceptar a las aristas sobre las que se localizan los planos cortantes. El plano Cortante 1 es una extensión de la arista a, c y el plano Cortante 2 de la arista a, c, por lo tanto las líneas que unen los puntos de contacto en la proyección Frontal deben pasar ó tocar a las  aristas del plano Cortante al cual pertenezcan. Esto quiere decir que la recta conformada por el punto 3 y 4 deberá pasar ó tocar a la arista que contiene el Plano Cortante 2, del cual resultaron estos puntos de contacto, y efectivamente, en la proyección Frontal la recta 3, 4, pasa por la arista a, b: Éste es el punto real de intersección, al cual se le llamará "p". En el caso de los puntos 1 y 2, pertenecientes a la arista a, c, no llegan a tener contacto con la arista que contiene el plano cortante, ya que el punto 2 queda sobre la arista n, o, del otro plano, y la línea de los puntos de contacto no pasa por la arista a, c. El procedimiento a seguir es la extensión de las líneas que deben tocarse (1, 2 con a, c) en la dirección que poseen. La línea 1, 2 y la línea de la arista a, b, se prolongan para que pueda darse la intersección en un punto común. Esto se debe realizar sabiendo que los planos son infinitos y que son limitados a través de unas líneas. Se localiza entonces la intersección de la recta 1, 2 con la arista a, c, en el punto 2' ó 2. Se deben unir los puntos de intersección p y 2, pero debido a que se sale del contacto real de los dos planos, se debe limitar la línea de intercepción a los límites de los dos planos, limitar al contacto de los dos planos, por lo tanto la línea de intersección real es la establecida desde el punto "p" hasta el punto "e". Los puntos se trasladan a la proyección anterior (H) y se localizan sobre las aristas correspondientes: p sobre a, b, y e sobre n, o.

Figura 10. Proceso Intersección Plano - Plano, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4.

Luego de haber definido la línea de la intersección real entre los dos planos, el siguiente paso es señalar la visibilidad correcta, ésta se realiza por medio del método de las líneas que se cruzan.

Para identificar los segmentos de los planos que van a ser visibles en la proyección Horizontal, se ubicará al observador en ésta Vista e identificará dos líneas que se crucen y se procederá a su verificación en la siguiente proyección; la posición de cada una de estas con respecto al observador, será la clave para la determinación de la visibilidad. La línea a, c, se cruza con la línea m, o, en la proyección Horizontal, al verificar la localización de éstas en la proyección Frontal, se puede ver que la línea a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, o, por lo tanto en la proyección Horizontal la recta visible es la a, c. Esto significa que a, c es completamente visible y las líneas que lleguen a estos puntos serán visibles hasta la línea de intersección, después de la intersección cambiará la visibilidad, lo que quiere decir que al otro lado de la línea de intersección el plano m, n, o será el visible y el a, b, c, será el invisible.

Para determinar la visibilidad de los planos en la proyección Frontal, se ubica al observador en esta proyección y se identifican dos líneas que se crucen en ésta vista, se verifica la posición de las mismas en la siguiente proyección (H) y se determina cuál de las dos rectas es la visible y a partir de esta definición, el resto de la visibilidad se hará por lógica.

En la proyección Frontal se cruzan las líneas a, c, con m, n. En la proyección Horizontal la recta a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, n, indicando que a, c, será la visible y todas la líneas que lleguen a ésta hasta la intersección, después de ésta cambia la visibilidad.

Figura 11. Proceso Intersección Plano - Plano, Método del Plano Cortante. Paso 5.

 

INTERSECCION PLANO SOLIDO

En el campo de la Ingeniería y en el de la arquitectura se hace uso de la Geometría Descriptiva para descifrar la relación real entre los elementos que intervienen en el diseño de tuberías, ductos, cubiertas, columnas y vigas, entre otros. Las relaciones existentes entre éstos elementos debe descifrarse en el diseño y establecerse a plenitud, para que en el momento de su ejecución no haya campo de error, lo cual pueda perjudicar el adecuado funcionamiento de los elementos, y también intervenir en la fidelidad de las cantidades de obra y la compra de materiales, y con ello afectar el resultado del diseño, poner en riesgo vidas humanas y como consecuencia de éstos errores también se comprenderían las pérdidas económicas.

La intersección de elementos en un diseño debe asumirse con responsabilidad, y a través de la técnica establecer las relaciones geométricas reales entre los mismos, definiendo con exactitud los ángulos, la sección de intersección, las longitudes y magnitudes reales de los objetos que están involucrados en el diseño.

En el proceso que se definirá en las figuras mostradas a continuación se estará señalando la sección de contacto de los dos elementos que intervienen en la relación geométrica y la cual puede ser obtenida a través del método del Filo ó el método de los Planos Cortantes. En las primeras figuras se realizará paso a paso el proceso del Método del Filo, para obtener la sección entre un prisma rectangular y un plano triangular.

Figura 12. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 1.

Se presenta un prisma rectangular con aristas paralelas identificadas como: 1-1', 2-2', 3-3' y 4-4'; el plano triangular se identifica con las letras a, b, c. Para obtener la sección de la intersección por el método de Perfil, se debe llevar al plano a filo, por lo tanto se realizará una proyección Auxiliar perpendicular a una de las líneas contenidas en el plano (a, b, c) en Verdadera Longitud, si ésta no existiera se trazaría una línea auxiliar de forma paralela a la Línea de Referencia, ubicada en cualquiera de las dos proyecciones (H ó F), en este caso se toma como paso inicial la proyección Horizontal y es en ésta donde se traza la línea auxiliar paralela a la Línea de Referencia, luego se trasladan los puntos a la siguiente proyección (F) con la ayuda de las líneas de proyección, las cuales deben trazarse de forma perpendicular a la Línea de Referencia que atravesarán.

Figura 13. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 2.

En la proyección Frontal se encuentra la línea auxiliar a, e, en Verdadera Longitud y con relación a ésta se debe trazar una proyección Auxiliar perpendicular (J) en la cual se visualizará el plano a, b, c, como filo. La idea de llevar el plano a, b, c, a filo es identificar con claridad los puntos por los que el plano atraviesa ó tiene contacto con el sólido, señalando el punto de contacto del filo con las aristas del prisma rectangular. En esta figura, se muestra en la proyección auxiliar el plano como filo y el sólido sin visibilidad, debido a que la visibilidad es identificada en este momento, en donde el estudiante debe revisar la proyección anterior (F) ubicado desde la proyección Auxiliar (J) y verificar por cercanía ó por líneas que se cruzan (método de mayor seguridad) las líneas que serían visibles en la proyección Auxiliar.  

Figura 14. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 3.

En esta figura se define la visibilidad del prisma rectangular en la proyección Auxiliar (J), determinado por medio del método de las líneas que se cruzan, entonces como en la proyección "J" se están cruzando las aristas 3,3' con la 2',1' se revisa la proyección anterior "F" y se obtiene que la arista anterior es la 3,3' y que la arista 2',1' se encuentra en la zona posterior, por lo tanto es la que se localiza más lejos del observador, por esta razón la arista 3, 3' va a ser visible en la proyección Auxiliar y la arista 2', 1' será invisible; con el resto de las visibilidades de procede de las misma forma, sabiendo que el contorno siempre va a ser visible, por lo tanto las aristas 2, 1, 4, 4', 3', 2' van a ser visibles por estar localizadas en el contorno de esta proyección.

Se localizan los puntos de contacto entre el prisma rectangular y el plano de filo, puntos localizados de la siguiente manera: punto p en la arista 4, 4'; punto m localizado sobre la arista 1, 1'; punto n sobre la arista 3, 3' y por último el punto u encontrado en la arista 2, 2'. De esta manera se devolverán los puntos a las proyecciones anteriores, siguiendo los criterios de localización ya enunciados.

Figura 15. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 4. 

Teniendo los puntos sobre las aristas correspondientes en todas las proyecciones, se deben unir con orden lógico, lo que quiere decir que un punto localizado sobre la arista 2, 2' se podrá unir con otro que se encuentre en un plano adyacente, por ejemplo: 1, 1' ó 3, 3', pero no podrá unirse a otro que se localice en una cara que no tenga relación directa con ésta, como por ejemplo un punto que situado en la arista 4, 4'.

Por lo tanto, se unirán los puntos y se definirá simultáneamente la visibilidad de los mismos con ayuda de la lógica, pues si los puntos conforman una línea sobre una cara invisible, no podrán los puntos de la sección ser visibles.

En la proyección Frontal, el punto p, localizado en la arista 4, 4' se unirá a los puntos que se encuentren en las aristas 3, 3' y 1, 1', por lo tanto se unirá con los puntos n y m, simultáneamente; éstos puntos se unirán a través de líneas visibles, ya que se localizan sobre caras visibles, pues la cara conformada por los puntos 1, 4, 4', 1' es visible y sobre ésta se encuentra la línea p, m; ahora, la cara en la cual se localiza la línea p, n es la conformada por los puntos 4, 3, 4', 3', la cual también es visible, según lo evidencian las líneas que conforman las caras, ya que son continuas, señalando por lo tanto que son caras visibles. El punto "u" se establece en la arista 2, 2' y en proyección Frontal ésta arista es invisible, por lo tanto, toda línea que se origine de ésta arista va a ser invisible por localizarse en una cara invisible, pues al abstraer mentalmente el prisma, se podrá ver con claridad que las caras ocultas son las 2, 2', 3, 3' y 2, 2', 1, 1', por lo tanto las líneas de la sección que se localicen sobre estas caras también estarán ocultas, lo que quiere decir que la recta m, u y n, u, serán invisibles.

Se debe proceder de la misma forma en la proyección Horizontal, uniendo puntos adyacentes a través de líneas y definiendo la visibilidad en éstas a través de la lógica de las caras. Entonces en la proyección Horizontal se establecerá la sección con las rectas u, m, p siendo visibles y p, n, u quedarán ocultas.

Figura 16. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 5. 

 

El paso 5 consiste en definir la visibilidad de los elementos que se relacionan, pues ya está definida la sección de la intersección, pero ahora es necesario hacer lógica la intersección, por lo tanto, entenderla. Se inicia el proceso de visibilidad desde el filo hacia la Frontal. El observador se localiza en la proyección Frontal, ya que es a ésta vista a la cual se le debe definir la visibilidad; el observador mirará hacia la proyección auxiliar (J) y definirá qué sección del filo es la visible y qué sección del sólido no está interferida por el plano de filo, esto lo que quiere decir en otras palabras, es que al trazar las líneas de proyección hacia la Frontal desde la Auxiliar, las líneas de proyección que no sean interrumpidas por otra arista, serán visibles, por ejemplo, la línea de proyección que sale del punto c, del punto p, del punto 4' y del punto a, no están obstruidas por ninguna arista, lo que las hace visibles, a diferencia de las líneas de proyección que se originan en los puntos 2', b, u, los cuales son interrumpidos por aristas como 3, 3', 4, 4', las cuales impedirán su visibilidad. 

Entonces, el segmento 4', p del sólido es visible completamente y el segmento c, a hasta el punto p será visible. Con estas dos definiciones de visibilidad se puede obtener el resto de las visibilidades. Si 4', p es visible, estará indicando que todo el segmento del prisma localizado en la zona posterior de la sección de intersección será visible (las caras visibles) y la sección del plano a, b, c, que pasen por este segmento de visibilidad del prisma serán invisibles. Por lo tanto: 4', p - m, 1' - n, 3' - 1', 4', 3', serán visibles, por localizarse en el segmento en el cual el prisma queda sobre el plano, situación manifiesta en la proyección auxiliar con la localización del segmento 4', p totalmente visible, lo que define que el segmento del prisma posterior a la sección es visible. Ahora, como a, c, también se identificó plenamente como visible en la proyección Auxiliar, entonces en la Frontal ésta quedará sobre el prisma y será visible completamente, ocultando los segmentos del prisma que se localicen en los límites del plano a, b, c, antes de la sección de intersección.

Para la definición de la Visibilidad de la Horizontal se realizará con ayuda del método de las líneas que se cruzan, por lo tanto el observador situado en la proyección Horizontal establece dos líneas que se crucen para definir su visibilidad mirando la posición de las dos líneas en la proyección anterior, en este caso en la Frontal. Se deben tener varias opciones de líneas que se crucen, ya que algunas no se muestran con tanta claridad y se deberá verificar con otras que sean contundentes. Por ejemplo, a, b se cruza con 1, 1', quién es visible?, se supone que "a" es el punto más cercano al observador, entonces a, b, sería visible, pero no es tan claro, por lo tanto es mejor comprobar con otros puntos que se muestren con mayor claridad, caso de las líneas c, b, con 1, 1', al revisar la proyección anterior (F) la línea 1, 1' está en una posición anterior, con respecto al observador, que la línea c, b, la cual se encuentra lejos del observador, lo que quiere decir que 1, 1' va a ser visible y c, b, será invisible en la proyección Horizontal, teniendo en cuenta que 1, 1' cambiará su visibilidad después de la sección de intersección, por lo tanto la línea visible es 1', m. A partir de la definición de dos líneas contundentes como 1, 1' y c, b, se puede obtener por lógica la visibilidad del resto de los elementos, teniendo claro que la visibilidad de un elemento cambia antes y después de la sección de intersección.

En la siguiente figura se muestra de forma más clara la intersección de los dos elementos y se puede verificar la visibilidad. En la proyección Horizontal, antes a la sección el prisma es visible y después de la sección el visible es el plano. En la proyección Frontal antes de la sección es visible el prisma y después de la sección es el plano.

Figura 17. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Filo. Paso 6.

 

 

Para obtener la sección de la intersección del prisma y el plano a, b, c, por medio del Método del Plano cortante se debe proceder de la siguiente forma: se toma uno de los elementos que intervienen en la intersección, puede ser el plano ó el prisma, en el caso del ejercicio se toma el prisma, debido a que todas sus aristas son paralelas y de esta manera es más fácil de identificar los puntos de contacto. Se identifican las aristas del sólido que entran en contacto con el plano, en este caso todas las aristas se cruzan con el plano, pero si el plano triangular tuviese su vértice b antes que la arista 2, 2', no sería necesario tomar en cuenta esta arista, ya que no tendría objeto alguno señalar un Plano cortante sobre ésta si ésta no se relaciona con el plano.

Ahora, como todas las aristas del sólido se cruzan con el plano a, b, c, se deben señalar Planos cortantes sobre cada una de éstas aristas, definiendo los planos con líneas tipo K que se prolongan con la misma dirección de las aristas sobre las que se posan e identificando cada Plano Cortante con un nombre determinado y un orden lógico. En el caso del ejemplo se señalan los planos por medio de colores para dar mayor claridad y con nombres: el Plano Cortante 1 (PC-1) se establece sobre la arista 1, 1'; el PC-2 sobre la arista 2, 2'; el PC-3 en la arista 3, 3' y el PC-4 sobre la 4, 4'. También los planos Cortantes pueden ser determinados por el orden de consecución de las aristas, por ejemplo, la arista 2, 2' es la que se encuentra en la zona superior de la representación, entonces ésta puede ser el PC-1, el PC-2 podría ser la arista 3, 3' que consecutivamente se localiza, éste también puede ser un orden lógico.

Figura 18. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 1.

Luego de definir los Planos Cortantes deben señalarse los puntos de contacto entre cada Plano Cortante y el plano a, b, c. El Plano Cortante 2 traspasa al plano a, b, c, en las aristas a, b, en el punto "m" y en la arista c, b, en el punto "n". Éstos puntos se intersección se trasladarán a la proyección siguiente (F) y se establecerán sobre las aristas correspondientes. Entonces, el punto "m" se pasa con ayuda de una línea de proyección perpendicular a la Línea de Referencia (color gris) y se localiza en la intersección de ésta con la arista que corta el plano cortante, lo que quiere decir que el punto "m" se pasa a la proyección Frontal y en donde corte la línea de proyección con la arista a, b, allí se colocará el punto "m". Para localizar el punto "n" se debe proceder de la misma forma, por lo tanto, en la proyección Frontal, el punto "n" se localizará sobre la arista c, b. Como los puntos m y n pertenecen al mismo plano Cortante, se unirán a través de una línea punteada (tipo F).

Figura 19. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 2. 

 

Para los siguientes planos se debe proceder de la misma forma, encontrando los puntos de contacto del plano Cortante con las aristas del plano a, b, c.

Figura 20. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 3 y 4. 

Se obtienen todos los puntos de intersección, dos puntos por cada plano cortante: El PC-2 tiene los puntos m y n, donde m se localiza sobre la arista a, b y n sobre la arista c, b; el PC-3 señala los puntos de contacto q y r, q sobre la arista a, b y r sobre c, b; PC-1 corta en los puntos f y s, donde f se localiza sobre la arista a, b y s sobre la arista c, b; el PC-4 identifica dos puntos "x" y "y", donde "x" corta a la arista a, b, y "y" a la c, b. Se trasladan los puntos a la vista Frontal y se unen los que pertenecen al mismo plano Cortante.

El paso 5 consiste en definir un solo punto de intersección por Plano Cortante, lo cual se consigue de la siguiente forma: la recta conformada por los puntos m, n pertenecen al PC-2, el cual se posa sobre la arista 2, 2', por tal razón, la recta m, n debe interceptar la arista 2, 2' y es allí en donde se localiza la intersección real; éste punto de intersección, identificado como 2f, debe devolverse a la proyección anterior (H) y situarse sobre la arista correspondiente, arista 2, 2'.

Figura 21. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 5.

 

 

La recta q, r pertenece al PC-3 (color cián) por lo tanto debe interceptar la arista que contiene este Plano Cortante, arista 3, 3', el punto de contacto será la intersección real y se trasladará a la anterior proyección (H) donde se ubicará sobre la arista 3, 3', arista que contiene el Plano Cortante correspondiente a los puntos q, r. Posterior a ello se deben unir los puntos de intersección real, analizando qué puntos pueden unirse: 2 con 3, 2 con 1, 3 con 4, 4 con 1.

Figura 22.  Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 6 y 7.

 

Siguiendo este proceso se determinan todos los puntos de intersección real, por lo tanto cada recta conformada por los puntos de corte del Plano Cortante con el plano a, b, c, señalará un punto de intersección real, el cual estará ubicado sobre la arista en la cual se posa el Plano Cortante determinado, posterior a ello se trasladará el punto de intersección real a la proyección anterior y se unirán definiendo los puntos que son adyacentes y pueden tener relación directa, por lo tanto los puntos se unirán así: 1 con 2, 2 con 3, 3 con 4 y 4 con 1, de esta forma se cierra la sección de intersección, la cual es completa, ya que el plano y el sólido se están atravesando plenamente, ya que si fuera parcial, la intersección no formarían una sección rectangular, sino que se conformaría una sección en forma de U.

También es importante definir la visibilidad simultáneamente al trazo de las líneas de la sección, para evitar borrar después de haberlas dibujado, por lo tanto se debe analizar la cara sobre la cual va a quedar definida una línea y dependiendo de si la cara es visible ó por el contrario está oculta, las líneas como consecuencia también adoptarán sus características de visibilidad. Las caras visibles son las conformadas por los puntos 2, 2', 1', 1, también la cara 1, 1', 4', 4, por lo tanto las líneas que se localicen sobre estas caras serán visibles, pero las trazadas sobre las caras 2, 2', 3', 3 y 3, 3', 4', 4, serán ocultas debido a que estas caras no son visibles, por lo tanto las líneas trazadas sobre éstas serán dibujadas con líneas segmentadas.

  Figura 23. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 8.

 

 

El paso 9 consiste en la definición de la visibilidad de los elementos que intervienen en la intersección.

Figura 24. Proceso Intersección Plano - Sólido, Método del Plano Cortante. Paso 9. 

El proceso de visibilidad se hará por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección Horizontal c, b se cruza con 1, 1' y al revisar la proyección Frontal c, b, se encuentra después de la recta 1, 1', por lo tanto c, b va a estar oculta en el cruce de estas dos rectas y 1, 1' será visible en el cruce de las dos rectas, hasta que llegue a la sección de intersección, en la cual se cambiará la visibilidad del objeto. Para la proyección Frontal se revisan dos líneas que se crucen y se verifica en la proyección anterior (H) analizando la posición de la misma con respecto al observador: la recta a, c se cruza con la línea 1, 1', al revisar en la proyección Horizontal, la línea a, c se localiza antes que la línea a, 1, 1', por lo tanto en la proyección Frontal la recta a, c será visible y ocultará a la recta 1, 1' hasta la sección de intersección, luego de la sección cambiará la visibilidad.

De esta forma se define la relación real de los objetos que intervienen en un diseño y a través de la Geometría Descriptiva es posible determinar la relación que puedan tener los objetos representados en un determinado diseño.

EJEMPLOS

-INTERSECCION ENTRE PLANOS

-INTERSECCION RECTA-PLANO HORIZONTAL

-INTERSECCION PLANO-PRISMA