XVI CONGRESO INTERNACIONALDE INGENIERÍA GRÁFICA

NUEVOS PLANTEAMIENTOS METODOLOGICOS EN LAENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA. GEOMETRIA DINAMICA CON

CABRIGOMEZ GABALDÓN, José Arquímedes

Universidad de Alicante, EspañaEscuela Politécnica Superior. Departamento de Expresión Gráfica..

Arquimedes.Gómez@ua.es

RESUMEN

El desarrollo de las nuevas tecnologías y la existencia de nuevos recursos en las aulas, imponecambios metodológicos cada vez mas alejados de la tradicional pizarra.En este sentido las aplicaciones desarrolladas a través de la utilización de un programa degeometría dinámica como CABRI II nos permiten alejarnos de las exposiciones estáticas enpizarra.Las ventajas sobre sistemas "convencionales" de enseñanza son innegables dado que:.A)Posibilita que las figuras adquieran vida propia mediante el movimiento. B) Permite ir a unafase del dibujo cualquiera que sea el momento de la exposición en la que nos encontremos.C)Permite aplicaciones para geometría en 2D y 3D. D)Permite un aprendizaje individualizadoya que los diferentes dibujos realizados son susceptibles de ser colgados en la red mediante unapplet en Java para que el alumno pueda repasar, desde su casa, la construcción paso a paso deacuerdo al ritmo que su aprendizaje impone.

Palabras clave: Geometría dinámica, CABRI, metodología.

ABSTRACT

The development of new technologies and the existence of new resources in the classrooms,imposes methodological changes increasingly removed from the traditional blackboard.In this respect the applications developed across the utilization of a program of dynamicalgeometry as CABRI II allow us to move away from the static exhibitions in blackboard.The advantages on "conventional" systems of education are undeniable since: a) Makespossible that figures acquire own life by means of the movement. B) There allows to go to aphase of the drawing whatever is the moment of the exhibition in which we are. C) Allowsapplications for geometry in 2D and 3D. D)Allows an individualized learning since thedifferent made drawings are susceptible of being hung on the net by means of an applet in Javain order that pupils can revise, from their houses, the construction step by step in agreement tothe pace that their learning imposes.

1. Key words: Dynamic geometry, CABRI, methodology.

1.Introducción

El desarrollo de nuevas tecnologías ha llevado consigo que el docente se planteenuevas estrategias metodológicas para el desarrollo de su labor.

Una reducción en el número de créditos con los que contamos para el desarrollo denuestras asignaturas obliga, si cabe aún mas, a que se haga necesario buscar nuevoscaminos experimentales con los que seamos capaces de encorsetar los contenidos quecreemos imprescindibles que el alumno debe recibir dentro de su formación comoingeniero.

Frente a la pizarra que, cada vez , va teniendo un papel mas secundario dentro delproceso de enseñanza, se han ido imponiendo otros métodos que intentaban paliar lascarencias que, a todas luces, tenía aquella. Proyectores de diapositivas, detransparencias fueron un correcto complemento para el desarrollo de las exposicionesdentro de las clases, sin embargo, seguían teniendo fuertes limitaciones:

• Daban como resultado figuras estáticas con las que únicamente se podía mostrar elresultado final y no las fases de realización, so pena de invertir esfuerzo y dineroen la creación de aquellas.

• El distinto ritmo de aprendizaje de cada alumno hacía que algunos quedaran"descolgados" durante la exposición y fuera necesario retomar en pizarra el puntoen que se había producido esa "ruptura " obligaba a borrar lo realizado.

• Modificar las condiciones del ejercicio en "tiempo real" era algo imposible, puestoque la secuencialidad del desarrollo obligaba a retomar desde el inicio cualquiervariación que se quisiera introducir en la exposición.

Sólo he nombrado algunos de los inconvenientes con los que nos hemos encontrado enel desarrollo de nuestras clases sin contar la preparación previa de clases en el quemodificar un ejercicio "tipo" significa la reelaboración y redibujo del ejercicio encuestión.

Hasta aquí me he centrado en los aspectos que son inherentes al profesor pero es quelas dificultades con los métodos tradicionales no solo afectan a aquel, también elalumno se ve desasistido en su tarea desde casa, solamente paliada con la asistencia alas tutorías.

2.Geometría Dinámica.

Los programas de geometría dinámica, en esencia, permiten llevar a cabo dos tipos deacciones de carácter independiente (LSD94):

• Tratamiento y control perceptivo basado en el reconocimiento de formas o defenómenos como la alineación, la perpendicularidad, el paralelismo.

• Tratamiento y control por los conocimientos teóricos de geometría, que permitenexplicar, predecir, producir.

La interacción entre percepción y geometría se da cuando se utilizan las funciones delos programas para verificar las observaciones.

Características importantes de estos programas son:

• Holística: poder ver una situación en forma global, visualizando configuracionescon relaciones entre diversos elementos.

• Dinamismo: permite animar las configuraciones y observar los cambios.

Por otro lado, se produce interacción entre dos aspectos: la investigación de unproblema (donde se despliegan cualidades de invención, de originalidad, deadaptación) y la tarea técnica (que exige método, precisión y minuciosidad).

Estos programas permiten generar figuras por su nombre, construirlas especificandopartes y propiedades o dando las medidas, realizar transformaciones en formainteractiva, medir y utilizar las medidas (para realizar operaciones aritméticas, parausarlas en la misma construcción). Su utilización fuerza a los alumnos a ser precisos ya conocer definiciones, generando conflictos entre su intuición y la construcción queaparece en pantalla. AZINIAN 97.

Los alumnos pueden plantear conjeturas y verificarlas. La prueba, mas que por sufunción tradicional de verificación, es percibida como útil y necesaria por los alumnoscomo actividad explicativa de la evidencia experimental.

Otra ventaja importante es la posibilidad de visualización de un lugar geométrico,concepto de difícil visualización.

Los programas que tienen la posibilidad de registrar una secuencia de operaciones(crear un algoritmo sin escribirlo) para luego reproducirlo, son de especial utilidadpara la enseñanza.

¿De que manera podemos implementar estos programas en el aula?. Este tipo deprogramas posibilitan realizar construcciones, desplazar algunos elementos con elratón para validar, analizar relaciones: ¿qué varía? ¿por qué? ¿qué es lo que no varía?¿por qué?. Por otra parte, la opción de "revisar construcción" abre la posibilidad debúsqueda de errores de construcción que afectan los resultados esperados.

.

3.El proceso de aprendizaje de la geometría.

Con objeto de clarificar los obstáculos inherentes al aprendizaje de la geometríatrabajaremos dentro de la teoría propuesta por FISCHBEIN(1993), donde el objetogeométrico es tratado como poseedor de dos componentes, uno conceptual y otrofigural. Una componente conceptual, a través del lenguaje escrito o hablado, conmayor grado de formalismo dependiendo del nivel de axiomatización con la que seesté trabajando, expresa propiedades que caracterizan una cierta clase de objetos. Unacomponente figural corresponde a la imagen mental que asociamos al concepto, y queen el caso de la Geometría, tiene la característica de poder ser manipulada a través demovimientos como translación, rotación, y otros, pero manteniendo invariantes ciertasrelaciones. La harmonía entre estas dos componentes es la que determina la nocióncorrecta sobre el objeto geométrico.

La formación de la imagen mental, en el dibujo asociado al objeto geométricodesempeña un papel fundamental. Para un alumno no es del todo claro que el dibujo esuna parte de la representación del objeto. Si por un lado el diseño es un soporteconcreto de expresión y entendimiento del objeto geométrico por otro lado, puede serun obstáculo a este entendimiento. Debido a que guarda características particularesque no pertenecen al conjunto de condiciones geométricas que definen un objeto. Esinteresante observar que, dependiendo del estadio de desarrollo mental, los alumnostrabajan meticulosamente buscando la perfección en el diseño, como si este fuese "unobjeto geométrico", dejando las propiedades abstractas, que dan existencia al objeto,en segundo plano. Así mismo, confunden características físicas del dibujo conpropiedades geométricas.

La interacción entre percepción y geometría se da cuando se utilizan las funciones delos programas para verificar las observaciones.

Características.

A continuación se comentan algunas de las características mas importantes de este tipode programas. Programas informáticos como Cabri, Sketchpad, se mueven en estafilosofía y aunque generalmente han sido "patrimonio" de matemáticos para laexplicación, esencialmente, de geometría tienen, sin embargo, una grandísima utilidadpara la docencia de temas desde una perspectiva del dibujo y geometría descriptiva.

• Modificación de configuraciones.

Las figuras pueden ser modificadas atendiendo a su posición, orientación, tamaño yforma preservando o cambiando su estructura.

• Modificación por arrastre.

Las relaciones siguientes son generalmente invariantes durante transformaciones enmodo arrastre.: paralelismo, ortogonalidad,, proporcionalidad, simetría central,simetría axial.

Tengamos presente que las figuras de la segunda pantalla se han obtenido sin mas quevariar los elementos de referencia de la primera es decir la recta r a la que era paralelala s, la t a la que era paralela la u, modificando la figura F se modifica sucorrespondiente F´ en la simetria axial, o modificando el punto A se modifica susimétrico A´en la simetría central.

• Modificación por redefinición.

La redefinición de objetos posibilita que la estructura de una figura cambie con elconsecuente ahorro en las construcciones.

En el caso del ejemplo siguiente vemos como en la aplicación del teorema deDandelin basta con modificar un punto para que todo el dibujo se modifique.

Hay que reseñar que la modificación se hace en "tiempo real" lo cual implica quepodemos estar desarrollando la clase con una explicación a los alumnos y modificar elparámetro deseado para que se reconfigure instantáneamente todo el ejercicio.

4.Impactos metodológicos en la enseñanza y aprendizaje de la geometría.

La utilización de sistemas con gráficos dinámicos nos llevan a nuevos métodos en elaprendizaje de geometría plana, especialmente en:

• Resolución de problemas geométricos.

• Adquisición inductiva de teoremas geométricos y formación de conceptos.

• Aplicación e investigación de transformaciones.

• Investigación de relaciones funcionales de figuras geométricas.

• Simulación de movimiento.

Resolución de problemas geométricos.

Podemos citar como deficiencias en la resolución de problemas de construcción conherramientas tradicionales:

Poco apoyo en la fase heurística del proceso de construcción.

Escasas posibilidades de corregir los resultados constructivos.

Nula posibilidad de cambiar la posición o tamaño del resultado de la construcciónparcial.

Ninguna posibilidad de repetir el proceso de construcción.

Nuevos métodos permiten:

Encontrar soluciones constructivas a través de medios heurísticos.

Definición de construcciones macro: Una macro se define basándose en una parte dela figura. Una vez definida, la macro puede ser utilizada como cualquier otraherramienta, y reproduce la construcción de esa parte usando los elementos de baseseleccionados por el usuario.

Así podríamos definir una macro para dibujar una elipse en la que los datos fueran dostangentes b y c, tres puntos A, B, C de la elipse. De esta manera una vez definida yguardada dicha macro podría ser llamada en cualquier momento para su utilización, en

ese momento bastaría con indicar los datos que la macro espera: tres puntos y dosrectas.

Adquisición inductiva de conceptos.

Los métodos tradicionales hacen que las configuraciones estáticas en la mayoría de loscasos sólo pueden ser hechos flexibles con imaginación (relaciones funcionales y unarelación dinámica a penas puede ser representada).

Con geometría dinámica se produce la variación interactiva de configuracionesmediante el cambio de posiciones de los objetos constitutivos. Los objetos iniciales deuna construcción pueden ser movidos libremente mediante arrastre, de manera quetodos los objetos conectados siguen el movimiento de acuerdo a la construcción. Latransición de una configuración a la otra es continua (se produce un procesamiento entiempo real) de acuerdo con el movimiento del cursor.

Aplicación e investigación de transformaciones.

Las deficiencias en el tratamiento de las transformaciones utilizando herramientastradicionales suelen ser:

La no representación de la transformación como un todo.

El tiempo consumido en redibujar por variaciones de parámetros y por combinaciónde transformaciones.

A través de la geometría dinámica existe una fácil generación de figuras dada lafacilidad de los sistemas dinámicos para su manipulación directa, definición demacros, etc.

Imaginemos el caso del trazado de trocoides. Bastaría con modificar (arrastrando) elvalor del radio de la ruleta en este trazado de la cicloide para que automáticamente seredefinieran los valores y tuviéramos redibujada la nueva cicloide.

Investigación de relaciones funcionales en figuras geométricas.

Los lugares geométricos son especialmente indicados para el examen e ilustración derelaciones funcionales en figuras geométricas.

Las deficiencias de sistemas tradicionales en la generación de lugares geométricosson:

El tiempo consumido en la repetición del mismo proceso de construcción.

Interpolación a mano alzada poco segura.

De a cuerdo con programas de geometría dinámica: la manipulación directa en lageneración de lugares geométricos mediante movimientos individuales de un puntosujeto a ciertas restricciones, produce la generación de puntos de la curva punto apunto.

5.Geometría dinámica y tutorías.

Un aspecto a tener en cuenta a la hora de aplicar este tipo de metodología es lacapacidad que tiene de ser aplicado en tutorías virtuales.

Existe la posibilidad de que cada alumno desde su puesto de trabajo informático puedaacceder a una base de datos con ejercicios tipo, de manera que pueda:

• Ser capaz de repasar la construcción del ejercicio acomodando el ritmo de repasoa su propio ritmo de aprendizaje.

• Ser capaz de interactuar con las figuras posibilitando generar diversos tipos deejercicio a partir de uno tipo.

En caso de utilizar el programa Cabri éste posibilita crear un applet en Java a partir dela figura en Cabri previamente realizada, una vez hecho ésto se puede colgar en la webpara ser utilizado por los alumnos.

6.Conclusiones

Las presentes líneas no han pretendido ser sino una breve exposición de lo que lautilización de programas de geometría dinámica puede significar para la enseñanza dela Geometría dentro de las aulas.

Se ha adoptado una doble perspectiva por un lado se ha pretendido hacer ver lasventajas que para el docente puede tener en su labor dentro del aula, mostrando lasimplificación que este tipo de programas produce en la explicación de los temas.

Por otro lado se ha intentado adoptar el punto de vista del alumno y las ventajas quepara su proceso de aprendizaje tienen estos programas.

Las tutorías han sido otro punto tratado y en ellas se ha intentado hacer ver lasposibilidades que para la tutoría virtual tiene el adoptar soluciones de este tipo.

Referencias.

AZINIAN, H. Resolución de problemas matemáticos. Visualización y manipulacióncon computadora. Novedades Educativas. Buenos Aires. 1997.

FISCHBEIN, E, The theory of figural concepts Educational Studies in Mathematics,pp.139-162. 1993.

LSD2 y otros Cabri-classe - Aprendre la geometrie avec un logiciel. EdsArchimede.1994.