Tópicos matemáticos

GEOMETRÍA ESFERICA

• El alumno resolverá ecuacionestrigonométricas para calcular áreas yvolúmenes de cuerpos geométricos.

• Entregará un cuadernillo de ejerciciosaplicables al área de TI que contenga:

• Relaciones entre recta y ángulos

• Soluciones de ecuacionestrigonométricas

• Áreas y volúmenes.

Secuencia de aprendizaje

3. Comprender el procedimiento para el cálculo de áreas y volúmenes de figuras geométricas.

Temas Geometría esférica

Títulos de las Actividades Fecha Módulos. Indicador

%

Preguntas y respuestas (maestro a alumnos)

2 1.2 2%

Ejercicios de geometría esférica. 2 6.2 15%Cuadernillo de geometría esférica. 2 3.2 8%

Actividad:

Preguntas y respuestas (maestro alumnos)

Descripción de la actividad.Exposición por parte del maestro y al término de este los alumnos

responderán una secuencia de preguntas escalonadas.

Formato de evaluación

Indicadores Ponderación DescripciónEvaluación escrita

2%

El alumno presentara una

evaluación de 4 ejercicios para

resolver.

Total 2%

Temática

Geometría esférica Describir las fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes de diversas figuras geométricas (esfera, pirámide, cono, cubo, cilindro).

Resolver ejercicios de áreas y volúmenes.

AnalíticoSistemáticoOrganizadoObservador

Temas Saber Saber hacer Ser

1. INTRODUCCIÓN

•En este capítulo se hará un estudio de las figurasgeométricas tridimensionales estándares por ser éstas lasque están más presentes en los tratados de geometría algozar de ciertos aspectos de regularidad. En todas ellaspodemos hacer dos interpretaciones: una sobre el área dela superficie que definen y otra sobre el volumen queocupan. Incluso se podría hacer una tercera interpretacióny pensar que podrían determinar capacidades paraalbergar fluidos. En primer lugar analizaremos las figuraspoliédricas (prismáticas y piramidales), a continuación loscilindros y los conos (como figuras de revolución) y entercer lugar los poliedros regulares. En cada uno de loscasos se hará una interpretación del área de su superficiey del volumen y se estudiará su desarrollo en el plano.

SUPERFICIES POLIÉDRICAS. POLIEDROS.

Una superficie poliédrica es un conjunto finito de polígonos, que se llaman caras de la superficie, que cumplen estas dos condiciones:

1. Cada lado de una cara pertenece también a otra cara y sólo a otra. Ambas caras se llaman contiguas.

2. Dos caras contiguas están en distinto plano.

• A la superficie poliédrica también se denomina poliedro y por este nombre también se indica la porción finita del espacio delimitado por la superficie poliédrica. Un poliedro es convexo si el segmento que determinan dos puntos cualesquiera del mismo está totalmente contenido en el poliedro. Los vértices de las caras se denominan vértices del poliedro y, los lados de los polígonos, aristas del poliedro.

El poliedro de la figura adjunta tiene 12 vértices, 18 aristas, 6 caras laterales que son cuadriláteros y otras dos (parte inferior y superior del poliedro) que son hexágonos.

Prismas

Son aquellos poliedros convexos que tienen dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y las restantes caras, caras laterales, son paralelogramos formados por los pares de vértices homólogos de las bases. Si los paralelogramos son rectángulos (las aristas son perpendiculares a las bases) el prisma se denomina recto y en caso contrario oblicuo.

• Paralelepípedo: Es un prisma en el que tanto las basescomo las caras laterales son paralelogramos.

•Ortoedro: Es un paralelepípedo en el que todas sus carasson rectángulos.

Según sea el número de lados del polígono de sus bases,los prismas reciben el nombre de: triangulares,cuadrangulares, pentagonales, etcétera.

Cuando estos polígonos sean regulares el prisma recto sellama regular. La altura es el segmento sobre laperpendicular común que une ambas bases. También seconsidera la distancia entre ambas bases.

• Pirámides

La pirámide es un poliedro convexo formado por un polígono,que se denomina base, y cuyas caras laterales son triánguloscon un vértice común que se llama vértice de la pirámide.

Según sea el número de lados de la pirámide de su base, laspirámides reciben el nombre de: triangulares, cuadrangulares,pentagonales, etcétera. La altura es el segmento sobre laperpendicular que une el vértice con la base. También seconsidera la distancia del vértice a la base.

•Cuando el polígono base de una pirámide sea regulary las caras laterales sean iguales (son triángulosisósceles), la pirámide se llama regular. La altura deuna de sus caras (es igual en todas) se llama apotemade la pirámide. En este caso la altura de la pirámideune su vértice con el centro del polígono, por lo quese llama pirámide recta (una pirámide recta secaracteriza porque la proyección del vértice sobre labase es el centro del polígono). Cuando la pirámideno es recta se llama oblicua.

•Tanto los prismas como las pirámides pueden serseccionados por planos paralelos a la base uoblicuos a la misma. En el caso de los prismas sevuelve a obtener otro prisma si la sección esparalela a la base, pero en el caso de la pirámide seobtiene un poliedro que se denomina tronco depirámide (cuando la sección es paralela a la base seforma un polígono semejante al de la base).

•FIGURAS DE REVOLUCIÓN

Las figuras de revolución se obtienen girando unalínea o superficie alrededor de un eje. El eje se llamaeje de giro y la línea que gira se llama generatriz. Segenera así una superficie o un cuerpo macizo, convolumen. Las figuras más conocidas son la esfera, elcilindro y el cono, junto con otras relacionadas conellas.

Esfera (hueca o superficie esférica) es la superficiegenerada por una semicircunferencia al girar sobresu diámetro. El centro del diámetro es el centro dela esfera (es centro de simetría) y el radio de lasemicircunferencia en el radio de la esfera.

Esfera (maciza o volumen esférico) es el volumengenerado por un semicírculo sobre su diámetro. Elcentro del diámetro es el centro de la esfera (escentro de simetría) y el radio de la semicírculo en elradio de la esfera.

La superficie esférica se puede considerar tambiéncomo el lugar geométrico de los puntos del espacioque equidistan de uno fijo que se llama centro de laesfera. La distancia de un punto al centro se llamaradio de la esfera. El volumen esférico sería el lugargeométrico de los puntos del espacio cuya distanciaa un punto fijo que se llama centro de la esfera esmenor o igual que una longitud dada. La distanciamáxima de estos puntos al centro se llama radio dela esfera.

•Huso esférico es la parte de una esfera (superficie) delimitada por dos planos que pasan por un diámetro de la esfera. Cuña esférica es la parte de una esfera (volumen) delimitada por dos planos que pasan por un diámetro de la esfera.

•Zona esférica: Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos que la seccionan. Segmento esférico. Es la porción de volumen esférico comprendido entre dos planos paralelos que la seccionan.

• Cilindro con esta palabra se designa tanto a la superficiecilíndrica como al volumen cilíndrico. Aquí, en primerlugar nos referimos a cilindros rectos.

• Superficie cilíndrica es la superficie generada por unsegmento que gira alrededor de una recta paralela a deél. La recta se denomina eje del cilindro y a unacualquiera de las posiciones del segmento, por ejemploMN, se la llama generatriz del cilindro. Al girar alrededordel eje, cualquier punto del segmento generatrizdetermina una circunferencia y su radio es el radio delcilindro. La altura es el segmento sobre la perpendicularcomún que une ambas bases. También se considera ladistancia entre ambas bases.

Volumen cilíndrico es el volumen generado al girarun rectángulo alrededor de un eje que tiene uno desus lados sobre el eje de giro. Los lados delrectángulo perpendiculares al eje son radios delcilindro. Los círculos determinados por los extremosdel segmento generan sendas circunferencias y loscírculos correspondientes se denominan bases delcilindro. Estos círculos están contenidos en planosperpendiculares al eje de giro que se denomina ejedel cilindro.

Si a un cilindro recto se le secciona por dos planosparalelos no perpendiculares al eje de giro, seobtiene un cilindro oblicuo, como se muestra en lafigura adjunta. En este caso las bases son elipses.

Cono con esta palabra se designa tanto a la superficiecónica como al volumen cónico. Aquí, en primer lugar nosreferimos a conos rectos. Superficie cónica es la superficiegenerada por un segmento que gira alrededor de una rectaen la que apoya uno de sus extremos. La recta sedenomina eje del cono y a una cualquiera de las posicionesdel segmento, por ejemplo VW, se la llama generatriz delcono. El punto común del segmento y eje, V, se denominavértice del cono. La altura es el segmento sobre laperpendicular que une el vértice con la base. También seconsidera la distancia del vértice a la base.

Volumen cónico es el volumen generado al girar untriángulo rectángulo alrededor de un eje, de manera queuno de los catetos se encuentra sobre el eje de giro. Lahipotenusa del triángulo genera la superficie y el otrocateto genera el círculo base del cono, que está situado enun plano perpendicular al eje. Si a un cono recto se lesecciona por un plano no perpendicular que corte a todaslas generatrices, se obtiene un cono oblicuo, como semuestra en la figura adjunta. En este caso la base es unaelipse.

Lo mismo que las pirámides, los conos pueden sertruncados (seccionados) por planos perpendicularesu oblicuos a su eje. A la parte de estas figurascomprendida entre el plano y la base se le llamatronco del cono. Cuando el plano es perpendicular aleje la sección es una circunferencia o un círculo y sies oblicuo una elipse o una región elíptica.

POLIEDROS REGULARES

Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares que concurren de la misma forma en cada vértice. Sólo existen cinco poliedros regulares, y se conocen con el nombre de cuerpos platónicos. Son éstos:

• Tetraedro: Poliedro formado por cuatro triángulos equiláteros.

• Hexaedro o cubo: Poliedro formado por seis cuadrados.

• Octaedro: Poliedro formado por ocho triángulos equiláteros.

• Dodecaedro: Poliedro formado por doce pentágonos regulares.

• Icosaedro: Poliedro formado por veinte triángulos equiláteros.

• ÁREAS Y VOLÚMENES

Como los poliedros son superficies desarrollables, su área se definecomo el área de la figura plana que forma dicho desarrollo. En elcaso de las figuras de revolución se obtiene como límite de áreas depoliedros y en el caso de la esfera (y las superficies relacionadas conella) se considera como límite del área de otros cuerpos derevolución (los generados por un polígono regular al girar sobre undiámetro, cuando el número de lados tiende a infinito). Si seconsidera un cuerpo tridimensional como un cuerpo macizo, tienesentido plantearse cuántos cubos de lado unidad caben en dichocuerpo (se puede entender también como capacidad de lasuperficie), así que se parte del volumen de un prisma y el resto seobtiene como límite de cuerpos que resultan de unir varios prismas.La relación que se presenta está escaneada de M. Díaz Vázquez(1979). Diccionario básico de Matemáticas. Madrid, Anaya.

Actividad:

Ejercicios de geometría esférica

Descripción de la actividad.

Los alumnos resolverán ejercicios de geometría esférica

Modo de evaluar.Clave Concepto Porcentaje

6.2 Lista de chequeo (Producto) 15%