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TALLER # 1 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA: FUNDAMENTOS

De las premisas dadas, obtener una conclusión y diga cual regla de inferencia se aplica.

1) De las premisas dadas, obtener una conclusión y diga cual regla de inferencia se

aplica:

a)

____________

pvq

rpvq

b)

_________

p

rpp

c)

_________

r

rq

d)

_________

r

rqp

d)

__________

rp

pq

e)

_________

rt

ts

2) Utilice las reglas de inferencia para obtener una deducción lógica de la proposición

que se indica, a partir de las proposiciones dadas:

a)

? 5)

? 4)

s 3)

r s 2)

tr 1)

tDeducir

b)

? 5)

? 4)

a 3)

c db )2

db1)a

cDeducir

3) Considérese cierta colección (finita y no vacía) P de personas y ciertos clubes

formados por estas personas, siendo un club (no vacío) un conjunto de personas

organizadas para cierto fin común. Nuestros términos básicos son la colección P de

gente y los clubes a los cuales estas personas pertenecen. Respecto a estas personas

y a sus clubes suponemos:

Postulado 1: Toda persona de P es un miembro al menos de un club.

2

Postulado 2: Para cada par de personas de P hay uno y solo un club al cual

ambas pertenecen.

Postulado 3: Para cada club hay uno y solo un club conjugado.

De estos postulados dedúzcanse los siguientes teoremas:

Teorema 1: Toda persona de P es un miembro al menos de dos clubes.

Teorema 2: Todo club contiene al menos dos miembros.

Teorema 3: P contiene al menos cuatro personas

Teorema 4: Hay al menos seis clubes.

Teorema 5: Ningún club contiene más de dos miembros.

4) Para cada uno de los siguientes enunciados determine y justifique su veracidad o

falsedad:

Si C y D son puntos de la recta

AB entonces las rectas

CDyAB son idénticas.

Cada segmento contiene infinitos puntos.

Si dos planos diferentes tienen dos puntos en común entonces su intersección es

la recta determinada por dichos puntos.

Si una recta intercepta un plano que no la contiene, entonces la intersección es

un punto.

Dados una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un solo plano que

contenga a los dos.

Si dos rectas se interceptan, su unión queda en exactamente un plano.

5) La recta l intercepta al plano en el punto P, pero no está en . La recta m está

en el plano pero no contiene al punto P. ¿Será posible que la recta l intercepte a

m? Explique su respuesta.

6) “Si los ángulos de la base de un triángulo son iguales, entonces es isósceles.” ¿Cuál

es el contrarrecíproco de esta proposición?

7) Sean A, X, B puntos sobre la siguiente recta

AB tales que A – X - B:

¿Pertenece A al rayo

AB ?

¿Pertenece A a AB ?

¿ ABx ?

¿ BXA ?

3

8) Una recta

AB y un plano tienen los puntos P y Q comunes; ¿Qué puede

concluirse acerca de

AB y el plano ? ¿Por qué?

9) Se sabe que tres puntos no clineakes A, B y C están en un plano los mismos tres

puntos A, B y C están en un plano . ¿Se podría concluir que son el mismo

planos? ¿Por qué?

10) Sí A, B y C son puntos distintos, no colineales, ¿cuántas rectas determinan?

Identifíquelas.

11) Sí C esta entre A y B y E esta entre C y B. ¿Cuantas semirrectas determinan?

Identifíquelas.

12) Aplicando los axiomas de orden demuestre quew el segmento AB tiene infinitos

puntos.

13) Sean A y B puntos distintos. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si

son verdaderas o falsas, justificando su respuesta.

¿Es BAAB ?

¿Es

BAAB ?

¿Es

BAAB ?

14) Si 21 IeI son rectas distintas tales que 2121 ,,, IQIQIPIP . ¿Qué puede

afirmarse acerca de 21 IeI ? Explique su respuesta.

15) De la siguiente figura identifique:

BC

BD

CA

AD

BC

DB

16) Refute los siguientes enunciados:

Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, el cuadrilátero es un

cuadrado.

4

Si un cuadrilátero tiene cuatro ángulos congruentes, tiene cuatro lados

congruentes.

Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y un ángulo

cualesquiera, entonces dichos triángulos son congruentes..

Los ejercicios 27-28 se responden de acuerdo a la figura de la derecha.

17) Dado BCAB

CA

Pruébese ABDCBE

18) Dado BEBD

BECBDA

Pruébese BECBDA

Los ejercicios 29-30 se responden de acuerdo a la

figura de la derecha.

19) Dado

DBFACE

DA

BDAC

Pruébese DBFACE .

20) Dado

DA

DFAE

BDAC

Pruébese BDFCAE

5

21) mmm Dado

BDAC

43

21

Pruebe que BFAE

22) Dado

TRPV

RQPQ

21

Pruébese QVQT

23) Dado

HGHF

ACHG

BDHF

Pruébese DFAG

24) Dado

43

21

EFED

CBAB

Pruébese CFAD

25) Dado FDRFEY

FDFE

Pruébese DREY

Pruébese DREY

6

26) Dado O es el punto medio de BC

AOB Es isósceles con OBOA

Pruébese AOC Es isósceles.

27) Dado: ABCE tiene BCAB

BDF Es isósceles con BDBF

BF bisectriz de ABD y

BD bisectriz de CBF

28)

Dado B es el punto medio de AC

GBFB

43

21

Pruébese GEFD

29) Dado

OB biseca a AOC

OC bisecta a BOD

Pruébese CODAOB

7

30) Dado IHGyFGH son ángulos rectos

21

Pruébese FGHIHG

31) Dado: ABCD un cuadrilátero con todos los lados de

la misma longitud.

21 W, X, Y, Z son puntos medios de los lados.

Pruébese DZYBWX

Dado

OEAB , O es el punto medio de AB

21

CBODAO

Pruébese BOCAOD

32) Dado DCYBCY

DAXBAX

Pruébese DCBC

8

33) Dado CEBE

DEAE

Pruébese CDAB

34) Dado

BC bisectiz de ABD

21 Pruébese DBCABC

35) Dado 65

21

mm

mm

Pruébese AD=AB

36) Dado AB = CD, BD = CE

Pruébese AC = CE

37) Dado

ACFC

ACEB

ACDA

21

B es punto medio de AC

Pruébese CFAD

9

38) Dado 43

21

Pruébese YWXV

39) Pruebe que la altura a la base de un triángulo isósceles también es la bisectriz del

ángulo del vértice.

40) En la siguiente figura RVySW son

medianas del RST , SL = 4, SW=6 y

RV = 9. Encuentre RL

41) Dado

BEBD

BCEF

ABDG

BCAB

Pruébese CFEAGD

42) Dado ECAD

21

Pruébese BCDABE

10

43) Dado ABC , es equilátero

CEBDAF

Pruébese IIIIII

44) Dado ABC , es equilátero, CEyBDAF ,

Son extensiones de los lados del ABC

321

Pruébese IIIIII

45) Dado AD = BC

AC = BD

AK = BN

AG = BH

Pruébese KG = NH.

46) Dado nm

Pruébese BCAC

11

47) Dado AC=BC,

DC=EC,

G es el punto medio de DC ,

H es el punto medio de EC ,

BCDAEC .

Pruébese AG=BH.

48) Si, en la figura ACAB y AR es

bisectriz de BAC , demostrar que:

RCRB .

La bisectriz del BRC está

contenida en la bisectriz del BAC

49) Se da un triángulo isósceles ABC de base BC; se prolongan los lados BA y CA en

una misma longitud AE = AD (E sobre BA, D sobre CA).

Probar que los triángulos DBA y ECA son iguales.

Se lleva sobre AB y AC, AB’=AC’, ( B’ sobre AB y C’ sobre AC), se trazan CB’

y BC’ que se cortan en O. Demostrar que los triángulos BB’O y CC’O son

iguales

50) Dados los triángulos MNPyABC tales que NPBCMPAC , y la mediana

AD es congruente con la mediana MQ entonces el MNPABC .

51) En un triángulo ABC , ACAB . Se trazan las medianas CEyBD relativas a los

lados congruentes, los cuales se cortan en el punto I.

Pruébese que DIEyBIC son isósceles.

Comparar DICyBIE

52) Demostrar que si dos rectas se cortan, las bisectrices de los cuatro ángulos forman

dos rectas perpendiculares.

53) En un triángulo ABC se traza la bisectriz AD del ángulo BAC , se toma en AD

los puntos E y F tales que ACAFyABAE . Demostrar que CEBF .

A

B

C

R

12

54) Para los triángulos ABC y ''' CBA se tiene que ''' CBBCyBB y las

bisectrices ''EBBE . Mostrar que ''' CBAABC .

55) Dados los puntos A, C, D y E están alineados con A-E-D y A-D-C. B es un punto

que no está en

AC , tal que AB = AC, EB= DB y AE = CD. Pruébese que

DBCABE .

56) En el triángulo ABC , BA , El punto P bisecta AB, PM y PN están trazadas

de modo que APNBPM .Demuéstrese que BM = AN

57) Demuestre cada uno de los siguientes proposiciones:

La mediana de la base de un triángulo isósceles es bisectriz del ángulo del

vértice.

Todo punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.

Sí la bisectriz de un ángulo de un triángulo es también la altura del lado opuesto,

Entonces los otros dos lados del triángulo son congruentes.

Si una mediana de un lado de un triángulo es también la altura sobre ese lado,

Entonces el triángulo es isósceles.

En un triángulo isósceles, las bisectrices de los ángulos de la base son

congruentes.

Todo punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento.

58) Para cada una de las siguientes afirmaciones diga si es verdadera ó falsa y justifique:

Una condición necesaria pero no suficiente para que dos triángulos sean

congruentes es que tengan respectivamente congruentes sus tres ángulos.

En un triángulo equilátero el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro

coinciden.

Si dos ángulos son adyacentes entonces forman un par lineal.

Si la altura correspondiente a la base de un triángulo es bisectriz del ángulo opuesto,

entonces el triángulo es isósceles.

Dos triángulos son congruentes si y solo si tienen respectivamente congruentes sus

tres lados.