Geometría

JosepMaria.Fortuny@uab.es

http://antalya.uab.es/edumat/matlet.htm

Alumno 1 Alumno 2

Visualización

Exploración

http://antalya.uab.es/edumat/aeroport.ggb

Modelización

http://antalya.uab.es/edumat/cabrijar/45/index.htm

Razonamiento

VISUALIZACIÓN

EXPLORACIÓN

MODELIZACIÓNRAZONAMIENTO

Geometría

TipologiaMateriales y recursos Asignación Curricular y Tipologia de las Actividades Geometricas

Visualizar "percibir e imaginar" observación construcción representación

Explorar "Seguir y Hacer Caminos" Programar Relacionar

Modelizar "Estructurar" Analizar Comunicar Hacer Conjeturas

Procedimientos

Proc. Cognitivo Observación Visualización Exposición Realización ensayo-error Resolución problemas

Exploraciones Arqueológicas

Tipologia 2

Modelos geométricos Aplicación modelos e interpretación Identificación de figuras Localización Construcción figuras-mosaicos Reconocimiento congruencias Representación de figuras Transformaciones Representación plana del espacio Generación figures 3D Determinación de figuras

Exploraciones Arqueológicas

La joya olímpica

El aeropuerto conjunto

Seleción curricular

Visualizar (“percibir y imaginar ”)

Observación (mirar el mundo real con lentes geométricas)

Construcción (hallar nuevos resultados partir de los datos

presentados)

Representación (diverso lenguajes para indicar observaciones)

Explorar (“seguir y construir caminos”)

Programar(producir algoritmos de pasos de construcciones

geométricas)

Interpretar (identificar objetos geométricos a partir de la

observación)

Relación (identificar propiedades)

Modelización ( “encontrar una estructura matemática”)

Interpretación (dar significado a figuras o transformaciones)

Análisis (secuencia de afirmaciones a partir de una interpretación

de datos)

Comunicación (parte explicativa del proceso de modelización)

VISUALIZAR

a

Represent.externas

Habilidades Imágenesmentales

Procesosmentales

a

Repres.externa

Imagenmental

Repres.externa

Respuesta

VISUALIZAR

VISUALIZACIÓN

Tipos de imágenes mentales (Presmeg):

• Concretas o pictóricas.

• De fórmulas.

• De patrones.

• Cinéticas.

• Dinámicas.

VISUALIZACIÓN

Tipos de procesos mentales (Bishop):

• Procesamiento visual: Información > Imagen.

• Interpretación de información figurativa: Imagen > Información.

VISUALIZACIÓN

Tipos de habilidades mentales (Del Grande):

• Coordinación motriz de los ojos.

• Identificación visual.

• Conservación de la percepción.

• Reconocimiento de posiciones en el espacio.

• Reconocimiento de relaciones espaciales.

• Discriminación visual.

• Memoria visual.

Investigación en Didáctica de la Geometría(A. Gutierrez,1998)

70-90

• factor analytic studies towards understanding the development of students' constructions of geometric concepts and the role of visual imagery.

• that emphasise visual and contextual aspects of conception and those that interpret learning in terms of developmental theories, for example, the Van Hieles'theory (Gutierrez,

VH

• The transition between levels has been the focus of a number of studies.

• Significant aspects of the transition from • Level 1 (recognition based on global perspective of a figure) to • Level 2 (analysis of the properties of figures) were ( a) A realisation

that aspects of a figure are important (identification of features), (b) An attempt to document more than one feature, and, (c) Grouping figures based on a single property (Pegg & Baker, 1999). As mentioned, the transition from Level 2 to

• Level 3 has been identified as problematic (Clements & Battista, 1991).

Modelo de razonamiento matemático de Van Hiele

Niveles de razonamiento

Fases de aprendizaje

DESCRIBIR

Nivel 1: Descripción de propiedades y elementos físicos de los objetos matemáticos.

Nivel 2: Descripción de propiedades y elementos matemáticos de los conceptos.

DESCRIBIR

DESCRIBIR

DEFINIR (usar definiciones)

Nivel 2: Definiciones con una estructura lógica simple.

Nivel 3: Cualquier tipo de definición.

Nivel 4: Se admite la existencia de definiciones equivalentes.

Nivel 1: Descripción de características físicas de las figuras.

Nivel 2: Lista de las propiedades conocidas de ese concepto, redundante o insuficiente.

Nivel 3: Conjunto de propiedades necesarias y suficientes.

Nivel 4: Se puede demostrar la equivalencia de definiciones.

DEFINIR (construir definiciones)

CLASIFICAR

Nivel 1: Clasificaciones exclusivas basada en el aspecto físico.

Nivel 2: Clasificaciones exclusivas de familias con propiedades contrarias.

Nivel 3: Clasificaciones inclusivas o exclusivas según las definiciones usadas.

CLASIFICAR

CUADRADO: Cuadrilátero con todos los lados iguales y todos los ángulos rectos.

RECTÁNGULO: a) Cuadrilátero con dos pares de lados iguales y todos los ángulos rectos.

b) Cuadrilátero con todos los ángulos rectos.

ROMBO: a) Cuadrilátero con dos pares de ángulos iguales y todos los lados iguales.

b) Cuadrilátero con todos los lados iguales.

CLASIFICAR

Cuadr.Rect.

CLASIFICAR

Cuadr.

Rect.

CLASIFICAR

Cuadr.

Rect.Cuadr.Rect.

CLASIFICAR

Equil.

Isósc.Equil.Isósc.

Isósceles: Triángulo con (al menos) dos lados iguales.

Isósceles: Triángulo con dos lados iguales y uno desigual.

CLASIFICAR

CUADRADO: Cuadrilátero con todos los lados iguales y todos los ángulos rectos.

PARALELOGRAMO: Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.

Nivel 2: Verificación empírica de las propiedades en uno o varios ejemplos.

Nivel 3: Demostraciones abstractas deductivas informales, pero generalmente con ayuda de ejemplos concretos.

Nivel 4: Demostraciones abstractas deductivas formales.

DEMOSTRAR

Categorías de demostraciones (Marrades, Gutiérrez):

Demostraciones empíricas o inductivas:

Demostraciones deductivas:

- Empirismo naïf: Verificación en ejemplos cualesquiera.

- Experimento crucial: Verificación en un ejemplo “general”.

- Ejemplo genérico: Justificación abstracta basada en un

ejemplo representante de su clase.

- Experimento mental: Demostración con la ayuda de un

ejemplo.

- Cálculo sobre enunciados: Basada en manipución o

transformación de expresiones literales.

- Transformativa: Basada en operaciones de transformación de

objetos y anticipación de resultados.

- Axiomática: Basada en los elementos del sistema axiomático.

DEMOSTRAR

DEMOSTRAR

Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR

Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR

Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR

Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR

Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR

Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

Revisión de la investigación en Didáctica de la Geometría en el

ICME 2008• 1. Curriculum studies and new curriculum

implementation. • 2. Geometry education and the “real world”:

geometrisation and applications. • 3. Instrumentation: artefacts, such as computers, and the

way they are used. • 4. Explanation, argumentation and proof in geometry

education. • 5. Spatial abilities and geometric reasoning about two-

dimensional and three-dimensional shapes. • 6. Teacher preparation in geometry education.