INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA DIRECCION DE ESTUDIOS PROFESIONALESESCUELA:SUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICAS ESCUELA:SUPERIOR CARRERA:LIC. EN FISICA Y MATEMATICAS CARRERA:LIC. ESPECIALIDAD: MATEMATICAS COORDINACION:ACADEMIA DE GEOMETRIA COORDINACION:ACADEMIA DEPARTAMENTO:MATEMATICAS DEPARTAMENTO:MATEMATICAS FUNDAMENTACION DE LA ASIGNATURA ASIGNATURA: GEOMETRIA PROYECTIVA CLAVE: 0314 SEMESTRE: 3o. CREDITOS: 9 VIGENTE: 1994/95 TIPO DE ASIGNATURA: ELECTIVA MODALIDAD: ESCOLARIZADO

La geometra proyectiva es una rama de la geometra (ms avanzada y general que la geometra euclidiana bsica) que es relevante en la formacin profesional de un matemtico, y tambin en la de los especialistas en la fsica moderna. Los especialistas en computacin, sobre todo quienes trabajan en aspectos grficos, tambin necesitan conocimientos de esta materia. Asimismo, al egresado de la licenciatura con desempeo profesional en la docencia, le brinda una perspectiva ms amplia de los temas geomtricos que imparta. La materia "Geometra Proyectiva" es una etapa en la progresin de la geometra dentro de los planes de estudio de la carrera y guarda una posicin intermedia entre la geometra euclidiana, sinttica o analtica del primer ao de la carrera, y las reas de geometra diferencial y topologa de los aos tercero y cuarto de la carrera. La materia est altamente relacionada con los cursos de lgebra lineal (lgebra II y lgebra III) pues hay posibilidades de intepretacin de los resultados de la geometra proyectiv aen trminos del lgebra lineal, as como la interpretacin de resultados en la direccin opuesta. La materia proporciona antecedentes importantes al curso de Algebra Moderna I con el estudio concreto y detallado de algunos grupos importantes: los grupos de transfomaciones ortogonales, afines y proyectivas. (sigue en la pg. 2)

OBJETIVO DE LA ASIGNATURAEl conocimiento y manejo de las propiedades geomtricas que son invariantes bajo el grupo de transformaciones que conservan la colinealidad (esto es, de las transformaciones proyectivas como pueden ser las perspectividades, transformaciones afines, etc.).

TIEMPOS TOTALES ASIGNADOS: HRS./SEMESTRE 90 HRS/SEMANA 4.5 HRS./TEORIA/SEMESTRE 90 HRS./PRACTICA/SEMESTRE

PROGRAMA ELABORADO O ACTUALIZADO POR: ACADEMIA DE GEOMETRIA REVISADO POR: DEPTO. DE MATEMATICAS APROBADO POR: C.T.C.

AUTORIZADO POR: M. en C. OLGA LETICIA HDEZ. CHAVEZ DIRECTORA DE LA E.S.F.M.

ASIGNATURA

GEOMETRIA PROYECTIVA

CLAVE 0314 HOJA 2

DE 8

FUNDAMENTACION

Tambin, inicia la perspectiva metodolgica del "estudio de invariantes bajo un grupo de transformaciones", enfoque fundamental de la topologa.

ASIGNATURA No.UNIDAD 1

GOEMETRIA PROYECTIVA NOMBRE INTRODUCCION

CLAVE 0314

HOJA 3 DE 8

OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDADLa introduccin al curso es una unidad con 2 objetivos fundamentales: 1. Ubicar la geometra proyectiva entre los diferentes tipos de geometras 2. Introducir la herramienta algebraica necesaria y el conepto de punto ideal (tambin llamado "punto al infinito").

# DE TEMA1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

TEMASClasificacin de las geometras La nocin de proyeccin Elementos ideales Coordenadas homogeneas Ecuaciones en coordenadas homogeneas

INSTRUMENTACION DIDACTICASiendo una materia totalmente nueva para el alumno este punto se desarrolla d emanera informativa Considerar perspectivas justificar en busqueda de completar dichas transformaciones, la introduccin de elementos ideales. Introducir coordenadas establecer analogas con la analtica, sto a su vez con motivar la unidad 2. permitir geometra el fin de

H/T3 3 3

H/P

E C.2 2 2

CLAVE B.1 1 1

ASIGNATURA No.UNIDAD 2

GEOMETRIA PROYECTIVA NOMBRE ESPACIOS PROYECTIVOS

CLAVE 0314

HOJA 4 DE 8

OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDADDespus de una primer unidad introductoria, en esta se busca: 1. Introducir un nuevo gnero de espacios, los espacios proyectivos, ilustrndolos particularmente con el de las coordenadas homogneas 2. Introducir un principio bsico, el de la dualidad, y un teorema tambin bsico de la materia, el teorema de Desargues.

# DE TEMA2.1 2.2 2.3 2.4

TEMASDefinicin, coordenadas homogneas, cambio de sistemas de referencia Subespacios e hiperplanos Dualidad Teorema de Desargues

INSTRUMENTACION DIDACTICAIntroducir e ilustrar los concpetos ejercitacin del alumno en identificar elemtnos geomtricos a partir de coordenadas o ecuaciones homognas Relacionar el concepto con su anlogo, la dualidad en el lgebra lineal Abordar sus versiones ene l espacio para leugo tratarlo en el plano, explotar su relacin con 2.3

H/T9 6 3

H/P

E C.6 4 2

CLAVE B.1y3 1y3 1y3

ASIGNATURA GEOMETRIA PROYECTIVA No.UNIDAD NOMBRE 3 INTRODUCCION A PROYECTIVIDADES OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD1. Introduccin y manejo de las transformaciones proyectivas (o proyectividades) 2. Determinacin de los invariantes de las transformaciones proyectivas

CLAVE 0314 HOJA 5 DE 8

# DE TEMA

TEMAS

INSTRUMENTACION DIDACTICA

H/T

H/P

E C.

CLAVE B.

3.1 y 3.3

Proyeccin de una recta sobre otra en el plano extendido Proyectividades

Introduccin e ilustracin de las nociones. Busqueda de imgenes directas e inversas de figuras geomtricas. Clculo de composiciones de proyectividades.

3 6

2 4

1y3 1y3

3.2

Razn doble

Introduccin del concepto y justificacin de su invariancia

9

6

1y2

ASIGNATURA No.UNIDAD 4

GEOMETRIA PROYECTIVA NOMBRE

CLAVE 0314

HOJA 6 DE 8

GEOMETRIA PROYECTIVA DE DIMENSIONES 1 Y 2 OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD

1. Particularizar los contenidos de las unidades 2 y 3 a la recta y al plano proyectivo 2. Investigar resultados adicionales propios a las dimensiones 1 y 2

# DE TEMA4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

TEMASDefiniciones Teorema de Pappo Razn doble y divisin armnica Algunos resultados sobre el tringulo Invariancia de la razn doble bajo colineacin Involuciones

INSTRUMENTACION DIDACTICAJustificacin de las propiedades en los temas 4.2, 4.4 t 4.5. Su asimilacin se complementa con la ilustracin y anlisis de casos particulares. El tema 4.3, ya abordado en 3.2 se complementar con el anlisis del caso de divisin armnica

H/T3 3 9 6 3 3

H/P

E C.2 2 6 4 2 2

CLAVE B.3 3 2 2 1y3 2

una

ASIGNATURA No.UNIDAD 5

GEOMETRIA PROYECTIVA NOMBRE CONICAS

CLAVE 0314

HOJA 7 DE 8

OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD

1. Introducir la nocin de cnica en el plano proyectivo, un concepto que extiende el de cnica en el plano real 2. En el contexto del objetivo 1, presentar y analizar las propiedades bsicas de las cnicas.

# DE TEMA5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

TEMASDefinicin de cnicas Generacin proyectiva de cnicas Representacin paramtrica de cnicas Polares, polos; ecuaciones trangenciales Geometra en una cnica Cordelaciones Involuciones en una cnica Involuciones en el plano Proyectividades no involutorias en una cnica

INSTRUMENTACION DIDACTICAIntroduccin e ilustracin de los conceptos. El alumno complementa la adquisicin de stos por el anlisis de casos particulares y las situaciones duales. Presentacin y justificacin de los resultados ms importantes: Teoremas de pascal y Brinachon. Presentacin y justificacin de las involuciones y sus propiedades. Demostracin del teorema de Desargues sobre involuciones

H/T

H/P

E C.

CLAVE B.

6 6 6

2 2 2

3 3 3

ASIGNATURA: GOEMETRIA PROYECTIVA CLAVE 0314 HOJA 8 DE 8 PERIODO UNIDADES PROCEDIMIENTOS DE EVALUACION TEMATICA S

I II III

1y2 3y4 5

En todos los casos, exmenes por escrito, en los cuales se evala tanto el conocimeinto de la teora como la capacidad de justificar propiedades o resultados complementarios a los abordados en el curso. En forma complementaria, se evalan tareas asignadas para resolver en una semana, y eventualmente exposiciones breves en clase sobre la resolucin de problemas.

CLAVE1 2 3

BX

CX

BIBLIOGRAFIAP. S. Modenov, A. S. Parkhomenko. "Geometric Transformations" Volume 2; Projective Trnasformations. N. Y., Academic Press, 1965. L. S. Shively. "Introduccin a la geometra moderna". Mxico, D. F. C.E.C.S.A., 1961 Frank Ayves. "Projective Geometry". N. Y. Schamn's Publishing, Co. 1967.

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