Geometria Semana 9

7/24/2019 Geometria Semana 9

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UNMSM GeometraSEMANA 9

RELACIONES MTRICAS ENLA CIRCUNFERENCIA

1. En una circunferencia de centroO se ubican los puntos A y B;

luego se ubica M en AB tal que:AB = !" AM = MO = #!;calcule BO:

A$ #! B$ % ! &$ ' !($ ) ! E$ * !

RESOLUCIN

(atos:AM = MO = #AB = MB = %

+iden: BO = r

, +rolonga!os: ( )MO M- r # = , eore!a de las &uerdas:

( ) ( )# % r # r # = + /esol0iendo: r = '

RPTA.: C

. +or lo 02rtices B y & de unrect3ngulo AB&( se tra4a una

circunferencia tangente a A( que

intersecta a BA en M; calculeB&" si BM = ! y AM = 1!

A$ 15 ! B$ 1% ! &$ 5 !($ % ! E$ 155 !

RESOLUCIN

(atos:BM = ; AM = 1

+iden: B& = 6, 7e obser0a:

&8 = BM = 8( = AM = 1

eore!a de la tangente:

( ) ( ) ( ) ( )

A- -( 155 1= =

A- -( 15= =B& 6 5= =

RPTA.: C

9. (ado un cuadrante AOB; se ubicael punto M en la prolongacin de

OB tal que AM intercepta al arcoAB en -; calcule M- si:OB = 9 ! y MB = 1 !.

A$ 1 ! B$ ! &$ 9 !($ "* ! E$ 1" # !

RESOLUCIN

SAN MARCOS 2013 CUESTIONARIO DESARROLLADO


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UNMSM Geometra

(atos:OB = 9 OA =9B- = 1 OM = # AM = %+iden: M- = 6

, +rolonga!os el arco AB y BO

eore!a de las 7ecantes:

( ) ( )% 6 ) 1 6=

RPTA.: E

#. En un trapecio issceles AB&(;calcule A& si: AB = &( = #!;

B&= % ! y A( = # % !.

A$ # ! B$ *! &$ 9 %!

($ ' ! E$ % !

RESOLUCIN

(atos:

AB = &( = #; B& %= ; A( # %=

+iden: A& = 6

, +or issceles A& = B( = 6+or AB&( es inscriptible

eore!a de +tolo!eo:

( ) ( ) ( )6 6 # # % # %= + 6 = '

RPTA.: D

%. (adas circunferencias tangentese6teriores en E; se tra4a unarecta tangente a una de ellas en( que intercepta a la otra

circunferencia en B y A;B A( ; la recta tangente co!n

interior intercepta a B( en &;&alcule (& si:

1 1 1

(B (A %+ =

A$ "% B$ % &$ 15

($ 1% E$ %

RESOLUCIN

(ato:

1 1 1

a b %+ =

+iden: (& = 6, eore!a de angente:

( ) ( ) ( )

&E A& B&=/ee!pla4ando:

( ) ( ) ( )

6 b 6 a 6=

Ordenando:

1 1 1

a b 6+ =

(el dato: 6 = %RPTA.: B

'. En un paralelogra!o AB&(" lacircunferencia circunscrita altri3ngulo A&( intercepta en E a

la prolongacin de (B; calcule EBsi: A& = 1 ! y B( = *!.

A$ ' B$ # &$ 9($ E$ %



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UNMSM GeometraRESOLUCIN

(ato:A& = 1; B( = *

+iden: EB = 6, AB&(: paralelogra!o AO O& '= =

BO O( #= =

eore!a de las &uerdas:

( )6 # # ' '+ = 6 = %

RPTA.: E

). En un tri3ngulo AB&; se tra4a la

altura ( )B< < A& ;B& A&; =

( ) ( ) 1B& A< * != .&alcule AB.

A$ # ! B$ ! &$ ' !

($ * ! E$ !

RESOLUCIN

(atos:B& = A& = a;

a ! = *

+iden: AB = 6, ra4a!os: a altura &- B- =

-A =6

-nscriptible

eore!a de las 7ecantes:

66 a! *

= =

6 = #RPTA.: A

*. (ado un ?e63gono regularAB&(E@ inscrito en unacircunferencia; se ubica el punto+ en el arco AB; calcule: +E si+& = % ! y +A = 1 !.

A$ 1 ! B$ ! &$ # !($ ' ! E$ 9 !

RESOLUCIN

(ato:AB&(E@: nscrito$eore!a +tolo!eo:+E a$ = +& a$ +A a$

+E = % 1 ='RPTA.: D

. 7e tienen dos circunferenciase6teriores" se tra4an las rectas

tangentes co!unes e6teriores ABy &(" A y & en una !is!a



4/8

UNMSM Geometracircunferencia; calcule la ra4nentre las longitudes de las cuerdasdeter!inadas en las

circunferencias por: A(.

A$ 1 B$ &$ 9($ # E$ %

RESOLUCIN

(atos:AB y &(: /ectas tangentes

+iden:6

y

, +ropiedad: AB = &(, eore!a de la angente

( ) ( )

AB A( 6 !

= +( ) ( )

&( A( y != +

>gualando:6

6 = y 1y

=

RPTA.: A

15. En un cuadrado AB&(AB = 5 !$" con centro en A yradio AB se tra4a el arco B( queintercepta a la circunferencia

inscrita en el cuadrado en: M y -;calcule M+ si + es el punto deinterseccin de la circunferencia

inscrita con AM .

A$ % ! B$ 15 ! &$ 1% !($ 5 ! E$ % !

RESOLUCIN

(ato:AB = 5

+iden: M+, 7e obser0a: A8 = 8( = 15

AB = AM = A( = 5eore!a de la angente:

( ) ( ) ( )

A8 AM A+=

( ) ( ) ( )

15 5 A+ A+ %= =

uego: +M = 1% ! RPTA.: C

11. En un cuadrante BO( se inscribeel cuadrado O@&E; ; en

la prolongacin de (O se ubica elpunto A tal que AO = O( ; A@intercepta al arco B( en M; si:@M= a; calcule &E.

A$ a B$ a 9 &$ a

($ a % E$ a )

RESOLUCIN



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UNMSM GeometraBE; A( = ' !" (B = E& = # ! yAD = @& B" (" D" @ y E sonpuntos cclicos$

A$ # ! B$ ' ! &$ 15 !($ 1# ! E$ 11 !

RESOLUCIN

(atos:B" (" D" @ y E: puntos cclicos.

A( = ';(B = E& = #; AD=@& = a

+iden: BE = F, eore!a de las secantes:

( ) ( )a b a 15 '+ =

GGGGGGGGG>$( ) ( )a b a 6 # #+ = + GGGGGGG>>$>$ = >>$

( ) ( )15 ' 6 # #= +

( )1% 6 #= + 6 11=

RPTA.: E

1%. En una se!icircunferencia dedi3!etro AB se ubican los puntos

( y &" ; { }A& (B E = .&alcule E&" (E = ' !" EB = ! yAB = 1) !.

A$ ' ! B$ ! &$ #"* !($ %"# ! E$ 9" ' !

RESOLUCIN

(atos:

AB : (i3!etro; (E = '; EB =

AB = 1)+iden: E& = 6

, A(B A( = *, A(EAE = 15

eore!a de las &uerdas:

( ) ( )6 15 ' =

6 %"#=RPTA.: D

1'. (esde un punto e6terior E a unacircunferencia se tra4an las rectas

secantes EAB y E&(; &( es la

cuerda tangente en M a AB ;

calcule MB " si: E& *!= "&( = 15 ! y EA = AM.

A$ * ! B$ ! &$ 15 !($ 11 ! E$ 1 !

RESOLUCIN

(atos:E& = *; &( = 15" EA = AM = a+iden: MB = 6



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UNMSM Geometra, eore!a de la angente:

( ) ( ) ( )

a 1* *=

a '=

, eore!a de la 7ecante:

( ) ( )a 6 a 1* *+ =

( ) ( )1 6 ' 1* *+ =

6 = 1RPTA.: E

1). En un tri3ngulo AB& se tra4a una

circunferencia tangente a AB y

B& en M y - respecti0a!ente"dic?a circunferencia intercecta a

A& y A+ en + y 8respecti0a!ente; calcule AM si:-& = # !" +& = 1! y A8 = % !.

A$ % ! B$ ' ! &$ * !($ ! E$ 15 !

RESOLUCIN

(atos:-& = #" +& = 1 y A8 = %

+iden: AM = 6

eore!a de la angente:

( ) ( )

# a 1 1= +

a = 1%

eore!a de la angente:

( )6 % a %= +

( )

6 % 1% %= + ( )6 15=

RPTA.: E

1*. (esde un punto e6terior E a unacircunferencia se tra4an la rectatangente EA y la recta secante

EB&; el punto !edio M de B&deter!ina en una cuerda de dic?acircunferencia seg!entos de

longitudes 9 ! y # !. &alculeEA si B y M trisecan a E& .

A$ # ! B$ % ! &$ ' !($ ) ! E$ * !

RESOLUCIN

(atos:-8 = 9; M+ = #EB = BM = M& = a+iden: EA = 6

, eore!a de las &uerdas:( ) ( )a a 9 #=

, eore!a de la angente:

( ) ( )

6 9a a=

1 6 = '

RPTA.: C

1. (esde un punto A e6terior a unacircunferencia" se tra4an las rectas

tangentes AB y A& " ta!bi2n setra4a la recta secante A(E;



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