Geometria_11_12_ Regiones Poligonales y Sus Areas
-
Upload
hugo-flores -
Category
Documents
-
view
56 -
download
1
Transcript of Geometria_11_12_ Regiones Poligonales y Sus Areas
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 1 -
Cepre - UTP
Cepre - UTP
C ENTRO PRE-UNIVERSITARIO
GGEEOOMMEETTRRÍÍAA
TEMA Nº 11-12: REGIONES POLIGONALES Y SUS ÁREAS
DEFINICIÓN Área es el número que expresa la medida de la superficie de una figura cerrada.
POSTULADO FUNDAMENTAL El área de toda región cuadrada es siempre igual al cuadrado de la longitud de su lado.
ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR
Demostración :
l
l A = l 2
A (cm2, m2)
b
S = a.b S
S
b
b
a S
S
b a
A
4S + A = (b+a)2
4S + (b-a)2 = (b+a)2
4S = (b+a)2 - (b-a)2
4S = 4 a.b
S = a.b
a
a
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 2 -
ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRAMICA
Demostración :
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
Demostración :
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
1. EN FUNCIÓN DE LOS TRES LADOS TEOREMA DE HERON O DE LA ALTURA
2. EN FUNCIÓN DEL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA
c a
b
r
S = 2
.
2
.
2
. rcrbra S = r
cba
2
S = p.r
S = p.r
r
r
hb
c a
b
2
a b cp
S = 2
. bhb
hb = ))()((2
cpbpappb
S = ))()(( cpbpapp
h
S
S
b
h
b
b
h N
M N
S = M + N S = b.h
h S = b.h
b
S = 2
.hb
2S = b.h S = 2
.hb
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 3 -
3. FORMA TRIGONOMÉTRICA
PARA UN TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
PARA UN TRIÁNGULO
RECTÁNGULO
COMPARACIÓN DE ÁREAS
1. REGIONES TRIANGULARES DE ALTURA CONGRUENTES Y DIFERENTES BASES
Si dos triángulos tienen una misma altura entonces sus áreas se encuentran en la relación en la que se encuentran las longitudes de los lados a los cuales es relativa dicha altura.
CONSECUENCIAS
MC
MA
S
S
MBC
ABM
B
H C M A
hb
S
S S
S
S
S
c
b
a
a
b
c S
S
S S
b b
a
a
c
c S S S
b b b
60°
S = 2
3
260
2
2lsenl
l
S = 4
32l
l
l l hb=c.sen
c a
b
c
a
b
)1(2
.90
2
casenc
aS
S = 2
.ca
b b
S S
S = sencbhb b
2
.
2
.
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 4 -
2. REGIONES TRIANGULARES SEMEJANTES
Si dos triángulos son semejantes, entonces sus áreas son proporcionales al cuadrado de sus elementos homólogos.
3. REGIONES TRIANGULARES CON UN ÁNGULO CONGRUENTE
O CON UN ÁNGULO SUPLEMENTARIO
Si dos triángulos tienen un par de ángulos congruentes o suplementarios, entonces sus áreas se encuentran en la relación en la que se encuentran el producto de las longitudes de los lados que forman dichos ángulos.
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
TRAPECIO
b
c
n
m
nm
cb
S
S
LMN
ABC
.
.
A L 180
n c
a
b m
nm
cb
S
S
LMN
ABC
.
.
A L
hb
A C
B
hm
L N
M
2
2
2
2
2
kMN
BC
h
h
S
S
m
b
LMN
ABC
h
B
2 2 2
Bh bh B bS S h
S = Mediana. h
h
B H
M N
D
Por semejanza:
MN aS ac
c h
a
c
A
B
b
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 5 -
R
A
R
R
A
RA
R
A
RA60º
R
Q
P
A
O
R
R
R
ÁREAS DE REGIONES
CIRCULARES
CÍRCULO
A: Área
R: Radio
2A R
1. SECTOR CIRCULAR
2( )360
A R
IMPORTANTE: Principales sectores circulares
2
2
RA
2
4
RA
2
6
RA
2. SEGMENTO CIRCULAR
( ) ( )OPQ OPQA A Sector A
3. CORONA CIRCULAR
2 2( )A R r
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 6 -
R
A
r
4. TRAPECIO CIRCULAR
2 2( ).
360º
R rA
ÁREAS DE LAS REGIONES
TRIANGULARES Y CUADRANGULARES
1. En un triángulo ABC: 12AC cm . Si la
distancia del punto medio de BC al lado
AC es 4cm, calcular el área de la región
triangular ABC.
A) 42cm B) 48cm2 C) 50cm
2
D) 64cm2 E) 72cm
2
2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en
B), BC = 8cm. Si la distancia del
circuncentro al cateto BC es 3cm.
Calcular el área de la región triangular
ABC.
A) 20cm2 B) 22cm
2 C) 24cm
2
D) 28cm2 E) 30cm
2
3. El perímetro de un triángulo equilátero es
igual al perímetro de un cuadrado. Si el
lado del cuadrado mide 9cm. Entonces, el
área de la región triangular es:
A) 225 3cm B)
230 2cm C) 232 3cm
D) 236 3cm E)
240 3cm
4. Los lados de un triángulo miden 11cm,
13cm y 20cm. Luego el área de la región
triangular es:
A) 266cm B) 270cm C) 277cm
D) 291cm E) 2100cm
5. Se tienen tres circunferencias tangentes
exteriores dos a dos cuyos radios miden
1cm, 2cm y 3cm. Luego el área de la
región triangular que resulta de unir los
centros de las tres circunferencia es:
A) 24cm B) 25cm C) 26cm
D) 27cm E) 28cm
6. Uniendo los puntos medios de los lados de
un triángulo rectángulo ABC, se obtiene un
triángulo cuyo cateto e hipotenusa miden
3cm y 5cm respectivamente. El área del
triángulo ABC es:
A) 232cm B) 230cm C) 224cm
D) 248cm E) 236cm
7. Calcular el área de un triángulo rectángulo,
sabiendo que los segmentos determinados en
la hipotenusa por la circunferencia inscrita
miden 4cm y 6cm.
A) 220cm B) 228cm C) 224cm
D) 218cm E) 242cm
8. En un cuadrado ABCD, se ubica “E” en la
prolongación de AD luego BE interfecta a
CD en M. Si CM = 1cm y AB = 4cm.
Entonces, la suma de las áreas de la región
triangular BCM y MDE es:
A) 216cm B) 218cm C) 220cm
D) 224cm E) 230cm
9. Calcule el área de la región triangular ABC,
si 4 , 12 2AC cm BC cm y
45ºm BAC m ABC
A) 224cm B) 216cm C) 218cm
D) 226cm E) 232cm
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 7 -
10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en
B), se construye exteriormente los cuadrados
ABMN, BCDE y ACFH. Si las áreas de las
regiones cuadrangulares ABMN y BCDE
miden 2 225 144cm y cm respectivamente.
Entonces, el área de la región cuadrangular
ACFH es:
A) 2100cm B) 2150cm C) 2160cm
D) 2169cm E) 2194cm
11. El lado AD de un cuadrado ABCD se
prolonga hasta un punto E tal que
3( ) 10BC ED y BE cm . Luego el área
de la región cuadrangular ABCD es:
A) 216cm B) 220cm C) 225cm
D) 236cm E) 240cm
12. En un rectángulo ABCD, en el lado BC se
ubica F tal que AF = AD, CF = 1cm y
CD = 5cm. Luego el área de la región
rectangular ABCD es:
A) 250cm B) 255cm C) 260cm
D) 265cm E) 270cm
13. En un rectángulo las longitudes de los lados
están en la relación 1 a 3 y además su área es 248cm . Calcular el área de un cuadrado
cuyo perímetro es igual al del rectángulo.
A) 216cm B) 224cm C) 236cm
D) 248cm E) 264cm
14. Se tienen dos circunferencias 1 2C y C
tangentes exteriores en M, luego se traza la
tangente común exterior LN
1 2( )L enC y N enC . Si los radios de las
circunferencias 1 2C y C miden 8cm y 2cm
respectivamente, entonces el área de la
región rectangular AHLN (A es centro de
2C , B centro de 1C y H en BL ) , es:
A) 212cm B) 216cm C) 218cm
D) 220cm E) 224cm
15. Se tienen tres circunferencias tangentes
exteriores dos a dos cuyos radios miden
6cm, 7cm y 8cm. Calcular el radio de la
circunferencia que pasa por los puntos de
tangencia de las tres circunferencias
anteriores.
A) 2cm B) 3cm C) 4cm
D) 5cm E) 6cm
ÁREAS DE LAS REGIONES
CUADRANGULARES Y CIRCULARES
1. En un triángulo los lados miden 8cm,
12cm y 15cm. Si la bisectriz interior
relativa al mayor lado determina dos
segmentos sobre él, la medida del mayor
segmento es:
A) 8cm B) 9cm C) 10cm
D) 11cm E) 12cm
2. En un triángulo ABC, se traza EF
paralela a ( )AC E en AB y F en BC . Si.
2 18 ,BF FC y AC cm entonces, la
longitud de EF es:
A) 6cm B) 8cm C) 9cm
D) 12cm E) 15cm
3. En un triángulo rectángulo ABC (recto en
B), 15ºm ACB , se trazan la altura BH
y la mediana BM . Calcule la longitud de
, 12HM si AC cm .
A) 3 2cm B) 3 3cm C) 4 3cm
D) 5 2cm E) 6 3cm
4. En un triángulo rectángulo, la altura
relativa a la hipotenusa determina en ella
dos segmentos que miden 3cm y 12cm.
Calcular el área de la región triangular.
A) 230cm B) 245cm C) 260cm
D) 275cm E) 290cm
Av. Natalio Sánchez Nº 125 CEPRE-UTP
- 8 -
5. En un triángulo equilátero ABC, en BC se
ubica un punto P desde el cual se traza PQ
perpendicular a AC .
Si 8 6PC cm y AQ cm , entonces el área
de la región triangular ABC en centímetros
cuadrados es:
A) 22 2 B) 25 3 C) 26 3
D) 28 3 E) 30
6. Las alturas de un romboide miden 4cm y
1cm y su perímetro es 30cm. Hallar su área.
A) 26cm B) 28cm C) 212cm
D) 214cm E) 216cm
7. El perímetro de un rombo es 20cm. Si la
distancia entre dos de sus lados es 4cm.
Calcule el área de su región cuadrangular.
A) 216cm B) 220cm C) 224cm
D) 226cm E) 228cm
8. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD de
bases 3 12BC cm y AD cm . En el lado
AB , se ubica un punto medio “M” tal, que
90ºm CMD . Calcular el área de la
región ABCD.
A) 264cm B) 276cm C) 280cm
D) 290cm E) 2100cm
9. Los lados no paralelos y la base menor de un
trapecio son congruentes, la base mayor y la
base menor son entre sí como 11 es a 5.
Hallar el área del trapecio, si su altura mide
8cm.
A) 2128cm B) 264cm C) 2144cm
D) 2132cm E) 284cm
10. ABCD es un cuadrado inscrito en una
circunferencia, M es el punto medio de AB
y N punto medio de AD . Si MN = 4cm,
halle el área del circulo en 2cm .
A) 10 B)12 C) 16
D) 18 E) 20
11. Se tiene un círculo de radio “r” y un sector
circular de radio “6r” cuyo ángulo mide
Si las áreas de dichas figuras son iguales,
entonces, la medida de es:
A) 8º B) 10º C) 12º
D) 15º E) 30º
12. En un triángulo equilátero, la distancia del
ortocentro a un lado es 4cm. Calcular el área
del círculo circunscrito a dicho triángulo.
A) 264 cm B) 252 cm C) 248 cm
D) 242 cm E) 224 cm
13. Se tiene dos circunferencias concéntricas de
radios 6cm y 8cm. Calcular el área de la
región comprendida entre las dos
circunferencias.
A) 228 cm B) 236 cm C) 245 cm
D) 264 cm E) 280 cm
14. En un romboide ABCD, la altura BH y la
diagonal AC se intersectan en el punto P. Si
3 10PH cm y BH HD cm , entonces,
el área de región paralelográmica es:
A) 2152cm B) 2160cm C) 2165cm
D) 2175cm E) 2180cm
15. En un trapecio isósceles ABCD, los lados
iguales miden 15cm y la base mayor AD
mide 25cm. Si 90º ,m ABD calcule el
área de la región del trapecio.
A) 2142cm B) 2152cm C) 2162cm
D) 2182cm E) 2192cm