geometria2

- 85 -

06RELACIONES MTRICAS

Se llama relacin mtrica entre varias longitudes ala relacin que hay entre los nmeros que expresanesas longitudes referidas a la misma unidad de medida.Las relaciones mtricas que se estudian son:

Relaciones mtricas en el tringulo rectngulo.Relaciones mtricas en los tringulos oblicun_

gulos.

Relaciones mtricas en la circunferencia. RELACIONES MTRICAS EN EL TRIANGULO RECTNGULO

A

B

C

c a

b

m n

h

H

TEOREMA DEL CUADRADO DEL CATETO

El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudesde la hipotenusa y la proyeccin de dicho cateto sobre la hipotenusa.En elABC:

TEOREMA DE PITGORAS

En todo triangulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa esigual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

c , a : Catetosb : Hipotenusa.m : Proyeccin del cateto cn : Proyeccin del cateto ah : Altura.

bm2c bn2a

PITGORAS

86 Centro Preuniversitario Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

Geometra y Trigonometra

En elABC:

TEOREMA DEL CUADRADO DE LA ALTURA

En todo triangulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a lahipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de loscatetos sobre la hipotenusa.En elABC:

TEOREMA DEL PRODUCTO DE CATETOS

En todo triangulo rectngulo, el producto de las longitudes de los catetos esigual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a sta.En elABC:

TEOREMA DE LA INVERSA DEL CUADRADO DE LA ALTURA

En todo triangulo rectngulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la alturarelativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados delas longitudes de sus catetos.En elABC:

RELACIONES MTRICAS EN LOS TRINGULOS OBLICUNGULOSTEOREMA DE EUCLIDES I

En todo triangulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto a un nguloagudo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos eldoble producto de uno de estos lados y la proyeccin del otro sobre l.

2a2c2b

mn2h

bhac

2a

12c

12h

1

Relaciones Mtricas 87


As, en elABC si es agudo

A

B

C

a

b

ch

m H

TEOREMA DE EUCLIDES II

En todo triangulo obtusngulo el cuadrado de la longitud del lado opuestoA un ngulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes delos otros dos lados ms el doble producto de las longitudes de uno de estoslados y la proyeccin del otro sobre l.As, en elABC si es obtuso

A

C

B

a

c

b

Hm

TEOREMA DE HERN

En todo triangulo, la longitud de una altura referente a un lado es igual al doblede la inversa de dicho lado multiplicado por la raz cuadrada del producto cuyosfactores son, el semiperimetro del triangulo y el semiperimetro menos cadalado.

A

B

C

a

b

ch

H

2b.mcba 222

c)b)(pa)(pp(pb2h

Donde:2

c)b(ap

2cmcab 222



TEOREMA DE LA MEDIANA

La suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados cualesquiera de untriangulo es igual al doble del cuadrado de la longitud de la mediana relativaal tercer lado, ms la mitad del cuadrado de la longitud del tercer lado.

CA

B

M

c ax

b

TEOREMA DE STEWART

En todo triangulo, el cuadrado de la ceviana por el lado donde cae dicha ce-viana es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados multiplicadocada uno de ellos por los segmentos no consecutivos que determina la ce-viana en el lado al cual es relativa, menos el producto de estos segmentospor el tercer lado.

B

A

Cm n

bcx

a

TEOREMA DE EULER

La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un cuadriltero cualquieraes igual a la suma de los cuadrados de las diagonales mas el cudruplo delcuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales.

2

2b22x2c2a

mnancmbax 222



A

B

C

D

M

Na

b

c

d

x

RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIATEOREMA DE LAS CUERDAS

Si en una circunferencia se trazan dos cuerdas secantes, se cumple que los produc-tos de las longitudes de los segmentos determinados en cada cuerda son iguales.As en la figura AB y CD son las cuerdas secantes,

D

B

A

C

Pa b

m

n

TEOREMA DE LA SECANTE

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella,entonces los productos de las longitudes de un segmento secante y su parte externason iguales.

a

b

m

n

A

C

B

D

P

24xBDAC2d2c2b2a

mnab

mnab



TEOREMA DE LA TANGENTE

Si desde un punto exterior a una a una circunferencia se trazan una tangentey una secante, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente esigual al producto de las longitudes del segmento secante y su parte externa.

a

bP

A

C

B

x

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

El cuadrado de la bisectriz interior de un triangulo es igual al producto de loslados que forman el ngulo de donde parte la bisectriz menos el producto delos segmentos que determina sobre el tercer lado.

A

B

C

m n

ac

D

x

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

El cuadrado de la bisectriz exterior de un triangulo es igual al producto de lossegmentos que determina sobre el lado opuesto menos el producto de los la-dos que forman el ngulo de donde parte la bisectriz.

A

B

C P

c a

nm

x

mnac2x

ab2x

acmn2x



TEOREMA DE TOLOMEO

En todo cuadriltero inscrito o inscriptible en una circunferencia, el producto delas longitudes de sus diagonales es igual a la suma de productos de las longi-tudes de sus lados opuestos.

A

BC

D

a

b

c

d

m

n

TEOREMA DEL PRODUCTO DE DOS LADOS

El producto de dos lados de un triangulo es igual al producto del dimetro de lacircunferencia circunscrita y la altura relativa al tercer lado.

A

B

C

c a

r

h

Nota: P y Q son puntos de tangencia.

R r

PQx

bdacmn

2rhac

Rr2x



Problemas Resueltos01. En la figura: Hallar x, si: AO =OB = 20

A

O B

x

A) 8 B) 2 C) 5 D) 9 E) 6

02. en la figura mostrada. Hallar x .si R = 2

A

O

P

MB

x

R

R R

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

03. En la figura. Hallar x. si BC = 1y CD = 9.

A

B C

P O E

Dx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

04. En la figura mostrada. Hallar x

x

13

A)2

3B) 2 C) 1 D) 4 E) 6

05. Si: AB = 3 y EC = 2FE .

Hallar AT

A) 53 B) 52 C) 4 D) 5 E) 3

06. En un trapecio rectnguloABCD ( m A = m B = 90).Hallar la longitud de la mediana deltrapecio. Si: CD = 13m; BC = 11 yBD = 20.

A)2

27B) 12 C) 14 D) 15 E) 11

07. Si: EF.AE = 125 y AB5AC .



Hallar: BE

A

B F

CO

E

A) 10 B) 7C) 4 D) 5 E) 6

08. Se tiene el triangulo rectngulo

ABC ( m B = 90). Una circunfe-rencia que pasa por A y C intersec-ta a los lados AB yBC en M y Nrespectivamente. Se traza la cuer-da MQ perpendicular a AC . Lasprolongaciones de QM y CN seintersectan en P. hallar la longitudde la tangente PT a dicha circunfe-rencia si las cuerdas MN y MQmiden 2 y 6 respectivamente.A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3

09. Si: 1202

DE2

AB ;.140

2BD

2GC siendo A, G yC puntos de tangencia.Hallar EF.GE

A

FEG

C

B

D

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

10. En la figura. Hallar r.

A) abba

abba

B) abba

ba C) ab

ba

ab D) ab E) N.A11. En un triangulo ABC, AB = 7,BC = 8 y AC = 9. Si dicho triangu-lo esta inscrito en una circunferen-cia. Hallar la longitud de la flechade la cuerda AC .

A)2

5B)

2

53C) 2 D) 3 E) 4

12. En la figura mostrada. Hallar lalongitud del segmento MN . Si AM= 4; MB = 7,5 ; PA = 6 y PQ = 10

AM

N

BP

Q

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 8



Resoluciones01.

M

A

O B

x

N H 1055

552252x52x20 x = 602.

A

O

P

MB

x

2

2 2

NQ

S

3a

1.5a

1.5a2a

a

2

53

2

53

2

53

M

HNO 5 5

20 -x

5 +x

Aplicando Euclides en el

ONM:

En el ONA: 2222a2a

5

52a

En el PSM:4

29a29a2x

x =2

53a

Reemplazando en : x =3 x = 3.



03.

A

BC

P O E

Dx

19

Los cuadrilteros ABCP y PCDE son inscriptibles.

Entonces: m PBC = m PAC = ; m PDC =m PEC = ,En elACE: + = 90. Luego, el triangulo BPD es rectngulo. por relaciones mtricas en dicho triangulo:

x2 = (1)(9)

x = 304.

x

13

nm

A

M

N

B

CTP Q3 1

h

n

El cuadriltero MBNT es un rectngulo;Entonces:

nTNMB . Adems ACBT En el ABC:

)1...(122h262h



En el BTC: )2...(2h1

22

12n

1

Reemplazando (1) en (2): 3n Por otro lado, en el BNT: 2n2m2h m2 = h2 - n2 = 12 3 = 9.

Luego: m = 3.Finalmente en el MBN:

3

1

9

12x

12n

12m

12x

1

x =23

05.

06.

En el grafico se tiene:O1AC ~ EBC,

BC

BC3

4a

5a 5BC = 12 + 4BCBC = 12.Luego por el teorema de la tangente:

2x = (15)(3) 53x 53AT

En elBCD:Por el teorema de Euclides:

202 = 112 + 132 + 2n(11) n = 5Luego: AD = 11 + n = 11 + 5 AD = 16. As que:

2

1611x

x =2

27



07.

A

B F

C

E

a

5a

x

5x

08.

A

M

P

BN

T

C

Q

22

X

6

El cuadriltero OMNC es inscripble entonces:

m MQC = m MNP = Adems: m MPB = . Luego: MNMP = 2.Luego, por el teorema de la tangente: 2262x x = 4

ABC:Por el teorema de la bisectriz interior:

5

1

EC

BE

EC

BE

AC

AB xBE ; 5xEC Adems, por el teorema de las cuerdas:

x.5xEF.AE 125 = 5x2 x2 = 25. BE = 5



09.

A

FEG

C

B

D

x

y

b

m

a

n

Se sabe: a2 + b2 = 120; m2 + n2 = 140.Se pide: x.yPor el teorema de la tangente: a2 = m(m + b) (1)Tambin; b(m + b) = x2 (2)Sumando (1) y (2): a2 + b2 + bm = x2 + bm +m2.a2 + b2 = x2 + m2 (3)Pero: n2 = x(x + y) x2 = n2 x.y (4)Reemplazando (4) en (3):a2 + b2 = n2 + m2 xy x.y = (m2 +n2) (a2 + b2). Luego: x.y = 140 120 x.y = 2010.

En el MBN: Por Poncelet:m + n = 2r + h En el ABC: ACBQ , adems hBQMN .

ABC:



h2 = 4ab ab2h Adems:

24b

1

4ab

12n

1 ba

a2bn

24a

1

4ab

12m

1 ba

b2am

Reemplazando y en :ab22r

ba

a2b

ba

b2a As que:

abba

abbar

11.

A

B

C

QM

H

O

R

R

7 8

x

h

9

En el ABC, por el teorema de Hern: ))((2 cpbpapp

bh Donde: a = 8, b = 9 y c = 7

2p = 7 + 8 + 9 p = 12. Luego: 53

8h



Adems: ABH ~ QBC 510

21R

2R

7

8

/358 Luego, por el teorema de las cuerdas:

4

81x5

5

21x

.

523

x

12.

AM

N

BP

Q

X

4

b

a

6

5

7.5

E

F

10

Por el teorema de la tangente:x2 = 4(b + 4) (1)Tambin; 102 = 5 (a + 5) a = 15Adems:PAF ~MBE: 21...(2)b

6

7.5

a5

4b

Reemplazando (2) en (1):)421(4x 2 2x = 100 x = 10

10MN



Problemas Propuestos01. MB =

A MB

O3

7

5

A) 8 B) 5 C) 7 D) 6 E) 9

02. AP es tangente. BP =

PA

C

B20

10 30

A) 5 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

03. ( CEPU 99- II ). C es punto deTangencia. CD =

DC6

A O Q B3

4

A) 2 B) 3 C) 4,2 D) 4 E) 3,6

04. PQ es tangente, r =

P

Qr

9 O1O

24

A) 20 B) 18 C) 16 D) 21 E) 15

05. En la figura, hallar x si: DR = 9,RO = 3, OL = 4 y LA = 12.Adems P y N son puntos de tan-gencia.

O

L

NP

RD

Ax

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 5

06. Hallar x

x

3

3

P QA B C

S

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

07. P, Q, R puntos de tangencia.AB = 10, BC = 6. CD =

A D C

B

Q

P

5 RA)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5



08. De la figura mostrada, calcularx . P es punto de tangencia.

2

Tx

P Q BA

C D

A)1 B) 2 C) 22 D) 3 E) 6

09. Si CQ = 2 QC .Hallar el arco PB

OA

C

Q

P

B

T

A) 30 B) 45 C) 53 D) 37E) 60

10. En la figura. BC = 16, PQ = 8.Hallar AB

A

B C

D

P

Q

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

11. P es punto de tangencia. Hallarx

PxM7

7

15 OA B10R SA) 15 B) 14 C) 10 D) 11 E) 7

12. Si P y Q son puntos de tangen-cia. Hallar x

P

Q

2 x

4

R

3

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

- 103 -

07REA DE REGIONES PLANAS

Una regin plana es una porcin de plano limitada poruna lnea cerrada, esta lnea puede ser poligonal o unacurva cualquiera. La medida de una regin plana sellama rea. El rea de una regin plana se expresa enunidades de longitud al cuadrado. En el presente captu-lo estudiaremos a las regiones triangulares, cuadrangu-lares y circulares.

REGIONES EQUIVALENTES

Se dice que dos regiones son planas equivalentes si tienenla misma rea.En la figura,x : rea de la regin cuadrangularz : rea de la regin circularSi x = z es equivalente a

X Z

PERIMETRO DE UNA REGINEs la medida de la longitud de la lnea o lneas que constituyen la frontera de laregin plana. En general el permetro de una regin plana se denota por: 2pAs, tenemos:Permetro de una regin triangular:

A

B

C

ac

b

2p = a + b + c

RIEMANN



Permetro de una regin cuadrangular:

A

B

Cac

b

Dd

Permetro de una regin circular:

OR

AREAS DE REGIONES TRIANGULARES

TEOREMA FUNDAMENTAL

El rea de una regin triangular es igual a la mitad del producto de base por laaltura relativa a ella.

bA

B

CH

h

REA DE UN TRIANGULO RECTANGULO

a

b

A

B C

2p = a + b + c + d

2p = R2

AABC = 2bh

AABC = 2ab

rea de Regiones Planas 105


REA DE UN TRIANGULO OBTUSNGULO

A

B

C H

h

b

FORMULA DE HERON

bA

B

C

c a

Donde:

FORMULA TRIGONOMTRICA

bA

B

C

c

Nota: SiABC es equiltero

A

B

C

L L

L

AABC = 432l

AABC = c)b)(pa)(pp(p

2c)b(ap

AABC = 2bh

AABC = 2bc.sen

AABC = 2bh



AREA DEL EN FUNCIN DEL INRADIO

r

A

B

CDonde:

AREA DEL EN FUNCIN DEL CIRCUNRADIOB

A C

a b

cR

TEOREMA DE BURLET

m nA

B

CP

COMPARACIN DE REAS DE DOS TRIANGULOS DE IGUAL ALTURA

A

B

C

A1 2

P

A

a b

h

AABC = 4abc

AABC = mn

p =2

c)b(a

AABC = pr

ba

AA

2

1



DE DOS TRIANGULOS DE IGUAL BASE

A

B

C Pb

Q

Rb

h1 h2x z

Notas: Si BM es mediana

A

B

CMa a

x x

Si E, F y G son puntos medios

FA

B

C

E G

13

4

2

A

AA A

Si G es baricentro

A

B

C

D

E

F

xx

x xx

x

G

2

1

hh

ZX

4321 AAAA

2AX ABC

6AX ABC



DE DOS TRIANGULOS SEMEJANTES

A

B

Cb

h 1x

ac

P

Q

Rm

h2lk

z

DE DOS TRIANGULOS CON UN NGULO COMN

A

B

Cb

xc

P

Q

Rn

m

z

REA DE REGIONES CUADRANGULARES

REA DE UN CUADRADO

Ba

a a

a

A

D C

22

21

2

2

2

2

2

2

hh

kc

mb

la

ZX

mncb

ZX

2area



REA DE UN RECTNGULO

BA

D Cb

a

REA DE UN PARALELOGRAMO

BA

D Cb

h

H

REA DE UN TRAPECIO

b

h

a

A B

CD

REA DE UN ROMBO

A

B

C

D

bhrea

2BD.AC

rea

abrea

2b)h(area



REA DEL CUADRILTERO CIRCUNSCRITO

A B

CD

ra

b

c

d

Donde:

REA DEL CUADRILTERO INSCRITO

B

D

A a b

cd C

Donde:

REA DEL CUADRILTERO INSCRITO Y CIRCUNSCRITO

a b

cd

A

B

C

D

prrea

d)c)(pb)(pa)(p(prea

p =2

dcba p =2

dcba

p =2

dcba

abcdrea



PROPIEDADES ADICIONALES

De un parelogramo

C

A B

D

xx

x

x

De trapecios

C

A B

D

A1 2A

C

A B

D

A1 2A

C

A B

D

x1

2A

A

4Ax ABCD

21.AAx

21 AA

21 AA



C

A B

D

1

2A

A

C

A B

D

x

De un trapezoide

C

A

B

D

1A 3A44A

42A

AREA DE REGIONES CIRCULARESREA DE UN CRCULO

R O 2Rrea

4231 AAAA

221ABCD )AA(A

2Ax ABCD



REA DE UN SECTOR CIRCULAR

O

R

A

B

x

REA DE UNA CORONA CIRCULAR

O r

R

LNULA DE HIPCRATES

X, Z : reas de las lnulas determinadas por las semicircunferencias de dime-tros AB , BC y ACW : rea del triangulo rectngulo ABC,

A

B

C

xz

w

360Rx

2

)r(Rrea 22

ZXW



Problemas Resueltos01. En el cuadrado ABCD, encon-trar el permetro de la regin som-breada.

B C

A D12

12

A) 6 B) 12 C) 8 D) 18E) 3

02. ( UNJBG 2003-I ). Hallar el readel cuadriltero CDFE

A

B C

D

E

F

5 5

10

A) 55 B) 60 C) 68 D) 70 E) 75

03. ABCD es un paralelogramo.Hallar X, si Y + W = 9u2 y Z = 4u2

X

A

B C

D

E

Y

WZ

A) 5u2 B) 6u2 C) 8u2 D) 13u2 E) 10u2

04. Hallar el rea de la regin triangu-lar ABC si

m7DCy,m1BD,m10AB

A

B

C

D

M

A) 16m2 B) 70m2 C) 30m2

D) 32m2 E) 64m2

05. Hallar el rea de la regintriangular BPC, si

BCABy2BP

C

P

B

AA) 1u2 B) 2u2 C) 3u2

D) 4u2 E) 5u2

06. En la figura ABCD es unrectngulo de 20m2 de rea. Hallarel rea de la regin rectangularDEOF.



A

B

D

F

C

O

EA) 10m2 B) 11m2 C) 12m2

D) 13m2 E) 14m2

07. En la figura, hallar el rea de laregin sombreada si 4BC ymA = mBCP

A

P

B

CA) 6u2 B) 7u2 C) 8u2

D) 9u2 E) 10u2

08. En la figura, hallar el rea de laregin sombreada.si BC3AB y AABC = 40

A C

P

B

E

M

A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2 D) 9u2 E) 5u2

09. Si ABCD es un paralelogramode rea 80u2. Hallar el reasombreada.

A

M

B

D

C

N

A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2

D) 9u2 E) 5u2

10. Calcular el rea del segmentocircular si 34AB .T es punto de tangencia.

A O P

T

B4

A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2

D) 9u2 E) 5u2

11. En la figura, como PQ || AB .Hallar el rea de la regin som-breada.

C P Q

BOA

6

5

A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2D) 9u2 E) 5u2



12. B, P y Q son puntos de tangen-cia. Hallar el rea de la regin triangu-lar PBQ si Z.W = 100u2.

B

Q

P

A O O' C

Z W

A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2

D) 9u2 E) 5u2

13. En la figura se muestran se-micrculos. Si Z = 4 y W = 1, hallarX.

XZ

W

A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2

D) 9u2 E) 5u2

Resoluciones01.

B C

A D12

12P En la figura: LarcoBP = LarcoPC

Si X es el permetro de la reginsombreada, X = LarcoPC + LarcoPD + LarcoCD

= LarcoBP + LarcoPD + LarcoCD= LarcoBD + LarcoCD

=4

)12(2+

2

)6(2

X = 12



02.

A

B C

D

E

F

5 5

10

10

a 2a253

253

x

z

w

03.

X

A

B C

D

E

Y

WZ

a

b c

QR

hM

NP

Se sabe: Y + W = 9 y Z = 4Se pide: XDe la figura: h = a + c (propiedad)Adems.

2

baZMY ... y

2

bcWNZ ...

Sumando y :

2

bhc)(a

2

bW2ZNMY

Aplicando Pitgoras en el AFD:2102(2a)2a 202a

Luego: W = 202a2

a(2a) y

Z = 252

5(10)

Pero: X + W + Z = 210 X + 20 + 25 = 100 X = 55



Pero:2

bhZNMX

X + M + N + Z = Y + M + N +2Z + WAs que: X = Y + W + Z X = 13u204.

A

B

C

D

MH 1

3

5

54

47

1

N

Trazamos MN || BC 42

BCMN y

AN = NB = 5Trazamos BH || DMLuego: MH = 1 y HN = 3.

BHN es notable (37 y 53): BH = 4 = DM

ABMC = 2m162)4(8 . Pero: AABM = ABMC

AABC = 32m205.

C

Q

B

A

a2

P

a

2

De la figura; APB = BQC QC = BP = 2



Luego, ABPC = 2)2(2

= 2 ABPC = 2u2

06.

A

B

D

F

C

O

E

a

P

R

Q b

a

b

07.

A

P

B

C

4

H4

08.

60

E

B

A

20

20 - 2X

b2b

a

a

x

xx

PM

C

20

Sea mA = mBCP = Trazamos PH BCLuego ; ABC = PHC

PH = BC = 4

ABPC = 8u2

De la figura: AR = AP = a y RC = QC = bA ABC = AR .RC = ab

Pero, A ABC = 220

=10 ab = 10

ADEOF = 10m2

AFC (T., de la bisectriz exterior )

AE

a6=

CE

a2 AE = 3 CESi hacemos CE = b AE = 3b

Luego AC = 2b ABCE = 240

= 20

APC: 20 + X = 2(20 2X) X = 4u2



09.

A

M

B

D

C

N

X

Q

P

GFa

2b3k

2a

3b 3a

3m 3m

3Z3Z

Z2Zb

2k

Sea X el rea pedidaEn la figura vemos que: F es baricentro delABD yG es baricentro delACDEntonces: Trazamos FG || AD . Luego, yAQD ~FQG

FG

a

AD

3a AD = 3FGPero: AD = 6m FG = 2m

NPD ~FPG 2m

3m

FG

ND

PG

NP

Luego NP =3K y PG = 2k GC = 2NG = 10k

Por relacin de reas:3a(10k)

4a(12k)

z

zx 5

3zx

Pero:4

80z3 = 20

X = 4u2



10.

Sea X el rea pedida

OTP: 2 + 4 = 90 = 15Luego mAOT = 180 - 2 = 150 AAOT = 32

150sen)32)(32(

y AAOT= 5360

150).32(

As que x = A - AAOT X = )35( u2

11.

C P Q

BOA

6

5

6

GF

X6

4 45

A O P

T

B4

X

15032

232

Sea X el rea pedida:Por el teorema de la tangente:(6)2 = a(a + 5) a = 4Luego AF = GB = 4 AB = 13As que X =

2)6)(513(

X = 54u2



12.

R B

Q

P

A O O' C

ZW

X

r

13.

T

CA B

c

a

b

XZ

W

Reemplazando, y en *

w8

.

z8z8x8

Simplificando: z.wzx X = 3u2

Por propiedad: PQ = Rr2Adems: APB ~ BQC ~ PBQ

2)Rr(

X2r

W2R

Z

2(RT)2X

2(Rr)

ZW X2 = Z.W

X = 10u2

Por el teorema de la tangente:c2 = a(a + b) c2 = a2 + ab... *

Adems:2

2c

21

x

x8

c2 ...

2

2a

21

z

z8

a 2 ...

2

2b

21

w

w8b2 ...



Problemas Propuestos01. En el cuadrado ACDF, rea dela regin triangular QRD =C

B

5

1

A FR

D

Q

A) 3u2 B) 4 u2 C) 5 u2 D) 6 u2

E) 8 u2

02. Hallar el rea de la reginsombreada si ABCD es un cuadra-do.

A

B M 10 C

N

D

10

10

A) 150 u2 B) 160 u2 C) 170 u2

D) 180 u2 E) 200 u2

03. BD es mediana. rea de la re-gin triangular BCD =

A

B

CD

1513

28A) 80 u2 B) 84 u2 C) 90 u2

D) 82 u2 E) 96 u2

04. ABCD es un paralelogramo.

rea de la regin triangular FCD =

A

B C

DF53

20

10

40

A) 80 u2 B) 40 u2 C) 160 u2

D) 100 u2 E) 50 u2

05. Hallar el permetro de la reginsombreada, AB y AC son dime-tros, adems AC = 6

B

A C30

A) 4 B) 1.5 C) 2.5D) 2 E) 306. Hallar el permetro de la reginsombreada, el radio de las circunfe-rencias de centros A, B, C mide 1.

A B

DC

A) 4/3 B) 2/3 C) 5/3D) E) 2



07. A y B tienen igual permetro. =

A B

A M O Prrr

A) 30 B) 40 C) 20 D) 45E) 50

08. En el rectngulo ABCD, hallar elrea de la regin sombreada

D

A B

C

60

E

F

90

A) 400 u2 B) 600 u2 C) 720 u2

D) 540 u2 E) 300 u2

09. Si AB = BC = AC . Hallar x

A

B

C

24

X

A) 48 u2 B) 36 u2 C) 32 u2

D) 323 u2 E) 363 u2

10. Calcular el rea del cuadradoABCD, si las reas de las regionessombreadas ABF y FCE son 5 y 4,D es centro del arco.

A D

B F C

E

A) 9 u2 B) 18 u2 C) 25 u2

D) 32 u2 E) 30 u2

11. El lado del cuadrado ABCD mide4, AD es dimetro, CF es tangente.Hallar el rea de la regin sombrea-da.

B C

F

A D

A) 5 u2 B) 5 u2 C) 4 u2

D) 22 u2 E) 8 u2

12. Hallar el rea de la regin som-breada

A O B22A) 1 u2 B) 2 u2 C) 3 u2D) 4 u2 E) 4 u2

13. CM = MD. rea del paralelogra-mo ABCD = 48. Hallar el rea de laregin sombreada.

A

B C

D

MP

A)4 u2 B) 8 u2 C) 6 u2 D) 12 u2 E) 5 u2

14. Hallar el rea del paralelogramoABCD, si el rea de la regin som-breada es 15.



A

B C

D

M

FA) 40 u2 B) 80 u2 C) 60 u2

D) 70 u2 E) 90 u2

15. AB = 10. Hallar el rea de laregin sombreada.

Oa

b

A B

A) 16 u2 B) 25 u2 C) 36 u2D) 20 u2 E) 50 u2

16. Si AB2 + AC2 = 10. Hallar el reade la regin sombreada.

ABrO

C3r

A) 8 u2 B) 9 u2 C) 10 u2 D) 7 u2E) 12 u2

17. rea de la regin sombreada =

3 2

A) 6 u2 B) 9 u2 C) 10 u2D) 18 u2 E) 12 u2

18. rea de la regin sombreada =

OA

13

B

C8HA) 48 u2 B) 60 u2 C) 40 u2

D) 62 u2 E) 56 u2

19. ( UNJBG 2002-I ).Hallar el reade la regin sombreada.

A

B

CM

F

10 10

12

A) 58,5 u2 B) 56,5 u2 C) 54,5 u2D) 60,5 u2 E) 62,5 u2

20. Si ABCD es un cuadrado derea 98. Hallar el rea de la reginsombreada.

A M B

CDA) 20u2 B) 21u2 C) 22u2

D) 3u2 E) 24 u2

- 126 -

08GEOMETRA DEL ESPACIO

La geometra del espacio se ocupa de las propie-dades y medidas de figuras geomtricas en elespacio tridimensional. Entre estas figuras, tam-bin llamadas slidos, se encuentran el cono, elcubo, el cilindro, la pirmide, la esfera y el prisma.La geometra del espacio ampla y refuerza lasproposiciones de la geometra plana, y es la basefundamental de la trigonometra esfrica, la geo-metra analtica del espacio, la geometra descrip-tiva y otras ramas de las matemticas. Se usaampliamente en matemticas, en ingeniera y en

ciencias naturales.

El concepto de plano, como el de punto y recta, es un concepto intuitivo pura-mente experimental. As, la superficie tranquila del agua de un estanque, la deuna pizarra, las paredes y el techo del saln, nos dan la idea de plano. El planopuede considerarse como ilimitado en todos los sentidos, sin embargo, un pla-no generalmente se representa por un paralelogramo, tal como se muestra enla figura.

PPlano P

PLATON

Geometra del Espacio 127


DETERMINACIN DE UN PLANO1. Un plano queda determinado por una recta y un punto exterior a ella.2. por tres puntos no colineales.3. por dos rectas secantes.4. Por dos rectas paralelas.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS FIGURAS EN EL ESPACIO1. Dos rectas en el espacio:

a) Paralelas: No tienen puntos en comn y son coplanares.

L1L2

b) Secantes: Tienen un punto en comn y son coplanares.P

c) Cruzadas o alabeadas: No son paralelas ni secantes.

2. Dos planos en el espacio:a) Paralelas: No tienen puntos en comn.

P

Q

b) Secantes: Tienen una recta en comn.

Recta comun



3. Un plano y una recta:a) Paralelas: No tienen ningn punto en comn.b) Secantes: Tienen un punto en comn.c) La recta esta contenida en el plano.

TEOREMA DE THALES

Tres o ms planos paralelos determinan sobre dos o ms rectas secantessegmentos proporcionales.

A

B

CQ

P

ANGULO DIEDRO:Es aquella figura geomtrica formadapor dos semiplanos (P y Q ) que tienenuna recta en comn (AB). Los semi-planos se denominan caras y la rectacomn, ARISTA.

Notacin: diedro P-AB-Q o diedro AB P Q

A

B

Caras

Arista

Medida de un ngulo diedro:

Un diedro se mide segn su nguloplano, que viene a ser el ngulo de-terminado al trazar perpendiculares ala arista del diedro en un mismo puntode ella, y que estn contenidas en lascaras del diedro. Un ngulo diedroser agudo, recto u obtuso segn co-mo sea su ngulo plano.

P Q

A

B

Angulo Diedro

PQAP

BCAB



ANGULO POLIEDRO

Llamado tambin ngulo slido, es la figura geomtrica formada al trazar porun punto del espacio tres o ms rayos, de tal manera que tres rayos no soncoplanares.

A

V

C

B

D

Clasificacin:

Los ngulos poliedros se clasifican segn el nmero de caras, as por ejemplo:Angulo triedro, si tiene 3 caras.Angulo tetraedro, si tiene 4 caras.Angulo pentaedro, si tiene 5 caras.

Angulo Triedro:

Es el ngulo poliedro de 3 caras. Esconsiderado como el ms importantede todos los ngulos poliedros. Sedenota por: P-ABC.

P

A

B

C

Algunas propiedades del triedro: En todo triedro una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor quesu diferencia.

a bc

Elementos:Vrtice: VAristas: VA, VB, VC Y VDCaras: AVB, BVC, CVD y AVDDiedros: ngulos formados por 2caras consecutivas.

En todo ngulo poliedro la suma de las medidas detodas las caras es mayor que 0 y menor que 360

b - c < a < b + c



En todo triedro la suma de sus caras es menor que 360 y mayor que 0. En todo triedro se cumple que la suma de todos sus diedros esta compren-dida entre 180 y 540.

Clasificacin de los triedros:a) Triedro issceles: Dos caras son iguales e iguales los diedros opuestos.b) Triedro equiltero: Tienen tres caras iguales y tres diedros iguales.c) Triedro escaleno: Sus caras y sus diedros son distintos.d) Triedro rectngulo: Una cara mide 90

POLIEDROS

Es un slido geomtrico limitado porregiones poligonales, llamados caras.Los lados de los polgonos se llamanaristas y sus vrtices, vrtices delpoliedro.

cara

verticearista

Clasificacin:

a) Segn el nmero de caras:Tetraedro si tiene 4 caras.Pentaedro si tiene 5 caras.Exaedro si tiene 6 caras, etc.

b) Segn la forma de los poliedros:Convexo: Cuando las caras son polgonos convexos.Cncavo Cuando las caras son polgonos cncavos.Regular : Cuando las caras son polgonos regulares.

TEOREMA DE EULEREn todo poliedro, el nmero de caras mas el numero de vrtices es igual al

numero de aristas aumentado en dos.

2AVC Donde: C = nmero de caras.V = nmero de vrtices.A = nmero de aristas.



Propiedades:

En todo poliedro, la suma de las medidas de los ngulos internos de todassus caras es igual a 360 multiplicado por el nmero de vrtices menos 2.

Si un poliedro esta formado por k1 polgonos de n1 lados,..., km polgonosde nm lados, entonces el nmero de aristas esta dado por:

POLIEDROS REGULARES

Llamados tambin poliedros de Platn. Solo existen 5 poliedros regulares:

Tetraedro Regular : Formado por4 tringulos equilteros

.

Octaedro Regular : Formadopor 8 tringulos equilteros

Icosaedro Regular : Formado por20 tringulos equilteros

Exaedro Regular :(Llamado tam-bin cubo) est formado por 6cuadrados.

2nk...nkA mm11

2)(V360S C)(A360S



Dodecaedro Regular: Formado por 12 pentgonos regulares

Nmero de diagonales:

Para determinar el nmero de diagonales de un poliedro regular se usa la si-guiente frmula:

SLIDOS POLIEDRICOS

PRISMAEs un poliedro limitado por 2 polgonos paralelos e iguales y cuyas caras late-

rales son paralelogramos.

Prisma Recto:

h

B

18

64n2)C(n2)C(nD

.h2pA BL

BLT 2AAA

.hAV B

Donde:C = nmero de caras.n = nmero de lados de cada cara.

Donde:AL = rea lateralAT = rea totalV = VolumenAB = rea de la base.2PB = Permetro de la base.



Prisma Oblicuo:

ha

B

seccion recta(SR)Donde:2pSR = Permetro de la seccin recta.ASR = rea de la seccin recta.

Rectoedro:

a

c

b

D

Tronco de prisma recto:

a

c

B2

B1b

P

Q

.a2pA SRL

BLT 2AAA

.aAV SR

2222 cbaD

bc)2(acAL

bc)ac2(abAT abcV

21 BBLT AAAA

3

cbaAV1B

PQ1BAV



Donde: P y Q son centros de gravedad de las bases.Tronco de prisma oblicuo:

h

P

seccionrecta(SR)

QB

Exaedro:

a

aa

D

PIRAMIDEEs un poliedro cuya base es un polgono cualquiera y cuyas caras laterales

son tringulos que tienen un vrtice comn.

A

B C

D

P

QH

Notacin: P-ABCD

.hAV B

.PQAV SR

AT = AL + suma de reas de las bases

3aV

33DV

3

Elementos:

Base: ABCDAristas: PA, PB, CD, etc.Vrtice (o Cspide): PCaras: PAB, PBC, etc.Altura: PHApotema: PQ

Donde: P y Q son centros de gravedad.



PIRMIDE REGULAREs aquella cuya base es un polgono regular y su altura cae en el centro de labase, sus caras son tringulos issceles iguales entre si. Atendiendo al numerode lados de la base, las pirmides pueden ser: Triangulares, cuadrangulares,pentagonales, etc. Una pirmide triangular regular recibe el nombre deTETRAEDRO.

V

A B

CDh aP

B

aa

a

Tronco de pirmide :Es la porcin de pirmide comprendida entre la base y un plano paralelo o no aella que corta a todas sus aristas.En un tronco de pirmide regular, las bases son polgonos regulares paralelos ysus caras trapecios issceles iguales.

B

b

hap

a a

aa

PBL .apA

BLT AAA

.hA31V B

AL = Suma de las reas de las caras laterales

BLT AAA .hA31V B

pBbL ).ap(pA

BAAAA bLT

bbBB AAAA3hV

Donde:pB = semiperimetro de la base.aP = apotema.



PIRMIDES SEMEJANTES

Si cortamos la superficie lateral de una pirmide con un plano paralelo a labase, se genera una nueva pirmide, la cual ser semejante a la pirmide ori-ginal.

Seccin Plana

Base

h

h1

A

BC

D

E

F G

H

V

Se cumple las siguientes propiedades:

Pirmide V-EFGH Pirmide V-ABCD

h1h

VDVH

VCVG

VBVF

VAVE

2h

21h

2AB

2EF

2VA

2VE

ABCDAEFGHA

2h

21h

2AB

2EF

2VA

2VE

ABCDVLA

EFGHVLA

3h

31h

3AB

3EF

3VA

3VE

ABCDVVEFGHVV



CUERPOS REDONDOS CILINDROSe llama superficie cilndrica, a aquella superficie generada por una recta (ge-

neratriz) que, apoyndose sobre una curva, se mueve paralelamente a unadireccin dada. Llamaremos cilindro al slido limitado por una superficie ciln-drica cerrada y por dos planos paralelos secantes a la superficie.Cilindro recto de revolucin, es el slido generado por un rectngulo al girar entorno a uno de sus lados. Cilindro oblicuo, es aquel cuyas generatrices no sonperpendiculares a sus bases.

Cilindro Recto:

O

O

R

g

Donde: g = generatriz

Cilindro Oblicuo:

g

B

B

hrecta(SR)seccion

AL = 2 R g

AT = 2 R (g + R)

V = R2 g

AL = 2PSR.g

AT = AL + 2 AB

V = ASR .g



Tronco de Cilindro:Es la porcin de cilindro recto u oblicuo limitado por su base y un plano no pa-ralelo a diva base.

Tronco de cilindro recto:

A O B

D

CP

g 1 g g 2

R

P

og

R

Tronco de cilindro oblicuo:

9291

B1

B2

SRg

221 ggg

AL= 2R g

AT = AL + R2 + AB

V = R2 g

AL = 2PSR.g

AT = AL + AB1 + AB2

V = ASR.g



CONOEl cono es el slido engendrado por un tringulo rectngulo al girar en torno auno de sus catetos.

h

OR

g

Tronco de cono de revolucin:

Es la porcin de cono de revolucin, comprendida entre la base y un planoparalelo a ella.

r

h

oR

g

AL = R g

AT = R ( g + R )

V =31 R2 h

AL = ( R + r) g

AT = AL + (R2 + r2)

V =3

h (R2 + Rr + r2)



CONOS SEMEJANTES

r

O

g1h1

h

R

g

B

b

ESFERASe llama superficie esfrica al lugar geomtrico de todos los puntos del espaciocuyas distancias a otro llamado centro es igual a una longitud constante que sellama radio, tambin se dice que es el slido engendrado al girar una semicir-cunferencia alrededor de su dimetro. Esfera es el espacio interior limitado porla superficie esfrica.

rea y Volumen de una Esfera:

Rr

=

gg1

=

hh1

B

b

AA

= 2

2

Rr

= 2

21

gg

=2

21

h

h

ConoGrande

oConoPeque

VV

= 3

3

Rr

= 3

31

gg

=3

31

h

h

AE = 4R2 VE = 34 R3



Zona Esfrica(ZE):

Es la porcin de superficie esfrica limitada por dos planos paralelos, por ejem-plo la zona ABCD. A la porcin de superficie limitada por un plano secante yotro tangente, se le llama Casquete Esfrico(CE), por ejemplo el Casqueteesfrico AFB.

O

D

AF

B

C

a

HUSO ESFRICO(HE):

Se llama Huso Esfrico a la porcin de superficie esfrica limitada por dos cir-cunferencias mximas que tienen el mismo dimetro. Circunferencia mximaes aquella circunferencia cuyo dimetro pasa por el centro de la esfera

RR

Huso Esferico

Sector Esfrico(SE):

Se llama sector esfrico al slido generado por un sector circular que gira alre-

AZE = 2ra

ACE = 2AF

AHE= R2 90



dedor de un dimetro cualquiera.

O

A

B

F

H

R

h

CUA ESFRICA

Es la porcin de esfera limitada por dos semicrculos que tienen el mismo di-metro.

R

Teorema de ArqumedesEl volumen de la esfera es los dos tercios del volumen del cilindro circunscrito eigual a dos veces el volumen del cono inscrito.

R1

Vcono =2

Vesfera =3

Vcilindro

V = R3 270

VSE = 32 R2 h



Problemas Resueltos1. Calcular el nmero de aristas deun poliedro convexo cuyo nmerode caras es igual al nmero devrtices; adems la suma de lasmedidas de los ngulos de todassus caras es de 1440.A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

2. Hallar el rea total de un parale-leppedo rectangular de 13m dediagonal, siendo las dimensionesde las bases 3 y 4m.

A) 134 B) 160 C) 180 D)192 E) 186

3. En un cubo ABCD-EFGH, M y Nson los centros de las caras ABFE yADHE respectivamente. Calcule elvolumen del cubo, si el rea de laregin MQN es 3 cm2, siendo Qun punto de BD.A) 16 2 B) 8 C) 7,5 D) 9E) 8 2

4. En el grafico se muestra un pris-ma regular cuyas aristas son igua-les. Calcule la medida del nguloentre las rectas AB y CD.

A

B

D

C

A) 15 B) 30 C) 45D) 60 E) 53

5. Segn el grafico; calcule la raznde volmenes de los conos, cuyasalturas son BC y AC;si 3AP = 2PQ.

A)12512 B)

256 C) 0,5 D) 0,25

E)7516

A

P

Q C

B

6. En la figura mostrada se tiene unprisma recto. Si: HE = 4; AE: = 16;BC = 14 y rea (ACEB) = 140m2.Calcular el volumen del prisma.

A) 1340 B) 1600 C) 1680D) 1909 E) 1360

H

A B

C

E



7. Si el volumen de la pirmide regu-lar es 3m33 .Calcular el volumendel tronco de cilindro. (O : Centro).A) 10 B) 11 C) 12 D) 13E) 14

O

C

B

A

8. En un cilindro de revolucin eldimetro de la base mide 8 y sualtura 21. Si este cilindro tiene susseis sptimas partes con agua ydesde su posicin normal, se leinclina hasta que el agua este apun-to de caer por el borde, determinarel ngulo de inclinacin en ese ins-tante.A) 30 B) 37 C) 53 D) 45E) 60

9. El rea del Casquete esfrico esde 80m2 y el radio de la superficieesfrica correspondiente mide 10m.Calcular el rea de la base del Cas-quete esfrico.

A) 64 B) 74 C) 84 D) 94 E)10010. En la figura, T es punto de tan-gencia y AB es paralelo a OT , si:

AB = R 3 y el volumen del conoequiltero es 339 u . Calcular elvolumen de la esfera.

A) 16 3 B) 34 3 C) 24D) 32 3 E) 42 3

A B C

R

OT



Resoluciones1.Por dato: C = VAdems: 360(V-2) = 1440 V = 6Teorema de Euler:C + V = A + 2 2V = A + 2As que, 2(6) = A + 2 A = 102.

A

h

M5

C

E

3

B

13

3.

a

A

B C

G

D

HE

F

Q

M

N

4.

A

B

D

C

PM

a

aa

a 3x

Datos: AC = 13; MC = 4 y CE = 3mEntonces: BC = 5En el ABC: 132 = 52 + h2

h = 12mLuego:rea total = 124123432 rea total = 192m2

Sea V el volumen del cubo,Si AE = a ED = a 2ABDE = 4( AMNQ )

22a34432a

2 V = a3 = 16 2 u3

Nos piden el ngulo entre AB y CD.Como AP // CD x es la medidaentre AB y CDAMP (issceles de 120):AP = a 3APB (recto en P ) notable:

x = 30



5.A

P

Q C

B

2k

3k

5a

2a2b

3b

5

2

5k

2k

QC

PB PB = 2a y QC = 5aLuego,

.5b2(5a)3

1

.3b2(2a)3

1

conomayorVconomenorV

125

12

conomayorVconomenorV

6.

H

A B

C

E

4

16

Q

a

h

14

Datos: rea (CEB) = 140m2 HE = 4,AE = 16 y BC =14m.Se pide el volumen del prisma recto:

En elCEB : 140 =2a14 Entonces a = 20m

En elAEQ : h2 = 202 - 162Entonces h = 12mLuego: Vp = rea (ABC) . 20

Vp =

21214 (20)

Vp = 1680m3

Dato: 3AP = 2PQ AP = 2k y PQ = 3k

Teorema de Thales

k3k2

BCAB

32

BCAB

PBA ~ QCA



7.

O

C

B

A

aM

h

aa

H

8.

Sea v el volumen del cilindro de revolucin, entonces:v = (4)2 . 21...(1)Por dato:

76

v = (4)2...(2)De (1) y (2) : a = 18Entonces: b = 6En consecuencia: = 53

a

b21

PlanoHorizontal

4

4

8

De la figura: VT.C = h33a

2

Luego: VT.C =

3ha 2 ....(1)

Pero: VP = 12h3a33h

43a

31 22

2....123ha 2 , reemplazando (2) en (1):

VT.C = 3m12



9.

A

O

P

10

rr

B

CA

10.

Se sabe: Vcono = 3u39 .Entonces,

31 r2.r 3 = 9 3

Luego: r = 3

Del grafico:3R3 = r 3 R = 2 3

As que, V =34 (2 3 )3

V = 32 3 u3

A B Q

RO

Tr

r 3

MR/2C

R

R

3

Datos: ACE = 80m2 2 (10m) BP = 80m2 BP = 4mLuego: OP = 6mTeorema de las cuerdas:(r) (r) = (16) (4)r2 = 64A = r2 = 64m2



Problemas Propuestos

1. Por el vrtice A de un trianguloequiltero de lado 6, se levanta AHperpendicular al plano del triangulo,luego se une H con B y C. Hallar ladistancia de A al plano HBC si eldiedro H-BC-A mide 60.A) 1 B) 3 C) 3.5 D) 6E) 4.5

2. Hallar el rea total del slido quese forma al unir los centros de todaslas caras de un exaedro regular dearista igual a 2.A) 4 3 u2 B) 4 u2 C) 23 u2

D)2 6 u2 E) 6 u2

3. Hallar el nmero de diagonalesde un dodecgono regular.

A) 36 B) 81 C) 100 D) 120E) 72

4. Hallar el ngulo formado porAB Y CD en el dodecaedro regularmostrado.

A) 108 B) 36 C) 60 D) 72 E) 18

A

B

BD

C

5. En el hexaedro regular mostradose tiene que AE = EF = FB y el rea

de la regin EHF es de 2cm332 . Si

esta regin es equivalente a unoctaedro regular. Calcular la rela-cin de diagonales del hexaedro aloctaedro.

H

A

F BE

A) 2 B) 23 C)121 D)

23

E) N.A.

6. En el cubo mostrado de aristaigual a u6 . Halle OH .O centro de la cara ABCD.A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 6



E) N.A.

H

A

D

O

B

7. En la figura se tiene el rectoedroABCDFMHG. Hallar el Volumen dela pirmide G DPQ,Si: AF = 6m, BC = 9m, AB = 10m,

PB = 2m y BQ = 5m.

A) 38m3 B) 48 m3 C) 29 m3

D) 56 m3 E) 68 m3

G

F

A P BQ

M

H

D

8. En la figura mostrada, ABCDEFes un prisma oblicuo. Si el volumende la pirmide B- DEF es 10m3.Hallar el volumen de la pirmide B ACFD.A) 16m3 B) 18 m3 C) 22 m3

D) 14 m3 E) 20 m3

A

B

C

D F

E9. En la figura: 2AB = 2BC = 2CD =AD. AD ||BC . Se levanta SAB per-pendicular al plano ABCD tal que eltringulo SAB es equiltero de ladoa, por CD se traza un plano queintersecta a la arista SA en M demodo que MS = MA. Calcular elvolumen del slido AMNBCD.

A)12a 3 B)

12a5 3 C)

24a 3 D)

24a5 3

E)16a3 3

A

S

M

D

CB

N

10. En la figura se tiene un prismarecto cuyas bases son paralelogra-mos. Calcular x



9654

x

A

A1

B

B1

C

C1D1

D R

A) 10 B) 20 C) 30 D) 37E) 53

11. En la figura mostrada, se tienendos troncos de prismas triangularesregulares. Hallar la relacin entresus reas laterales si: P, M y N sonlos puntos medios de AB , AC yBC .

A) 1 B)2 C)3 D) 4 E) 5

A

M

PB

N

C

12. Hallar el volumen del poliedromostrado, sabiendo que la base esun rectngulo de dimensiones 5 y12m; MN dista de la base 10,5m.Las caras laterales estn formadaspor los trapecios PMNS y QMNR;por los tringulos issceles PMQ ySNR. Adems MN = 4m.

A) 165m3 B) 175m3 C) 225 m3

D) 245 m3 E) 200 m3

P

M N

R

S

Q

13. En la figura es tronco de cilindrooblicuo cuyas bases estn en pla-nos perpendiculares.Si: AB2 CD2 = 64. Calcular el realateral del slido.A) 6u2 B) 7 u2 C) 8 u2 D)9 u2E) 10 u2

A

15

D

B

C

14. Si AB = 2m; h = 3m, ademsAB y CD son dos dimetros orto-gonales. Hallar el volumen del slidogeomtrico ABCD en el cilindro.A) 1m3 B) 2m3 C) 3 m3 D)4 m3

E) 5 m3

h

A

c

B

D

15. En la figura se mostrada, el cono



parcial y el cilindro son equivalentes.Determinar que fraccin del volu-men total es el volumen del conoparcial.

A)6517 B)

257 C)

647 D) 2 E)

6427

- 153 -

09TRIGONOMETRA

NGULO TRIGONOMTRICO

Es aquel que se genera por la rotacin de un rayoalrededor de su origen, al que llamaremos vrtice,desde una posicin inicial hasta una posicin final.Consideramos un ngulo positivo cuando la rotacines en sentido antihorario, cuando la rotacin es enel sentido horario se considera negativo.

O

Angulo de una Vuelta:

Es aquel ngulo en la cual el lado final coincide con el lado inicial luego dehaber efectuado una rotacin equivalente a una vuelta completa.

oP

ngulos coterminales:

Dos o ms ngulos reciben el nombre de coterminales si tienen el mismo ladoinicial y el mismo lado final.

Lado Inicial

Lado FinalLado Final

Lado Inicial

EULER



Importante En geometra, la medida de un ngulo tiene un lmite. En trigonometra el ngu-lo trigometrico no tiene lmite ya que rotacin puede darse indefinidamente.

SISTEMAS ANGULARES

Sistema Sexagesimal:El ngulo de una vuelta mide 360Los submltiplos son el Minuto sexagesimal(1) y el Segundo sexage-simal(1)

1 = 60, 1 = 60

Sistema Centesimal:El ngulo de una vuelta mide 400g.

Sistema Radial:El ngulo mide 2 Radianes. Un Radian se define como la medida delngulo central de un circulo cuya longitud de radio es igual a la longitud delarco de circunferencia que subtiende dicho ngulo.

Frmula de Conversin:

R

200C

180S

Donde:

S = Nmero de grado sexagesimales.

C = Nmero de grados centesimales.

R = Nmero de Radianes.

Trigonometra 155


LONGITUD DE ARCO

Si un arco de longitud L en una circunferencia de radio r, subtiende un ngulocentral (medida en Radianes). Entonces,

.rL rea de un Sector Circular:

r

r

O

A

B

L

Trapecio circular:

.rad

A

B

CD

baO

c

c

2rA

2

Si es el ngulo central expresadoen radianes de un crculo de radio r,entonces:

c2

barea

2rlA



RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN NGULO AGUDO

La razn trigonomtrica (RT) de un ngulo agudo en un triangulo rectngulo sedefine como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudesde dos de los lados del triangulo rectngulo con respecto del ngulo agudo.Las lneas trigonomtricas (o razones trigonomtricas) con respecto al ngulo

agudo , son:

ac

b AC

BCa

teto O

puest

o Hipotenusa

Cateto Adyacente

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOSa) Conociendo la hipotenusa y un ngulo agudo:

A

C

b

B

bsenAB

bcosBC

casen

cbcos

batan

abctan a

ccsec

bcsec

Trigonometra 157


b) Conociendo un ngulo agudo y el cateto opuesto a ella:

A

CB

c

c) Conociendo un ngulo agudo y el cateto adyacente a ella:A

CB

a

Nota:rea del tringulo Rectngulo:

a

A

Frmula trigonomtrica:

C

B

A

a

b

A

c.csecAC

c.ctgBC

asecAC

atanAB

A = cos.2

2

sena

2absenA



IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Identidades Recprocas

Sen . Cos = 1 ; n

Cos . Sec = 1 ;

2)12( n

Tan . Cot = 1 ;

2)12( n

Identidades por cociente

Tg

CosSen ;

2)12( n

Cot

SenCos ; n

Identidades Pitagricas

Sen2 + Cos2 1 ; R

1 + Tg2 Sec2 ;

2)12( n

1 + Cot2 Csc2 ; nIdentidades auxiliares:

Sen4 + Cos4 1 2 Sen2 . Cos2 Sen6 + Cos6 1 3 Sen2 .Cos2

Trigonometra 159


Tg + Cot Sec . Csc Sec2 + Csc2 Sec2 .Cos2 Sen2 (1 + Cos ).(1 Cos ) Cos2 (1 + Sen ).(1 Sen )

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

Cuadranteque con-tiene a

Razonespositivas

Razones negativas

IC TodasIIC Sen, csc Cos, sec, tg, ctgIIIC Tg, ctg Sen, csc, cos, secIVC Cos, sec Sen, csc, tg, ctg

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO NEGATIVO

Sen (- ) = - Sen Cos(-) = Cos Tg (-) = - Cot Cot (-) = - Cot Sec (-) = SecCsc (-) = -Csc



REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

Para razones trigonomtricas cuyos ngulos sean de la forma:90 , 270 , 180 , 360 - .RT (90 )= CO-RT ()RT (270 )= CO-RT ()RT (180 )= RT ()RT (360 - )= RT ()Para razones trigonomtricas de ngulos mayores que una vuelta.

RT(360 + ) = RT()RT(360n + ) = RT() , n ZIDENTIDADES TRIGONOMTRICAS DE ARCOS COMPUESTOS

Para la suma de dos arcos:

Sen ( + ) = Sen . Cos +Cos . SenCos ( + ) = Cos . Cos - Sen . Sen

Tg ( + ) =

TgTgTgTg.1

Para la diferencia de dos arcos:

sen ( - ) = sen . cos - cos . sencos ( - ) = cos . cos + sen . sen

Tg ( - ) =

TgTgTgTg.1

Trigonometra 161


Identidades auxiliares:

sen ( + ).sen( - ) = sen2 - sen2cos ( + ).cos( - ) = cos2 - sen2

tg tg =

coscos

)( sen

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ARCOS MULTIPLES

Identidades de ngulos dobles:

Sen 2 = 2 Sen . Cos Cos 2 = Cos2 . Sen2 Cos 2 = 1 2 Sen2 Cos 2 = 2 Cos2 1 Tg 2 =

21

2TgTg

Cot 2 =

Ctg

Ctg2

12


2Sen2 = 1- Cos 2 2Cos2 = 1+ Cos2 2Cot 2 = Cot Tg 2Csc 2 = Cot + Tg

Identidades de ngulos triples:

Sen 3 = 3Sen 4Sen3 Cos 3 = 4Cos3 3Cos



Tg 3 =

2

3

313

TgTgTg

Cot 3 =13

32

3

Ctg

CtgCtg


Sen 3 = Sen (2Cos 2 + 1) Cos 3 = cos (2Cos 2 1) 4Cos . Cos (60 - ) . Cos (60 + ) = Cos 3 4Sen . Sen (60 - ) . Sen (60 + ) = Sen 3 Tg . Tg (60 - ) . Tg (60 + ) = Tg 3Identidades del ngulo mitad:

Sen2 =

21 Cos

Cos =2

1 Cos

Tg2 =

CosCos

11

Ctg2 =

CosCos

11

Nota:El signo del segundo miembro se elige segn el cuadrante del ngulo

2

y de

la razn trigonomtrica que lo afecta.

Trigonometra 163


TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS

I. Transformacin de la Suma o Diferencia de la RT en Producto:

1) sen + sen = 2sen2 . cos

2

2) sen - sen = 2 cos2 . sen

2

3) cos + cos = 2cos2 . cos

2

4) cos - cos = -2sen2 . sen

2

5) cos + sen = 2 cos (45 - )

6) cos - sen = 2 sen (45 - )

7) Tg Tg =

CosCosSen

)(

8) ctg ctg =

SenSenSen

)(

9) tg + ctg = 2Csc 2

10) 1 + sen = 2cos2

2

45

11) 1 - sen = 2sen2

2

45

II. Transformaciones del Producto de RT en Suma o Diferencia:

Sen . Sen =21 )()( CosCos



Cos . Cos =21 )cos()cos(

Sen . Cos =21 )()( SenSen

RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

1) arc Sen x = - arc Sen (-x) =2 - arc Cos x

2) arc Cos x = - arc Cos (-x) =2 - arc Sen x

3) arc Tg x = - arc Tg (-x) =2 - Ctg x

4) arc Ctg x = - arc Ctg (-x) =2 - arc Tg x

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Ley de Senos

En todo tringulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos delos ngulos opuestos.

B

CA

ca

b

Ley de Cosenos

El cuadrado de cualquier lado de un triangulo es igual a la suma de los cuadra-dos de los otros dos lados menos el doble del producto de dichos lados multi-plicados por el coseno del ngulo opuesto al primer lado.

SenCc

SenBb

SenAa

Trigonometra 165


a2 = b2 + c2 2bc cosA

b2 = a2 + c2 2ac cosB

c2 = a2 + b2 2ab cosC

Ley de Tangentes

Dado un triangulo ABC se cumple:

2BA

tg

2BA

tg

ca

ba

Razones Trigonomtricas de los Semingulos de un Tringulo:

En todo tringulo ABC, con respecto al ngulo A se cumple:

bc)cp)(bp(

2A

sen

bc)ap(p

2A

cos

)ap(p)cp)(bp(

2A

tg

Donde: p =2

cba



Tringulos Notables:

60

30

3a

a2a 53

37

5a

4a

3a

Razones Trigonomtricas (RT) de ngulos conocidos:

anguloRT 30 37 45 53 60

sen21

53

22

54

23

cos23

54

22

53

21

tg33

43

134

3

cotg 334

143

33

sec3

3245

2 35

2

csc 235

2 45

332

RT Recprocas:

sen = csc1

cos = sec1

Trigonometra 167


tan = ctg1

RT de ngulos complementarios:

sen = cos(90- )tan = ctg(90- )sec = csc(90- )

Problemas Resueltos01. Si S y C son las medidassexagesimal y centesimal respecti-vamente de un ngulo, tal que:

2S +5C = 100.

Calcular la medida radial de dichongulo.A)/2 B) /3 C) /4 D) /5E) /602. Calcular la medida de un ngu-lo en grados sexagesimales, si ladiferencia del nmero de segundoscentesimales y 100 veces el nme-ro de minutos sexagesimales, esigual a 138000.A) 29 B) 32 C) 22 D) 27 E) 25

03. El rea de la regin sombreada

es6

. Hallar el arco del sector

BAE, si ABCD es un rectngulo.

A

B C

D G

E

F

2

A)6

5 B)7 C)

54 D)

102

E)157

04. ABCD es un cuadrado.

Tg =1613

. Sen x =

x

A D

CB

A) 0.6 B) 0.7 C) 0.8 D) 0.9 E) 0.5



05. E n la figura. Calcular ctgx , siAD = DC4

B

CDA

x

30

A) 34 B)1 C)2 D)3 E)4

06. Simplificar:

cossen

cossen1cossen1E

A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

07. Simplificar:

E = 1CosxSenxCosx4

A) 1 B)0 C)2 D)3E)4

08. Sabiendo que:tan = cot 8 (1 2 cot 8)Calcule:

9tan1

8tan1tan9tanL 22

A) 1 B) -1 C) 2 D) - E)

09. Calcular de la expresin E si:

E = cos65 cos55 + sen8 sen2+ cos123 cos63

A)1 B) -1 C) 3 D) 0 E) -20

10. Reducir:

E =

150ctg225cos120csc135sec315sen120tg

A) 3 B) -1 C) 2 D) 4 E) 0

11. Si ABCD es un cuadrado. Cal-cular:E = tan + ctg

B C

DA

2

1

3

A)6

11 B)6

15 C)6

13 D)6

17

E)6

19

12. Reducir a una forma ms sim-ple la expresin:E = Sen6x + cos6x 2sen4x cos4x+ sen2x

A)sen4xB)sen x . cos x C)sen2x .cos2x D) 1E) 0

13. Hallar el valor de:

13tg40tg413tg340tg331E

A)1 B)2 C)3 D) 4/3E) 0

Trigonometra 169


14. En la figura.

Hallar : sen2x

x

1513

14A

B

C

A)55

B) 5 C) 3/5 D) 4

E) 2

15. M, N, P son puntos medios delas aristas del cubo mostrado.Hallar el ngulo MNP.

M

NP

A) 60 B) 87 C) 100D) 120 E) 130

16. En la figura. Calcular el rea dela regin sombreada, si el rea del ABC es 18u2 y AC = CQ3

B

CA

P

Q

A) 20 B) 25 C) 30 D) 40E) 28

17. Resolver e indicar el numerode soluciones en 0;2 de la ecua-cin:Cos x = (2 Tg x)(1 + Sen x)

A) 2 B) 3 C) 4 D) 1E) N.A.

18. Dos circunferencias de radios2 y 3, tienen sus centros separadospor una distancia igual a 4. El co-seno del ngulo agudo que formanlas tangentes a ambas circunferen-cias de un punto de corte, es iguala:

A)21 B)

31 C)

23 D)

41

E)2

1



Resoluciones01.

Sabemos que: k10C

9S S = 9k y C = 10k

Luego: 2(9k) + 1005k10 k = 5

S = 9(5) = 4502.

Se pide: SSea, m: nmero de segundos centesimalesy n: nmero de minutos sexagesimalesDato: m 100n = 138000

Pero sabemos que: m = 10000 C y n = 60 SLuego: 10000 C 100 ( 60 S ) = 138000Entonces: 10 C 6 S = 138Pero: S = 9n , C = 10nAs que: 10 (10n) 6 (9n) = 138De donde, n = 3En consecuencia: S = 9(3) = 27S = 27

03.

Sea rad la medida del ngulo CAD.Luego: As = ACAG AFAD

= 22 AF2

AC2

= 22 AFAC2

...En el ADC( recto en D ): AC2 = AD2 + CD2

Entonces: AC2 = AF2 + 22 ; as que: AC2 AF2 = 4...Reemplazando en :As = 42

= 2; pero: As = 626

212EAB:Luego.

12

125EAB

Trigonometra 171


652

125BE

04.

x

A D

CB

P

Q

16 - a

a

3 13

16

16

x

05.

B

CDA

x

3030

QP

8a 2a

4aa

06.

cossen

cossen1cossen1E

Agrupemos sen y cos del numerador:

cossen

cossen1cossen1E

PBQ PAD:

a

3=

1616 a a = 4

Luego: PQ = 5

PBQ: sen x =PQ

3

53 senx

Trazamos: AB||DP y BC||DQLuego: 2aDP2DC Entonces: 8a2a4AD y

a4AQ Tambin: 34aQDBP

BPD: ctg x =DPBP =

a

3a4

ctg x = 4 3



As:

cossen

cossen1E22 cossen coscossen2sen1E

22

Por identidad pitagrica

cossen

cossen211E

Luego: 2cossen

cossen2cossen

cossen211E

E = -2

07.

En la expresin 1xcos debe cumplirse que cos x 1 0 cos x 1 perocomo el valor de Cos x de 1 hasta 1,entonces el nico valor que cumple es:Cos x = 1...Pero: Sen2x + cos2x = 1 sen2 x + 12 = 1 Sen x = 0 ...Reemplazando y en E, se tiene:

411014E E =2

08.

Piden el valor de 9tan1 8tan1tan9tanL 22

Dato: tan = cot 8 (1 2 cot 8)Reduciendo la incgnita por compuestos e identidades Pitagricas.

9sec

8seccos9cos

9sen

L 2

2

En senos y cosenos:

8coscos9cos8senL 2

De la condicin tan = cot 8 2 cot2 8

cos

sen

8sen8cos

8sen8cos2

2

2

cos8sen

sen8sencos8cos8sen8cos2

2

2

Trigonometra 173


8coscos8sen8cos2 2 = L

L = 209.

E = cos65 cos55 + sen8 sen2 + cos123 cos63

Multiplicando la expresin dada por 2:2E = 2cos65 cos55 + 2sen8 sen2 + 2cos123 cos63

= (cos120 + cos10) + (cos6 - cos10) + (cos186 + cos60)= cos120 + cos10 + cos6 - cos10 + cos186 + cos60= -cos60 + cos10 + cos6 - cos10 - cos6 + cos60= 0

E = 010.

tg 120= tg (120 - 180) = tg (-60) = 3

sen 315 = sen (315 - 360) = sen (-45) = -22

sec 150 = -sec (180 - 150) = -sec 30 =3

2

csc 120 = csc (180 - 120) = csc 60 =3

2

cos 225 = -cos (225 - 180) = -cos 45 =2

2ctg 150 = ctg (150 - 180) = ctg (-30) = 3

Luego:

E =

150ctg225cos120csc135sec315sen120tg = 3

22

32

32

223

= -1



E = -111.

B C

DA

2

1

3

R H

P

N

MT

Q

RH = sen + 3sen = 4 sen ...Como ABCD es cuadrado: MN = RHLuego, = 2sen + 3cos = 4sen 3cos = 2sen

23

cos

sen

As que:32

coty23

tan

E =6

13

3

2

2

3

12.

Recuerde que:sen4x + cos4x = 1 2 sen2x cos2xsen6x + cos6x = 1 - 3sen2x .cos2xLuego:E = sen6x + cos6x 2sen4x cos4x + sen2x

= (1 - 3sen2x .cos2x) sen4x (1 2sen2x .cos2x) + sen2x= -sen2x cos2x sen4x + sen2x= -sen2x (cos2x + sen2x)+ sen2x= -sen2x (1) + sen2x = 0

E = 4

Trazamos: CD//MN y BC//RHLuego:mRAQ = mAQN = mQPH = TMQ: MQ = 2sen ;AQN: QN = 3cosPero: MN = MQ + QN MN = 2sen + 3cos ...QPH : QH = 1sen ;ARQ : RQ = 3senPero: RH = RQ + QH

Trigonometra 175


13.

Sabemos que: tg ( + ) =

tgtg1tgtg

Entonces: tg ( + ) - tg . tg . tg ( + ) = tg + tg

Luego: tg ( + ) = tg + tg + tg tg tg( + )As que:

E = tg40 + tg13 +34 tg40 tg13

= tg40 + tg13 + tg40 tg13 . tg53

= tg40 + tg13 + tg40 tg13 . tg (40 + 13)

= tg (40+13)

= tg 53

E =34

14.Por la ley de coseno:

132 = 142 + 152 2 (14)(15) cosx

Entonces: cosx =53

Luego: sen2

xcos12x

sen2

5/312x

sen55

2x

15.Sea 2a la longitud de la arista del cubo y x la medida del ngulo pedi-do.



M

NP

x

2aa

2aa

a

2aH

Fa

a

MNP:

2a 2a

26a

2x

2x

26a

M

N

P

sen

2x =

2a2

6a

sen

2x =

23

2x = 60

x = 12016.

Por el teorema de Pitgoras:MHF: (MF)2 = (2a) + a2MHP: (MP)2 = (MF)2 + (FP)2(MP)2 = (2a)2 + a2 + a2 6aMP

Trigonometra 177


B

C

a

A

P

Q

As

a

3b b

Luego: As = A APQ - A ABC= 48u2 18u2

As = 30u2

17.

Cambiando la Tg x porCosxSenx

Se obtiene:

Senx1CosxSenx2Cosx

cos2x = (2cosx senx)(1 + senx)

(1 + senx)(1 senx) = (2cosx senx)(1 + senx)

Simplificando:1 senx = 2cosx senx1 = 2cosx

cosx =21

Como x]0;2[, x =3 y x =

35

el nmero de soluciones es 2.

18.

A APQ = sen2

b4a2

A APQ = 4 ab sen ...Adems: A ABC =18u2

2u18sen2b3a

ab sen = 2u2 ...Reemplazado en:A APQ = 4 (12u2) = 48u2



90O P

T

2

211

3

De la figura:

90

T

O P4

32

Por la ley de cosenos:

(4)2 = (2)2 + (3)2 2(2)(3) cos (90+ )16 = 4 + 9 12 (-sen ) sen =

41

Nos piden: cos (90 - ) = sen =41

cos (90 - ) =41

Problemas Propuestos01. Calcular el rea sombreada aproximada.

Trigonometra 179


2

26

2

A) 3.14 B) 6.28 C) 2.28D) 2.14 E) 4.28

02. Calcular , si el rea del trapeciocircular es b2

d

a

A) 1 rad B) 1/2 rad C) 2 radD) 1/4 rad E) 4 rad

03. Del grafico calcular adems:AO = BO = BC = DE

A

B

C

D E

FO

A)76 B)

9 C)

116

D)5 E) N.A.

04. Determine x del grafico mos-trado

x

30

34

A)1 B)2 C)23 D)

32

E)21

05. Reducir:

E =

40401010

CtgCscTgCtg

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

06. En la figura. Cos2x

=

4 5

6x

A)43

B)85

C)67

D)107

E)87

07. Simplificar:



E =

2010110201

TgTgCtgTg

A) -1 B) 0 C)1D)2 E)-2

08. Simplificar:

x2Cos

TanxSecxx2Sec(Senx + 1)

A) sen2x B) sec2x C) csc2xD) tan2x E) N.A.

09. Simplificar:

E = sen 5x . sen 3x cos 3x . cos x + cos 6x . cos 2x

A) sen x B) 0 C) cos2xD) sen x . cos x E) cos x

10. Del grafico mostrado, calculartg x

x

O

C

EB

A

A) 0.5 B) 0.6 C) 0.7D) 0.8 E) 0.9

11. ABCD es un cuadrado. Hallar tg x

x

A D

B C

M

1

1

A) -2 B)-3 C)1 D)2 E) 5

12. (CEPU 2002 II). Si x es agudo tal que:

sen ( 3x 20 ) . csc ( x 50 ) =

70cos20sen

Hallar x :A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

13. Simplificar:sen ( - x ) sen x +cos ( - x ) cos xA) -1 B) 1 C) 2 D) 2 E) cos x

Trigonometra 181


14. Del grafico mostrado halle el radio r en trminos de a y .

a

2r

B

C H A

A) 2tan1

2tana

B)

tan12

aSen

C)

tan12cos

a

D)

cot12

aSen

E)

tan12cos

a

15. Determine tan, del grafico mostrado si el rea del trapecio BDPQ es dobledel rea del cuadrado ABCD.

A

B C

D

P

Q

16. Reduzca:

M =

2

5csc

2

7cos3cot

2

3cot

A) -1 B)1 C) sen D) cos E) tan17. Simplifique la siguiente expresin:

M = sen6x.cos2x + sen2x.cos4x sen2x.cos6x sen4x.cos2x

A) sen2x B) cos2x C) 0D)-cos2x E) 1

18. En el rectngulo ABCD, DF = 2BH . tan x =

A)3434

B)41

C) 4 D)17

2E)

217



x

H

B C

A D

F

A) 1 B) 2 C) 3 D) 3 E)

19. Si Tg C = 0,75. Ctg =

A O C

B

A) 1 B)2 C) 0.75 D)4/3 E) 4

20. Tg A + Tg C =

h

3h

B

A C

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

21. AC = CB . CD || A0 .CE =ED . Cos =

A

O

C

EB

D

A)2

15 B)

22

C)25

D)2

15 E)1/4

22. Tg =

23

8

A)1 B)1/2 C)1/5 D)2 E)3

23. AD || BC ; sec =B C

A D

102

4

A) 2 B) 3 C)4 D)5 E)6

24. csc2 =

Trigonometra 183


B

D

C

5

7A

A) 5 B) 7 C)6 D)4 E)2

25. Tg2

=

2x + 65x - 6

3x

A

B

CA) 2/5 B)1/5 C)3/5 D)1/2 E) 1/4

26. Hallar Cos en el cubo.

A)36

B) 2 C) 6

D) 3 E)21

27. AF =PB . Hallar: ctg + cos .

A

PF

BO

A) 1 B)2 C) 0D) 2 E) 12 28. En la figura mostrada, si: AM =MC. Calcule x

A

B

C

105 30

x

MA) 18 B) 28 C) 15D) 16 E) 25

29. De la figura, AB = FC,calcule .

A

B

CF

2

A) 18 B) 36 C) 45D) 54 E) 72

30. En la figura, si AD = BC, calculex.



B

CA

x

D30

45

A) 45 B) 54 C) 75 D) 60 E) 15

31. Si3

2senx ; (x es agudo). De-

termine el valor de:

x)2tanx2cotx2senx(secE A)

32

B)23

C)21

D)31

E)43

32. Si13

5senx , determine el radio

de la circunferencia inscrita en eltriangulo mostrado.

x26

A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

33. En la figura, determine la tan-gente del menor ngulo agudo.

2x + 2

x + 6

x + 8

A)53

B)43

C)23

D)34

E)45

34. En un tringulo rectngulo ABC(recto en B). Se cumple b + c = a2.Si la hipotenusa mide 13. Determineel sen. Siendo el menor nguloagudo.

A)1312

B)121

C)135

D)134

E)125

35. Determine el valor de: E = sen30 + sen2 30 + sen3 30 + ...A)0 B)1 C)2 D) 10 E) 81

36. Simplifique la expresin:

E =

70csc70cos65sen25sec20tan

A)1 B) 2 C) 3 D) 4E) 5

37. Siendo sen x =135

, determine la

longitud del segmento BC .

5x

A

B

C

A)1360

B)1265

C)747

D)6

37E)

217

Trigonometra 185


38. En la figura AOB es un sectorcircular con centro en O (AO = R).

Hallar

Rr

en funcin de y .

2

r 1O

A B

OA) sen cot B) tan tanC) sen tan D) sen - senE) cot.tan39. Calcule:

M = tan2x + cot2x sec2x csc2x

A) -1 B) -2 C) -3 D) -4E) 5

40. Si tan x = a. Calcule:

P = sen2x + cos2x + tan2x + cot2x +sec2x - csc2x

A) 2a2 - 1 B) 2a2 + 1 C) 3a2 + 1D) 3a2 - 1 E) 4a2 - 1

41. si secx + tanx = 5. Calcule cosx

A)125

B)135

C)127

D)137

E) 1

42. Reducir:M = x8cosx4cosx4senx2cosx2sen

A) sen2 x B) sen4 x C) sen6 xD) sen10 x E) sen8 x

43. Si se cumple que:tan2x + cot2x = 7.Determine el valor de secx.cscx

(x: agudo)A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

44. Reducir la expresin:A = (tanx cosx)2 + (cotx senx)2

A) 0 B)21

C) 1 D) 2 E) 3

45. Reduzca la expresin:

M = sen4x + cos4x +xsec

xsen22

2

A) 0 B) 1 C)23

D) 2 E)25

46. Halle el valor de n para la queexpresin sea una identidad:

cos4 - sen4 = n 2sen2A) 0 B) 1 C)

23

D) 2

E) 3

47. Simplifique la expresin:

M = 1 -

xcossen

xcossenxxcosxsen22

33

A) senx cosx B) sen2 x C) cos2 xD) tanx E) 0

- 186 -

- 187 -

BIBLIOGRAFIABruo G. M. Geometra Superior . 15 Edicion. Espaa. 1971.Levi S. Shively Introduccin a la Geometra Moderna . 2

Edic. 1968.

Pogorelov A. V. Geometra Elemental . Editorial MIR.URSS.1978.

Wentworth J. Geometra Plana y del Espacio . USA. 1968.Taylor wade Trigonometra Contemporanea . Espaa. 1986.Blossiers Problemas de Trigonometra . USA. 1968.Compendio Acadmico: Matemtica. ADUNI. Lima 2001.



Impreso en los talleres del Centro PreuniversitarioUniversidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

Diagramacin: Jefatura CEPUTacna 2003

A)90B)60C)45D75|E)30

geometria2

Documents

Transcript of geometria2