GEOMETRÍA

Luis Figueroa S.

I – UNIDAD

Conceptos Básicos

Segmentos

A

B

C

D E

A’

B’

C’

D’ E’

A

B

C

D

E

F

L1

L2 L3

La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra".

Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos.

Fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.

Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.

Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados.

Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella".

La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano

Para un mejor estudio a la geometría se la divide en : Geometría Plana y Geometría del Espacio.

a). Geometría Plana .- Estudia las figuras planas, por ejemplo: el triángulo, círculo, etc.

b) Geometría del Espacio .- Estudia a los sólidos geométricos. Por Ejemplo : La pirámide, el prisma, la esfera etc.

Punto y Recta son términos no definidos en geometría.

El punto es el ente más pequeño en geometría. No tiene medida y lo representamos a través de una marca o “equis” pequeña y puede notarse con una letra mayúscula de imprenta.

La Recta es un conjunto infinito de puntos que tiene longitud pero no tiene ancho. Cuando se representa a la línea recta debe considerarse infinita.

xxPP ..QQ

P

L

La rectaL

Q

La recta

PQ

• Dados dos puntos A y B Definimos:

• Un Segmento AB como el conjunto de puntos A y B , y de todos los puntos que están entre A y B.

Los puntos de A y B se llaman extremos de AB• El número AB se llama la longitud de AB.

AA BB

SEGMENTO ABSEGMENTO AB

Decimos que M es el punto medio de AB, si M esta entre A y B y AM=MB

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

AA BBMM

Punto Medio de un

SEGMENTO AB

Punto Medio de un

SEGMENTO AB

OPERACIONES CON SEGMENTOS

SUMA

A B C

BCABAC

RESTA

A B C

ABACBC

A P B

SECCIÓN AUREA DE UN SEGMENTO

El segmento AP del gráfico se dice que es la sección áurea del segmento AB, si y sólo si se verifican las siguientes relaciones:

AP > PB

(AP)2 = AB.PB

CUATERNA ARMÓNICA

A C D B

Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, forman una cuaterna armónica sí y sólo sí se cumple:

AB = ADBC CD