GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS.pdf

7/30/2019 GEOMETRAS NO EUCLIDIANAS.pdf

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Editorial de la Universidad de Costa Rica

Primera edicin, 1999


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NDICE

PREFACIO..........................................................................................................................................5

Captulo I: UNA INTRODUCCIN...................................................................................................71.1 EN LA ANTIGEDAD GRIEGA...........................................................................................8

Thales y Pitgoras......................................................................................................................8Periodo Alejandrino...................................................................................................................9Eudoxo.....................................................................................................................................10Euclides y Apolonio.................................................................................................................11Arqumedes..............................................................................................................................12Algunas caractersticas de la poca..........................................................................................12Los romanos.............................................................................................................................13

1.2 EN LA EDAD MEDIA...........................................................................................................14El "regreso'' de los griegos.......................................................................................................16Los rabes.................................................................................................................................16

1.3 RENACIMIENTO Y REVOLUCIN CIENTFICA............................................................18Matemticas renacentistas........................................................................................................20Las nuevas ideas.......................................................................................................................20La Revolucin Cientfica.........................................................................................................22Los lmites de la geometra clsica..........................................................................................22Los logros de la Revolucin Cientfica....................................................................................24

1.4 DE LA GEOMETRA ANALTICA AL CLCULO...........................................................25La Geometra Analtica............................................................................................................25

Descartes..................................................................................................................................25Fermat......................................................................................................................................26El lgebra................................................................................................................................26Las matemticas del siglo XVII...............................................................................................27El Clculo.................................................................................................................................28

1.5 EN EL SIGLO XVIII..............................................................................................................31Intuicin y aplicacin en las matemticas................................................................................31Un balance................................................................................................................................31El Anlisis................................................................................................................................32Los matemticos franceses del siglo XVIII.............................................................................33Una sntesis..............................................................................................................................34

1.6 EL SIGLO XIX Y LAS NUEVAS MATEMTICAS...........................................................34Dos factores claves...................................................................................................................34Geometra proyectiva...............................................................................................................35lgebra.....................................................................................................................................36Geometra y lgebra.................................................................................................................37La lgica...................................................................................................................................39

1.7 LAS GEOMETRAS NO EUCLIDIANAS............................................................................40


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Otra periodizacin....................................................................................................................40La autonoma de las matemticas.............................................................................................41

1.8 PREGUNTAS.........................................................................................................................42

Captulo II: En la Geometra Euclidiana...........................................................................................44

2.1 LOS POSTULADOS..............................................................................................................45Postulados................................................................................................................................46Nociones comunes....................................................................................................................48El quinto postulado..................................................................................................................49

2.2 AUTOEVIDENTES?............................................................................................................492.3 PREGUNTAS.........................................................................................................................51

Captulo III: El quinto postulado ......................................................................................................523.1 DE EUCLIDES A SACCHERI..............................................................................................53

Ptolomeo..................................................................................................................................53Proclus......................................................................................................................................54

Nasr-Eddn..............................................................................................................................54Wallis.......................................................................................................................................54La formulacin ms conocida: el postulado de las paralelas...................................................56Mtodos indirectos...................................................................................................................57

3.2 SACCHERI.............................................................................................................................573.3 OTROS PRECEDENTES.......................................................................................................60

Klgel.......................................................................................................................................60Lambert....................................................................................................................................60Schweikart................................................................................................................................61

3.4 PREGUNTAS.........................................................................................................................61

Captulo IV: Las nuevas geometras .................................................................................................624.1 GAUSS Y LA NUEVA GEOMETRA..................................................................................62

La geometra es emprica.........................................................................................................634.2 BOLYAI Y LOBACHEVSKY...............................................................................................64

Lobachevsky............................................................................................................................64Bolyai.......................................................................................................................................64

4.3 PRIORIDAD Y SENTIDO HISTRICOS............................................................................65Una revolucin.........................................................................................................................66Dos paralelas y una perpendicular...........................................................................................67

4.4 ALGUNAS IMPLICACIONES..............................................................................................681. El sentido social de la ciencia y de las matemticas............................................................682. Varios factores sociales........................................................................................................683. Pleitos...................................................................................................................................694. Inercia y temor.....................................................................................................................695. Individuo y colectividad.......................................................................................................69

4.5 PREGUNTAS.........................................................................................................................70


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Captulo V: Desarrollos Posteriores..................................................................................................715.1 RIEMANN..............................................................................................................................71

No hay paralelas.......................................................................................................................72La geometra diferencial...........................................................................................................74La superficie como espacio......................................................................................................76

La geometra euclidiana es emprica........................................................................................77Por pedazos..............................................................................................................................77Espacio fsico como ejemplo de variedad................................................................................77Una nueva visin del espacio...................................................................................................78

5.2 DE RIEMANN A KLEIN.......................................................................................................79Curvatura..................................................................................................................................80La pseudoesfera........................................................................................................................80La esfera...................................................................................................................................81Dentro de la geometra proyectiva...........................................................................................81La aplicacin de las nuevas geometras...................................................................................82

5.3 PREGUNTAS.........................................................................................................................83

Captulo VI: Sobre la esfera .............................................................................................................846.1 GEOMETRA ESFRICA.....................................................................................................85

Aplicaciones.............................................................................................................................866.2 SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS........................................................................................87

El quinto postulado..................................................................................................................87Dos tipos de geometra.............................................................................................................89En la geometra esfrica...........................................................................................................90Angulos de un tringulo...........................................................................................................91

6.3 PREGUNTAS.........................................................................................................................92

Captulo VII: Otros modelos geomtricos ........................................................................................937.1 EN UNA SILLA DE MONTAR.............................................................................................937.2 DENTRO DE UN DISCO......................................................................................................947.3 OTRO MODELO....................................................................................................................997.4 EL OTRO MODELO DE POINCAR................................................................................1027.5 PREGUNTAS.......................................................................................................................103

Captulo VIII: Algunas lecciones ...................................................................................................1048.1 LA CUERDA ESTIRADA...................................................................................................104

Newton y Einstein..................................................................................................................105Un paradigma.........................................................................................................................106

8.2 LECCIONES TILES..........................................................................................................1068.3 PREGUNTAS.......................................................................................................................108

BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................109


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PREFACIO

Uno puede interpretar la geometra como un juego. Todo juego posee reglas. Cules son las reglas

del juego geo-m-trico? Podemos decir que las reglas de ste juego son dadas por los postulados yaxiomas, es decir por las suposiciones ms bsicas y los procedimientos y acciones permitidas.

En el ftbol, por ejemplo, se tiene 11 jugadores en cada equipo, dos porteras, algunos jugadorespueden tocar la bola con sus manos y otros no, tambin depende de ciertas condiciones cundo sevale tocar la bola con la mano. A veces el rbitro pita por ejemplo "fuera de juego'' y se sabe que esporque se transgredi una regla.

Pues lo mismo sucede en la geometra. La geometra comn que usted, estimado lector, conoce sellama euclidiana. Posee reglas muy precisas. Y lo usual es que las haya conocido y estudiadodurante muchos aos de su vida.

Se puede pensar qu pasara si se cambia algunas de las reglas del ftbol. Por ejemplo, que todos

los jugadores puedan tocar la bola con sus manos en cualquier lugar de la cancha, o que solamentese pueda usar el pie derecho y no el izquierdo. Evidentemente, el nuevo juego tendra algo deparecido con el ftbol pero ya no sera el mismo. Ms parecera balonmano o rugby.

Ahora qu pasara si cambia algunas de esa reglas de la geometra? Es este el tipo de asuntos quevamos a tratar en este captulo. Porque, precisamente, podramos decir que las geometras noeuclidianas respresentan un cambio de algunas de esas reglas. El nuevo juego resulta diferente perotambin contiene cosas similares.

En lo que sigue, vamos a conocer algunas de las geometras que se generaron al cambiar algunos delos postulados clsicos de Euclides. Este no fue un proceso sencillo y fcil porque la geometraeuclidiana ha estado asociada a lo que se ha credo es el espacio que nos rodea. Y cambiar una

geometra as rompa y todava rompe muchos de los esquemas mentales e ideas que poseemos.Su historia es la historia de una de las ms grandes revoluciones del pensamiento humano. Esapasionante. Debera recordarse como se recuerda la Revolucin Francesa o el descubrimiento deAmrica, y sin embargo la realidad es que pocas personas saben que existi esta revolucin.

Este libro constituye esencialmente una resea histrica e introductoria de las geometras noeuclidianas, pero tambin hemos querido dotarlo de algunos ejemplos o representaciones fsicas (ovisualizables) de las mismas. La primera parte est constotuida por cuatro captulos. El primercaptulo nos ofrece un recuento breve de los postulados y axiomas de la geometra euclidiana. Elsegundo captulo recorre la historia del famoso quinto postulado, cuya negacin fue responsable dela generacin de las geometras no euclidianas. En el tercer captulo resumimos la obra de Gauss,Bolyai y Lobachevsky, los padres de este tipo de geometras. En el captulo cuarto describimos laevolucin de las geometras no euclidianas y especialmente dentro del marco de la geometradiferencial. Los captulos quinto y sexto, que constituyen la segunda parte del libro, ofrecenrepresentaciones visuales y fsicas de las nuevas geometras.


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Este libro busca llenar una necesidad cultural y educativa en torno a la geometra y lasmatemticas. Por sus caractersticas la geometra no euclidiana permite avanzar en la comprensinde la naturaleza de las matemticas; en particular el sentido que en esta disciplina poseen laspremisas, los axiomas, y la lgica. Pero, ms importante, la historia de estas geometras ofrece unejemplo de cmo funciona la construccin matemtica en la realidad, en donde las condiciones

sociales, histricas e individuales ocupan un papel trascendental.Para terminar este prefacio, deseo expresar mi agradecimiento a la Editorial de la Universidad deCosta Rica por su apoyo para la publicacin de este libro.

Angel Ruiz

Catedrtico

Escuela de Matemtica

Universidad de Costa Rica

9 de setiembre de 1997.


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Captulo I: UNA INTRODUCCIN

Al describir la historia de las matemticas lo adecuado sera ofrecer una visin integral queincorporara las contribuciones matemticas de otras culturas importantes adems de la occidental;sin embargo, no es ste nuestro propsito en la presente resea orientada a la comprensin de lacreacin de las geometras no euclidianas. As pues, vamos a comenzar este libro con elestablecimiento de una periodizacin histrica, en general en concordancia con la historia de lasociedad occidental.

Una primera etapa podemos decir que fue la greco-romana, donde la fase griega fue ms

sustantiva y significativa para las ciencias y las matemticas. Una segunda etapa: la poca medieval, dominada esencialmente por una atmsfera cultural

poco propicia para el progreso de las ciencias y, por ende, un escaso desarrollo social ycientfico.

Una tercera etapa: el Renacimiento, donde lo fundamental fue un cambio de actitud frente alconocimiento y frente a la vida.

Una cuarta etapa fue la Revolucin Cientfica en el siglo XVII y, si se quiere, parte del sigloXVIII.

Podemos decir que una quinta etapa la constituye el trabajo realizado por los matemticos

del siglo XVIII y parte del XIX, cuya caracterstica esencial fue el desarrollo de los temas ymtodos matemticos generados en la revolucin matemtica y cientfica del XVII, conespecial nfasis en trabajos relacionados con el Clculo Diferencial e Integral.

Una sexta etapa se desarrolla en el siglo XIX, donde los elementos significativos fueron eldesarrollo del lgebra y en particular de la teora de grupos, la geometra proyectiva, lasgeometras no euclidianas y la rigorizacin del anlisis y las matemticas en general.


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Se puede decir que en algn momento en esta ltima etapa emerge la matemtica moderna quellega hasta nuestros das. Es una decisin algo convencional el establecer los lmites finales de unasexta etapa y el inicio de una stima, con toda precisin, porque las principales tendencias quetodava dominan las matemticas, de alguna forma, fueron planteadas y desarrolladas durante elmismo siglo XIX.

En este captulo no ponemos nfasis en los resultados propiamente matemticos sino, ms bien, enlo aspectos histricos generales que nos permitan ubicar el trabajo de los matemticos. Es decir, nohay detalles matemticos solo descripcin de fases y caractersticas histricas globales de intersespecial para la comprensin del lugar intelectual que ocupan las geometras no euclidianas.

1.1 EN LA ANTIGEDAD GRIEGA

Los primeros desarrollos de la geometra y, en general, de las matemticas podemos decir que seencuentran alrededor de la cultura helnica, en la Grecia Antigua. Esta cultura fue una baseesencial de la civilizacin occidental.

Thales y Pitgoras

Los primeros nombres de matemticos que vienen a nuestra mente son los de Thales de Mileto(circa 625-545 a.C.) y Pitgoras de Samos (c. 580-500 a.c.), aunque no se sabe con exactitud culesson los resultados matemticos que realmente obtuvieron. Probablemente, y a diferencia de otrasobras como las de Platn (c. 429.348 a.C.) o Herodoto, no existen obras especficas que nos dencerteza sobre sus trabajos y resultados.

En el caso de Pitgoras, que estableci una escuela cientfica y religiosa, ni siquiera se puede decirsi los resultados que se le atribuyen son suyos o de sus discpulos y correligionarios.

En general, con relacin a todas las obras de la Antigedad Clsica es muy difcil saber conprecisin el de-sarrollo histrico y las caractersticas especficas del mismo pues mucho se haperdido a lo largo de tantos siglos. No obstante, podemos establecer algunas ideas y concensos entorno a este momento de las matemticas griegas.

Un primer detalle: tanto Thales como Pitgoras tuvieron influencia de las civilizaciones del bronce,grandes culturas que dominaron el mundo conocido durante muchos siglos. Es Thales quien sesupone que inici la geometra deductiva, y a quien se le atribuye el teorema de que un nguloinscrito en una circunferencia es recto, y, tambin, que el crculo es dividido en dos partes igualespor un dimetro.


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Egipto: una de las civilizaciones del Bronce

Podemos recordar que Thales fue miembro de una famosa escuela de pensadores que trataron deofrecer una interpretacin naturalista sobre la realidad, la Escuela Jnica. Se asegura que estaescuela constituye el primer eslabn en el desenvolvimiento de la cultura griega.

Los pitagricos establecieron una doctrina importante sobre la naturaleza de los nmeros: ellosconsideraban a los nmeros como el fundamento del universo; les daban a los nmeros unsignificado abstracto. Para Pitgoras, cada cosa es un nmero especfico y, por supuesto, diferentescosas son representadas por diferentes nmeros.

Pitgoras

Periodo AlejandrinoUna nueva poca en la civilizacin griega comenz a partir de la conquista realizada por losmacedonios, un pueblo del norte de Grecia; se dice que los macedonios destruyeron la civilizacingriega clsica y generaron la apertura de una nueva fase en la historia griega. La conquistamacedonia comenz con Filipo II alrededor del ao 352 a.C., de hecho Atenas fue derrotada en el338 a.C.; sin embargo, quien ms huella dejara en la historia de la humanidad fue Alejandro El


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Grande, precisamente hijo de Filipo. Alejandro conquist Grecia, el Cercano Oriente, Egipto ylleg hasta la India; sin embargo, muri muy pronto y su gran imperio se dividi en tres partes. Unade las partes que ms importancia tendra para el desarrollo de Occidente y, en particular, de lasciencias, las tcnicas y la matemtica, fue el llamado Imperio de los Ptolomeos, cuya ciudad msimportante llev el nombre de Alejandra.

Eudoxo

Antes de la nueva fase alejandrina, debemos mencionar el trabajo de Eudoxo (c.408-355 a.C.) quenaci en Cnido alrededor del ao 408 a.C. Este fue uno de los matemticos ms importantes detoda la cultura griega. Eudoxo se supone fue discpulo de Arquitas (fl.c.400-360 a.C.), en Tarento;

y tambin form parte de la Academia de Platn. Es muy conocido por haber desarrollado elllamado mtodo de exhauscin , para aproximar reas geomtricas.

Es interesante mencionar que Eudoxo evit considerar los nmeros irracionales como nmeros;evit dar valores numricos a longitudes de segmentos de recta, tamao de ngulos y a otrasmagnitudes as como las razones entre ellas. Esto implic una drstica separacin entre geometra yaritmtica, y un cambio en la orientacin anterior que daba un nfasis al nmero como conceptocentral (visin pitagrica).


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Euclides y ApolonioYa en pleno perodo alejandrino, se suele citar los nombres de Euclides (fl.c.300 a. C.) y deApolonio de Perga (c.262-190 a.C.), aunque el trabajo de Apolonio se dice que posee el espritu delperodo anterior.

Euclides es bien conocido por un famoso libro llamado Elementos, cuya influencia en la historia hasido extraordinaria, precisamente porque sintetiz, resumi y sistematiz todo el conocimientomatemtico previo y, en particular, a travs de un mtodo que echaba mano de la lgica: laaxiomtica. Ya hablaremos de Euclides en los siguientes captulos. Ahora solo nos interesa colocarsu contribucin en el marco histrico que describimos.

Conjunto de puntos cuya distancia de un punto fijo es un mltiplo de su distancia de otro punto fijo


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Arqumedes

La figura matemtica ms importante de toda la poca podemos decir que fue Arqumedes (c.287-212 a.C.), quien estudi en Alejandra; aquel centro del Imperio de los Ptolomeos que fue una basepara la cultura y el aprendizaje en el mundo griego.

Adems del clculo de reas y volmenes, aproxim el nmero , y obtuvo grandes resultados enhidrosttica, astronoma, y mecnica.

Se afirma que tuvo relacin con discpulos de Euclides precisamente en Alejandra y algunos de losdetalles de su vida son conocidos por medio de una historia escrita por el famoso Plutarco, 45-120d.C., (Vidas paralelas: Marcellus), acerca de un general romano llamado Marcelo.

Arqumedes

Algunas caractersticas de la pocaPor razones que no vamos a desarrollar aqu, la matemtica griega, a pesar de su grandeza, tuvoimportantes limitaciones: poca relevancia del lgebra y la aritmtica (podemos decir que existi unexceso de geometrizacin de las matemticas) y una geometra limitada por reglas muy rgidasdesprendidas de la construccin exclusiva con regla y comps.

Se afirma que pes en todo esto el descubrimiento de los nmeros irracionales, que enfrentaron lavisin dominante pitagrica que afirmaba a los nmeros enteros y racionales como fundamento deluniverso.

Otros asuntos como las paradojas de Zenn (c. 450 a.C.) tambin jugaron un papel en lascaractersticas especficas de las matemticas griegas.


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La muerte de Arqumedes por un soldado romano

Los romanos

Por diversas razones, el mundo griego fue derrotado por Roma y se cre una nueva fase en elMediterrneo gobernada por la influencia de los habitantes de la Pennsula Italiana.

Los romanos dejaron su impronta en la historia occidental, pero, en pocos siglos, a eso del V sigloD.C., haban entrado en una plena decadencia.

Durante la poca romana si bien se dieron progresos con relacin a la organizacin poltica yjurdica, a los medios de transporte y distribucin, para la cultura no represent una gran victoria:los trabajos en ciencias, matemticas y en tcnicas fueron prcticamente congelados; es decir: ungran retroceso durante siglos para el desarrollo del conocimiento.


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1.2 EN LA EDAD MEDIA

Se suele considerar la Cada de Roma en el ao 476 como el inicio de la Edad Media, y el ao1453, con la Cada de Constantinopla en manos turcas, su final. Se trata de una demarcacin enesencia poltica.;, para la historia de las matemticas o de la ciencia en general otras fechas sera

mejores, pero vamos a seguir la divisin clsica por propsitos didcticos.

China: una cultura que contribuy a las matemticas medievales

Es necesario, sin embargo, hacer una advertencia: el grueso de la historia de las matemticasmedievales no fue exclusividad europea; ms bien fue el resultado de varias civilizaciones: rabe,india, china, bizantina (Imperio Romano de Oriente) y lo que quedaba del Imperio Romano deOccidente. Cada civilizacin posea diferentes lenguas. No vamos en este pequeo libro a analizarms que una de esas culturas, pero nos interesa resaltar el marco global diverso de esta evolucinhistrica. Esto es importante porque para muchos asuntos de esta poca la mejor comprensin selogra solo si se estudian los contactos e interrelaciones culturales que existieron.

Alrededor del siglo XII y siglos previos la sociedad europea fue esencialmente una coleccin depueblos aislados y de poco nivel cultural, con la Iglesia Catlica como albacea intelectual.Culturalmente durante todo este perodo no existi mucha relacin con la mayor parte delpensamiento clsico griego, distancia que ya se haba establecido desde el mismo Imperio Romano.


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El Taj Mahal, del periodo indoislmico, se empez a construir en 1628

Durante siglos, la enseanza, el aprendizaje, el conocimiento escaso que se haba rescatado de lasculturas griega y romana, estuvieron asociados a la Iglesia Catlica y, sobre todo, a las necesidadesque ella tena (como, por ejemplo, en los servicios religiosos y la lectura de los libros sagrados). Ellatn fue escogido como idioma oficial de la Iglesia, por eso durante todo este perodo en laenseanza como en el intercambio de conocimiento fue el latn la lengua que se us.

Debe decirse que en toda esta poca no haba mucha matemtica disponible, aunque en el currculoeducativo para las pocas escuelas que hubo se le dio cierto nfasis a las matemticas. Por ejemplo,el modelo educativo estaba formado por lo que se llama el cuadrivium y el trivium. El primeroestaba constituido por geometra, aritmtica, astronoma y msica. El trivium: por retrica,

gramtica y dialctica . Sin embargo, como hemos dicho, el nivel matemtico era bajo, apenas unaaritmtica y una geometra muy elementales.

La razn fundamental del bajo nivel de las matemticas y la ciencia era la ausencia de factores queestimularan el de-sarrollo del conocimiento. Para la Iglesia de esos tiempos la verdad y las fuentesy criterios de la misma slo se encontraban en la revelacin divina, y los estudios tenan queorientarse hacia la lectura y anlisis de los textos sagrados, donde se supona se encontraban laverdad y el conocimiento. En ese sentido, mtodos empricos o experimentales estabanprcticamente excluidos para la investigacin del mundo circundante.

Como los temas principales de reflexin y anlisis eran el pecado, el temor al infierno, la salvacino cmo ascender al cielo, el estudio del mundo fsico real no solo se consideraba fuera de los fines

de la educacin y el conocimiento por parte de la Iglesia, sino que, muchas veces, era consideradoalgo estril y, en ocasiones, hasta hertico.

Debe advertirse que el trmino "Edad Media'' convoca en realidad diferentes periodos histricos,circunstancias culturales heterogneas, y resultados histricos que sera mejor separar o distinguir.Hubo autnticas etapas "oscuras'' cultural y socialmente, y otras con importantes realizacionesespirituales; hubo regiones cultas y otras muy atrasadas. Cohabitaron diferentes sistemas


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econmicos, polticos y sociales y puede decirse que toda la poca estuvo llena de importantescontradicciones culturales. Al igual que domin un contexto nada propicio para las ciencias y lasmatemticas -como ya sealamos-, de la Edad Media son las primeras universidades "modernas'',desarrollos urbanos novedosos, el progreso de mtodos y tcnicas agrcolas, y de transporte, etc.Nos resulta ms apropiado, entonces, un enfoque "prudente'' que parta de esta diversidad y que

seale algunas tendencias importantes en su devenir social y cultural.

El "regreso'' de los griegos

La forma de vida que domin durante todos estos siglos, empez a sentirse afectado alrededor delsiglo XII por el descubrimiento por parte de los europeos de las grandes contribuciones en ciencias,matemticas, literatura y arte, realizados en la Grecia Antigua. Fue a travs del comercio y diversostipos de viajes que tomaron contacto con obras que haban sido conservadas, traducidas e inclusoampliadas por los rabes.

Los trabajos de la Antigedad griega fueron retomados por los intelectuales europeos y religiososde la poca, creando lo que se suele llamar la Escolstica; en sntesis podemos decir que se trat de

establecer una unidad entre el pensamiento del gran filsofo de la Antigedad Aristteles (c.384-322 a.C.), y las ideas y doctrinas de la Iglesia Catlica. A pesar de la vinculacin con elpensamiento griego antiguo y los resultados de aquella gran cultura, los dirigentes espirituales de lapoca no pusieron sus nfasis en los aspectos naturalistas o ms relacionados con la indagacinemprica, sino en los aspectos, digamos, ms metafsicos: en la lgica y en las premisascosmolgicas que menos entraban en contradiccin con los dogmas establecidos. Por eso, a pesarde que se lograron algunos resultados de inters en ciencias y en matemticas, stos no fueron deuna gran trascendencia. La situacin slo cambiara bajo la accin de importantes transformacionessociales, culturales y polticas que se suelen asociar con los trminos de Renacimiento y, tambin,de Revolucin Cientfica.

Alrededor de esta poca se conocen algunos resultados matemticos asociados a los nombres de

Leonardo de Pisa (c. 1170-1250) y Nicole Oresme (c.1323-1382).

Los rabes

Antes de que hablemos un poco ms del Renacimiento y de la Revolucin Cientfica, expresemosalgunas consideraciones sobre el influjo rabe en la historia del pensamiento occidental, el cualnormalmente no es ampliamente divulgado en los libros de historia y los textos que usamos ennuestras escuelas primarias y secundarias.

Los rabes eran un conjunto de pueblos nmadas que vivan en lo que hoy es la Pennsula Arbiga,que bajo el liderazgo de un gran dirigente religioso llamado Mahoma constituyeron unextraordinario imperio en el Mediterrneo. En el ao 632 d.C. el Imperio Arabe limitaba con laIndia y Espaa, inclua el norte de Africa y el sur de Italia, mientras que Europa era apenas ungrupo de pueblos esencialmente atrasados y aislados. Los rabes construyeron una extraordinariaciviliza-cin que cultiv ciencias, artes e incluso promovieron una atmsfera cultural, social ypoltica bastante flexible y tolerante con relacin a las religiones y a los pueblos alrededor delMediterrneo. Los rabes, por lo menos hasta el siglo XV, constituyeron el principal centro decultura, educacin, y ciencias de toda la regin. El fundamento bsico de su desarrollo cultural


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estuvo asociado al conocimiento griego de la Antigedad, a travs directamente de fuentes griegasen versin siria o hebrea. Ellos haban tomado contacto con lo que qued del mundo griego enBizancio, lo que se suele llamar el Imperio Romano de Oriente, a la vez que de Egipto y escuelassirias de Edessa, Damasco y Antioqua; aunque tambin tuvieron contacto con obras conservadaspor los cristianos nestorianos en Edessa.

Al-Khoarizmi

Solo para mencionar un ejemplo, debemos decir que en el caso de las matemticas su papel fueesencial por la relevancia que le dieron al lgebra y a la aritmtica. Los griegos antiguos habangeometrizado el lgebra y la aritmtica debido a los problemas que encontraron con los nmerosirracionales y con algunas paradojas numricas. Las debilidades griegas hicieron que serestringieran las posibilidades de desarrollo de la misma geometra; aunque los ms afectadosfueron el lgebra y la aritmtica. Los rabes usaron a diestra y siniestra los nmeros irracionales, aligual que los hindes. La notacin posicional en base 10 y los nmeros negativos fueronintroducidos en Europa por el influjo hind y rabe.

Podemos citar el nombre de dos insignes matemticos rabes que han quedado guardados ennuestra cultura: Mohamed ibn Al-Khoarizmi (c.825 d.C.) y Omar Khayyam (c.1038-1123).

La principal influencia rabe podemos decir que empez a tener su impacto en el mundo europeosobre todo a partir del mismo siglo XII, cuando represent ese extraordinario puente entre losintelectuales europeos y la Antigedad griega. En muchas ocasiones, las primeras versiones que

recibieron los europeos de los textos clsicos de la Antigedad (tanto en matemticas, medicina,qumica y otras reas del conocimiento y las tcnicas) fueron textos y obras traducidos por losislmicos al arbigo.


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1.3 RENACIMIENTO Y REVOLUCIN CIENTFICA

El Renacimiento signific un reencuentro con la cultura clsica antigua; pero esta vez no fue con lalgica formal o la especulacin abstracta y no emprica que haban realizado los escolsticos, sinocon algo fundamental: la relacin con el mundo y la indagacin prctica de la naturaleza, el sentidovital, el humanismo. Fue una poca en la que todo se cuestion y, con ello, se abri un perodoextraordinario en la produccin intelectual y cultural de la sociedad occidental.


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Detalle de La Escuela de Atenas de Rafael


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Con el Renacimiento, que arranc en Italia y luego se extendi por otras partes del suelo europeo,comenz una verdadera revolucin de ideas y una nueva actitud ante la sociedad, la naturaleza y elhombre; revolucin que afirmamos constituye uno de los principales fundamentos del mundomoderno.

El reencuentro con la Antigedad clsica fue importante, pero no fue el nico factor que pes;

diversas condiciones econmicas, polticas y sociales fueron un autntico caldo de cultivo parapoder potenciar los resultados cognoscitivos de la Antigedad que "reentraban'' en el mundooccidental.

Matemticas renacentistas

El Renacimiento no produjo grandes resultados en matemticas, lo que no era el caso en otraspartes de la vida cultural, por ejemplo en la literatura y el arte. Pero la realidad es que en esta pocase estaba logrando crear la infraestructura para dar el salto que se realiz en el siglo XVII y quepodemos sintetizar con el nombre de Revolucin Cientfica.

De esta poca, vienen a nuestra mente los nombre de algunos matemticos: Nicols de Cusa (1401-1464), Regiomontano (1436-1476), Luca Pacioli (1445-1514). Tambin es necesario mencionarque los importantes trabajos en el lgebra (que como veremos seran fundamentales en el nuevoperiodo) estuvieron asociados a los italianos Hiernimo Cardano (1501-1576), y Niccolo Tartaglia(c. 1500-1557). Otros matemticos de la poca fueron: Robert Recorde (1510-1558), GeorgRheticus (1514-1576), Pierre de la Rame (1515-1572), Johannes Werner (1468-1522), AlbrechtDrer (1471-1528), Gerard Mercator (1512-1594) y Francesco Maurolico (1494-1575).

Las nuevas ideas

Los cambios que se dieron en este periodo de la historia fueron extraordinarios. En lo que se refierea los mtodos de la ciencia fueron de fundamental impacto las ideas de Francis Bacon (1561-1626),

Ren Descartes (1596-1650) y de Galileo Galilei (1564-1642).Con su trabajo se apoy el desarrollo de los mtodos experimentales y empricos, y el uso dedescripciones matemticas y mecnicas en la comprensin de la naturaleza.

Los nuevos mtodos se enfrentaron a las ideas del viejo orden, escolstico y aristotlico, y en unprincipio se orientaron especialmente contra la cosmologa geocntrica dominante (la Tierra elcentro del universo).


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La teora heliocntrica (los planetas giran alrededor del Sol) de Coprnico (1473-1543), que poseaantecedentes en la misma Antigedad, fue defendida radicalmente por Galileo, integrando no soloel marco terico de Coprnico sino tambin los resultados de los astrnomos Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630). El combate que libr este gran cientfico con las ideas einstituciones dominantes (que le cost condena y castigo por la Inquisicin) se convirti en unimpulso extraordinario en la construccin de la nueva ciencia.

El debate con relacin a los mtodos de la ciencia resida en que para los escolsticos las"verdades'' se encontraban en la revelacin divina y no en el ejercicio de la experiencia y la razn.Fueron muy pocos los intentos antes del Renacimiento por acudir a la experiencia o aprocedimientos experimentales.

Galileo Galilei


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Galileo, adems de su lucha por abrir espacio al heliocentrismo, contribuy notablemente en laafirmacin de la experimentacin emprica y, especialmente, en el uso de las matemticas(cuantitativas) para la descripcin del mundo circundante. De la misma manera, el filsofo inglsBacon fue un verdadero profeta de la ciencia emprica, y Descartes, filsofo y matemtico francs,adems de subrayar el papel de las matemticas, fue un abanderado por una explicacin

mecanicista del universo.

La Revolucin Cientfica

Para la revolucin intelectual que se dio en las ciencias y las matemticas del siglo XVII fuenecesaria la matemtica griega y rabe, pero adems el desarrollo de ciertas ciencias empricas yalgunas tcnicas nuevas. Tampoco puede decirse que las matemticas del Renacimiento y el nfasisque se le dio al lgebra y a la aritmtica fueran producto exclusivo del influjo griego o de losmismos trabajos rabes; las tradiciones medievales realizadas en ciudades italianas y germanasdurante la poca medieval, tambin, jugaron su papel.

Durante el Renacimiento, las matemticas tuvieron aplicacin en varias reas: desde la

contabilidad, la cartografa hasta la agrimensura, el arte y la ptica.Durante esta poca hubo un inters por las obras griegas de cierta complejidad terica, pero esto nofue muy significativo; podemos decir que obras de Apolonio, Arqumedes o de Pappus (fl.c. 320 d.C.) no haban sido todava traducidas al latn durante esta poca. Tampoco la geometra tuvomucho desarrollo pero, como hemos dicho antes, lo fundamental no estaba tanto en los resultadoscomo en la actitud que se haba abierto hacia la realidad y hacia los mtodos del conocimiento.

Ya en el siglo XVII, la Revolucin Cientfica busc de-sarrollar mtodos matemticos y cientficosapropiados para poder integrar una gran coleccin de resultados en la fsica y en la astronoma quese haban estado generando.

Los lmites de la geometra clsicaPara que se tenga una idea de lo que significaba esta revolucin en las matemticas conviene quehagamos una breve digresin sobre la geometra clsica. Los lmites que sta tuvo se debieronesencialmente a dos caractersticas:

Por un lado: los griegos antiguos establecieron que las construcciones geomtricas y lageometra en general tenan que hacerse con base en la regla y el comps, lo cual restringaextraordinariamente los resultados geomtricos. De la misma manera, la geometra eraesttica, las figuras que se dibujaban eran producto de los procedimientos con regla ycomps que se haban establecido y, salvo en algunas excepciones importantes ysignificativas, el grueso se realizaba de esa manera.

Por otro lado: las limitaciones en el lgebra, tambin, hacan que la geometra no tuvierauna interrelacin que pudiera potenciar sus posibilidades.


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Entonces: en los tiempos de una sociedad emergente (como la europea del Renacimiento del sigloXVII), todo conduca a un replanteo del tipo de geometra que se hizo en la Antigedad, y no solode la geometra sino, tambin, de las matemticas en general.

Consideremos un ejemplo: uno de los temas claves de la historia de las matemticas es el de losmtodos infinitesimales que constituyen la base del Clculo Diferencial e Integral. En laAntigedad griega se trabaj con los conceptos de infinito y continuidad que son los que estn a labase del Clculo.

Obras de Eudoxo y de Arqumedes en esa direccin son pioneras y constituyen, tambin, una

muestra de la calidad de pensamiento que se lleg a tener en esta fase de la historia de lahumanidad, sin embargo, la geometra euclidiana (que ocup un lugar tan importante en la historiade las matemticas durante siglos y siglos) posea limitaciones que le impedan integrartericamente los mtodos infinitesimales. Exclua, por ser esencialmente esttica, el tiempo en losfenmenos fsicos que trataba de describir.

Los procesos cinemticos no podan ser captados por la geometra tradicional. Incluso, curvascomo la espiral de Arqumedes, la cuadratiz de Hippias o la conchoide de Nicomedes, no podanser integradas por esta geometra clsica porque stas curvas estaban definidas en trminos demovimiento.

Los mtodos de Pappus tampoco podan integrarse y, por supuesto, no poda integrarse en esemarco conceptual el movimiento de los cuerpos fsicos, los cambios en el espacio y el tiempo, lavariacin de las cantidades: asuntos fundamentales para los matemticos y cientficos del sigloXVII.


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Proyectiles, detalle de una pintura de 1648

Motivados por problemas planteados por las ciencias fsicas y por la vida social durante los siglosXVI y XVII, los matemticos y cientficos buscaron un nuevo enfoque y nuevos mtodos paraabordar los problemas; ah naci precisamente el Clculo Diferencial e Integral, que tuvo unarepercusin extraordinaria en la historia de las matemticas y en la geometra.

Los logros de la Revolucin Cientfica

El siglo XVII fue una revolucin cientfica en muchos campos, pero esencialmente en las

matemticas y en la astronoma. Podemos tener una idea de lo que esto signific para lasmatemticas cuando citamos algunas de las principales obras de la poca:

la Geometra Analtica de Descartes y Pierre de Fermat (1601-1665),

el mismo Clculo de Newton y Wilhelm G. Leibniz (1646-1716),

el Anlisis Combinatorio y la Teora de las Probabilidades que desarrollaron Fermat yBlaise Pascal (1623-1662),

la Aritmtica superior de Fermat, la Dinmica de Galileo y de Isaac Newton (1642-1727) y

la Gravitacin Universal de Newton,

la Geometra Proyectiva de Gerard Desargues (1593-1662) y Pascal, y hasta

los principios de la Lgica Simblica con Leibniz.


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1.4 DE LA GEOMETRA ANALTICA AL CLCULO

En esta seccin nos interesa resear una de los momentos ms importantes en la historia de lasmatemticas.

La Geometra AnalticaUna mencin aparte y especial para nosotros en este libro merece la Geometra Analtica que, comosabemos, conecta los conceptos de la geometra con los del lgebra y viceversa; al decir deDescartes, la expresin de curvas por medio de relaciones algebraicas. Ya desde la Antigedad estavinculacin se trat de plantear. Por ejemplo Menecmo, quien fue discpulo de Eudoxo, se suponeque conoca algo de geometra analtica; aunque con las limitaciones impuestas al lgebra por losgriegos es difcil que esto haya sido muy desarrollado. Sin embargo, Apolonio de Perga en sufamosa obra Las Cnicas, y quien vivi alrededor de los aos 262 y 190 a.C., us rectas dereferencia para puntos, tambin un dimetro y una tangente a la misma para expresar esos puntos;es decir, algo parecido a lo que en geometra analtica moderna hacemos cuando usamos los ejes de

coordenadas. Tambin Pappus y Omar Khayyam los usaron en su resolucin de ecuacionescbicas.

Parte de la obra de Las Cnicas fue traducida por los rabes y fue introducida en Europaprecisamente por Edmund Halley (1556-1742) quien fue un cientfico amigo de Newton.

Descartes

Muchos otros matemticos hicieron algunos avances en esta relacin entre lgebra y geometradurante esta poca. Giovani di Casoli, Nicole Oresme (c. 1323-1382) y el mismo Galileo habantratado de establecer representaciones grficas de conceptos como los de tiempo, rapidez, distanciay velocidad; sin embargo, fue Ren Descartes quien di el impulso definitivo en esta direccin a la

geometra. Subrayemos que Descartes es considerado el primer filsofo moderno y, por eso mismo,debe interpretarse que la geometra analtica corresponde al espritu de lo que ya es una nueva eraen el desarrollo de la sociedad occidental.

Ren Descartes


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La obra de Descartes es autnticamente revolucionaria. Podemos decir que el mtodo que lpropona se reduce a tres pasos:

1- La expresin de un problema geomtrico en forma algebraica.

2- Resolucin de las ecuaciones algebraicas que corresponden al problema geomtrico.

3- Construir o interpretar geomtricamente lo que planteaba la solucin.Descartes se dice que buscaba liberar a la geometra del exceso de figuras, pero tambin buscabadarle sentido o significado al lgebra por medio de la geometra. Fue revolucionario Descartes alestablecer que una curva se construye con solamente ofrecer una ecuacin algebraica. Recordemosque en la Antigedad para que una curva existiera era necesario que hubiera un procedimiento conregla y comps para poderla construir.

Fermat

Se le atribuye tambin la creacin de la geometra analtica a Pierre de Fermat, quien escribi sobreestos temas antes incluso que Descartes hubiera publicado su obra seminal sobre el tema, pero que,desafortunadamente, fue publicada de manera pstuma posteriormente a la obra de Dercartes.

El lgebra

Lo importante a subrayar ac es el uso de los mtodos algebraicos. Podramos decir que hasta elsiglo XVII el lgebra estuvo subordinada a la geometra y a partir de este momento el rol se invirtiy, con ello, se dio un cambio sustancial en la historia de las matemticas.

A pesar del impacto de la geometra analtica desarrollada por Descartes y Fermat, su repercusinno fue tan grande en esa poca; fue hasta el trabajo de Gaspard Monge (1746-1818) y sus

discpulos en la Escuela Politcnica Francesa, ya en el siglo XVIII y XIX, que lleg a tener laimportancia, proyeccin, dinamismo e impacto que hoy reconocemos a la geometra analtica. Sinembargo, debemos decir que la geometra analtica fue decisiva para el desarrollo del ClculoDiferencial e Integral, que constituy una autntica revolucin en el pensamiento matemtico.


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Las matemticas del siglo XVII

De manera general, podemos decir que durante el siglo XVII las matemticas tuvieron un carctermuy aplicado, lo cual corresponda a una demanda en crecimiento del uso de las ciencias en la vidasocial, y a flujos e influjos en la economa y en las tcnicas que afectaron los trabajos en lasmatemticas; aunque no puede decirse de una manera mecnica y determinista que las demandas de

la vida social y fsica fueron las que generaron los resultados matemticos.

En el siglo XVII las ideas cientficas se abrieron con gran intensidad. Gassendi (1592-1655)introdujo de nuevo una forma de la teora atomista de Leucipo y Demcrito. Grimaldi (1618-1663)y despus Newton obtuvieron resultados en la ptica y en el esclarecimiento de la naturaleza de laluz. Huygens hizo una descripcin matemtica de un funcionamiento ondulatorio de la luz.Torricelli (1608-1647), discpulo de Galileo, invent el barmetro descubriendo la presinatmosfrica y tambin el "vaco''. Es el siglo de Boyle con sus resultados sobre el vaco y la teorade gases; tambin de Hooke, a quien se le atribuye haber sido el principal fsico experimental antesde Faraday. Los resultados y las figuras cientficas del XVII pueden seguir enumerndose pero, sinduda, es la obra de Newton la que culmina la llamada Revolucin Cientfica.

La teora newtoniana de la gravitacin universal complet la destruccin del modelo cosmolgicoanterior. Con Newton, efectivamente, puede considerarse que una fase intelectual fue completada.En las etapas histricas siguientes nuevos saltos cualitativos hacia adelante en la ciencia van ademandar ms condiciones econmicas, tcnicas, polticas y sociales.


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Isaac Newton

El Clculo

Con la creacin del Clculo infinitesimal va a completar los trabajos matemticos que desdeEudoxo y Arqumedes en la Antigedad hasta Kepler, Fermat y Descartes (entre muchos otros en lanueva poca) se venan dando en busca de un mtodo para abordar el "continuo''. El Clculoinfinitesimal represent el resultado matemtico ms decisivo del siglo XVII, que generara unextenso territorio intelectual para los siglos siguientes no solo en las matemticas sino en la cienciaen general. Ya slo esto hubiera sido suficiente para inmortalizar a Newton, pero realiz otrahazaa intelectual: la mecnica celeste; es decir, la descripcin del movimiento de los astros apartir de las leyes de la mecnica terrestre. Fue la fundicin terica de los resultados de Coprnicoy Kepler con los de Galileo. No se trataba de un sistema filosfico, sino de una descripcinmatemtica.

La obra que condens sus extraordinarias contribuciones a la mecnica fue el famoso Philosophiaenaturalis principia mathematica ("Principios matemticos de la filosofa natural''), publicado en1687. Es una de las joyas del pensamiento humano. En ella, donde aplica hasta cierto punto elClculo, formula con gran rigor matemtico las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario, lascuales haban sido establecidas de manera emprica. Newton demostr que estas leyes se deducande la ley de gravitacin de los cuadrados inversos:

La fuerza gravitacional entre dos masas es igual a una constante por el producto de las masas,dividido ste por el cuadrado de la distancia entre ellas.

Explic el movimiento de los cuerpos celestes y de las mareas. Tambin estableci losfundamentos de la teora del movimiento de la Luna. Newton asumi un tratamiento axiomtico y

matemtico, en el que asuma el espacio y el tiempo como absolutos.El descubrimiento-construccin del Clculo lo realiz entre 1665 y 1666 mientras estaba en sulugar de nacimiento en el campo para escapar de la peste que atormentaba Cambridge.


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Newton construy el Clculo entre 1665 y 1666 mientras Leibniz lo hizo entre 1773 y 1776, perofue Leibniz quien public primero sus resultados entre 1684 y 1686 y, luego, lo hizo Newton entre1704 y 1736. Ambos hicieron sus contribuciones de manera independiente y con caractersticaspropias, sin embargo se dio una polmica muy famosa, que dur dcadas, sobre quin lo habaencontrado primero.

Con el Clculo se resolvieron problemas fundamentales que implicaban el uso de un conceptocentral: el lmite. Tanto Newton como Leibniz usaron esta nocin pero lo hicieron de una manerams bien intuitiva, fsica o geomtrica. Una formulacin ms precisa y rigurosa tendra que esperarms de un siglo en la historia de las matemticas.

Wilhelm Leibniz

Con la idea de "lmite'' no solo se respondera a los problemas inmediatos con los que se

enfrentaron los matemticos de la Revolucin Cientfica, sino a aquellos originados en laAntigedad alrededor del infinito y la continuidad. Todos esos procesos matemticos en los que seus el trmino "indefinidamente'' hacan referencia al lmite. Ya fuera que se planteara realizarsumas indefinidas de trminos o subdivisin indefinida de una longitud, rea o volumen, hay unarelacin con los mtodos infinitos. Es la nocin de lmite a la que se apela cuando en el mtodo de

Exhauscin se pasa del rea de polgonos regulares inscritos en un crculo con lados, al rea delcrculo. O, tambin, cuando se puede dividir un rea en un nmero infinito de rectas "indivisibles'',

o cuando para calcular el rea bajo la curva se construye rectngulos y, luego, este nmero sevuelve infinito o, lo que es igual, la base de los mismos "se va hacia el cero''.


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Para el clculo de reas se retom el espritu del mtodo de eshauscin con aproximaciones al reapor medio de figuras geomtricas representadas analticamente; los rectngulos sustituyeron lostringulos (o polgonos compuestos por tringulos) que se usaron anteriormente. El concepto de laintegral posee su origen en estos objetivos. Debe subrayarse la existencia de una ntima relacinentre Geometra Analtica y Clculo. Aunque el clculo de reas, longitudes y volmenes ocupuna historia ms larga en las matemticas, el clculo de la tangente a una curva (planteado en elsiglo XVII) fue decisivo y determinante para el desarrollo de los mtodos El clculo de la rectatangente y el de la velocidad instantnea se redujeron al clculo de la derivada, lo que hoyreconocemos como un tipo particular de lmite. Newton, incluso, consider sus derivadas comovelocidades. No podemos dejar de mencionar que la relacin complementaria o inversa entre losprocesos de la derivacin y la integracin fue uno de los resultados ms interesantes ysorprendentes de esta temtica.


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1.5 EN EL SIGLO XVIII

Los matemticos europeos de estos siglos sobrepasaron la produccin matemtica antigua; esto entrminos cuantitativos y, sobre todo, cualitativos: nuevas disciplinas y nuevos conceptosmatemticos se crearon en este perodo.

Intuicin y aplicacin en las matemticas

En el siglo XVIII las matemticas fueron an todava de carcter ms cuantitativo y con mayoraplicacin fsica. A pesar de la gran cantidad de resultados que se dieron, muchos historiadores dela ciencia consideran que tambin haba un marasmo lgico en los fundamentos de la matemticaque se haca. El corazn de las matemticas era el Clculo y aunque ste haba generado un granprogreso posea muchas lagunas lgicas; los nmeros irracionales, por ejemplo, no seran admitidossino hasta principios del mismo siglo XIX, aunque los nmeros negativos y los complejos no.

Los matemticos del siglo XVIII se concentraron en el Clculo y en sus aplicaciones a la mecnica.Las principales figuras fueron el mismo Leibniz, los hermanos Bernoulli, Jacques (1654-1705) yJean (1667-1748), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813) y Laplace (1749-1827). Aunque debeincluirse a los matemticos franceses Clairaut (1713-1765), D'Alambert (1717-1783) y Maupertuis(1698-1759), los hermanos suizos Nicolaus (1695-1726) y Daniel Bernoulli (1700-1782) hijos deJean.

Podemos decir que la mayor parte de las matemticas y la fsica entre 1600 y 1900 estuvo asociadade alguna manera a los mtodos establecidos por el Clculo Diferencial e Integral. Estos han sidoaplicados extraordinariamente en todo fenmeno que exija una medicin tanto en mecnica,magnetismo, electricidad, gravitacin, calor, luz, movimiento ondular.

El carcter aplicado que predomin en las matemticas del siglo XVII se ampli especialmentedurante el siguiente siglo. Esto era coincidente, adems, con una demanda creciente hacia el uso de

las ciencias en la vida social (en la produccin). Los influjos de la economa, las tcnicas o la vidasocial en general afectan e influyen en la prctica matemtica. Debe reconocerse este tipo defactores a la hora de estudiar la historia de las ciencias. Pero debe tenerse cuidado en no establecercondicionamientos muy mecnicos o simples. Las capacidades humanas para la creacin intelectualsuelen distanciarse de los contextos materiales y sociales inmediatos, y dejar correr la imaginaciny el razonamiento lgico muy lejos. En el caso de las matemticas esto es tambin cierto. Elestudio de propiedades abstractas de la realidad (una vez conceptualizadas) puede ampliarse almargen de la influencia directa de la realidad social o material.

Un balance

En menos de dos siglos los matemticos europeos lograron sobrepasar con creces los lmites detoda la produccin matemtica de la Antigedad. Eso se explica sin duda por las diferencias en lassociedades y en el trabajo intelectual que existi entre ambos tipos de organizacin social. Esimportante sealar esta diferencia en tanto expresa la existencia de un ritmo muy elevado en laproduccin cientfica y matemtica que ha sido -desde entonces- decisivo para el progreso de lacultura y la sociedad occidental. Debe subrayarse, adems, que no solo se ampli cuantitativamente


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el nmero de trabajos sino que hubo un progreso cualitativamente superior, tanto en la profundidadde los mtodos como en la creacin de nuevos conceptos y diferentes disciplinas matemticas.

Los matemticos del siglo XVII terminaron de establecer varios cambios fundamentales conrelacin a las matemticas antiguas:

Papeles diferentes para el lgebra y la geometra: del dominio en mtodos y criterios derigor basados en la geometra (en la Antigedad), se pas a darle relevancia al lgebra.

Los resultados de las matemticas dejaron de percibirse como simples idealizaciones de laexperiencia y se empez a favorecer --lentamente-- un tratamiento ms abstracto: de laidealizacin inmediata a la construccin de conceptos y mtodos.

La introduccin del Clculo con mtodos alejados de los estndares de rigor y deduccin dela geometra clsica promovi el uso de procesos inductivos.

La estrecha relacin entre matemticas y ciencias naturales condujo a una interdependenciay fusin que no permita muchas distinciones entre ciencias y matemtica.

Las matemticas del siglo XVIII, a diferencia de las del siglo XVII, fueron esencialmentecuantitativas. Fue un siglo de un gran desarrollo matemtico conectado a la evolucin de lasciencias llamadas naturales. Configuraba, como veremos, una situacin que podramos caracterizarcomo contradictoria. Se tena una gran produccin matemtica, un gran xito en la capacidad deprediccin en la ciencia de los resultados matemticos y, al mismo tiempo, segn muchoshistoriadores "un marasmo lgico en los fundamentos''. El centro del Anlisis era el Clculo y apesar de la enorme oscuridad lgica, a pesar del uso "liberal'' de los nmeros, ste experiment unenorme desarrollo.

El Anlisis

El ms grande de los matemticos del siglo XVIII fue, sin duda, el suizo Leonhard Euler y el msprolfico de todas las pocas: 886 libros y artculos, sobre cada uno de los campos de lamatemticas de su poca.

Leonhard Euler


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El trabajo de este gran matemtico permite apreciar la diversidad de los usos matemticos yaplicaciones que poda tener el Clculo: ecuaciones diferenciales, geometra analtica y diferencialde curvas y superficies, series y clculo de variaciones. En la fsica, Euler us la mecnica analtica(la aplicacin del Clculo a la mecnica tradicionalmente geomtrica). Calcul la perturbacin delos cuerpos celestes en la rbita de un planeta y las trayectorias de proyectiles lanzados en medios

con resistencia determinada. Estudi la propagacin del sonido y la consonancia y disonanciamusicales. Fue el nico de los cientficos del siglo XVIII que afirm el carcter ondulatorio de laluz (y no corpuscular y analiz el calor como oscilacin molecular). Euler describi con ecuacionesdiferencialesel movimiento de un fluido (ideal) y aplic su modelo a la circulacin sangunea.

Segn el parecer de algunos historiadores: Euler hizo por el Clculo infinitesimal de Newton yLeibniz lo que Euclides hicieron por la Geometra de Eudoxo y Teeteto, o Vieta por el lgebra deAl-Khoarizmi y de Cardano. Con Euler los resultados de Newton y Leibniz se integraronarmnicamente al Anlisis, concebido ste como el campo matemtico que engloba el estudio delos procesos infinitos. La obra que esencialmente realiza esta precisin y ampliacin del Clculoinfinitesimal fue Introductio in analysin infinitorum, publicada en 1748. En este libro la idea defuncin, que estuvo presente de forma intuitiva en sus predecesores es convertida por Euler en el

concepto central del nuevo anlisis. El concepto de funcin y las funciones algebraicas ytrascendentes elementales ya haban sido introducidas en el siglo XVII. En la consideracin devarios problemas clsicos, Leibniz, Jacques y Jean Bernoulli, L'Hpital, Huygens y PierreVarignon usaron funciones conocidas y construyeron muchas otras de mayor complejidad.

De la misma manera, en este siglo se desarroll tambin el clculo de funciones de 2 y 3 variables.Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli haban realizado la diferenciacin en funciones de 2variables, la teora fue plenamente desarrollada por varios matemticos: Alexis Fontaine de Bertins(1705-71), Euler, Clairaut y D'Alembert. Entre 1744 y 1745, D'Alembert trabajando en dinmicaextendi el clculo de las derivadas parciales.

Los matemticos franceses del siglo XVIIIAparte de Jean D'Alembert (1717-1783), Alexis Claude Clairaut y Etienne Bzout (1730-1783),Francia tuvo una presencia muy importante en las matemticas de la ltima parte del siglo XVIII,con personalidades vinculadas o afectadas, de una u otra forma, con la Revolucin Francesa.

Los seis grandes matemticos de ese perodo fueron Lagrange (1736-1813), Legendre (1752-1833),Laplace (1749-1827), Condorcet (1743-1794), Monge (1746-1818), y Carnot (1753-1823). Todosellos destinaron algunos de sus trabajos al Cl-culo diferencial e integral.

Por ejemplo, Monge hizo contribuciones a la geometra analtica y diferencial. Tambin Carnottrabaj en geometra y, por otro lado, Legendre hizo aportes al Clculo, a la teora de funciones, lateora de nmeros, y la matemtica aplicada.

Probablemente, quien ms lejos lleg de este grupo de franceses fue Lagrange, considerado muchasveces el matemtico ms profundo del siglo XVIII (con Euler). Lagrange cre lo que se llama elclculo de variaciones.


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Laplace realiz contribuciones decisivas a las probabilidades, y a la mecnica (en particular a laastronoma). Se ha considerado su libro Mcanique cleste (1799-1825, 5 volmenes) laculminacin de la teora newtoniana de la gravitacin universal. Laplace demostr que el sistemadel mundo (descrito por la matemtica newtoniana) era estable. Algo as como que no era necesariala intervencin divina cotidianamente para el funcionamiento del universo.

La amplia aplicacin fsica de las matemticas por parte de los matemticos de este siglo originexpresiones como que las matemticas eran solo un instrumento para la fsica (Laplace), o que lahistoria se describa como una transicin de un siglo XVII de matemticas a una era de mecnica(D'Alambert, Denis Diderot, 1713-1784). Sin embargo, tambin estaba la opinin (Lagrange) deque la mecnica llegara a ser parte del Anlisis.

Una sntesis

En el siglo XVII hubo desarrollos importantes en el lgebra, se inici la Geometra Proyectiva ytambin la Teora de las Probabilidades, se cre la Geometra Analtica, y muchos asuntos de laAntigedad clsica fueron abordados y resueltos. Lo ms importante, sin embargo, sera la creacin

del Clculo Diferencial e Integral.Ya en el siglo XVIII el Clculo ampliara extraordinariamente los campos abiertos y generaranuevos, por ejemplo: las Series Infinitas, el Clculo de Variaciones, la Geometra Diferencial, lasEcuaciones Diferenciales, el Anlisis de Funciones con variables complejas y muchas otras.

1.6 EL SIGLO XIX Y LAS NUEVAS MATEMTICAS

En el siglo XIX, los temas que se desarrollaran fueron las Geometras no euclidianas, la Teora deNmeros, la Geometra de Grupos y el Algebra en general, el Anlisis con variables complejas; y

en la segunda mitad de ese siglo aparecera la Lgica Matemtica y la Teora de Conjuntos.

Dos factores claves

Hay dos elementos de la primera parte del siglo XIX que ocuparon un papel esencial en la historiade las matemticas:

por un lado, la construccin de nmeros que no seguan lo esperable en ellos, loscuaterniones de William Hamilton (1805-1865); y,

por otro lado, las geometras no euclidianas.

Estos dos resultados tericos representaron un autntico motor para sacudir el mundo

matemtico.Los cuaterniones de Hamilton (dos libros condensan su obra: Lectures on Quaternions de 1853 yElements of Quaternions de 1866, pstuma) eran nmeros que no respetaban la propiedad de la

conmutatividad, es decir, , lo que rompa con la concepcin clsica o tradicional sobrelas operaciones. William Kingdon Clifford (1845-1879) generalizara los cuaterniones en lo que


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llam bi-cuaterniones (1873-1876).

Por el otro lado, las geometras no euclidianas abran una interpretacin para la geometra y paralas matemticas en general que pareca encontrar contradiccin con la realidad fsica circundante.Como veremos, la idea central de las geometras no euclidianas naca de reconocer que uno de losaxiomas de la geometra euclidiana clsica no se poda probar como una deduccin directa de los

otros axiomas que en esta geometra se daban. Al ser este famoso axioma, que se llam axioma delas paralelas, un hecho independiente, se justificaba lgicamente la posibilidad de una proposicincontraria al mismo; con un axioma contrario y los restantes axiomas euclidianos se podan construirgeometras diferentes. Los grandes creadores fueron Carl Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860) y Nikolai Lobachevsky (1793-1856). Sus contribuciones las estudiaremos con detalle msadelante.

Aunque el impacto de estos resultados fue extraordinario en la historia de todas las matemticas delsiglo XIX, no fue sino hasta el trabajo realizado por el alemn Bernhard Riemann, 1826-1866, (yaen la segunda parte del siglo XIX) que las geometras no euclidianas seran integradas a lasprincipales ejes de desarrollo de las matemticas del siglo XIX. Algo as como que Riemann coloca las geometras no euclidianas en un marco terico ms amplio.

Antes de Riemann, sin embargo, se dieron intentos de generalizacin de la geometra clsica;aunque solo seran reconocidos despus de la muerte de Riemann. Vale la pena citar el trabajo de

Hermann Grassmann (Ausdehnungslehre, 1844), quien trabaj con espacios de dimensiones ycuyos resultados seran retomados dcadas despus para crear el anlisis vectorial para espacios

afines y mtricos. Tambin Arthur Cayley en 1843 haba usado el concepto de espacio dedimensiones.

Geometra proyectiva

Un campo de la geometra que tambin posee importancia fue el estudio de las propiedadesproyectivas de las figuras, lo que se suele llamar como la Geometra Proyectiva. Puede encontrarsetrazos de sta en Pascal y Desargues, y se puede sealar como referencia la obra desarrolladaprimeramente por Gaspard Monge (1746-1818), quien fue director de la Ecole Polytechnique enFrancia y que, muchas veces, se caracteriza como el primer especialista moderno de la geometra.Monge public su libro Gomtrie descriptive, que condensaba sus lecciones en la Ecole Normaleentre 1794 y 1795, que utilizaba proyecciones.


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Vctor Poncelet

Fue, sin embargo, un discpulo de Monge, Jean Victor Poncelet (1788-1867), quien realmente hizo

una gran sistematizacin de estas propiedades proyectivas de las figuras (Applications d'analyse etde gomtrie 1813-1814, Trait des propiets projectives des figures , 1822).

En Francia, Michel Chasles (1793-1880) continu la obra de Poncelet (Trait de gomtriesupriure, 1852).

En Alemania, Jakob Steiner (1796-1863) tambin hizo geometra proyectiva (SystematischeEntwicklungen, 1832). Tiempo despus, el alemn K. G. C. von Staudt (1798-1867) construy lageometra proyectiva sin usar magnitudes ni mmeros (en su obra Geometrie der Lage, 1847).

Estos trabajos tambin tendran un impacto importante en las matemticas del siglo XIX.

lgebraUno de los campos ms desarrollados en el siglo XIX tambin fue el lgebra, y una de las grandescreaciones del lgebra fue la Teora de Grupos, donde la figura ciera es la del francs EvaristeGalois (1811-1832).

Evariste Galois


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Un conjunto de elementos forma un grupo con una operacin si: el conjunto es cerrado bajo esaoperacin (operar dos elementos da otro del mismo conjunto), contiene un elemento neutro (

, para cada elemento existe un elemento inverso ( ), y la

operacin es asociativa El conjunto puede estar formado de

nmeros, puntos, rectas y otras figuras, transformaciones (algebraicas o geomtricas) y otrosobjetos. Las operaciones pueden ser aritmticas, algebraicas o geomtricas. La fuerza degeneralizacin que estos instrumentos matemticos poseen es extraordinaria.

Galois, usando ideas que haba mencionado el matemtico tambin francs Joseph Louis Lagrange(1736-1813) y el italiano Paolo Ruffini (1765-1822), expres las propiedades fundamentales de loque se suele llamar el Grupo de Transformaciones de las races de una ecuacin algebraica.

A partir de un trabajo sobre estos grupos, muchos de los problemas clsicos podan ser resueltoscomo, por ejemplo, la triseccin del ngulo, la duplicacin del ngulo, la solucin de lasecuaciones cbica y bicuadrtica, as como la solucin de ecuaciones algebraicas de diferentesgrados.

Aunque la obra de Galois fue anterior a la de los britnicos, sus ideas no tuvieron impacto hasta1846 cuando se publicaron. Su influencia condujo tambin a la elaboracin del concepto de cuerpoa travs de resultados de los alemanes Richard Dedekind, Leopold Kronecker (1823-1891) y ErnstEduard Kummer (1810-1893).

En el mundo britnico, ya mencionamos los trabajos algebraicos de Hamilton y Clifford, tambindebemos mencionar que muchos de los resultados de los ingleses en el siglo XIX fueron en ellgebra y sus aplicaciones a la geometra; entre los nombres ms relevantes que podemos citarestn: Cayley, Sylvester y Salmon. Por ejemplo Cayley trat de dar una sistemtica teora de losinvariantes de formas algebraicas, con simbolismo propio y y sus leyes (algo as como unacontraparte algebraica de la geometra proyectiva de Poncelet); sus trabajos le permitieron integrar

la geometra mtrica dentro de la proyectiva. James Joseph Sylvester (1814-1897) obtuvo unateora de los divisores elementales (1851) y una ley de la inercia de formas cuadrticas (1852).George Salmon (1819-1914) contribuy esencialmente en la redaccin de textos en geometraanaltica y teora de invariantes que fueron decisivos para muchas generaciones. La influenciaanglosajona lleg a los Estados Unidos, lo que se aprecia en la obra de Benjamin Peirce (1809-1880).

No solo en el mundo anglosajn tuvieron impacto los algebristas britnicos. Tambin en Alemania,con matemticos como Otto Hesse (1811-18749 , Siegfried Heinrich Aronhold 81819-1885),Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912).

Geometra y lgebra

Buena parte de los trabajos en geometras no euclidianas, geometra proyectiva y en lgebra yteora de grupos, fue sintetizada de una manera extraordinaria por un gran matemtico alemn:Felix Klein (1849-1925).


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En 1872, Klein sistematiz la geometra usando la teora de grupos en algo que se llam elPrograma de Erlangen. Una geometra era el estudio de las propiedades de figuras que semantienen invariantes cuando se aplica un grupo de transformaciones. El asunto se puede poneras: al ampliar o reducir el grupo se pasa de una goemtra a otra. Se asocia, entonces, grupos detransformaciones y clases de geometras. Un ejemplo: la geometra eucldea plana se asocia al

grupo de transformaciones dado por las traslaciones y rotaciones en el plano (los objetos son lasfiguras del plano invariantes bajo este grupo de transformaciones); la geometra proyectiva seasocia a un grupo que se denomina precisamente proyectivo.

Felix Klein

Esta aproximacin revolucionaria domin la geometra hasta hace poco tiempo. La Teora deGrupos permita la sntesis de los trabajos algebraicos y geomtricos de Monge, Poncelet, Gauss,

Cayley, Clebsch, Grassmann y Riemann. Para que se tenga una idea, Klein demostr que lasgeometras no euclidianas se podan concebir como geometras proyectivas.

Debe mencionarse en todos estos resultados la colaboracin de un gran matemtico noruego:Sophus Lie (1842-1899), que con Klein juntos comprendieron la importancia del uso de los grupos;de hecho, mientras Klein enfatiz los grupos discontinuos, Lie lo hizo en los continuos.

Tal vez podamos decir que al igual que la Geometra Analtica en el siglo XVII integr lageometra clsica con mtodos algebraicos desarrollados por los algebristas del Renacimiento yrescatando tradiciones medievales y rabes, Klein tambin integr esta vez resultados de lageometra del siglo XIX con el lgebra de la misma poca. Estos vnculos entre lgebra ygeometra, como tambin sucedera entre todas las diferentes disciplinas y campos de las

matemticas, se convertiran hasta hoy en da en una caracterstica esencial de la matemticamoderna.


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La lgica

Dos asuntos plantearon el desarrollo de los mtodos lgicos en las matemticas del siglo XIX. Unode ellos fue los problemas de rigor, las "lagunas'', que se encontraron en el desarrollo del Clculo;esto condujo a una construccin ms rigurosa de los mtodos infinitesimales y de los nmeros

reales (especialmente los irracionales). Los trabajos de Bernard Bolzano (1781-1848), AugustinLouis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Richard Dedekind (1831-1916), yhasta el mismo creador de la teora de conjuntos Geor Cantor (1845-1918), se colocan en estadireccin.

Por otra parte, ms por el lado algebraico (generalizacin de objetos, reglas operatorias,simbolismo) se encuentra los resultados de los britnicos Augustus De Morgan (1806-1871) yespecialmente el trabajo de George Boole, 1815-1864, (The Laws of Thought, 1854) que trat deconstruir una lgebra de la lgica, en la direccin de lo que haba sido una idea de Leibniz: unacharacterica generalis, es decir: un lenguaje simblico y operatorio para realizar el pensamiento.Los trabajos de Boole superan los de Leibniz (que ya haban intentado ser superados por diversosautores previos: Segner, J. Lambert, Ploucquet, Holland, De Castillon, Georgonne). Sus trabajostambin van a servir como base para Jevons, el mismo De Morgan y el norteamericano CharlesSanders Peirce. De Morgan haba establecido en su Formal Logic de 1847 que la lgica se refiereesencialmente a relaciones, al igual que Boole. Peirce extendera estos resultados en sus escritosentre 1870 y 1893, y Schreder los sistematizara. El nfasis en las relaciones era una consecuenciadel flujo general que apuntalaba la axiomtica y de una nueva aproximacin hacia la matemtica yla lgica. Peirce enfatiz los conceptos de "funcin proposicional'' y los cuantificadores. Laconjuncin de relaciones, clases, funciones proposicionales y cuantificadores abra una nueva etapaen la lgica y describa el panorama de las misma previo a un gran lgico alemn: Frege.

Estos trabajos motivaron en buena parte el proyecto logicista de Gottlob Frege que busc toda suvida reducir las matemticas a la lgica (Die Grundlagen de Arithmetik, 1884). Para buscar su

cometido, Frege construy el aparato simblico ms importante de la lgica desde Aristteles(Begriffsshrift, 1879). En esa direccin se coloc durante bastantes aos la obra del ingls BertrandRussell (1872-1970); su libro escrito con Alfred North Whitehead (1861-1947), PrincipiaMathematica, es un clsico de la filosofa de las matemticas y de la lgica.

Resulta intersante mencionar el trabajo en lgica matemtica del italiano Giuseppe Peano (1858-1932), que buscaba -como Frege- un lenguaje formalizado para expresar las matemticas (padre de

smbolos como: contiene a pertenece a unin).

En una perspectiva diferente, pero dentro de la motivacin de formalizar las matemticas, seencuentra una parte de la obra del gran matemtico alemn David Hilbert (1862-1943). Peanohaba ofrecido una fundamentacin formal y axiomtica del lgebra y el anlisis, pero faltaba la

geometra; Hilbert asumi esa tarea en su famoso libro Grundlagen der Geometrie (1899) Hilbertus 21 axiomas para reconstruir el edificio de la geometra euclidiana.

El nfasis en los aspectos formales y axiomticos, dio pie para una filosofa de las matemticas quese denomin formalismo, y de la que Hilbert fue su principal exponente. Aunque el formalismotena cosas en comn con el logicismo de Frege y Russell, haba diferencias filosficas de fondo.


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David Hilbert

No sobra mencionar otra aproximacin a estos intentos de fundamentacin de las matemticas: elintuicionismo, desarrollado esencialmente por el holands L.E.J. Brouwer (1881-1966), queafirmaba que lo ms importante para la naturaleza de las matemticas era la intuicin y no ellenguaje y la lgica. En el bando intuicionista estuvo uno de los colegas de Einstein en Zrich en1913, y un gran matemtico: Hermann Weyl (1885-1955). Toda esta temtica ocup un lugarimportante en las primeras dcadas del siglo XX.

1.7 LAS GEOMETRAS NO EUCLIDIANAS

Podemos establecer una periodizacin de la historia de las matemticas distinta a la que ofrecimosal comenzar este captulo, con una ptica un poco diferente, ms bien filosfica.

Otra periodizacin

Podemos considerar la historia de las matemticas dividida en dos grandes fases: antes del sigloXIX y sus resultados matemticos, y despus de estos resultados. El asunto que establece ladivisin es la naturaleza de las matemticas o, mejor dicho, la opinin y conciencia sobre la

naturaleza de las matemticas que la comunidad matemtica desarroll.Hasta el siglo XIX, con la emersin de las geometras no euclidianas, lgebras y nmerosabstractos no conmutativos, siempre, de alguna u otra forma, se asumi las matemticas como unadescripcin directa de la realidad fsica del mundo que nos rodea. La tesis de que los nmerosrepresentan cosas, corazn de la visin pitagrica de la Antigedad, se filtr en la concienciaoccidental, en el Renacimiento, la Revolucin Cientfica y en el perodo posterior para afirmar una


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relacin vinculante y de dependencia entre las matemticas y la realidad.

Las cosas cambiaron en la conciencia de la comunidad matemtica ante la evidencia de teoras queno parecan responder a la evidencia fsica y a una relacin con la realidad y el mundo que nosrodea; se empez a desarrollar la idea y la opinin de que las matemticas no necesariamente serefieren de manera directa al mundo, y que las teoras y conceptos de las matemticas tienen

validez en s mismos y medidos por parmetros establecidos por la comunidad matemtica, y quesuelen ser la validez lgica y el rigor conceptual.

Mientras en el siglo XVIII las matemticas eran vistas probablemente como una continuacin de lafsica, de la mecnica y la cinemtica, capaces de predecir eventos de la realidad, en el siglo XIXhay visiones que establecen con toda claridad una distancia de las matemticas con relacin almundo.

La autonoma de las matemticas

La autonoma e independencia de las matemticas conforman, entonces, un elemento diferente quearranca con toda propiedad en el siglo XIX, aunque algunos cientficos y matemticosanteriormente haban expresado ideas en ese mismo sentido.

Las matemticas como campos alejados de la aplicacin fsica y de la descripcin de la naturalezapermita la creacin de especialistas de las matemticas puras: un profesional bastante diferente alque en siglos anteriores poda "representar'' al matemtico.

Si ponemos las cosas en esta perspectiva histrica, la relevancia que ocupa la geometra noeuclidiana es extraordinaria. Hasta el siglo XIX, 23 siglos despus de la obra de Euclides queestableci la mayor sistematizacin de la geometra antiga, se realiz un cambio de visin sobrelas matemticas; y este cambio de visin radical fue producto en especial de las geometras noeuclidianas, que rompan la organizacin axiomtica clsica y afirmaban, con plena validezmatemtica, teoras en contradiccin con la geometra euclidiana.

El impacto era enorme, pues la geometra euclidiana describa supuestamente el mundo o laspercepciones que sobre el mismo se tenan. Cmo era posible una geometra que no hiciera lomismo y fuera tambin vlida?, no se tratara, entonces, solamente de quitar, aadir o modificaruno de los axiomas o postulados de la geometra euclidiana? Era evidentemente algo mucho msprofundo que eso: era cambiar la visin sobre las matemticas y su relacin con el mundo quepredomin durante tanto tiempo.

Debe decirse, sin embargo, que no solo la geometra no euclidiana contribua a una percepcindiferente de la relacin entre las matemticas y el mundo; el lgebra abstracta alter la"normalidad'' de la artimtica tradicional, y esto tuvo un gran impacto. De hecho, el influjo deabstraccin que supone la naturaleza misma del lgebra impregn crecientemente todos los campos

de las matemticas (unos ms que otros), y una actitud consistente de abstraccin y generalizacinde objetos y mtodos, una "separacin'' de las matemticas del mundo.

Las geometras no euclideanas constituyen una de los grandes revoluciones en el pensamiento, conimplicaciones extraordinarias en la historia de las matemticas y de la ciencia. Y esto es lo que nosinteresa resear en las siguientes pginas de este libro.


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1.8 PREGUNTAS

Conteste las siguientes preguntas

1. Cul es el periodo alejandrino de la historia de las matemticas?

2. Cules consecuencias tuvo la actitud de Eudoxo con relacin a los inconmensurables?

3. Quin se podria decir fue el principal matemtico de la Antigedad griega?. Por qu?

4. Describa las caractersticas esenciales de la educacin y el conocimiento en la Edad Media?

5. Qu es el Renacimiento?

6. Mencione algunos de los logros de la llamada Revolucin Cientfica.

7. Explique algunas de las contribuciones intelectuales de Galileo.

8. Explique por qu el autor considera que la geometra euclidiana posea lmites.

9. Mencione 3 resultados famosos del trabajo intelectual de Newton.

10.Explique y compare algunas de las principales caractersticas de las matemticas del sigloXVIII.

11.Qu hizo Euler por el Clculo?

12.Seale 2 resultados que para el autor de este libro fueron decisivos en la historia de lasmatemticas del siglo XIX.

13.Cu fue la principal contribucin de Galois a las matemticas?

14.Cul fue la contribucin matemtica de Lobachevsky?

15.Explique qu era el Programa de Erlangen?

16.Cmo se dividieron su trabajo matemtico Lie y Klein?, explique.

17.Que teora famosa cre Georg Cantor?

18.Mencione una contribucin de Peano a las matemticas?

19.Qu es el Logicismo?

Diga si la proposicin es falsa o verdadera. Explique.

20.Pitgoras perteneci al periodo alejandrino.

21.Apolonio rechaz los irracionales.

22.Las paradojas de Zenn fueron utilizadas por San Agustn.

23.Las matemticas medievales fueron producto exclusivo

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