Geometry Once Again

Condiciones Tenemos el hexgono con y y todos los ngulos del hexgono iguales.Llamemos al punto de corte del tringulo equiltero con el lado .Tomemos ese fijoConsideraciones Los ngulos del hexgono miden Teorema de Coseno El tringulo es issceles con Y Por teorema de coseno Primer paso

Primero vamos a ubicar el pentgono en el plano cartesiano con distancias dependiente de a o b.

Para hallar el punto B y E se realiza el siguiente calculoSe sabe que la coordenada en del punto y ser la mitad de la distancia de , es decir, .Tomemos como la distancia entre las coordenadas en de y Entonces Por lo tanto De aqu se tiene que

Y asignmosle al punto coordenadas, Con estas coordenadas podemos calcular la distancia de al punto

Y por lo tanto la altura del triangulo

Y el = Llamemos Y llamemos Por otro lado, llamemos a la longitud del lado del trianguloEntonces se tiene que

Ahora calcularemos las coordenadas del punto y .Sea Entonces y , es decir, y Entonces

Sea

Entonces y , es decir, y Entonces Ahora llamemos a la distancia entre y

Para que se pueda colocar aqu el tringulo equiltero restante se debe cumplir que

Es decir, la distancia mxima entre la distancia entre el punto y debe ser a lo ms, la longitud del lado del tringulo y a lo mnimo la altura del tringulo.

Se puede intuir que la longitud mxima que alcanzar el lado del tringulo ser cuando la distancia de a sea lo menor posible, es decir, cuando .

Ahora solo falta calcular las coordenadas de los puntos restantes del tringulo llamemos al punto superior y al punto inferior y llamemos al punto donde corta la altura de al lado Por Pitgoras tenemos que la distancia de a llammosla

Entonces la distancia de a y la distancia de a .

Entonces para calcular las coordenadas de los puntos y Sea y Entonces Es decir

Y Es decir,

De estas 2 ltimas dos ecuaciones podemos despejar y calcular las soluciones para Quedaran de 2 a 4 soluciones tomamos como solucin a la que sea lo mayor posible y ambas sean positivasNote que las nicas variables en esas ecuaciones son y los dems valores ya se conocen, esto facilitara su despeje.Se procede de la misma manera para calcular el punto con las siguientes ecuaciones Entonces Es decir

Y , Es decir,

En este caso se toman los menores valores para de tal manera que ambos valores sean positivos.

La ecuacin a optimizar ser entonces la distancia de D a E pues a esta ser ms pequea ser ms grande el rea del tringulo y por ende las longitudes de sus lados. Esta ecuacin se deriva para buscar los puntos crticos; de esta nos interesa es cuando la distancia DE sea mnima. La bsqueda de la raz se hara en los posibles valores de de a hasta conseguir que sea lo mayor posible.