Gerenciamiento Técnico de Proyectos

Clase Nro 16 bElementos de Estadísitica – Nociones de Probabilidad

Clase 16b - Nociones de probabilidad 2

Probabilidad

La probabilidad es una medida de la posibilidad de ocurrencia futura de un evento.

Puede asumir sólo valores entre 0 y 1

Un valor cercano a cero significa que el evento es poco posible que ocurra. Un valor cercano a uno indica que es muy probable que ocurra.

Hay tres definiciones de probabilidad: clásica, empírica y subjetiva.

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Definiciones continuación

La definición Clásica se aplica cuando hay n resultados equiprobables (que tienen la misma probabilidad de ocurrencia).

La definición Empírica se aplica cuando la cantidad de veces que el evento ocurre se divide por la cantidad total de observaciones.

La probabilidad Subjetiva se basa en cualquier información disponible.

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Definiciones continuación

Un experimento es la observación de cierta actividad o el acto de tomar alguna medida.

Una observación es el particular resultado de un experimento.

Un evento es el conjunto de resultados de un experimento.

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Eventos Mutuamente Excluyentes

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos implica que ninguno de los otros puede suceder al mimo tiempo.

Dos o más eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia de otro

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Eventos Colectivamente Exhaustivos

Dos o más eventos son colectivamente exhaustivos si al menos uno de ellos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.

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Un dado se lanza una vez. El experimento es lanzar el dado. Los resultados posibles son los

números 1, 2, 3, 4, 5, 1 6. Un evento es la ocurrencia de un

número par. Es decir, anotaremos los resultados 2, 4, y 6.

Ejemplo 1

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Ejemplo 2

Durante su carrera, la profesora Varela ha calificado con 10 a 186 de 1200 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno en su clase reciba un 10 como calificación el próximo año?

Este es un ejemplo de probabilidad empírica. Para encontrar la probabilidad de que un alumno

reciba un 10:

155.01200

186)10( P

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Probabilidad Subjetiva

Algunos ejemplos de probabilidad subjetiva son:

estimar la probabilidad de que Boca Juniors gane el torneo apertura este año.

estimar la probabilidad de que la tasa de interés para prestamos hipotecarios alcance al 8 por ciento.

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Reglas Básicas de Probabilidad

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de suma indica que la probabilidad de que ocurra A o que ocurra B es igual a la sima de sus respectivas probabilidades:

P(A o B) = P(A) + P(B)

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Ejemplo 3

Una compañía de aviación ha suministrado la siguiente información sobre sus vuelos de Boston a Nueva York:

Llegada Frecuencia

Anticipada 100

En horario 800

Tarde 75

Cancelado 25

Total 1000

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Ejemplo 3 continuación

Si A es el evento de un vuelo llegando en forma anticipada, entonces P(A) = 100/1000 = 0,10.

Si B es el evento de un vuelo llegando tarde entonces P(B) = 75/1000 = 0,075.

La probabilidad de que un vuelo llegue tarde o en forma anticipada es:

P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,10 + 0,075 =0,175.

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Regla del Complemento

La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando la probabilidad de que el evento no ocurra a 1.

Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemeto de A,

P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A).

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Regla del Complemento continuación

Un diagrama de Venn ilustrando la regla del complemento aparece como:

A ~A

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Ejemplo 4

Con los datos del ejemplo 3 y usando la regla del complemento encontrar la probabilidad de que un vuelo llegue anticipadamente (A) o tardeo (B)

Si C es el evento de un vuelo llegando en horario, entonces P(C) = 800/1000 = 0,8.

Si D es el evento de un vuelo cancelado, entonces P(D) = 25/1000 = 0,025.

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Ejemplo 4 continuación

P(A or B) = 1 - P(C or D) = 1 - [0,8 +0,025] =0,175

C0,8

D0,025

~(C o D) = (A o B) 0,175

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La Regla General de la Suma

Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

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La Regla General de la Suma

El diagrama de Venn que ilustra la regla:

A and B

A

B

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Ejemplo 5

En una muestra de 500 estudiantes, 320 dicen tener un stereo, 175 dicen tener un TV y 100 dicen tener ambos:

Stereo 320

Ambos 100

TV175

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Ejemplo 5 continuación

Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ese estudiante tenga solo un stereo, sólo una TV o ambos, stereo y TV?

P(S) = 320/500 = 0,64.

P(T) = 175/500 = 0,35.

P(S y T) = 100/500 = 0,20.

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Ejemplo 5 continuación

Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ese estudiante tenga un stereo o un TV?

P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T)

= 0,64 +0,35 – 0,20 = 0,79.

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Probabilidad Conjunta

La probabilidad conjunto mide la chance de que dos o más eventos ocurran simultáneamente.

Un ejemplo sería el evento en que un estudiante tenga un stereo y un TV.

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Regla Especial de la Multiplicación

La regla especial de la multiplicación requiere que ambos eventos A and B sean independientes.

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de ocurrencia del otro.

La regla se traduce en: P(A y B) = P(A)*P(B)

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Ejemplo 6

Cristina posee dos acciones, IBM y General Electric (GE). La probabilidad de que la acción de IBM aumente su valor el próximo año es de 0,5 y la probabilidad de que la acción GE aumente su valor el próximo año es de 0,7. Asumiendo que las dos acciones se comportan en forma independiente, ¡cuál es la probabilidad de que ambas aumenten?P(IBM y GE) = (0,5)*(0,7) = 0,35.

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Ejemplo 6 continuación

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de esas acciones aumente su valor durante el próximo año? (Significa que una de ellas o ambas pueden aumentar.)

P(al menos una) =

= (0,5)*(0,3) + (0,5)*(0,7) +(0,7)*(0,5) = 0,85.

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Probabilidad Condicional

La probabilidad condicional es la probabilidad que que un evento particular ocurra, cuando otro evento y ha ocurrido.

La probabilidad del evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P(A|B).

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Regla General de la Multiplicación

La regla general de la multiplicación se emplea para encontrar la probabilidad conjunta de ocurrencia de dos eventos.

La regla establece que para dos eventos A y B, la probabilidad de que ambos eventos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de ocurrencia del evento A por la probabilidad condicional de B dado que A ha ocurrido.

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Regla General de la Multiplicación

La probabilidad conjunta , P(A y B) está dada por la siguiente fórmula:

P(A y B) = P(A)*P(B/A) o P(A y B) = P(B)*P(A/B)

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Ejemplo 7

El rector de la escuela de negocios de la universidad del salvador ha recolectado la siguiente información sobre los alumnos no graduados de su escuela:

Carrera Masculino Femenino Total

Economía 170 110 280

Finanzas 120 100 220

Marketing 160 70 230

Management 150 120 270

Total 600 400 1000

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Ejemplo 7 continuación

Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea femenino (F) y estudie economía (A)

P(A y F) = 110/1000.

Si un estudiente es de sexo femenino, ¿cuál es la probabilidad de que ella estudie economía

P(A|F) = P(A yF)/P(F) = [110/1000]/[400/1000] = 0,275