Tema 6Diseo de Reguladores en el Dominio del TiempoREGULACIN AUTOMTICA

Indice 6.1. Especificaciones de diseo 6.2. Diseo de reguladores de cancelacin: Truxal 6.3. Acciones de control clsicas: Reguladores PID 6.4. Diseo de reguladores PID 6.5. Control de las perturbacionesREGULACIN AUTOMTICA

Diseo de Reguladores en el Dominio del Tiempo1) Determinar qu debe hacer el sistema y cmo debe hacerlo: Especificaciones de diseo.

2) Determinar la configuracin de la estructura de control y el tipo de regulador.

3) Determinar los parmetros del regulador para alcanzar los objetivos de diseo.REGULACIN AUTOMTICA

Especificaciones de Diseo en el Dominio del Tiempo Precisin en rgimen permanente: ep, ev y ea. Respuesta transitoria: Mp, tp, tr, ts.

Control de las perturbaciones.

NOTA: Existen relaciones analticas para los parmetros de respuesta transitoria (Mp, tp, tr, ts) slo para sistemas de segundo orden sin ceros o sistemas que se puedan aproximar por sistemas de segundo orden. Los procedimientos generales de diseo que se describirn son aplicables a estos sistemas y pueden no ser del todo vlidos para sistemas de orden superior.REGULACIN AUTOMTICA

Diseo de Reguladores por Cancelacin: Truxal (I)Comportamiento originalComportamiento deseadoREGULACIN AUTOMTICA

X(s)

G(s)

R(s)

+

_

Y(s)

M(s)

X(s)

G(s)

Y(s)

Re

-c

-b

Im

b

-a

Re

Im

-d

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.4

0.2

0

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.6

X(s)

G(s)

M(s)

+

G(s)[1-M(s)]

R(s)

_

Y(s)

M(s)

Diseo de Reguladores por Cancelacin: Truxal (II)Inconvenientes:

1) R(s) ha de ser realizable, nR mR. Esto se consigue si nM-mM nG-mG.

2) La cancelacin de polos y ceros no es exacta. Por lo tanto G(s) tiene que ser de fase mnima para que el sistema final no tenga polos inestables.

3) R(s) puede ser muy complicada (muchos ceros y polos).REGULACIN AUTOMTICA

Acciones de Control Clsicas1- Proporcional2- Integral3- DiferencialREGULACIN AUTOMTICA -5 0 5 10 15 20 25 30 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -5 0 5 10 15 20 25 30 0 x(t) 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 y(t) e(t) -5 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

P

x(t)

Sistema

I

+

e(t)

+

D

_

y(t)

+

+

1

2

3

1

2

3

Reguladores PID (I)Regulador IRegulador PRegulador DEl comportamiento ideal del derivador es imposible de reproducir fsicamente Respuesta ante un escaln unitarioRepresentacin tpica en circuitos de controlREGULACIN AUTOMTICA

1/(sTi)

X(s)

Y(s)

sTd

X(s)

Y(s)

K

X(s)

Y(s)

x(t)

Ti

y(t)

K

x(t)

y(t)

K

t

y(t)

Ti

1

t

y(t)

t

y(t)

Reguladores PID (II)Regulador PD (ideal)Regulador PIRegulador PD (real)El comportamiento ideal del PD es imposible de reproducir fsicamente Respuesta ante un escaln unitarioRepresentacin tpica en circuitos de controlTd>TNREGULACIN AUTOMTICAK1+TisTisPendiente K/Ti

-Ti

K

t

y(t)

K(1+1/(sTi))

X(s)

Y(s)

K

x(t)

Ti

y(t)

K

x(t)

Td

y(t)

K(1+sTd)

X(s)

Y(s)

K(1+sTd)/(1+sTN)

X(s)

Y(s)

K

t

y(t)

K

KTd/TN

TN

t

y(t)

Reguladores PID (III)Regulador PID (ideal)Regulador PID (real)El comportamiento ideal del PID es imposible de reproducir fsicamente Respuesta ante un escaln unitarioRepresentacin tpica en circuitos de controlTi>Td>TNTi>TdREGULACIN AUTOMTICAPendiente K/TiPendiente K/Ti

-Ti

K

t

y(t)

K

x(t)

Ti Td

y(t)

K((1+sTd)/(1+sTN)+1/(sTi))

X(s)

Y(s)

K

KTd/TN

-Ti

t

y(t)

K(1+1/(sTi)+sTd)

X(s)

Y(s)

Implementacin de Reguladores ElectrnicosNOTA: Las ecuaciones suponen un comportamiento ideal de los componentes electrnicos, es decir, sin saturaciones, respuesta inmediata, parmetros constantes, circuitos operacionales ideales, resistencias y condensadores puros, etc.

REGULACIN AUTOMTICA

y(t)

-y(t)

Ze

Zr

_

+

x(t)

Regulador PREGULACIN AUTOMTICA

y(t)

R1

R2

_

+

x(t)

Ganancia [dB]

A(()

20logK

( [rad/s]

( [rad/s]

0

((()

Fase []

Regulador IREGULACIN AUTOMTICA

y(t)

R

C

_

+

x(t)

Ganancia [dB]

A(()

20log(1/Ti)

( [rad/s]

( [rad/s]

-90

((()

Fase []

1/Ti

1

0

-20 dB/dec

Re

Im

Regulador PIREGULACIN AUTOMTICA

y(t)

R2

R1

C

_

+

x(t)

Ganancia [dB]

A(()

( [rad/s]

( [rad/s]

-90

((()

Fase []

1/T

20logK

-20 dB/dec

( [rad/s]

0

0.1/T

10/T

+45/dec

Re

-1/T

Im

Regulador DREGULACIN AUTOMTICA

y(t)

R

C

_

+

x(t)

Ganancia [dB]

A(()

20logTd

( [rad/s]

( [rad/s]

90

((()

Fase []

1/Td

1

0

+20 dB/dec

Re

Im

Regulador PDREGULACIN AUTOMTICA

y(t)

2R2

R1

C

2R2

_

+

x(t)

Ganancia [dB]

A(()

( [rad/s]

( [rad/s]

((()

Fase []

1/Td

20logK

+20 dB/dec

( [rad/s]

0.1/Td

10/Td

+45/dec

90

0

Re

-1/Td

Im

Regulador PIDREGULACIN AUTOMTICA

y(t)

R3

R1

C3

C2

R2

_

+

x(t)

Ganancia [dB]

A(()

-20 dB/dec

0.1/T2

10/T1

+45/dec

((()

Fase []

1/T1

1/T2

+20 dB/dec

( [rad/s]

+45/dec

0.1/T1

10/T2

+90/dec

-90

90

Re

-1/T2

Im

-1/T1

Efectos de los Reguladores PID Regulador P: Aumenta la ganancia de la cadena directa del sistema. Reduce los errores en rgimen permanente. Modifica el transitorio y puede tender a desestabilizar el sistema en muchos casos si K aumenta demasiado. Regulador I: Aumenta el tipo de la cadena directa del sistema. Mejora los errores en rgimen permanente. Anula el efecto sobre el rgimen permanente del sistema, de las perturbaciones que afectan al sistema entre el regulador y la salida. Regulador PI: Aumenta la ganancia y el tipo de la cadena directa del sistema, combinando los efectos de los dos reguladores anteriores. Si el cero se encuentra muy prximo al origen con respecto a los polos dominantes del sistema, apenas modifica el transitorio del sistema comparado con un regulador P con la misma ganancia K. Regulador PD: Su ganancia, polo y cero permiten modificar la situacin final de los polos dominantes del sistema en bucle cerrado. Permite definir el comportamiento transitorio del sistema. Por lo general estabiliza el sistema si se utiliza un valor de ganancia K moderado. Es muy sensible a perturbaciones de alta frecuencia. Regulador PID: Es un compendio de los efectos de los reguladores anteriores.REGULACIN AUTOMTICA

Diseo de Reguladores PID (I)REGULACIN AUTOMTICA

Hay especificaciones para la respuesta transitoria?

Se conoce el valor de G(s), de H(s) y las especificaciones

Poner R(s)=KR y determinar los valores que lo hacen estable

Poner R(s)=K y determinar los valores que lo hacen estable

Poner R(s)=KR y trazar el lugar de las races R(s)G(s)H(s)

Pasa el lugar de las races por la regin de las especificaciones?

Determinar los valores de KR que seran vlidos

Poner R(s)=K y determinar los valores que lo hacen estable

SI

NO

NO

SI

Usar un PD Ideal o un PD Real?

Disear mediante el lugar de las races R(s)=KR(s+a)n/(s+b)n

Poner R(s)=K y determinar los valores que lo hacen estable

Real

Hay especificaciones de precisin en rgimen permanente?

Se cumple la precisin para algn valor de KR vlido?

Completar R(s) con suficientes polos en el origen: (s+c)m/sm

Hay que eliminar el efecto sobre el RP de las perturbaciones?

SI

NO

Es R(s) del tipo adecuado para eliminar el efecto?

SI

NO

SI

SI

NO

FIN

NO

PD

PI

Ideal

1

Si no se pasa por PD ni por PI se obtiene un Regulador P: R(s)=KR

Si se pasa por PD y no por PI se obtiene un Regulador PD: R(s)=KR(s+a)n/(s+b)n

Si se pasa por PI y no por PD se obtiene un Regulador PI: R(s)=KR(s+c)m/sm

Si se pasa por PD y por PI se obtiene un Regulador PID: R(s)=KR((s+a)n(s+c)m)/(sm(s+b)n)

Diseo de Reguladores PID (II)Los diagramas de flujo presentados son mtodos aceptables para el diseo de reguladores PID, aunque existen mltiples alternativas para determinar los parmetros de los mismos que no estn recogidas.Los reguladores obtenidos se basan en el modelo del sistema, por lo que su validez slo se podr comprobar experimentalmente sobre el sistema real.En ese momento, probablemente ser necesario reajustar los parmetros del regulador diseado para obtener los resultados deseados. REGULACIN AUTOMTICA

Determinar el valor mnimo de K

para cumplirlas

NO

SI

Disear un regulador PD ideal R(s)=K(1+Tds)

Poner R(s)=K y determinar los valores que lo hacen estable

Hay especificaciones de precisin en rgimen permanente?

Dibujar el contorno de las races para Td y determinar su valor

Hacer K=1

FIN

1

Diseo de un PD ideal

Se suele usar este tipo de diseo si slo hay una especificacin de rgimen transitorio y otra de rgimen permanente, siendo G(s) del tipo adecuado.

Diseo de un Regulador PSe traza el L.R. con R(s)=KR y se determina KR tal que: KR1

Diseo de un Regulador PD (I)Se traza el L.R. con R(s)=KRPara unas determinadas especificaciones, por ejemplo:REGULACIN AUTOMTICAqReImwdRegin donde se cumplenlas especificacionesPunto ms prximo a lasramas del L.R. actualKR1

X(s)

G(s)

R(s)

+

H(s)

_

Y(s)

M(s)

Diseo de un Regulador PD (II)REGULACIN AUTOMTICA

KR= 27.3

-4

5

-1

Im

-5

Re

45

KR= 56

-12

-5.4

5

Im

50

Re

-6

tp= 0.55 s

0.8

0.4

0.2

0

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

1

0

0.6

Mp= 8.1 %

0.6

0.8

tp= 0.58 s

0.4

0.2

0

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1

Mp= 12 %

0.6

0.8

tp= 0.62 s

0.4

0.2

0

2

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1

Mp= 20.4 %

1.2

KR= 42

-10

-7.3

5

Im

23.2

Re

-6

5

-2.5

Im

-5

Re

-5

-7.3

-6

5

-3.8

Im

-5

Re

-5

-6

-5.4

5

Im

-5

Re

-5

Diseo de un Regulador PD (III)NOTA: Cuando tiene un valor grande se suele construir el regulador con ms de una pareja polo-cero. Cada pareja compensa una parte del ngulo de compensacin para completar el total:R(s)=KR(s+a)n/(s+b)nREGULACIN AUTOMTICA

(

-a

-p2

(

(

-b

Im

(p1

Re

(p2

-p1

Diseo de un Regulador PD (IV) Criterios para la disposicin del ngulo de compensacinCriterio de la VerticalCriterio de CancelacinCriterio de la BisectrizCriterio del polo en el infinitoSe obtiene un PD ideal R(s)=KR(s+a)REGULACIN AUTOMTICA

(

-a

Re

(

Im

-b

(=90

(

-a

(

-b

Im

Re

(

(/2

(

-a

Re

bisectriz

Im

-b

(

(/2

(=0

-a

Re

(

Im

(=(

Diseo de un Regulador PD (V)REGULACIN AUTOMTICA

-a

-p2

nb

ma

-b

Im

n2

Re

n1

-p1

Diseo de un Regulador PIEl regulador PI aumenta el tipo del sistema al aadir polos sobre el origen de coordenadas del plano complejo:La constante del PI suele ser 1 para que no modifique el diseo de compensacin del rgimen transitorio que se pueda haber realizado previamente.El cero se coloca muy prximo al origen, tanto como sea posible, aunque se puede utilizar como criterio vlido que su distancia al origen de coordenadas sea, al menos, inferior a la dcima parte de la distancia de los polos dominantes diseados para M(s) al eje imaginario. Eso hace que el nuevo par polo-cero que introduce el regulador PI en el sistema apenas modifique el Lugar de las Races del sistema; por lo tanto, apenas vara la situacin de los polos en Bucle Cerrado del sistema y, en consecuencia, apenas modifica su respuesta transitoria.Si es necesario para las especificaciones de precisin o de comportamiento ante perturbaciones del sistema se pueden aadir ms de un par polo-cero: R(s)=(s+c)m/smREGULACIN AUTOMTICA

-c

c

Control de las Perturbaciones (I): Interesa que la ganancia del sistema en rgimen permanente ante las perturbaciones sea nula y que el transitorio tenga una oscilacin y duracin mnimas.A)B)Si: A) R(s) es de Tipo 0 REGULACIN AUTOMTICA B) R(s)G1(s) es de Tipo 0Si: A) R(s) es de Tipo 1 B) R(s)G1(s) es de Tipo 1

+

X(s)

G(s)

R(s)

+

Z(s)

+

_

Y(s)

H(s)

+

X(s)

G2(s)

R(s)

+

Z(s)

+

G1(s)

_

Y(s)

H(s)

-2

0

2

4

6

8

10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

z(t)

y(t)

-2

0

2

4

6

8

10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y(t)

z(t)

Control de las Perturbaciones (II): Estabilidad: Es la misma ante la entrada y la perturbacin. Los polos son las races de la ecuacin caracterstica 1+R(s)G(s)H(s). Rgimen permanente: Si existe un integrador (polo en el origen) entre la entrada y la perturbacin (normalmente en R(s)), su accin integral anula al menos el ep en rgimen permanente y adems hace que la ganancia del sistema en rgimen permanente ante la perturbacin sea nula. Rgimen transitorio: Las respuestas transitorias de M(s) y N(s) estn relacionadas, comparten el mismo denominador aunque tienen distinto numerador. Hay que buscar una combinacin de ceros y polos para ambas funciones de transferencia que den un comportamiento aceptable en ambos casos.REGULACIN AUTOMTICA

-2

0

2

4

6

8

10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y(t)

z(t)

-2

0

2

4

6

8

10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

ep=0

h0y(t)

x(t)