n matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia

el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la

rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo

considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se

habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa

la posición de un objeto con respecto altiempo, su derivada es la velocidad de dicho

objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00,

viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a

velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las

15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para

conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la

velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre

las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse

geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a

la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la

mejoraproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada

puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada

parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en

cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El

proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de

las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo

infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se

denomina cálculo diferencial.1

Índice

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1   Historia de la derivada o 1.1   Siglo XVII o 1.2   Newton y Leibniz o 1.3   Conceptos y aplicaciones

2   Definiciones de derivada o 2.1   Definición como cociente de diferencias o 2.2   Continuidad y diferenciabilidad

2.2.1   Condición no recíproca o 2.3   Derivada de una función o 2.4   Ejemplo

3   Notación o 3.1   Notación de Newton

o 3.2   Notación de Leibniz o 3.3   Notación de Lagrange o 3.4   Notación de Euler

4   Cálculo de la derivada o 4.1   Derivadas de funciones elementales o 4.2   Reglas prácticas de derivación o 4.3   Ejemplo de cálculo

5   Diferenciabilidad 6   Generalizaciones del concepto de derivada 7   Véase también 8   Referencias

o 8.1   Bibliografía o 8.2   Enlaces externos

Historia de la derivada[editar]

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse

en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron métodos

sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac

Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron

origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)

El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Siglo XVII[editar]

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los

infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos,

empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo

infinitesimal.

A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para

resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen

al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz[editar]

Artículos principales:  Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus

predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para

manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran

inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665

encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto

por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando

desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la

velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.

Gottfried Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el

primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes.

En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un

cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia

con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres

de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada   y el símbolo

de la integral ∫.

Conceptos y aplicaciones[editar]