Gnoseología, Epistemologia y Matemática

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GNOSEOLOGÍA, EPISTEMOLOGÍA Y MATEMÁTICA “En lo que las leyes matemáticas se refieren a la realidad no son ciertas y en lo que son ciertas, no se refieren a la realidad”. Albert Einstein “La matemática es la única ciencia en la que uno nunca sabe de qué está hablando ni si lo que dice es verdad”. Bertrand Russell Introducción Desde la Premodernidad hasta nuestros días millones de personas han considerado que la matemática es el campo del conocimiento más apto para acercarnos a la realidad en sus diferentes estatus ontológicos, olvidándose del hecho de que “los conceptos lógico- matemáticos… traducen relaciones con el medio, no realidades en sí” (Salvador Pániker, 2006, p. 11). Así por ejemplo, para el brillante matemático, René Thom, el conocimiento alcanza su madurez cuando “asciende” a las cumbres de la matematización (Miguel Espinoza, 2004) y para el difunto lingüista, Alfred Korzybski, el instrumento que podía permitir la rigurosidad semántica en el discurso era la matemática (Eduardo Lasprilla, 2008). Sin embargo, con algunas excepciones, nadie se ha percatado de que la matemática, en su seno, alberga falencias que evidencian su incapacidad para cumplir, a cabalidad, con el criterio que le da validez: la inmanencia 1 . 1 Que se define como “la concordancia de la mente consigo misma” (Eduardo Lasprilla, 2007). La inmanencia es el producto de no quebrantar las tres leyes de la lógica.

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GNOSEOLOGÍA, EPISTEMOLOGÍA Y MATEMÁTICA

“En lo que las leyes matemáticas se

refieren a la realidad no son ciertas y

en lo que son ciertas, no se refieren

a la realidad”.

Albert Einstein

“La matemática es la única ciencia

en la que uno nunca sabe de qué está

hablando ni si lo que dice es verdad”.

Bertrand Russell

Introducción

Desde la Premodernidad hasta nuestros días millones de personas han considerado que la matemática es el campo del conocimiento más apto para acercarnos a la realidad en sus diferentes estatus ontológicos, olvidándose del hecho de que “los conceptos lógico-matemáticos… traducen relaciones con el medio, no realidades en sí” (Salvador Pániker, 2006, p. 11). Así por ejemplo, para el brillante matemático, René Thom, el conocimiento alcanza su madurez cuando “asciende” a las cumbres de la matematización (Miguel Espinoza, 2004) y para el difunto lingüista, Alfred Korzybski, el instrumento que podía permitir la rigurosidad semántica en el discurso era la matemática (Eduardo Lasprilla, 2008). Sin embargo, con algunas excepciones, nadie se ha percatado de que la matemática, en su seno, alberga falencias que evidencian su incapacidad para cumplir, a cabalidad, con el criterio que le da validez: la inmanencia1.

1 Que se define como “la concordancia de la mente consigo misma” (Eduardo Lasprilla, 2007). La

inmanencia es el producto de no quebrantar las tres leyes de la lógica.

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Primera parte

Matemática es una palabra que deriva del griego µάθηµα, que significa “erudición”2, y la podemos definir como la ciencia formal que estudia las propiedades y relaciones de entes abstracto como los conjuntos, los números, las figuras geométricas, los grafos3, etc. Deriva, como demostró Piaget, de la abstracción reflexiva de las acciones del sujeto sobre los objetos, por lo que habla más de lo que hace el hombre en el mundo que de la naturaleza del mundo. A lo sumo, puede mostrarnos relaciones entre los entes del cosmos, pero no nos dice nada de lo que ellos son en sí mismos. Por ello para Henri Poincaré, las ciencias de corte matemático “no nos enseñan la verdadera naturaleza de las cosas sino sólo las relaciones que existen entre ellas” (Ruy Pérez Tamayo, 1990, p. 164).

Para ejemplificar esto tomemos la siguiente ecuación de la física matemática: v

mD =

La ecuación nos indica cómo se relacionan aritméticamente las variables (la densidad es el cociente de la masa dividida por el volumen), pero no nos dice nada de lo que ellas son. Para ello tenemos que recurrir a la física conceptual, que nos dice: La densidad es la cantidad de materia existente en un determinado volumen, la masa es la cantidad de materia que posee un cuerpo y el volumen, el espacio ocupado por el mismo. La expresión matemática de una variable no constituye su definición, por ello uno de los pasos obligados en el método neopositivista de investigación (el llamado <método cuantitativo>) es la definición conceptual de las variables en cuestión.

Al ser la contracara mental de lo que el hombre ha venido haciendo sobre el mundo, la matemática se vincula única y exclusivamente con el hacer y no con el ser (el núcleo del alma), por ello nunca nos permitirá aprehender la substancia4 de los entes y mucho menos la esencia5 del Ser6. El ojo de la razón formal (oculus mentis) está incapacitado para penetrar en las profundidades del Ser y la matemática es uno de sus instrumentos, por ello tiene los mismos limitantes. Esta, como me enseñó el doctor Eduardo Lasprilla (mi padre), es producto de la ilusión primaria y a su vez, forma parte de los sustentos epistemológicos de la misma7. Raimon Panikar dijo: “Una cosa es afirmar que el pensar

2 En la Grecia Antigua la rama del conocimiento más avanzada era esta (recordemos las palabras que

Platón tenía a la entrada de su Ακαδέµεια: “No puede entrar quien no sepa geometría”). Luego le

seguía la astronomía (James jeans, 1948). 3 Un grafo es una colección de objetos -llamados nodos o vértices- unidos por enlaces -llamados aristas

o arcos- que permiten representar relaciones binarias entre los miembros de un conjunto. 4 Es la manifestación particular de la esencia en un ente del Kosmos.

5 Es la naturaleza profunda del Ser.

6 Es “la totalidad Kósmica (que no cósmica….) con sus despliegues y repliegues infinitos” (Eduardo

Lasprilla, 2009, p. 19). 7 Llama la atención el hecho de que la palabra Maya, con la cual los seres divinos designan la distorsión

samsárica o ilusión primaria, derive de un vocablo indoeuropeo que significa “medir”. Es decir, que toda

medición es una abstracción que nos aleja de la esencia.

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nos revela un aspecto del Ser y otra, que el pensar le quite al Ser (a la realidad) todos sus velos” (2005, p. 82)8.

Teniendo en cuenta que la matemática es la senectud de la lógica y la lógica la infancia de la matemática (como demostraron Bertrand Russell y Gottlob Frege) y que la lógica deriva de la protológica (como demostró Piaget), podemos hacer el siguiente esquema:

Acción Protológica Paleológica Lógica Matemática

La acción constituye lo que el hombre hace en el mundo. La protológica se refiere al conjunto de acciones interiorizadas que permiten la estructuración de inferencias fácticas. La paleológica nos indica el conjunto de estadios intermedios entre lo cabalmente lógico y lo completamente ilógico (Wilber, K., 1981), donde el incipiente pensamiento discursivo todavía no diferencia a los miembros de sus clases (condensación o ley del contagio) y a los diferentes miembros de una misma clase (desplazamiento o ley de la similitud)9. La lógica hace alusión a los razonamientos mentales que permiten inferencias conceptuales10, primero de tipo concreto y después de tipo formal.

Las acciones, de forma aislada, comienzan a interiorizarse como esquemas en el estadio sensorio-motor (“mordible”, “prensible”, “rodable”, etc.)11. Luego, paulatinamente, estas se integran dando origen a la protológica, característica de los tres últimos subestadios sensorio-motores (gatear/caminar, alcanzar una manta sobre la que hay un chupo, jalarla, prender el chupo e introducirlo en la boca). Después, con el estadio preoperacional, la paleológica domina la actividad intelectual del niño. Pero con la emergencia del estadio operacional concreto aparece la lógica aplicada al mundo de la inmediatez sensorial (el individuo puede saber que dos vasos de diferente grosor pueden contener el mismo volumen de agua siempre que los vasos estén frente de él). Y, con el surgimiento del estadio operacional formal, la lógica se desprende del mundo concreto para ser utilizada en el plano exclusivamente mental (si p implica q, y p es verdadera, entonces q es verdadera, modus ponendo ponens) y lo mismo sucede con la

matemática (d

p=π , el número adimensional pi es igual al perímetro de la

circunferencia sobre su diámetro).

Segunda parte

Una de las ramas más elementales de la matemática es la Teoría de Conjuntos, en la que figuran nombres como los de Georg Cantor, Gottlob Frege y Bertrand Russel. En ella,

8 Cuan “desfasado” estaba Galileo (y los que aún hoy lo siguen) al expresar que Dios era un matemático.

9 Es decir, proceso primario (Freud) pero en la mente.

10 Equivale al proceso secundario (Freud).

11 Aunque es menester aclarar que todos nacemos con reflejos instintivos que sirven de soporte para la

construcción de los subsecuentes esquemas (Piaget, 1968).

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conceptos como los de conjunto, elemento y pertenencia se consideran fundamentales y por ello difíciles de definir. Veamos lo que nos dice el Diccionario Akal de Matemáticas respecto de la palabra conjunto: “Noción primitiva de la matemática como las de elemento y pertenencia. No se puede definir, como sucede con el punto, la recta o el plano en geometría, pero se dan sus relaciones y sus reglas de empleo” (Alain Bouvier, Michael George, 2008. P. 345). Sin embargo, el Diccionario y Manual de Matemáticas aventura la siguiente: “Conjunto es una colección de objetos” (Eugene N. Nichols, Sharon L. Schwartz, 1996, P. 75). Esto nos revela la falta de acuerdo y de disensualidad que hay en la matemática.

Ahora bien, conjunto deriva del latín conjunctus, participio pasivo de conjungere, que significa “unir con”. Luego el concepto de conjunto lleva en su raíz la unión de dos o más cosas, entonces, ¿de dónde han salido los conceptos de conjunto unitario y conjunto vacío, que en la escuela nos enseñan? Conjunto es siempre conjunto de dos o más cosas y los conjuntos unitario y vacío son, respectivamente, una colección de un solo elemento y una colección de nada. ¡Qué contradicción! Estos conceptos quebrantan el principio lógico de no contradicción (una cosa no puede ser y no ser al mismo tiempo y en el mismo sentido, como una vez me enseñó el profesor Orian Cohen) al indicar dos ideas a la vez: unidad y pluralidad, en cuanto al conjunto unitario; presencia y ausencia, en cuanto al conjunto vacío.

Todavía más ilógico es el axioma matemático que nos dice que el conjunto vacío es siempre un subconjunto de cualquier conjunto dado. ¡Imagínense!, una colección de nada es siempre un subholón de cualquier colección dada. Los estudiosos de la Teoría de Conjuntos deben modificar su axiomática de tal forma que estas incongruencias no se presenten y deben también dejar establecido que el concepto de conjunto adquiere sólo sentido con la presencia de dos o más objetos. Un conjunto de menos objetos o de nada, es una inviabilidad lógica (y la matemática es una extensión complejizada de la misma).

Tampoco es nada coherente, como lo explicó René Guénon, el concepto de conjunto infinito con el que tanto trabajó G. Cantor. Infinito (del latín in = no y finis = límite) es aquello que carece de límites y por ello “no deja nada fuera de él” (René Guénon, 1946, p. 7) en tanto que conjunto es una colección específica, determinada, que puede ser diferenciada, de objetos y por ello no lo abarca todo. Infinito solo es Dios porque careciendo de límites los contiene todos y por esto no puede comparase con nada que no sea él mismo, ya que si hubiese otro infinito con el que contrastarlo para diferenciarlo, ambos “se limitarían el uno al otro, y por tanto, se excluirían forzosamente” (René Guénon, 1946, p. 6). Entonces, carece de logicidad el que algo limitado (finito) contenga algo ilimitado (infinito). Lo que Cantor tuvo que haber dicho era que hay conjuntos con un indefinido número de elementos (como clarifica Guénon), ya que indefinido es aquello cuyos límites no podemos percibir por nuestras limitaciones conscienciales.

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El no tener claro esto, hizo que Cantor estableciera una jerarquía de números infinitos, cada uno más grande que su precedente (Joseph W. Dauben, 2000) y que hablara de los números que pueden ser más grandes que los números infinitos, es decir, los números transfinitos (René Guénon, 1946). Hablar de un número infinito es tan absurdo como hablar de un conjunto infinito12, ya que el número es una determinación y por ello posee límites en tanto que lo infinito no. Sin embargo, y a pesar de lo que ha dicho René Guénon, no podemos desconocer el hecho de que la sucesión de los números no es indefinida, pues carece de límites –como queda demostrado por el hecho de que a todo número dado se lo puede sobrepasar sumándole 1 sin llegar jamás a un número que se considere último, después del cual no haya otro13-. Así, propongo que a Dios se lo identifique con el Infinito (con I) y a la sucesión de números con el infinito (con i), aclarando que el infinito está contenido en el Infinito, razón por la cual no se excluyen mutuamente sino que se relacionan holárquicamente.

Siendo las cosas así, se cae por su propio peso el hecho, establecido por Cantor, de que el conjunto de los números pares14 ( )...6,4,2 posee el mismo cardinal15 que el conjunto

de números naturales16 ( )....6,5,4,3,2,1 o que el conjunto de números primos17

( )...13,11,7,5,3,2 tiene el mismo cardinal que el conjunto de números compuestos18

( )....12,10,9,8,6,4 , ya que no podemos hablar de cardinales en la sucesión infinita de los

números, pues de lo contrario diríamos que hay un “número infinito” de números pares, de números naturales, de números primos y de números compuestos, cosa totalmente absurda, como ya vimos. Además, si en cualquier momento limitaramos el número de números pares y números naturales, veríamos que “hay dos veces más números naturales que números pares” (René Guénon, 1946, p. 12), como Leibniz advirtió. Algo similar sucede con los números primos y los números compuestos.

Por otra parte, en 1901 Bertrand Russell descubrió una inconsistencia (llamada “paradoja del barbero”) en la teoría de conjuntos que nos legó G. Cantor. En términos muy simples Russell le planteó a Frege lo siguiente: Supongamos que tenemos el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos (el conjunto de las manzanas no es una manzana). Este conjunto ¿es miembro de sí mismo o no? Si decimos que no es miembro de sí mismo entonces lo es, ya que su característica definitoria es la de no ser subconjunto de sí mismo. Lo que lo hace pertenecer a sí mismo es la condición de no ser miembro de sí mismo.

12

Lo cual Leibnitz veía ya como una contradicción (René Guénon, 1946). 13

Aunque los llamados números naturales están limitados por el 1 en su comienzo –por lo que la resta

en ellos sí que tiene un número considerado el más pequeño: el 1-. Donde no están limitados es en su

sucesión ascendente. 14

Son todos los números múltiplos de dos (o divisibles por dos). 15

Cardinal es el número que indica el número de miembros que posee un conjunto. Fue acuñado por

Cantor. 16

Son aquellos que se usan para contar los miembros de un conjunto. 17

Son aquellos que son sólo divisibles por sí mismos y por la unidad. 18

Son aquellos que poseen uno o más divisores naturales distintos de sí mismos y de la unidad.

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Tercera parte

La rama de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades de los números se conoce como Teoría de los Números. De acuerdo con ella tenemos la siguiente holarquía de los números (Diccionario de Matemáticas L

Por número se entiende toda representación abstractel que se representa una cantidad” (Los números complejos resultan“pueden expresarse de forma binómica, polar, tmás común es la binómica, que está constituida por la suma de un número real y un número imaginario, denominadas parte real y parte imaginaria, respectivamente. Matemáticamente se expresa como

1−=i . El complejo (a +considera número imaginario si el valor de

Matemáticas, 2006, p.258).

Los números imaginarios son aquellos que resultan de multiplicar un número nacon la raíz cuadrada de −números racionales e irracionales.

Complejos

Reales

Imaginarios

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que se encarga de estudiar las propiedades de los números se conoce como Teoría de los Números. De acuerdo con ella tenemos la siguiente

(Diccionario de Matemáticas Larouse, 2006, p. 258)

toda representación abstracta de una cantidad o “el símbolo con el que se representa una cantidad” (Diccionario de Matemáticas Larouse, 2006, p. 254

s complejos resultan de la unión de un número real y un número“pueden expresarse de forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial. La forma más común es la binómica, que está constituida por la suma de un número real y un número imaginario, denominadas parte real y parte imaginaria, respectivamente. Matemáticamente se expresa como bia + , donde i es la unidad imaginaria y su valor es

)bi+ es un número real si el valor de b es nulo

considera número imaginario si el valor de a es nulo ( )0=a ” (Diccionario Larouse de

Matemáticas, 2006, p.258).

Los números imaginarios son aquellos que resultan de multiplicar un número na1− y los números reales son el conjunto formado por los

racionales e irracionales.

Racionales

Enteros

Positivos o

Naturales

Cero

Negarivos

Decimales

(Fraccionarios)

Irracionales

(decimales aperiódicos)

Algebraicos

Trascendentales

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que se encarga de estudiar las propiedades de los números se conoce como Teoría de los Números. De acuerdo con ella tenemos la siguiente

arouse, 2006, p. 258):

a de una cantidad o “el símbolo con Diccionario de Matemáticas Larouse, 2006, p. 254).

de la unión de un número real y un número imaginario, rigonométrica y exponencial. La forma

más común es la binómica, que está constituida por la suma de un número real y un número imaginario, denominadas parte real y parte imaginaria, respectivamente.

es la unidad imaginaria y su valor es

es nulo ( )0=b , y se

” (Diccionario Larouse de

Los números imaginarios son aquellos que resultan de multiplicar un número natural y los números reales son el conjunto formado por los

Positivos o

Naturales

Cero

Negarivos

Exactos

Periódicos

Puros

Mixtos

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Los números racionales son los cocientes de dos números enteros en donde el divisor es diferente de cero y los números irracionales, aquellos que tienen indefinidas cifras decimales sin periodicidad. Se dividen en dos, los algebraicos y los trascendentes. Los primeros son aquellos números que resultan de una ecuación polinómica de la forma anx

n + an-1xn-1 +… a1x + a0 = 0, donde n > 0 y ai ∈ ZZZ. Los segundos son aquellos que no

provienen de una solución algebraica y no son la raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). Son el opuesto de los números algebraicos

Los números enteros son aquellos menores (negativos) y mayores (positivos o naturales) que el cero, incluyendo el cero (Diccionario Larouse de Matemáticas) y los números decimales (fraccionarios) son aquellos que se encuentran entre dos enteros. Pueden ser exactos (con un número fijo de decimales) o periódicos (con un número finito de números que se repiten indefinidamente). A su vez, los periódicos pueden ser mixtos (en donde sólo se repiten algunas de las cifras) o puros (en donde se repiten todas las cifras).

Todas éstas definiciones son aceptadas sin problema por los matemáticos y por ello me llama mucho la atención que haya sido un sólo matemático (R. Guénon), el que haya encontrado una falla en la definición de número entero. De acuerdo con la definición, el cero es “número neutro” (Diccionario Larouse de Matemáticas) y esto constituye un craso error ya que el cero es la representación mental de la ausencia de cantidad, es la representación mental de la nada. “El cero matemático, en su acepción estricta y rigurosa, no es más que una negación, al menos bajo el aspecto cuantitativo, y no se puede decir que la ausencia de cantidad constituye aún una cantidad” (René Guénon, 1946, p. 54)19. ¿Cómo es posible que los matemáticos no vean la contradicción que se forma cuando tomamos la ausencia de cantidad como una cantidad? Esto es otra violación al principio de no contradicción.

Por otra parte, si los números son representaciones mentales de las cantidades y nada más, ¿dónde ubicamos a los números ordinales? Esta definición es una definición que sólo abarca a los números cardinales. Por ello debemos ampliarla para que tenga en cuenta a los primeros. Así, defino el número como la representación abstracta de una cantidad o la representación de un orden en una sucesión. Los números cardinales me indican tamaños de magnitudes en tanto que los ordinales, la posición de un objeto en la sucesión de la que forma parte.

También es menester señalar que los números naturales son, lo que R. Guénon llama, números puros o números verdaderos, ya que se los puede hacer corresponder con objetos de la existencia como por ejemplo 5 árboles o 7 manzanas (aunque los decimales exactos también20). Por algo fueron los primeros que el hombre ideó y los

19

No es casual que el cero haya aparecido alrededor del año 2000 a. C en Babilonia, cuando la

estructura de consciencia promedio era el operacional concreto de Piaget y se haya comenzado a usar

como lo hacemos ahora en el año 36 a. C. en la civilización Maya (cuando ya el ego formal había

comenzado a formar parte de la modalidad promedio, según Wilber). El cero aparece en la India

alrededor del año 650 d. C., por lo que es obvio que ellos no lo crearon primero. 20

Por eso los ubico también dentro de esta categorización, a diferencia de R Guénon.

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que usó para contar los miembros de un conjunto. Los demás números son la resultante de operaciones aritméticas que no pueden resolverse con estos números. Así tenemos que los números negativos (a los que M. Stifel, en el Renacimiento, conceptualizó como menores que cero) no son más que la diferencia entre un sustraendo más grande que un minuendo ( )253 −=− ; los números imaginarios son la manifestación de la

imposibilidad de encontrar la raíz cuadrada de un número que es consecuencia de otra

imposibilidad: el negativo ( )i=−1 ; Los números decimales periódicos y aperiódicos

representan los cocientes de una división “que no se efectúa exactamente, es decir, en realidad de una división aritméticamente imposible” (René Guénon, 1946, p. 18); y así con los demás.

Ahora bien, como los números negativos, irracionales, decimales periódicos (mixtos y puros), imaginarios y complejos no pueden corresponderse con magnitudes existenciales (como sí lo hacen los naturales y los decimales exactos) no son números cardinales en el significado riguroso de éste término (“representación mental de una cantidad”). Deberían llamarse pseudonúmeros para no confundirlos con los números verdaderos de R. Guénon.

Cuarta parte

“El 17 de Noviembre de 1930, el Monatshefte für Mathematik und Physik recibió el… artículo de Gödel, <Über Formal Unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und Verwandter Systeme>. El artículo se publicó la primavera siguiente. Cayó como un mazazo en la comunidad matemática” (David Berlinsky, 2006, p. 191). En él Gödel estableció que no se podía llevar a feliz término el “programa de Hilbert” ya que era totalmente imposible darle a la matemática una fundamentación sólida desde la misma matemática. Al respecto acota Stephen Hawking: “El teorema afirma que en cualquier sistema formal de axiomas, como por ejemplo las matemáticas actuales, siempre quedan cuestiones que no pueden ser demostradas en afirmativo ni en negativo sobre la base de los axiomas que definen el sistema. En otras palabras, Gödel demostró que hay problemas que no pueden ser resueltos por ningún conjunto de reglas o de procedimientos” (2002, p. 139). Con el teorema de Gödel quedó claro que “toda las teorías son invulnerables desde sus propios axiomas… Dicho de otro modo: Ningún sistema puede probar [las afirmaciones] en que se basa” (Salvador Pániker, 2006, p. 116)21.

21

Acerca del teorema, el matemático colombiano Bernardo Recaman Santos hace dos comentarios

interesantes: 1) “Gödel no sólo demostró que no hay forma de demostrar la consistencia de ningún

sistema axiomático que incluya los axiomas de los números naturales sino, aún peor, que tal sistema de

axiomas no es completo, es decir, que hay afirmaciones que se pueden hacer dentro del sistema cuya

veracidad o falsedad no puede ser demostrada dentro del mismo sistema” (2002, p. 95). Y 2) “Gödel no

había demostrado que la aritmética tuviera contradicciones sino que, aun en el caso de que no las

tuviera, es imposible demostrar que ello es así”.

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A pesar de que el trabajo de Gódel es ya muy conocido, pocos son los que lo ilustran con un ejemplo concreto tomado de la matemática. He aquí uno que ha pasado desapercibido por los intelectuales de la matemática: En la base misma de la aritmética de los números enteros encontramos las siguientes cuatro afirmaciones: 1) más por más es igual a más( ) ( ) ( )+=+×+ ; 2) más por menos es igual a menos ( ) ( ) ( )−=−×+ ; 3)

menos por más es igual a menos ( ) ( ) ( )−=+×− y; 4) menos por menos es igual a más

( ) ( ) ( )+=−×− . La primera y la segunda pueden ser aritméticamente demostradas pero

las dos últimas no.

Veamos: 1-) ( ) ( ) ( )632 +=+×+ , porque, como la multiplicación es una suma abreviada,

dos veces más tres tiene como resultado más seis ( ) ( ) ( )[ ]633 +=+++ ;

2-) ( ) ( ) ( )632 −=−×+ , porque dos veces menos tres es igual a menos seis

( ) ( ) ( )[ ]633 −=−+− ;

3-) ( ) ( ) ( )632 −=+×− , porque ¿menos dos veces tres es igual a menos seis? ¿Qué

significa iterar menos dos veces algo? ¡Ni siquiera lo puedo escribir como una suma abreviada!; y

4-) ( ) ( ) ( )632 +=−×− , porque ¿menos dos veces el menos dos es igual a más seis? Ni

hablar.

No se requiere de mucho talento para observar que <menos por menos> y <menos por más> son matemáticamente indemostrables a pesar de que se las considera una verdad con la cual se demuestran muchos teoremas matemáticos. La afirmación de que “menos por más es igual a menos” no es más que la resultante de generalizar, arbitrariamente, la propiedad conmutativa de la multiplicación (“el orden de los multiplicando no altera el producto”) y la afirmación de que “menos por menos es igual a más” ¡no sé ni de dónde salió!, pero allí está. Al respecto dice Bernardo R. Santos: “Euler demuestra por qué el producto de dos cantidades negativas tiene que ser una cantidad positiva. Observa primero que a− multiplicado por 3 tiene que ser igual a menos tres, pues << como

a− puede considerarse como una deuda, es evidente que si tomamos esa deuda tres veces, tiene entonces que hacerse tres veces más grandes y, por consiguiente, el producto requerido es a3− >>. Euler a continuación muestra de manera semejante que

a− multiplicado por b es igual a ab− y conluye que –a multiplicado por b− no puede ser también igual a ab− , entonces tiene que ser igual a ab+ . Aunque esta demostración no dejaría satisfecho a los exigentes lógicos del siglo XXI, sí dejó tranquilos a los matemáticos durante mucho tiempo, con toda seguridad convencería a un estudiante de bachillerato de hoy” (2002, pp. 82 y 83).

Como se observa no es una demostración al estilo de las que estamos acostumbrados a escuchar de los matemáticos. Gauss (considerado el más grande matemático del siglo XIX) dice, refiriéndose a lo que para él es una demostración, lo siguiente: “Cuando digo la palabra demostración no es en el sentido de los abogados, para quienes dos medias

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demostraciones equivalen a una completa, sino en el de los matemáticos, en que ½ = 0.5 y se exige de la demostración que toda duda se vuelva imposible” (Bernardo R. Santos, 2002, p. 95).

Por otra parte, una de las consecuencias del teorema de Gödel (que John von Neumann descubrió por sí mismo) es que cuando un sistema teórico lógico-conceptual busca abarcarlo todo se torna auto-contradictorio y cuando busca ser consistente consigo mismo se torna muy limitado. En palabras de Gödel: “Todo sistema lógico complejo se torna inconsistente cuando trata de explicar todas las verdades. Todo sistema simple es consistente al explicar un número reducido de verdades” (citado por E. Lasprilla, 2009, p. 497) A este inconveniente intelectual Wilber lo llamó el dilema de <lo cierto pero incompleto o lo incierto pero completo> y el doctor Eduardo Lasprilla, <inconsciente intelectual>.

Quinta parte

El cálculo infinitesimal es la rama de la matemática que se encarga de trabajar todo lo relacionado, no con las cantidades infinitamente pequeñas, sino con las cantidades indefinidamente pequeñas. Por ello el cálculo debería llamarse “indefinitesimal” y no “infinitesimal”, ya que esta última palabra deriva del empleo equivocado del término infinito en la matemática, como claramente han indicado L. Coutura, Ch. de Freycinet y R. Guénon22. Una cantidad indefinidamente pequeña es una cantidad variable o dinámica que puede hacerse tan pequeña como se quiera sin nunca desaparecer como cantidad, es decir, llegar a cero. Surgió como consecuencia del intento de hacer corresponder los números, cuya naturaleza es la discontinuidad, con la continuidad23. Recordemos que el cálculo “es una teoría sobre el cambio continuo, sobre procesos que se mueven con suavidad y que no se detienen, no se sacuden ni se interrumpen o que no se arrojan sobre huecos del tiempo y el espacio” (David Berlinsky, 2006, pp. 61-62). Pero Como lo continuo carece de partes y lo discontinuo las posee, este intento nunca llegará a feliz término. Es esta la razón por la que un continuo puede dividirse infinitamente.

Ahora bien, el concepto fundamental del cálculo es el de función que, a pesar de ser muy problemático, podemos definirlo como un ente matemático N dimensional que correlaciona la dinámica de dos o más variables24 25. (“Las funciones… representan el

22

El concepto de número infinitesimal como un número estático menor que cualquier otro y que “si se

suma a sí mismo, no importa cuantas veces sea, se queda siempre por debajo de cualquier número

dado” (D. Berlinsky, 2006, p. 68), que desde el Renacimiento se acepta, es ilógico. Una determinación –

como es el número- jamás puede ser una indeterminación o infinitud, recordemos el principio de no

contradicción. 23

La continuidad y la discontinuidad constituyen una de las polaridades en las que el Absoluto se

manifiesta. Así por ejemplo, el espacio-tiempo es continuo, pero la materia discontinua. La mente

igualmente puede engendrar entes continuos y discontinuos como la línea o los números. 24

Cuando la función es bidimensional se la define como una “aplicación entre dos conjuntos numéricos

D e I donde a cada valor del conjunto D le corresponde un único elemento del conjunto I. El conjunto D

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cambio”, dice D. Berlinsky) Sus ramas fundamentales son la derivación y la integración. La primera podemos definirla como el procedimiento a través del cual partiendo de una función hallamos su razón de cambio (que es otra función) y a la segunda, como el procedimiento a través del cual partiendo de una razón de cambio llegamos a la función que ésta describe. “La derivada de una función tiene que ver con la resta y la división; la integral, con la suma y la multiplicación” (David Berlinsky, 2006, p. 78). La integración utiliza integrales definidas (que miden áreas fijas) e indefinidas (que miden áreas cambiantes). Cuando la integración26 opera con la integral indefinida se convierte en la operación inversa de la derivación.

Agustin Cauchy y Karl Weierstrass hicieron de la derivada y la integral un límite, quedando así la derivada “como el límite de una serie de cocientes reales y finitos…. [y] la integral… como el límite de una serie de sumas reales y finitas (David Berlinsky, 2006, pp. 82-83). Pero, ¿qué es un límite? Un límite es aquella cantidad hacia la que tiende la variable independiente de una función y que permite ver cómo esta última se modifica. Por ello el concepto de infinitésimo27 y la expresión matemática de la derivada28 contienen un error, ya que el límite al ser una cantidad que hace de punto

“ω” para otra cantidad jamás puede ser la ausencia de cantidad. En palabras de R Guénon: “el cero no puede ser considerado como un límite en el sentido matemático de esta palabra, ya que un límite verdadero es siempre por definición, una cantidad” (1946, p. 56).

Por otra parte, como el límite es una cantidad estática29, de ¿dónde sacan los matemáticos que el infinito es un límite? ¿Cómo es que la ausencia de límites es, en sí misma, un límite? Así vemos que la afirmación matemática que nos dice que an es un

infinitésimo si su límite, cuando n tiende a infinito, es cero ( 0lim =∞→ n

na ) carece de

sentido, ya que no se pueden realizar operaciones matemáticas con lo infinito.

recibe el nombre de dominio de la función o campo de existencia y se simboliza como Dom (f)… El

conjunto final I se denomina conjunto imagen de D o recorrido de la función” (Diccionario Larouse de

Matemáticas, 2006, p. 156). 25

En matemáticas se define variable como una “cantidad simbolizada por una letra…que puede tomar

diferentes valores” (Diccionario Larouse de matemáticas, p. 378). 26

La integración es una suma sintética y no analítica, como la de la aritmética. Por ello Leibniz la llamaba

sumación para diferenciarla de la suma ordinaria. Los continuos sólo son agotables sintéticamente:

aprendiéndolos “de un solo golpe” (R. Guénon, 1946, p. 76). 27

“Sucesión convergente que tiene por límite cero” (Diccionario Larouse de Matemática, 2006, p. 198).

28 ( ) ( ) ( ) ( )

h

xfhxf

dx

xdfxf

h

−+==→0

lim'

29 No está de más recordar que el número que tiende a un límite nunca lo alcanza, ya que su naturaleza

es la variabilidad y no el estatismo. “…<El paso al límite> implica esencialmente una discontinuidad” (R.

Guénon, 1946, p. 67). La cantidad variable sólo puede acercarse a él indefinidamente.

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Sexta parte

Para la geometría (Del griego γηωµετρία = “medición de la tierra”) -sea euclidiana, riemanniana o lobachevskyana, el volumen es un conjunto indefinido de planos; el plano, un conjunto indefinido de líneas30; y la línea, un conjunto indefinido de puntos. El punto es aquello “que no tiene partes” (Euclides, citado por Stephen Hawking, 2006, p.7), por lo que su dimensión es cero, la línea es unidimensional, el plano bidimensional y el volumen tridimensional. Pero ¿cómo lo que carece de dimensión puede constituir lo que posee una dimensión? Eso tan absurdo como decir que el 1 está formado por un cúmulo de ceros. De la nada, nada sale. (“Los puntos no son elementos o partes de una línea”, nos recuerda R. Guénon) Y si la línea forma el plano y el plano, el volumen, luego el plano y el volumen, en últimas, están formados por puntos (entes adimensionales). ¡Cuánta ilogicidad!

Por otra parte, si la línea, el plano y el volumen son continuos, ¿cómo puede estar formado por unidades elementales? La línea, como el 1 en aritmética, debe ser la base y no el punto (que es el homólogo del cero en aritmética)31.

Ahora bien, los extremos de un volumen son planos y los extremos de un plano son líneas, pero eso no significa que estén formados por planos, los primeros, y por líneas, los segundos. De la misma forma que en la existencia encontramos árboles sin que ello quiera decir que esta se componga solamente de árboles, en el volumen encontramos planos y en los planos encontramos líneas.

Conclusión

Para terminar me gustaría enfatizar en el hecho de que la matemática no cumple totalmente con su criterio de validez y a pesar de ello los matemáticos exigen de las demás ciencias, la filosofía y el misticismo, que todo cuanto digan se pueda demostrar. Eso indica que exigen lo que no pueden dar.

30

En la geometría riemanniana la línea se convierte en geodésica. 31

Así podemos definir el punto como una línea indefinidamente pequeña con la que podemos indicar

una posición determinada en un plano N dimensional, evitando de un solo golpe las contradicciones

antes mencionadas.

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BIBLIOGRAFÍA

1. Berlinsky, D. (2006): Ascenso Infinito: Breve historia de las matemáticas.

España: Debate.

2. Bunge, M. (1993) La Ciencia. Su Método y su Filosofía. Libros Tauro.

3. Capra, F. (1983) El Tao de la Física. Madrid: Sirio.

4. Davies, P. (1990) La Super-fuerza. Madrid: Salvat.

5. Davies, P. (1996) El Espacio y el Tiempo en el Universo Contemporáneo.

Mexico: Fondo de Cultura Económica.

6. Ehrenfried Hofmann, J. (2002): Historia de la Matemática: desde el comienzo

hasta la Revolución Francesa. México: Noriega.

7. Einstein, A. (2005) Mi Visión del Mundo. Barcelona: Tusquets.

8. García, R. (2000) El Conocimiento en Construcción: De las formulaciones de

Jean Piaget a la teoría de sistemas complejos. Barcelona: Gedisa.

9. Goodstein, D. y Goodstein, J. (1996). La Conferencia Perdida de Feynman: El

movimiento de los planetas alrededor del Sol. Barcelona: Tusquets.

10. Guénon, R. (1946): Los principios del Cálculo Infinitesimal. Libros Tauro.

11. Hawking, S. (2002) El Universo en una Cascara de Nuez. Barcelona. Crítica.

12. Hewett, P.(2005): Conceptos de Física. Madrid: Pearson

13. Jaspers, K. (1998): Los Grandes Filósofos: Los metafísicos que pensaron desde

el origen: Anaximandro, Heráclito, Parménides, Plotino, Anselmo, Spinoza,

Lao-Tse, Nagarjuna. Madrid: Tecnos.

14. Jeans, J. (1953) Historia de la Física: Hasta mediados del siglo XX. Mexico:

Fondo de Cultura Económica.

15. Lasprilla, E. (2007) Semiología Homeopática y Nuevos Aportes a la Doctrina.

Barranquilla

16. Lasprilla, E. (2009): Semántica Disensual: Filosofía, lenguaje y realidad.

Barranquilla.

Page 14: Gnoseología, Epistemologia y Matemática

Leyder Lasprilla

14

17. Lasprilla, E. (2010): Psicología y Filosofía para la Transformación del Ser

(despertando de la ilusión). Barranquilla.

18. Lozano Leyva, M (2007): De Arquímides a Einstein: los diez experimentos más

bellos de la física. Barcelona: Debolsillo.

19. Morin, E. (1984): Ciencia con Consciencia. Barcelona: Anthropos.

20. Morin, E. (1999): Los Siete Saberes Necesarios para la Educación del Futuro.

Libros Tauro.

21. Panikar, R. (2009): De la Mística: Experiencia plena de la vida. España: Herder.

22. Pániker, S. (1997) Ensayos Retroprogresivos. Madrid: Kairós.

23. Pérez Tomayo, R. (1990) ¿Existe el Método Científico? México:

24. Recamán Santos, B. (2002): Los Números: una historia para contar. Bogotá:

Taurus.

25. Talbot, M. (1995). Misticismo y Física Moderna. Barcelona: Kairós, 3º Edición

26. Watzlawick, P. y Ceberio, C. (2001): La Construcción del Universo. Madrid:

Herder.

27. Wilber, K. (1981): El Proyecto Atman. Barcelona: Kairós.

28. Wilber, K. (1987): El Paradigma Holográfico. Barcelona: Kairós.

29. Wilber, K. (1991): Cuestiones Cuánticas: Escritos místicos de los físicos más

famosos. Barcelona: Kairós

30. Wilber, K. (1991): Los Tres Ojos del Conocimiento. Madrid: kairós.

31. Wilber, K. (1996): Sexo, Ecología, Espiritualidad. Tomo 1. Madrid: Gaia

32. Wilber, K. (1996): Sexo, Ecología, Espiritualidad. Tomo 2. Madrid: Gaia.

33. Wilber, K. (1998): El Ojo del Espíritu. Una visión integral de un mundo que está

enloqueciendo. Madrid: Kairós.

34. Zukav, G. (1991): La Danza de los Maestros del Wu Li. Barcelona: Olaza and

Janes.