Descomposición del PBI peruano utilizando el filtro de Kalman

Milagros Gonzales Ángel R. Guillén Rosibell Solís1

Diciembre 2011

I. INTRODUCCIÓN

El presente trabajo desarrolla tres modelos para descomponer la serie del PBI en sus

componentes cíclico y tendencial utilizando el filtro de Kalman. El primero sigue la

propuesta de Clark (1987) que utiliza únicamente la serie del PBI, modela el

componente tendencial como un proceso no estacionario y el componente cíclico

como un AR (2). Los siguientes dos modelos desarrollan la metodología de Rodríguez

(2010) quien incorpora información de variables macroeconómicas adicionales como la

inflación o inversión, pues éstas pueden ayudar a explicar las fluctuaciones del PBI.

Las variables utilizadas son la tasa de desempleo, el ratio inversión-producto y la

inflación, las cuales son incorporadas en un modelo espacio estado que representa la

Ley de Okun, una ecuación que explica la dinámica de la inversión, y la curva de

Phillips. El tercer modelo únicamente incorpora la curva de Phillips. Los modelos

desarrollados constituyen una metodología alternativa al uso de la regresión por MCO

de la serie contra una función -lineal o cuadrática- del tiempo, cuyas estimaciones son

comparadas con los tres modelos desarrollados.

El presente análisis incluye una comparación de resultados con el uso de los filtros

Hodrick-Prescott, Baxter-King, y Cristiano-Fitzgerald. Los datos tienen frecuencia

trimestral y comprenden el periodo 1980:1-2011:3. La incorporación de más

observaciones a la muestra explicaría la diferencia entre los resultados obtenidos y las

estimaciones halladas por Rodríguez (2010).

El resto del documento está organizado de la siguiente manera: la sección 2 contiene una revisión de literatura, la sección 3 los modelos de descomposición del PBI peruano y los resultados de las estimaciones utilizando el filtro de Kalman, y la sección 4 concluye.

1 Estudiantes de economía PUCP. Este documento corresponde a un trabajo final presentado para el

para el curso de Econometría 2 a cargo del profesor Gabriel Rodríguez. Contacto: Ángel R. Guillén: a20094405@pucp.pe.

2

II. REVISIÓN DE LA LITERATURA

La literatura sobre el análisis de la serie del PBI se ha enfocado, además de su no

estacionariedad, en el estudio de su componente tendencial no estacionario y de su

componente cíclico estacionario, ambos no observables. Y es que la inspección visual

de la serie suele indicar que ésta se movería en un patrón irregular de expansión y

contracción alrededor de una tendencia creciente. Una primera aproximación de la

medición de ambos componentes fue dada por Mitchell (1928) quien tomó el

logaritmo de la serie y la regresiona contra una función lineal de tiempo, obteniendo

una tasa de crecimiento constante sobre largos periodos de tiempo, la cual

correspondería a su componente tendencial, siendo los residuos de la regresión, los

ciclos estacionarios que se mueven alrededor de la tendencia. Nelson y Plosser (1982)

por otro lado, obtienen el componente cíclico sustrayendo la parte no estacionaria por

primeras diferencias, modelando a la tendencia como una marcha aleatoria en vez de

que ésta sea una tendencia determinística

Posteriormente, Watson (1986) modela el producto a través de un modelo de

componentes no observados, en el cual una serie observada es descompuesta en un

componente tendencial que sigue una marcha aleatoria con deriva y un residuo que

sigue un proceso estocástico estacionario. El modelo es aplicado para 3 series de

tiempo: GNP, ingreso disponible y gasto en consumo.

Los modelos espacio-estado

Los componentes no observables pueden ser representados en los modelos espacio

estado. Harvey (1981) los describe como representaciones de modelos dinámicos

lineales, de la siguiente forma:

,

,

La primera es la ecuación de medida y establece la relación entre las variables

dependientes observables contenidas en el vector y las variables no observables

representadas por el vector . La segunda es la ecuación de movimiento o transición

e indica el proceso que seguiría las variables no observables, llamadas también

variables de estado. Mientras , , y son matrices fijas que aportan

información. Los modelos espacio estado asumen que las innovaciones y no están

correlacionadas serialmente ni están correlacionadas entre ellas.

La utilidad de los modelos espacio estado radica en proveer un marco para el manejo

de series de tiempo con componentes no observables, por ejemplo asumiendo que el

componente cíclico del PBI tiene un comportamiento autorregresivo estacionario, la

estructura propuesta en (1) y (2) permitiría estimar dicho componente no observable,

ya que todo modelo ARMA puede ser representado de la forma espacio estado.

3

El filtro de Kalman

Es un algoritmo que permite encontrar los estimadores óptimos en un sistema

representado de la forma espacio estado. Este filtro sigue un procedimiento recursivo

que puede dividirse en dos fases: la fase de predicción y la fase de actualización. En la

primera etapa se estiman las variables de estado considerando la información

disponible hasta t-1, en la segunda etapa la nueva información del tiempo t contenida

en el error de predicción actualiza el estimador original a través de la ganancia de

Kalman. Es necesario notar la importancia de la función de verosimilitud del error de

predicción de la variable aleatoria y la normalidad de los errores, pues la

maximización de esta función proporcionará los estimadores óptimos buscados.

Asimismo, para obtener la variable no observada, se toma la información de toda la

serie para cada periodo a predecir, de este modo los estimadores son más eficientes

que cuando se tomaban los datos hasta el periodo anterior, esta técnica será utilizada

en las estimaciones y se denomina smoothing

Aplicaciones del filtro de Kalman

Clark (1987) realiza una de las primeras aplicaciones del modelo de componentes no

observables al producto nacional bruto (PNB) de Estados Unidos, consideró la

existencia de un producto tendencial que seguía una marcha aleatoria con deriva

corregido por la tasa de crecimiento del producto y de un componente cíclico que

seguía un proceso AR(2), es decir los componentes no observables con calculados a

partir de la misma información que brinda el PNB y su tasa de crecimiento.

Sin embargo, los componentes no observables como el ciclo del producto tienen una

estrecha relación con otras variables económicas tal y como lo demuestran los hechos

estilizados. La inflación se relaciona de manera positiva con la brecha del producto a

través de la curva de Phillips, pero negativamente con las desviaciones de la tasa de

desempleo de su nivel natural o NAIRU, de acuerdo a la Ley de Okun, en tanto existe

una correlación positiva entre el nivel de inversión y la producción. Es decir estas

variables contienen información relevante para la estimación de los componentes no

observables del PBI. Rodríguez (2009) siguiendo la propuesta planteada por Doménech

(2003) encuentra que para el caso peruano sólo la inflación proporciona información

relevante para el cálculo del ciclo de producto como consecuencia de una pobre

calidad en la construcción de las variables de desempleo e inversión, además

encuentra diferencias considerables entre sus estimaciones y la de otros filtros

(Hodrick-Prescott, Baxter-King, Beberigde-Nelson, Cristiano-Fitzgerald), siendo la

mayor similitud la propuesta de Clark (1987) que usa también el filtro de Kalman pero

con una representación espacio estado más simple.

4

III. DESCOMPOSICIÓN DEL PBI PERUANO

Para la descomposición del PBI peruano se emplean datos trimestrales desde 1980:1

hasta 2011:3 para las series del PBI (desestacionalizada), inflación, desempleo y ratio

de inversión-producto.

Se pretende encontrar los componentes no observables del PBI utilizando la

información de la inflación, del desempleo y el ratio de inversión- producto que suelen

estar relacionados con el ciclo del producto a través de leyes empíricas como la curva

de Phillips, la Ley de Okun y los co-movimientos entre el ratio de inversión y la brecha

de producto, el comportamiento de las series puede apreciarse en el Gráfico 1.

Gráfico 1. Variables utilizadas en el modelo

La serie del producto muestra un comportamiento tendencial a partir del año 1992, así

también la serie recoge las distintas crisis acontecidas, esto se puede ver en las caídas

de las series, en el año 1982 que se debe al fenómeno del Niño y a la caída del precio

de los metales. Asimismo, en el año 1989 la caída en el PBI fue debido a la

hiperinflación durante el gobierno de Alan García. En el 2009, se aprecia una nueva

caída en el producto debido a la crisis financiera internacional.

Analizando la serie de la inversión privada vemos que es muy volátil. En el año 1992

alcanzó su punto más bajo, representando el 11% del producto, asociado al autogolpe

de Alberto Fujimori. Así también vemos que la inversión reaccionó rápidamente ante

la crisis internacional del 2008, pasando de un 22% a un 16% del PBI.

9.8

10.0

10.2

10.4

10.6

10.8

11.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Log PBI real

.04

.05

.06

.07

.08

.09

.10

.11

.12

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Tasa desempleo

.10

.12

.14

.16

.18

.20

.22

.24

.26

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ratio Inversión Privada / PBI

-2

0

2

4

6

8

10

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Inflación

5

La serie de la tasa de desempleo es muy ruidosa, y presenta un patrón distinto a partir

del 2001, pues se han usado dos fuentes de información para construir esta serie, sin

embargo es considerada en el modelo, por la importancia de estimar el desempleo

estructural o NAIRU.

La serie de la inflación tiene un comportamiento aparentemente estable hasta 1988,

luego de ese año la inflación se dispara, llegando a un punto hiperinflacionario máximo

en el tercer periodo del año 1990. No obstante, a partir del año 1992, la inflación se

estabiliza.

Se desarrollan tres modelos, el primero en base a la propuesta de Clark (1987) , el

segundo considerando el producto y la información que proporciona la curva de

Phillips, la Ley de Okun y una ecuación de inversión, mientras el tercer modelo

considera sólo la relación entre el producto y la inflación a través de la curva de

Phillips; los dos últimos modelos siguen el planteamiento de Rodríguez (2010).

Modelo 1:

Se aplica el modelo propuesto por Clark (1987). Este modelo trabaja sólo con la serie

del producto y plantea un comportamiento tendencial que sigue una marcha aleatoria

y un componente cíclico que sigue un proceso AR(2) muy similar a la propuesta de

Watson (1986) sólo que el intercepto del producto potencial también sigue una

marcha aleatoria y representa la tasa de crecimiento variable en el tiempo del

producto tendencial.

Se asume que el proceso del componente cíclico sigue un proceso AR(2) y que

, , son ruidos blancos independientes con desviaciones estándar

( ) (

)

Modelo espacio-Estado

Ecuación de medida

( )

[

]

6

Ecuación de transición

[

]

[

]

[

]

[

]

Al tratar de aplicar este modelo al PBI peruano se afrontó una dificultad para

maximizar la función de verosimilitud, pues dependían de valores iniciales muy

específicos. Los resultados se muestran en la Tabla 1. No hay significatividad en la

varianza del componente tendencial, lo que hace que la tendencia se ajuste mucho a la

serie real y el componente cíclico sea muy ruidoso, ver Gráfico 2.

Tabla N° 1. Estimación por Máxima Verosimilitud

Producción

1.089

(14.33)

-0.485

(-8.14)

0.006

(-32.5)

0.000

(0.00)

0.022

(-62.00)

Gráfico 2. PBI potencial y ciclos (Modelo de Clark 1987)

9.8

10.0

10.2

10.4

10.6

10.8

11.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

PBI Real PBI Real Potencial

PBI Real

-.12

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclos del PBI Real

7

Modelo 2:

Este es un modelo multivariado que incluye la curva de Phillips, la Ley de Okun y la

ecuación de inversión. Se sigue la propuesta de Rodríguez (2010) pero considerando

sólo dos outliers dadas las diferencias encontradas en la serie que se trabaja. Además,

la volatilidad del componente estacionario del PBI sufre de heteroscedasticidad, por

tanto se considera un quiebre en la varianza en el periodo 1993:3. El mismo problema

afecta a la volatilidad de la inflación, por ello se incorpora la posibilidad que la varianza

del componente permanente cambie en el tiempo, se tiene dos quiebres 1988:3 y

1990:3.

Comportamiento del producto

( )

con

( )

( )

( )

La curva de Phillips

( )

( ∑ ) ( )

Ley de Okun

( ) ( )

Comportamiento de la inversión

( ) ( )

8

Modelo espacio - estado

Ecuación de medida

[

∑

]

[

] [

]

[

∑

]

[

]

[

]

[ ]

Ecuación de transición

[

]

[ ]

[

]

[

]

[

]

[

]

[ ]

Para maximizar la función de verosimilitud se usan como valores iniciales los

parámetros estimados por Rodríguez (2010), los resultados se muestran en la Tabla 2,

los valores en paréntesis corresponden al estadístico.

9

Tabla 2. Estimación por Máxima Verosimilitud

Ecuaciones

Producción Ley de Okun Inversión Curva de Phillips

0.697

-0.074

0.046

-0.613

3.398

(13.11) (-3.99) (1.18) (-1.78) (5.61)

-0.008

0.141

0.084

0.07

7.851

(0.00) (0.33) (1.45) (1.51) (9.82)

0.009

0.004

0.54

0.076

0.357

(3.98) (-5.97) (5.98) (1.57) (-7.42)

0.032

0.008

0.012

0.024

1.639

(-25.8) (-28.74) (-73.01) (0.56) (1.48)

0.012

0.006

0.041

0.023

(-12.68) (-15.13) (1.05) (-11.58)

0.017

0.034

(-21.37) (-27.35)

Los resultados obtenidos difieren de los de Rodríguez, la curva de Phillips es apenas

significativa, mientras la ley de Okun sí es significativa, la ecuación de inversión no es

relevante, y la varianza del periodo 1988:3 hasta 1990:3 tampoco es significativa. Estas

divergencias se pueden deber a los datos iniciales tomados pues la muestra con la que

se trabaja es más grande y requieren de una nueva recalibración de los valores

iniciales, el problema radica en las limitaciones del software usado: EViews, pues no

permite imponer restricciones a los parámetros o modificar el algoritmo de

maximización. Sin embargo, la relevancia que mostraría la Ley de Okun puede deberse

a la incorporación de nueva información: se agregan 5 años más a la serie y con

información nueva que no sufre de los problemas de construcción de los valores

iniciales. Coincidentemente, el valor encontrado (-0.074) es similar al encontrado por

Garavito (2002) quien hizo una estimación de la Ley de Okun.2

Al observar el comportamiento permanente y cíclico a través de los periodos de

recesión, puede notarse que la recesión de finales de los 80’s e inicios de los 90’s

afectó negativamente el PBI potencial. La recesión de 1998, a pesar de su duración, no

causo un gran impacto; mientras la última recesión de finales del 2008 tuvo un menor

impacto en el crecimiento del componente cíclico y permanente3.

2 Garavito trabaja con series anuales desde 1970 hasta el 2000, plantea dos formas de estimar la sensibilidad del desempleo respecto a la brecha del producto, es decir el coeficiente de Okun, encontrando los valores de -0.0845 y -0.079 respectivamente. 3 Las recesiones contabilizadas son cuatro, la primera 1982:2 – 1984:1, la segunda 1988:1 – 1990:3, la tercera 1998:1 – 2000:4 y la cuarta 2008:4 – 2009:2, el criterio de demarcación de la recesión es la caída del PBI no primario trimestral desestacionalizado por más de dos trimestres consecutivos. (Dancourt y Mendoza 2009)

10

Un segundo análisis que se deriva del análisis de la brecha del producto es la dificultad

de predicción de una posible recesión, como se observa en el segundo recuadro del

Gráfico 3 el inicio de todas las recesiones ha coincidido con un ciclo favorable por

encima de su nivel potencial y en tales circunstancias esperar una caída del producto

es poco probable.

Gráfico 3. PBI potencial y ciclos (Modelo de Rodriguez 2010)

Adicionalmente, se compara los resultados del filtro de Kalman con otros filtros

estadísticos, ver Tabla 3, con una simple sustracción de la tendencia lineal y cuadrática;

y con los otros modelos que aplican también el filtro de Kalman. Se considera también

el modelo de Doménech sin considerar outliers, ni cambios en la varianzas.

Los resultados indican una mayor correlación con el modelo de Rodríguez de dos

variables donde considera la ecuación del producto y la curva de Phillips. El

comportamiento de los componentes cíclicos de cada uno de los filtros se muestra en

la Gráfico 6 del anexo.

Tabla 3. Correlación entre modelo de Rodríguez 2010 y otros

Hodrick-Prescott

Baxter-King

Christiano-Fitzgerald

Tendencia lineal

Tendencia cuadrática

Watson 1986

Clark 1987

Doménech 2003

Mod. 2 variables

0.639 0.821 0.746 0.804 0.849 0.232 0.323 0.837 0.959

9.6

9.8

10.0

10.2

10.4

10.6

10.8

11.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

PBI Real PBI Real Potencial

PBI Real (Modelo 2)

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclos del PBI Real (Modelo 2)

11

Modelo 3:

El tercer modelo sólo considera la brecha del producto y relación con la inflación a

través de la curva de Phillips. Se obtiene un ciclo de producto más suave que en el

modelo de Clark; no obstante, el parámetro que mide la sensibilidad de la inflación a la

brecha del producto resulta no significativo, como se observa en la Tabla 3.

Comportamiento del producto

La curva de Phillips

( )

( ∑ ) ( )

Modelo espacio - estado

Ecuación de medida

[

∑

] [

] [

] [

∑

]

[

]

[

] [

]

Ecuación de transición

[

]

[ ]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

12

Tabla 4. Estimación por Máxima Verosimilitud

Ecuaciones

Producción Curva de Phillips

0.697

-0.872

3.411

(8.03) (-1.34) (4.88)

-0.001

0.068

7.848

(0) (0.83) (6.14)

0.008

0.074

0.345

(3.22) (1.7) (-7.27)

0.032

0.023

1.623

(-21.21) (0.54) (1.34)

0.01

0.04

0.02

(-7.28) (0.97) (-6.99)

0.018

0.036

(-16.38) (-23.98)

El comportamiento del ciclo del producto en este modelo es muy similar al modelo 2.

No obstante el coeficiente que mide la relación entre el producto y la inflación no es

significativo. Mientras en el modelo 2 la inclusión de la Ley de Okun que si es

significativa permite una mejor descomposición del producto en concordancia con las

las relaciones teóricas esperadas. En el Gráfico 4 se aprecia el componente tendencial

y los ciclos estimados.

Gráfico 4. PBI potencial y ciclos (Modelo de Rodríguez 2010)

9.8

10.0

10.2

10.4

10.6

10.8

11.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

PBI Real PBI Real Potencial

PBI Real (Modelo 3)

-.25

-.20

-.15

-.10

-.05

.00

.05

.10

.15

.20

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclos del PBI Real (Modelo 3)

13

IV. Conclusiones

Se han estimado tres modelos para descomponer el PBI peruano en tendencia y ciclo,

el primero univariado y los dos siguientes multivariados. En el primer modelo se

encontró no significatividad en la varianza, ni en el intercepto del componente

tendencial.

En el segundo modelo, la varianza del componente estacionario del PBI y la inflación es

heteroscedástica, siguiendo a Rodríguez (2010) se incorpora la posibilidad de que las

varianzas de ambos componentes cambien en el tiempo y se adicionan outliers para

controlar los picos de inflación. Los resultados muestran significatividad de la Ley de

Okun y de la Curva de Phillips al 10%, lo cual difiere de Rodríguez (2010). Esto se puede

deber a que la muestra tomada es mayor o porque solo consideramos dos outliers, en

vez de tres.

En el tercer modelo el parámetro que mide la sensibilidad de la inflación a la brecha

del producto resulta no significativo, a pesar de tener una alta correlación con el

modelo anterior. Por tanto, se concluye que el mejor modelo que ayuda a estimar la

brecha producto es el segundo modelo.

14

BIBLIOGRAFÍA

Clark, Peter

1987 “The Cyclical Component of U. S. Economic Activity”. The Quarterly Journal of

Economics, Vol. 102, No. 4, pp. 797-81.

Dancourt, Oscar y Mendoza, Waldo.

2009 Perú 2008-2009: del auge a la recesión. En O. Dancourt y F. Jiménez (editores),

Crisis internacional. Impactos y respuestas de política económica en el Perú.

Lima: Fondo editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú.

Doménech, Rafael y Víctor Gómez

2003 “Estimating potential output, core inflation and. the NAIRU as latent variables”.

Journal of Business and Economic Statistics, 354-365.

Garavito, Cecilia

2002 “La Ley de Okun en el Perú: 1970-2000”. Documento de Trabajo 212,

Departamento de Economía. Pontificia Universidad Católica del Perú.

Harvey, Andrew C.

1993 Time series models. Cambridge, MA. 2nd edition: The MIT Press.

Mitchell, W.C.

1928 “Business Cycles”. New York: National Bureau of Economics Research. 1928

Nelson, Charles R. and Charles I. Plosser.

1982 “Trends and random walks in macroeconmic time series: Some evidence and

implications” Journal of Monetary Economics, vol. 10, issue 2, pages 139-162.

Rodríguez, Gabriel

2010 "Estimating Output Gap, Core Inflation, and the NAIRU for Peru," Applied

Econometrics and International Development”. Vol 10, No 1. 149-159.

Watson, Mark

1986 “Univariate detrending methods with stochastic trends” Journal of Monetary

Economics. XVIII

15

ANEXOS

Gráfico 5. Componente permanente y cíclico de las series

9.6

9.8

10.0

10.2

10.4

10.6

10.8

11.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Log PBI real PBI potencial

.04

.05

.06

.07

.08

.09

.10

.11

.12

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Tasa desempleo

Componente tendencial

.10

.12

.14

.16

.18

.20

.22

.24

.26

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ratio Inversión Privada / PBI

Componente tendencial

-2

0

2

4

6

8

10

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Inflación Inflación subyacente

16

Gráfico 6. Comparación del Modelo 2 con otros filtros

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Hodrick-Prescott)

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Baxter-King)

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Christiano-Fitzgerald)

-.4

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Tendencia lineal)

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Tendencia cuadrática)

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Clark 1987)

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Doménech 2003)

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10

Ciclo (Modelo 2)

Ciclo (Modelo 3)