Gr 11 Math

Departamento de Educación de Puerto Rico

NOTIFICACIÓN DE POLÍTICA PÚBLICA

El Departamento de Educación no discrimina por razón de raza, color, género, nacimiento, origen nacional, condición social, ideas políticas o religiosas, edad o impedimento, en sus actividades, servicios educativos y oportunidades de empleo.

NOTA ACLARATORIA

Para propósitos de carácter legal en relación con la Ley de Derechos Civiles de 1964, el uso de los términos maestro, director, supervisor, estudiante y cualquier otro que pueda hacer referencia a ambos géneros, incluye tanto al masculino como al femenino.

NOTA ACLARATORIA

La información contenida en este folleto se publica en acuerdo con el Departamento de Educación de Puerto Rico como apoyo a las labores que se realizan en el salón de clase cuya intención es el éxito académico de los estudiantes. Los ejemplos presentados son sólo una muestra que ejemplifica la forma y el estilo de las Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico. En ningún momento se intenta cubrir la totalidad de las expectativas que forman parte de la evaluación ni de algún modo sustituir o limitar la enseñanza con lo que aquí se presenta. Reiteramos que este folleto informativo es sólo una muestra y que pudiera no incluir todos los estilos de pregunta utilizados en las PPAA.

© 2008 Derechos Reservados Conforme a la Ley 11º grado • Matemáticas PPAA • Folleto Informativo

1

INTRODUCCIÓN

Las nuevas Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico (PPAA) son un

instrumento de evaluación totalmente renovado que responde a los lineamientos y demandas de

la educación actual. Los nuevos Estándares de Contenido y Expectativas de Grado en vigencia

desde 2008, presentaron a la comunidad educativa de Puerto Rico el reto de actualizar su sistema

de evaluación.

Los folletos informativos que ahora presentamos a los estudiantes, padres y maestros,

tienen el propósito de ser una herramienta útil para conocer mejor las características de las

nuevas Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico (PPAA) que se administrarán a

partir de abril del 2009.

En cada uno de los folletos hay explicaciones y ejemplos que permitirán al educador, al

padre de familia y a los estudiantes entender mejor la forma en que serán evaluados los

conocimientos y destrezas adquiridos en el salón de clase. Este material ayudará al maestro y al

personal escolar en general, a integrar los estándares y expectativas a la instrucción diaria en el

salón de clases. A los padres, les ayudará a tener una visión general de lo que se evalúa y así

tener mayor posibilidad de ayudar a sus hijos a prepararse para esta evaluación.

Los nuevos Estándares de Contenido y Expectativas de Grado

Durante 2007-2008, los Estándares de Contenido y Expectativas de Grado establecidos

en el 2000, fueron revisados mediante un largo proceso en el que maestros puertorriqueños y

especialistas en evaluación trabajaron arduamente.


2

Los estándares resultantes de este trabajo, así como las expectativas de aprendizaje,

forman un mejor instrumento para guiar la enseñanza de los estudiantes puertorriqueños en el

siglo XXI y para prepararlos para tener éxito en un mundo cada vez más competitivo. Las

expectativas de aprendizaje están ahora definidas claramente para cada grado y las destrezas a

desarrollar se presentan ahora con más detalle.

Los estándares y expectativas de aprendizaje establecen criterios claros y medibles que

constituyen las metas para todos los estudiantes y, en conjunto, forman la pauta a seguir para que

los educadores diseñen la instrucción. Los estándares y expectativas de aprendizaje constituyen

lo que los estudiantes deben saber y hacer. Se espera que al finalizar el año escolar, todo

estudiante posea los conocimientos y las destrezas establecidos para el grado que cursa.

Los estándares educativos dan solidez a los acuerdos sobre los propósitos de la educación

y las metas generales de aprendizaje. Los estándares y expectativas están diseñados para que

sirvan de vínculo entre los componentes del sistema educativo. Eso propicia un ambiente en el

que se permite la planificación unificada entre los maestros del grado, entre grados y entre

niveles. Asimismo, los estándares están delineados de forma tal que permiten la interrelación

entre el currículo, los libros de texto, la capacitación docente y las pruebas de aprovechamiento

académico.

El establecimiento de estándares educativos obedece a la necesidad de optimar la calidad

educativa y la evaluación de la misma para establecer mecanismos de intervención en caso

necesario. Al evaluar el sistema educativo en su totalidad, se favorece la toma de decisiones para

incidir en el mejoramiento del proceso y que a su vez redunde en el beneficio de la población

estudiantil. La búsqueda de la calidad es un proceso que debe ser supervisado y los estándares

proporcionan las herramientas necesarias para llevar a cabo tal proceso.


3

Las nuevas Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico, PPAA

Una vez se establecen nuevos Estándares de Contenido y Expectativas de Grado,

corresponde revisar el sistema de medición PPAA para que esté alineado a estas nuevas

expectativas.

A su vez, las nuevas PPAA cumplen con los requisitos de la Ley NCLB (No Child Left

Behind) del 2001. Estas pruebas permitirán entregar a los maestros y administradores valiosa

información sobre el desempeño de los estudiantes. En las manos de maestros y planificadores

escolares, esta información será una herramienta útil para impulsar a cada estudiante a alcanzar

su máximo potencial.

Para efecto de la evaluación a nivel estatal se consideran estándares y expectativas

específicas seleccionadas por comités de maestros. La selección corresponde al contenido, al

proceso y a la profundidad de pensamiento que requieren tales expectativas. En ese contexto, las

PPAA presentan ítems o preguntas de prueba que evalúan una variedad de conceptos de diversas

destrezas, varios niveles de conocimiento y dificultad. Una de las novedades más notables de las

nuevas PPAA es la utilización de ítems de respuesta extendida en los cuales se espera que los

estudiantes escriban su contestación y demuestren su conocimiento.

Además de estar constituida por ítems en los cuales el estudiante construye su propia

respuesta e ítems de selección múltiple, las PPAA consideran los niveles de profundidad del

conocimiento (NPC) requerido para las expectativas que se evalúan. Los ítems están escritos de

acuerdo con tres de los niveles de profundidad del conocimiento según fueron desarrollados por

Norman Webb¹ y adoptados por el Departamento de Educación de la siguiente manera:

NPC – 1 Recordar y reproducir

NPC – 2 Destrezas y conceptos/Razonamientos básicos

NPC – 3 Pensamiento estratégico/Razonamiento complejo


4

La distribución de ítems entre los primeros tres niveles funge como método de alineación

para examinar el equilibrio entre la demanda cognoscitiva de los estándares y la demanda

cognoscitiva de la evaluación.

¹ Webb, Norman L. Web Alignment Tool (WAT) Training Manual

(Washington, DC: Council of Chief State School Officers, 2005).


5

ORGANIZACIÓN DE

LOS FOLLETOS INFORMATIVOS PPAA

Los folletos informativos se han desarrollado para cada uno de los grados del área de

contenido a evaluar. Mientras cada folleto contiene información única y específica de acuerdo

con el grado y la materia, todos los folletos incluyen información general que es considerada

crítica y que se debe tomar en cuenta:

una descripción general del área de contenido en las PPAA,

una explicación de la importancia de los estándares y expectativas para el

aprendizaje del estudiante,

los estándares y expectativas que se evalúan en esa área de contenido en las

PPAA,

ejemplos de ítems que muestran algunas de las maneras en que las expectativas

son evaluadas a los niveles de profundidad del conocimiento (NPC) apropiados

incluyendo preguntas en las que el estudiante debe producir una respuesta, no sólo

seleccionarla y

rúbricas para la evaluación de las preguntas de respuesta corta o extendida.

Se recomienda que se utilicen los folletos informativos del grado que se enseña así como

los de los grados anterior y posterior. De esa manera se tendrá una visión más amplia de la

evaluación en términos generales.


6

Perspectiva General de las PPAA-Matemáticas

El propósito del folleto informativo en el área de Matemáticas

El propósito de este folleto informativo es ayudar a los estudiantes, padres y miembros de

la comunidad a entender mejor las PPAA de Matemáticas.

La prueba se basa en la versión revisada de los estándares y expectativas de aprendizaje.

Estos parámetros representan un componente esencial para promover el cambio en nuestro

sistema educativo. Además, contribuyen a conectar los cambios curriculares con el desarrollo

profesional de los maestros, los métodos de enseñanza y la evaluación del aprendizaje del

estudiante.

Específicamente, estos estándares requieren que los maestros de matemáticas den

especial énfasis e importancia a:

• la solución de problemas

• la comunicación en la matemática

• el razonamiento matemático

• la representación

• la integración de la matemática con otros contenidos

• la integración de los temas transversales del currículo

Los estándares enuncian altas expectativas de ejecución para todos los estudiantes;

permiten flexibilidad en las formas en que los maestros conducen sus clases y en el aprendizaje

de los estudiantes y ayudan al maestro a definir su currículo sin restringir ideas creativas o el uso

de métodos o técnicas de instrucción. Además, sirven como base para el desarrollo de las

Expectativas Generales por Grado y para definir el perfil de destrezas que los estudiantes deben

conocer y demostrar durante sus estudios escolares.


7

Desarrollo de la prueba

Educadores puertorriqueños y especialistas en evaluación se han asegurado de que las

preguntas estén alineadas con las destrezas y conocimientos de los Estándares. Ellos han

participado en cada etapa de desarrollo de las PPAA de Matemáticas.

Estas etapas incluyen el diseño de las pruebas, la redacción de prototipos de pregunta y

preguntas reales que forman parte

de la prueba. Comités de educadores de Puerto Rico revisan las preguntas que se incluyen en la

prueba antes y después de que éstas sean enviadas a una prueba de campo.

Los estándares y expectativas de aprendizaje y las PPAA responden a un requerimiento

que establece la Ley de Educación Federal “No Child Left Behind”, NCLB 2001.

Formato de la prueba

La prueba de Matemáticas de las PPAA incluye tres tipos de preguntas para los

estudiantes de los grados 3 a 8 y 11:

• de selección múltiple

• de respuesta corta

• de respuesta en una cuadrícula

Las respuestas a las preguntas de selección múltiple deben marcarse en una hoja de

contestaciones que se provee por separado del folleto de la prueba. Las preguntas de selección

múltiple se marcan llenando un pequeño círculo que corresponde a la respuesta que el estudiante

ha elegido, ya sea A, B, C o D. Un dispositivo automático lee las respuestas para computar

aciertos y errores.


8

Preguntas de respuesta corta

Estas preguntas han sido incluidas por primera vez para dar oportunidad al estudiante de

mostrar conocimientos y destrezas más complejos en una forma que se asemeja más a la realidad

del salón de clase. Las preguntas de respuesta corta permiten elevar el nivel de profundidad de

los conocimientos y destrezas a evaluarse, ya que no tienen alternativas de respuesta, sino que

deben ser contestadas por el estudiante por medio de descripciones, razonamientos verbales,

gráficos o numéricos o explicaciones que el estudiante debe producir. La hoja de contestaciones

incluye espacios adecuados para contestar estas preguntas. En estos espacios pueden incluirse o

no diagramas u otros elementos gráficos que ayuden al estudiante a hacer tablas o cálculos.

Las preguntas de respuesta corta incluidas en las PPAA de Matemáticas pueden tener un

valor de 0 a 2 puntos. Para asignar la puntuación se utiliza una rúbrica genérica (página 41) y

ejemplos típicos de respuestas reales en cada nivel de puntuación que son seleccionados

mediante un minucioso proceso de análisis en el que participan educadores puertorriqueños y

especialistas en instrumentos de evaluación. Es importante que el estudiante conteste cada una de

las partes de la pregunta para aspirar a obtener la máxima puntuación.

Preguntas que se contestan en una cuadrícula

Finalmente, las preguntas que se contestan en una cuadrícula son preguntas que requieren

que el estudiante haga cálculos y escriba la respuesta numérica al problema sin tener a la mano

opciones que puedan guiarlo. La respuesta debe anotarse en una cuadrícula como la siguiente:


9

El estudiante debe anotar su respuesta numérica en los cuadros de la primera fila,

cuidando de ubicar correctamente los dígitos en relación con el punto decimal que se incluye en

la tercera columna de derecha a izquierda. Además, debe llenar los círculos que correspondan al

dígito anotado en cada cuadro. Estas respuestas, que tienen un valor de 1 punto cuando son

correctas, también son leídas por un dispositivo automático.

Hojas de fórmulas y conversiones de medidas

Los estudiantes dispondrán de una hoja con fórmulas y conversiones de medidas que

pueden usar para ayudarse a contestar las preguntas incluidas en la prueba. Estas son diferentes

para cada nivel y se incluyen en este mismo folleto en la página 39.

Ejemplos de preguntas

Padres y maestros encontrarán en este folleto ejemplos de preguntas para cada estándar

que le serán útiles en la preparación de los estudiantes antes de la administración de la prueba.

Las preguntas siguen las mismas pautas de las preguntas que el estudiante encontrará en la

prueba real.

Las preguntas requieren de diferentes niveles de profundidad del conocimiento (NPC)

para ser contestadas.


10

Distribución de puntos de la prueba de Matemáticas para 11º grado

Estándar de las PPAA Número máximo de puntos

Números y operación 6

Álgebra 21

Geometría 18

Medición 6

Análisis de datos y probabilidad 9

Total 60


11

Estándar de contenido 1: Numeración y operación

Estándar de contenido 1: Numeración y operación

En este nivel, el énfasis se pone en un nuevo concepto, el concepto de vector, en

preparación del estudiante para un estudio más complejo de los números y su aplicación a otras

ramas del conocimiento.

Estándar, expectativa e indicadores

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 1: NUMERACIÓN Y OPERACIÓN El estudiante es capaz de entender los procesos y conceptos matemáticos al representar, estimar, realizar cómputos, relacionar números y sistemas numéricos.

Aplica los conceptos de los vectores en dos dimensiones para representar, interpretar y resolver problemas.

N.SN.11.1.1 Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud, dirección y su representación geométrica.

N.SO.11.1.2 Reconoce los vectores como un sistema que tiene algunas de las propiedades de los números reales.

EX

PE

CT

AT

IVA

1

N.OE.11.1.3 Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para representar, investigar y resolver problemas.


12

1 ¿Cuál de las siguientes alternativas

es la representación algebraica del

siguiente vector?

A* ( 11, 8)M = −

B ( 11, 8)M = − −

C ( 8, 11)M = − −

D ( 8, 11)M = −

N.SN.11.1.1


13

2 Si ( 2, 5)G = − , ¿cuál de las siguientes gráficas representa 3G− ?

A

B

C

D*

N.SO.11.1.2


14

3 ¿Cuáles son las operaciones con vectores para obtener S ?

A* P Q R S+ + =

B ( )P Q R S+ =

C P Q R S+ − =

D ( )P Q R S+ ÷ =

N.OE.11.1.3


15

Estándar de contenido 2: Algebra En el nivel superior el estudiante reconoce, describe y generaliza patrones y relaciones y

reconoce cuándo una relación es una función. Analiza las diferentes transformaciones de las

funciones trigonométricas que lo capacitarán para estudiar fenómenos periódicos de la vida real

y para enfrentar cursos avanzados de precálculo y cálculo. Además se ampliará el desarrollo de

conceptos de funciones hallando inversas de funciones, la composición y descomposición,

comparar y contrastar las distintas características de funciones y aplicar estos conceptos en la

resolución de problemas.

En este nivel se enfatiza en el análisis, razonamiento y descubrimiento de técnicas para

hacer gráficas de funciones, además del uso de modelos como herramienta para la solución de

problemas.


16


ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: ALGEBRA

El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen

relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios, empleando números, letras (variables) y

signos.

Investiga el comportamiento de las funciones con sus respectivas ecuaciones. Compara y contrasta las propiedades de las diferentes familias de funciones.

A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes representaciones.

A.PR.11.2.2

Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica.

A.PR.11.2.3 Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinómica con coeficientes reales sobre los números complejos.

A.PR.11.2.4 Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y relaciona estos conceptos con la gráfica de la función.

EX

PE

CT

AT

IVA

2

A.PR.11.2.5

Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones: polinómicas, racionales, radicales, potencia, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de múltiples formas.

Examina y aplica las transformaciones básicas de las funciones e investiga la composición y descomposición de las funciones dentro de un contexto real.

A.PR.11.3.1 Encuentra, interpreta y traza la gráfica de la suma, la resta, la multiplicación y la división (cuando existe) de dos funciones.

EX

PE

CT

AT

IVA

3

A.PR.11.3.2 Compone y descompone dos funciones, determina su dominio, su alcance y su gráfica. Utiliza la composición de funciones para determinar si las funciones son inversas.


17

Utiliza las transformaciones de las funciones trigonométricas, sus propiedades y sus gráficas para crear modelos y resolver ecuaciones trigonométricas y una variedad de problemas.

EX

PE

CT

AT

IVA

4

A.PR.11.4.4

Traza la gráfica de funciones de la forma: f(t) = + A sin (Bx + C) + D e interpreta A, B, C y D en términos de amplitud, frecuencia, periodo, deslizamiento vertical y cambio de fase.


18


representa el alcance de la función

representada aquí?

A* {–6, –3, –1, 2, 5, 6, 8, 9}

B {–9, –8, –6, –3, –1, 2, 5, 6}

C {–6, –3, –1, –2, 5, 6, 8, 9}

D {–9, –8, –6, –3, 1, 2, 5, 6}

A.PR.11.2.1

5 ¿Cuál de las siguientes razones

explica por qué esta función tiene

dos ceros? 2( ) 2 3 2f x x x= − −

A Su gráfica está abierta hacia arriba y

el punto mínimo está por encima del

eje x.

B* Su gráfica está abierta hacia arriba y

el punto mínimo está por debajo

del eje x.

C Su gráfica está abierta hacia abajo y

el punto máximo está por debajo

del eje x.

D Su gráfica está abierta hacia abajo y

el punto máximo está por encima

del eje x.

A.PR.11.2.1

x y 9

8

2

–3

–6

5

–1

6

2

–3

–6

5

–1

6

–8

–9


19

6 Observa la gráfica de la función

polinómica

2 1( ) ( 3)( 2)( 1)15 2

f x x x x= − + − − + .

¿Cuál de las siguientes alternativas

indica el número de soluciones reales

de esta función polinómica?

A 0

B 1

C 2

D* 3

A.PR.11.2.3

7 ¿En qué punto no está definida la

siguiente función?

1( ) 102

f xx

= +−

A y = –2

B y = 2

C* x = 2

D x = –2

A.PR.11.2.4

8 ¿Cuál es la diferencia entre la

función polinómica ( ) 4f x x= + y la

función racional 2 7 12( )

4x xg x

x+ +

=+

?

A g(x) no tiene intercepto con el eje y.

B f(x) no tiene un límite máximo.

C f(x) es una recta y g(x) es una

curva.

D* g(x) no está definida en un punto.

A.PR.11.2.5


20

9 ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la suma de las funciones g(x) + h(x)? 2( ) 2 2

( ) 2 4g x xh x x

= − += − +

A

B

C*

D

A.PR.11.3.1


21

10 Observa las siguientes funciones.

2

( ) 3 5( ) 2 3

f x xg x x

= −

= +

A. Encuentra ( ) ( )f x g x .

B. Describe la gráfica de ( ) ( )f x g x .

Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides

contestar todas las partes de la pregunta.

A.PR.11.3.2

Descripción de la respuesta de 2 puntos:

La respuesta debe incluir la función 2( ) ( ) 6 4f x g x x= + y debe indicar que la gráfica es

una parábola, dando algún dato relevante sobre su gráfica como:

• abre hacia arriba

• su mínimo es y = 4

• su punto mínimo está por encima del eje x

• su alcance es 4y ≥

Una gráfica parecida a la siguiente es aceptable.


22

11 Observa la gráfica de la función

( ) 2sen(3 3) 3f x x= + + .

¿Cuál será la ecuación si la gráfica

se desliza tres unidades hacia

arriba?

A 2( ) sen(3 3) 33

f x x= + +

B ( ) 2sen( 3) 3f x x= + +

C ( ) 2sen(3 6) 3f x x= + +

D* ( ) 2sen(3 3) 6f x x= + +

A.PR.11.4.4


23

Estándar de contenido 3: Geometría

En este nivel, el estudiante se concentra principalmente en dos áreas: funciones

trigonométricas y razonamiento geométrico. En el primer punto, investiga las propiedades de las

funciones trigonométricas y las aplica a la resolución de problemas específicos como triángulos

rectángulos y oblicuos. También trabaja con la representación gráfica de las funciones

trigonométricas. En el segundo punto, el estándar incluye un enfoque intenso sobre el desarrollo

cuidadoso del razonamiento, utilizando diferentes métodos de demostración y prueba.


24


ESTÁNDAR DE CONTENIDO 3: GEOMETRÍA El estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico.

Resuelve triángulos aplicando las funciones trigonométricas. Investiga las propiedades de las funciones trigonométricas, las inversas de la función y su representación gráfica.

G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.

G.FG.11.5.2

Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos. E

XPE

CT

AT

IVA

5

G.FG.11.5.5 Desarrolla la Ley de Seno, la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las medidas desconocidas de lados y los ángulos en el triángulo.

Desarrolla y aplica los métodos generales de prueba en la solución de problemas y formula las justificaciones para los teoremas básicos de la Geometría Euclidiana.

G.FG.11.6.2 Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es cierta.

G.FG.11.6.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida.

EX

PEC

TA

TIV

A

6

G.FG.11.6.4 Formula e investiga la validez del recíproco de proposiciones condicionales.


25


se puede usar para calcular la altura

de la antena en la figura a

continuación?

A 100cos(35 )a = °

B 100cot(35 )a = °

C* 100sen(35 )a = °

D 100 tan(35 )a = °

G.FG.11.5.1


26

13 Observa el triángulo ABC.

A. ¿Cómo puedes obtener el seno del ángulo A?

B. Si el seno de 70º es 0.94, ¿cuál es el seno del ángulo A? Muestra el proceso que

seguiste para calcular el seno del ángulo A.



G.FG.11.5.5


La respuesta debe indicar que el seno de A se puede obtener usando la ley de seno,

sen sena b

A B= , y luego debe usar su aplicación al problema para encontrar el resultado

pedido, por ejemplo así:

10 15sen 0.94

15sen 100.94

0.94sen 10 0.6315

A

A

A

=

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

10 cm

15 cm

A

B C 70°


27

14 Observa la siguiente figura y la

demostración que le sigue.

Dado: p q

Demostrar: 1 3m m∠ = ∠

Enunciado Razón

1. p q Dado

2. 1 2∠ = ∠m m Ángulos correspondientes

3.

4. 1 3∠ = ∠m m

A. ¿Cuál es el enunciado del paso 3

que falta en la demostración? ¿En qué

razón se apoya?

B. ¿En qué razón se apoya el paso

final de esta demostración?

Recuerda que debes anotar tu

respuesta en la hoja de contestaciones.

No olvides contestar todas las partes

de la pregunta.

G.FG.11.6.2


La respuesta completa correctamente el paso

3 y el paso 4 de la demostración, por

ejemplo como sigue:

Enunciado Razón

1. p q Dado

2. 1 2m m∠ = ∠ Ángulos correspondientes

3. 2 3m m∠ = ∠ Ángulos verticales

4. 1 3m m∠ = ∠ Propiedad transitiva

1

3 2

p q

r


28

15 Observa las siguientes proposiciones.

Proposición 1: Si un triángulo rectángulo

tiene un ángulo que mide 45°, entonces es

un triángulo isósceles.

Proposición 2: Las medidas de los ángulos

del triángulo isósceles ABC son las

siguientes:

A = 45°, B = 67.5° y C = 67.5°.

A. Identifica la hipótesis y la conclusión de la proposición 1.

B. La proposición 2, ¿es un contraejemplo de la proposición 1? Explica tu respuesta

usando números, dibujos o palabras.



G.FG.11.6.3


La respuesta indica la hipótesis de la proposición 1, por ejemplo: Si un triángulo rectángulo

tiene un ángulo que mide 45°. También indica la conclusión, por ejemplo: Entonces es un

triángulo isósceles. Asimismo, indica que la proposición 2 no es un contraejemplo de la

proposición 1 porque el triángulo ABC no es rectángulo.


29

16 ¿Cuál de las siguientes proposiciones

condicionales tiene un recíproco que

es válido?

A Si un rectángulo tiene lados iguales

a 3 cm y 4 cm, entonces su área es

igual a 12 cm2.

B Si un triángulo es rectángulo,

entonces sus ángulos suman 180°.

C* Si dos triángulos son semejantes,

entonces sus lados

correspondientes son

proporcionales.

D Si un triángulo rectángulo tiene

ángulos de 45°-45°-90°, entonces

es un triángulo isósceles.

G.FG.11.6.4


30

Estándar de contenido 4: Medición

En este nivel, el estándar está muy relacionado con el estudio de las funciones

trigonométricas en álgebra y geometría. El estudiante aprende y practica el uso de unidades de

medida apropiadas para este campo, como son los radianes. También hay aplicaciones prácticas

de este conocimiento a la medición de partes del círculo.

Estándar, expectativas e indicadores.

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 4: MEDICIÓN El estudiante es capaz de utilizar sistemas, herramientas y técnicas de medición para establecer conexiones entre conceptos espaciales y numéricos.

Determina la medida de los ángulos en grados y radianes y determina la longitud de arco.

M.UM.11.8.1 Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y establece las conversiones entre ambas unidades de medida.

M.UM.11.8.2 Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas en: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π y sus múltiplos.

EX

PEC

TA

TIV

A

8

M.TM.11.8.3 Calcula longitudes de arco.


31

17 El ángulo A mide 74π radianes.

¿Cuánto mide en grados?

Anota tu respuesta en la cuadrícula

que está en la hoja de contestaciones.

No olvides llenar los círculos

correspondientes.

Respuesta correcta: 315

M.UM.11.8.1

18 ¿Cuánto vale θ en el seno es igual al

coseno negativo?

sen cosθ θ= −

A 45π

B 47π

C 54π

D* 74π

M.UM.11.8.2

19 En la siguiente figura, el punto C es

el centro del círculo. ¿Cuánto mide

en centímetros el arco menor AB si

m ACB∠ = 72° y la circunferencia

mide 48 cm?

Anota tu respuesta en la cuadrícula que

está en la hoja de contestaciones. No

olvides llenar los círculos

correspondientes.

Respuesta: 9.6

M.TM.11.8.3

C A

B


32

Estándar de contenido 5: Análisis de datos y probabilidad

En este nivel el estudiante realiza análisis de regresión para resolver problemas utilizando

conceptos de álgebra, geometría y funciones estudiadas en este y otros grados. El estudiante

amplía el conocimiento estadístico a través de los conceptos analíticos de correlación, regresión

lineal y uso de escalas. El estudiante trabaja con el análisis, razonamiento y descubrimiento de

técnicas para realizar análisis estadísticos y de probabilidad, gráficas de funciones, además del

uso de modelos probabilísticos como herramienta para la solución de problemas. Se presta

particular atención al modelo de distribución normal.


33

Estándar, expectativas e indicadores. ESTÁNDAR DE CONTENIDO 5: ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD El estudiante es capaz de utilizar diferentes métodos de recopilar, organizar, interpretar y presentar datos para hacer inferencias y conclusiones.

Juzga la asociación entre datos numéricos de dos variables y utiliza el coeficiente de correlación para determinar su asociación lineal. Desarrolla modelos para tendencias de datos de dos variables por medio de líneas de regresión de cuadrados mínimos.

EX

PEC

TA

TIV

A

9

E.IP.11.9.4

Interpola utilizando las tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzga cuando las tendencias extrapoladas son apropiadas.

Examina los efectos de las transformaciones en las medidas de tendencia central, dispersión, asociación y tendencias; desarrolla técnicas básicas y avanzadas para analizar datos. Comunica los propósitos, métodos y resultados de un estudio estadístico; evalúa estudios reportados en los medios de comunicación.

E.RD.11.10.1

Demuestra y describe cómo las diferentes escalas (original, lineal, raíz cuadrada, logarítmica) pueden afectar los diagramas de dispersión; resume las estadísticas y muestra cómo las distintas representaciones (tablas, gráficas, resumen numérico) revelan diferentes características de un conjunto de datos. E

XPE

CT

AT

IVA

10

E.AD.11.10.2 Describe e ilustra cómo se seleccionan las escalas para analizar y presentar información y cómo las transformaciones pueden utilizarse en el desarrollo de modelos lineales.

Identifica escenarios donde la distribución normal es de utilidad. Describe las características de la distribución normal y utiliza la regla empírica para resolver problemas.

E.PR.11.12.2 Utiliza representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.

EX

PEC

TA

TIV

A

12

E.PR.11.12.3 Utiliza la regla empírica para estimar la probabilidad de que un evento ocurrirá en un intervalo específico el cual puede describirse en términos de la desviación estándar sobre la media.


34

20 El siguiente diagrama de dispersión muestra la correlación entre la altura de un pueblo

y la lluvia anual.

Si la línea de ajuste es f(x) = .035x + 62, ¿cuánta lluvia recibirá un pueblo que está a 800

pies de altura?

A 70 pulgadas

B 80 pulgadas

C* 90 pulgadas

D 100 pulgadas

E.IP.11.9.4


35

21 Las siguientes gráficas muestran los mismos datos acerca de las edades de los

estudiantes que toman el primer curso de Matemáticas. ¿Cuál gráfica es la mejor para

mostrar la mediana y la dispersión de los datos?

A

B*

C

0

10

20

30

40

50

60

13 14 15 16 17 18 19

Edades

Núm

ero

de e

stud

iant

es

D

Estudiantes en el primer curso de Matemáticas

13 14

15

16

17

18

19

E.RD.11.10.1

Edad Número

13 1 14 12 15 35 16 55 17 30 18 15 19 2

12 13 14 15 16 17 18 19 20

Edades

Diagrama de cajas


36

22 Observa el siguiente diagrama de dispersión de un conjunto de datos con dos variables.

La línea de ajuste de estos datos es 2.16 .22 10.22y x x= + + .

¿Cuál escala tendrá el efecto de transformar estos datos en un modelo lineal?

A exponencial

B logarítmica

C* raíz cuadrada

D raíz cúbica

E.AD.11.10.2


37

23 La siguiente gráfica muestra la desviación estándar de los resultados de una prueba de

Matemáticas en una escuela. La media es 100 y la desviación estándar (σ ) es 10 puntos.

De acuerdo con estos datos, ¿qué porciento de los estudiantes recibieron una

puntuación de 90 o más? Usa la gráfica de la curva normal para ayudarte a contestar

esta pregunta.

A 15.8%

B 49.9%

C 68.2%

D* 84.0%

E.PR.11.12.3


38

24 En un estudio de los hábitos de alimentación de los trabajadores de una fábrica, los

investigadores calcularon que los trabajadores comían en restaurante un promedio de 6

veces al mes con una desviación estándar de 2 veces por mes.

A. Según este estudio, ¿cuál es la probabilidad de que un trabajador coma en un

restaurante entre 8 y 10 veces al mes? Explica tu respuesta.

B. Si en la fábrica hay 250 trabajadores, ¿cuántos de ellos es probable que coman en

restaurante de 8 a 10 veces por mes? Usa la gráfica de la curva normal para ayudarte a

contestar esta pregunta.



E.PR.11.12.3

Ejemplo de respuesta de 2 puntos:

La respuesta debe indicar el porciento de 13.6% como la probabilidad de que un trabajador

coma en restaurante de 8 a 10 veces y además debe explicar cómo obtuvo este dato, por

ejemplo: porque de 8 a 10 veces por mes representa de +1 a +2 desviaciones estándar de la

media. También debe aplicar esto al total de la población y obtener 34 trabajadores.


39


40

RÚBRICA

Las preguntas de respuesta corta producen una gama de contestaciones para la cual se

aplica la rúbrica pertinente. La calificación de las contestaciones de los estudiantes se otorga

luego de un minucioso proceso que comienza con el Rangefinding.

En el Rangefinding participa un comité de maestros. En este proceso se le presenta al

comité un grupo de contestaciones reales de los estudiantes que tomaron la prueba. El comité

determina cómo aplicar la rúbrica a las contestaciones y establece el proceso de cómo definir los

rangos o niveles de ejecución dentro de la puntuación de la rúbrica. Si la contestación no es

legible o el estudiante no responde se aplica un código especial.

Para efectos de este folleto informativo, no se presentan contestaciones reales ni ejemplos

para cada una de las puntuaciones debido a que para determinar lo que corresponde a una

puntuación de 2, 1 ó 0, se necesita el proceso de Rangefinding.

A continuación verán la rúbrica del área de Matemáticas:


41

RÚBRICA DE MATEMÁTICAS PARA RESPUESTA CORTA

PUNTUACIÓN CRITERIOS

Respuesta de 2 puntos

La respuesta muestra un entendimiento completo de los conceptos y los procedimientos matemáticos para resolver el problema. El estudiante realiza procedimientos completos y da respuestas correctas a todas las partes del problema. La respuesta contiene una explicación clara y efectiva que detalla cómo se resolvió el problema. La respuesta puede omitir detalles que no indican que el problema no fue comprendido claramente.

Respuesta de 1 punto

La respuesta es parcialmente correcta. La solución del problema podría ser correcta, pero demuestra un entendimiento incompleto o incorrecto de los conceptos y procedimientos matemáticos esenciales para resolver el problema. O bien, los cómputos podrían ser incorrectos, pero los procedimientos y/o la explicación muestran un entendimiento correcto del procedimiento para encontrar la solución, aunque se hayan cometido algunos errores de cálculo.

Respuesta de 0 puntos

La respuesta es completamente incorrecta y no es posible interpretarla con claridad o muestra que la comprensión del estudiante de los procedimientos y conceptos necesarios para resolver el problema es insuficiente. Aunque puede haber evidencia de que algunos conceptos y operaciones son correctos, no son parte de la solución del problema o de la pregunta en general.

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