GradienteDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En clculo vectorial, el gradiente de un campo escalar f es un campo vectorial que indica en cada punto del campo escalar la direccin de mximo incremento del mismo. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la funcin (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, sta ltima se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo)Contenido[ocultar] 1 Definicin 2 Interpretacin del gradiente 3 Propiedades 4 Expresin en diferentes sistemas de coordenadas 5 Gradiente de un campo vectorial 6 Ejemplo 7 Aplicaciones 7.1 Aproximacin lineal de una funcin 7.2 Aplicaciones en fsica

[editar] DefinicinSi se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presin P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genrico del espacio indicar la direccin en la cual la presin cambiar ms rpidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de lneas de nivel de una montaa como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genrico indicar la direccin de mxima inclinacin de la montaa. Ntese que el vector gradiente ser perpendicular a las lneas de contorno (lneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definicin se basa en que el gradiente permite calcular fcilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional segn un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el nico vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definicin anterior, el gradiente est caracterizado de forma unvoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

[editar] Interpretacin del gradienteDe forma geomtrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llmese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura), etctera. Algunos ejemplos son: Considere una habitacin en la cual la temperatura se define a travs de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. Siendo esto as, para cada punto de la habitacin, el gradiente en ese punto nos dar la direccin en la cual se calienta ms rpido. La magnitud del gradiente nos dir cun rpido se calienta en esa direccin. Considere una montaa en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El gradiente de H en ese punto estar en la direccin para la que hay un mayor grado de inclinacin. La magnitud del gradiente nos mostrar cun empinada se encuentra la pendiente.[editar] PropiedadesEl gradiente verifica que: Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte. Apunta en la direccin en que la derivada direccional es mxima. Su mdulo es igual a esta derivada direccional mxima. Se anula en los puntos estacionarios (mximos, mnimos y puntos de silla). El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

[mostrar]Demostracin

(1) Sea M el conjunto de puntos que verifican , sea una curva en M,y sea un vector tangente , entonces:

de modo que es ortogonal a todo vector tangente (2) La derivada direccional en la direccin de un vector unitario viene dada por:

que es mxima cuando apunta en la direccin de

(3) Por lo expuesto en (2)(4) El incremento infinitesimal en una direccin de viene dado por la derivada direccional en esa direccin, y dado que en un punto estacionario tal incremento ha de ser nulo para cualquier direccin el gradiente ha de anularse.(5) La componente k-sima del rotacional puede calcularse empleando el smbolo de Levi-Civita y si las derivadas cruzadas son iguales se tiene:

[editar] Expresin en diferentes sistemas de coordenadasA partir de su definicin puede hallarse su expresin en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresin es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresin

Para coordenadas cilndricas (h = hz = 1, ) resulta

y para coordenadas esfricas (hr = 1, h = r, )

En un sistema de coordenadas curvilneo general el gradiente tiene la forma:

donde en la expresin anterior se usado el convenio de sumacin de Einstein.[editar] Gradiente de un campo vectorialVer tambin Tensor_deformacin#Tensores_finitos_de_deformacinEn un espacio eucldeo tridimensional, el concepto de gradiente tambin puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento:

Fijada una base vectorial, este tensor podr representarse por una matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas est formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial. El gradiente de deformacin estar bien definido slo si el lmite anterior existe para todo y es una funcin continua de dicho vector.Tcnicamente el gradiente de deformacin no es otra cosa que la aplicacin lineal de la que la matriz jacobiana es su expresin explcita en coordenadas.[editar] EjemploDada la funcin f(x,y,z) = 2x + 3y2 sin(z) su vector gradiente es:

[editar] Aplicaciones[editar] Aproximacin lineal de una funcinEl gradiente de una funcin f definida de Rn R caracteriza la mejor aproximacin lineal de la funcin en un punto particular x0 en Rn. Se expresa as:donde es el gradiente evaluado en x0[editar] Aplicaciones en fsicaLa interpretacin fsica del gradiente es la siguiente mide la rapidez de variacin de una magnitud fsica al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aqu se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su mdulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeo o nulo implica que dicha magnitud apenas vara de un punto a otro.El gradiente de una magnitud fsica posee innumerables aplicaciones en fsica, especialmente en electromagnetismo y mecnica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. Uno de ellos es el campo electrosttico, que deriva del potencial elctrico:

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. As, una fuerza conservativa deriva de la energa potencial como:

Los gradientes tambin aparecen en los procesos de difusin que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. As, por ejemplo, el flujo de calor en un material es directamente proporcional al gradiente de temperaturas

Derivada direccionalDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En el anlisis matemtico, la derivada direccional de una funcin multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la funcin en la direccin de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.Contenido[ocultar] 1 Funciones escalares reales 1.1 Demostracin 2 Campos vectoriales 3 Funcionales 4 Referencias 5 Vase tambin

[editar] Funciones escalares realesLa derivada direccional de una funcin sobre un vector unitario es la funcin definida por este lmite:

Si la funcin es diferenciable, puede ser escrita en trmino de su gradiente

donde denota el producto escalar o producto punto entre vectores.[editar] DemostracinEl caso ms sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supongase que se tiene una funcin diferenciable . La derivada direccinal segn la direccin de un vector sera:

El primero de estos lmites puede calcularse mediante el cambio lo cual lleva, por ser diferenciable la funcin[1] f, a:

Procediendo anlogamente para el otro lmite se tiene que:

Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector :

[editar] Campos vectorialesEl concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de en , del tipo:

En este caso la derivada direccional de modo idntico a como se haca con funciones de una variable:

Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas direccionales segn todas las direcciones no implica necesariamente que una funcin sea diferenciable. Si la funcin es diferenciable resulta que la aplicacin:

Es lineal y se cumple adems es expresable en trminos del jacobiano: