UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: SEPTIEMBRE/2013 – FEBRERO/2014

INFORME DE TRABAJO FINAL

I. DATOS INFORMATIVOS

Carrera: Ingeniería Electrónica y Comunicaciones

Modulo: Calculo Vectorial

Área Académica: Matemáticas

Línea de Investigación: Electrónica y Comunicaciones

Ciclo Académico: Septiembre 2013- febrero 2014

Paralelo:4° “B”

Alumnos participantes: Yumizaca José

Cushpa Paulo

Manobanda Wilson

Docente: Cálculo Vectorial - Ing. Freddy Robalino

II. Tema:

Gradiente. Definición y propiedades, teoremas, ejercicios. 1. PP

2. YY

III. Objetivos

General:

Conocer la definición de gradiente sus propiedades y teoremas en un campo vectorial.

Específicos:

Analizar cada propiedad y teorema presentados en el siguiente informe.

Denotar una dirección en el espacio según la cual se apreciara una variación de

una determinada propiedad.

IV. MARCO TEÓRICO

Gradiente

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Las magnitudes como el peso y la temperatura consisten en un número, como 15 grados o

1.000 kilogramos. Los científicos llaman a estas magnitudes escalares. Las medidas como la

velocidad y la fuerza, por otra parte, son vectores, y tienen dos datos: una magnitud y una

dirección. Por ejemplo, el reporte del clima dice que el viento sopla del este a siete kilómetros

por hora. Los científicos indican a los vectores con flechas, ya que las flechas tienen una

longitud (que indica la magnitud o intensidad de la medida) y apuntan en una dirección

específica. El gradiente es un vector que resulta de una operación delta en una superficie. Si la

superficie es plana, el gradiente es cero, su forma no cambia. Si la superficie tiene una colina,

el gradiente apunta hacia arriba. Cuando la superficie tiene depresiones y valles, el gradiente

apunta hacia abajo. Cuanto más grande sean las elevaciones o depresiones, mayor será la

magnitud del gradiente.

Definición

El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una

variación de una determinada propiedad o magnitud física.

En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o

variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución

física de una determinada magnitud o propiedad.

En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, representando valores bajos o

altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector

definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que

informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:

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Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por

cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se

expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la

curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura),

etcétera. Algunos ejemplos son:

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo

escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es

. Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para

cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la

temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido

aumenta la temperatura en esa dirección.

Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El

gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de

inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la

pendiente.

Aproximación lineal de una función

El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la

función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:

Donde es el gradiente evaluado en x0.

Propiedades

El gradiente verifica que:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.

Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.

Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.

Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)

El campo formado el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

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Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante

la expresión

Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1, ) resulta

y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r, )

Gradiente de un campo vectorial

En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo

vectorial, siendo el gradiente de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un

desplazamiento

Este tensor podrá representarse por una matriz (3x3), que en coordenadas cartesianas está

formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.

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V. Desarrollo de ejercicios

Ejemplo 1

Calcular el gradiente de la función:

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Ejemplo 2

Calcular el gradiente de la función:

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Ejemplo 3

Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie:

2.X.Z² – 3.X.Y – 4.X = 7

En el punto P0(1, -1, 2)

solución:

Sabemos que el gradiente de una función de superficie es perpendicular a dicha superficie en

todo punto de ella. Por lo tanto, si consideramos un plano tangente a la superficie en el punto P0,

todo vector de dicho plano será perpendicular al gradiente de la función en el punto P0; de ahí

que podamos hacer:

V→⋅(∇→ϕ)=0

Siendo V un vector cualquiera del plano buscado. Tomando un punto genérico P, podemos

considerar el vector :

P0P−→−=(x−1)⋅iˆ+(y+1)⋅jˆ+(z−2)⋅kˆ

Por otro lado, el gradiente de la función considerada vale en el punto (1, -1, 2):

∂ϕ∂x=2⋅Z2−3⋅Y−4 ⇒ (∂ϕ∂x)P0=7

∂ϕ∂y=−3⋅X ⇒ (∂ϕ∂y)P0=−3

∂ϕ∂z=4⋅X⋅Z ⇒ (∂ϕ∂z)P0=8

De donde se tiene:

(∇→ϕ)P0=7⋅iˆ−3⋅jˆ+8⋅kˆ

Con lo que podemos poner

P0P−→−(∇→ϕ)P0=(X−1)⋅7+(Y+1)⋅(−3)+(Z−2)⋅8

Haciendo operaciones y simplificando nos queda:

7.X – 3.Y + 8.Z – 26 = 0

Que es la ecuación del plano pedido.

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Ejemplo 4

Calcular el vector unitario perpendicular al plano:

A.x + B.y + C.z

Por consideraciones del gradiente.

Solución:

Este problema podríamos resolverlo sin tener en cuenta las propiedades del gradiente de una

función y considerar sólo el vector director del plano, que sabemos que es perpendicular a él,

pero como sabemos que un plano es una superficie, vamos a determinar su gradiente:

Este resultado coincide con el valor del vector director del plano dado por los coeficientes de las

variables.

Según las propiedades del gradiente, sabemos que el vector obtenido es perpendicular al plano,

por lo tanto, multiplicando dicho vector por un escalar que valga igual que el inverso de su

módulo, tendremos un vector unitario perpendicular al plano:

VI. Conclusiones: El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual

se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.

Observamos como el vector gradiente de un punto genérico del espacio

indica la dirección en la cual la presión cambia más rápidamente.

Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno

(líneas "equiescalares") .

El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones

coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto se basa en

que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales.

Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector.

VII. Referencias bibliográficas Calculo multivariable: STEWART JAMES 4 edición

Calculo ll: LARSSON ROM

Teoría de campos escalares y campos vectoriales: Miguel Ángel Pascual

Iglesias