Gradientes

GRADIENTESMATEMÁTICAS FINANCIERAS

Matemática Financiera – Programa de contaduría Pública

Gradientes

En matemáticas financieras, gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente.

• Cada pago aumenta o disminuye en $25,000 mensualAritmético

• Cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual

Geométrico


Mientras que en el sistema de anualidades los pagos son iguales

DIFERENCIAS ENTRE ANUALIDADES Y GRADIENTES

en el sistema de gradientes los pagos aumentan o disminuyen con relación al pago anterior.

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6


Existen diferentes formas en que se pueden presentar las gradientes:

Gradientes

• La fecha de pago se realiza al final de periodo de tiempo

Anticipadas

• La fecha de pago se realiza al comienzo del periodo de tiempo

Vencidas

• Es aquel que se empieza a pagar después de un periodo de gracia

Diferidas

• Su aplicación es perpetua, n tiende a infinito

Perpetua

CLASES DE GRADIENTES


Gradiente Aritmético

0 1 2 3 4

A

A + GA +

2GA + 3G

0 1 2 3 4

AA - G

A -

2G

A - 3G

Cuando la cantidad constante es positiva se genera el gradiente aritmético creciente

Cuando la cantidad constante es negativa se genera el gradiente aritmético decreciente


Fórmulas Gradiente Aritmético

P=𝐴¿ Valor presente gradiente aritmético

Valor futuro gradiente aritmético

F=𝐴 ¿ Valor presente gradiente aritmético infinito

P=𝐴𝑖±

𝐺𝑖2


El valor de una máquina procesadora de arroz se está cancelando con 24 cuotas mensuales que aumentan cada vez en $10.000, y el valor de la primera cuota es de $150.000. Si la tasa de interés que se está cobrando es del 3% mensual, calcular el valor de la máquina.



A = $150.000G = $10.000N = 24 mesesi = 3%


01 2 3 4 24

150.000 160.000170.0

00

150.000 + (n-1)10.000

P=150.000¿P


Si la tienda de Don Gustavo le representa unos ingresos mensuales por $350.000, los cuales aumentan en $10.000 todos los meses ¿Cuánto debe exigir Don Gustavo por su negocio si asumimos una tasa de interés del 1% mensual?


𝑃=𝐴𝑖

+𝐺𝑖2

𝑃=350.0000,01

+10.000

0,012

P



Cuál será el valor futuro que se acumula en una cuenta de ahorros al termino de 1 año, si hacemos depósitos mensuales anticipados crecientes en $3000, y la cuenta reconoce un interés del 12% nominal mes vencidos, sabiendo además que el primer deposito es por la suma de $12000.


G = $3.000N = 12 mesesI = 12% NMV 1% mensualA = $12000


𝐹=[(𝐴+ 𝐺𝑖 )((1+𝑖)𝑛−1

𝑖 )−( 𝐺∗𝑛𝑖 )] (1−𝑖 )…

360.510,35

𝐹=[(12.000+ 3.0000,01 )( (1+0,01)11−1

0,01 )−( 3000∗110,01 )] (1−0,01 )…

01 2 3 11 1

2


Es una serie de pagos periódicos tales que cada uno es igual al anterior disminuido o aumentado en un porcentaje fijo. En este tipo de gradientes también se presenta el gradiente geométrico creciente y el geométrico decreciente.

Gradiente Geométrico

0 1 2 3 4

A

A*(1 + G)

A*(1 +

G)^2 A*(1 + G)^3

0 1 2 3 4

AA*(1 - G)

A*(1 - G)^2

A*(1 - G)^3


Fórmulas Gradiente Geométrico Valor presente gradiente geométrico

𝑃= 𝐴(𝐺−𝑖)

+[ (1+𝐺)𝑛

(1+ 𝑖)𝑛−1]𝐺≠ 𝑖 𝑃=

𝑛𝐴(1+𝑖)

𝐺=𝑖

Valor futuro gradiente geométrico

𝐹=𝐴

(𝐺− 𝑖)+[ (1+𝐺 )𝑛−(1+𝑖)𝑛 ] 𝐺≠ 𝑖 𝐹=

𝐴¿¿

Valor presente gradiente geométrico infinito

𝑃=𝐴

𝑖−𝐺𝐺<𝑖


Obtenga el valor presente y el valor futuro de una serie de cuotas semestrales crecientes en un 4% durante 5 años y medio suponiendo una tasa de interés del 12% y conociendo que la primera cuota es por $250.000



A = $250.000G = 4% semestralN = 11 semestresi = 12% EA 5,830% PMV


𝑃= 250.000(0,04−0,583) [ (1+0,04)11

(1+0,583)11−1]

𝑃=2´ 385.095,95

𝐹=250.000

(0,04−0,583)¿

𝐹=4 ´ 448.411 ,75

01 2 3 4 11

250.000 260.000270.00

0

150.000*(1 + 4%)

P

F


Una persona adquiere una deuda en una entidad financiera que le cobra un interés del 2,5986% mensual por la suma de $3´000.000, con el propósito de pagarlo mediante cuotas mensuales crecientes en un 5% en un plazo de 3 años.Determine el valor de la primera cuota, sabiendo además que esa entidad otorga un periodo de gracia de 3 meses



i = 2,5986% PMP = $3´000.000G = 5%Pg = 3 MESESN = 3 AÑOS 36 MESES


𝐴=

(1+𝑖)𝑛−(1+𝐺)𝑛

( 𝑖−𝐺)(1+𝑖)𝑛

𝑃 (1+𝑖)𝑝𝑔

01 2 3 4 34

3´000.000

5 35

36

𝐴=

(1+0,025986)33−(1+0,05)33

(0,025986−0,05)(1+0,025986)33

3 ´ 000.000 (1+0,025986)3

67.907,77



¿Cuanto será el valor acumulado al final de cinco años si se hacen depósitos mensuales anticipados en el primer año por la suma de $200.000? Los depósitos incrementan en un 10% anual, y se invierten en una entidad financiera que reconoce un interés del 2,4288371% mensualmente.

A= $200.000.G=10% anual.I = 2,4288371%.N =5 AÑOS.

𝐹=𝐴 [((1+𝑖)𝑛−𝐺𝑛

1+𝑖−𝐺 )] (1−𝑖 )

𝐹=𝐴 [((1+𝑖)𝑛−𝐺𝑛

1+𝑖−𝐺 )] (1−𝑖 )


Alex Franco se ganó la lotería y desea saber cuanto depositar hoy en una cuenta de ahorros que reconoce un interés del 18% para que su madre pueda retirar mensualmente, y por tiempo indefinido $450.000 los cuales aumentaran en 1% mensual


A = 450.000G = 1% i = 18%EA 1,39% PM𝑃=

𝐴(𝑖−𝐺)

𝑃=450.000

(0,0139−0,01)

𝑃=115 ´ 727.931,24

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