2.5 GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES

En la sección 2.1 estudiamos las gráficas de las funciones con valores reales. Ahoraretomaremos ese estudio usando los métodos del cálculo. Específicamente, usaremosgradientes para obtener una fórmula para el plano tangente a una superficie de nivel.Comencemos recordando cómo se define el gradiente.

DEFINICIÓN Si es diferenciable, el gradiente de en es el0 À Y § V Ä V 0 Bß Cß D$ a bvector en el espacio dado porV$

grad 0 œ ß ß ÞŠ ‹`0 `0 `0`B `C `D

Este vector también se denota por . Así, es simplemente la matrizf0 9f0 Bß Cß D f0a bde las derivadas , escrita como vector.H0

EJEMPLO 1 Sea , la distancia de a .0 Bß Cß D œ B C D œ < ! Bß Cß Da b a bÈ # # #

Entonces

f0 Bß Cß D œ ß ßa b Š ‹`0 `0 `0`B `C `D

œ ß ß œŠ ‹B DB C D B C D B C D

C<È È È# # # # # # # # #

r

donde r es el punto . Así, es el vector unitario en la dirección dea b a bBß Cß D f0 Bß Cß D Þ

EJEMPLO 2 Si , entonces0 Bß Cß D œ BC Da bf0 Bß Cß D œ ß ß œ Cß Bß " Þa b a bŠ ‹`0 `0 `0

`B `C `D

DEFINICIÓN Si , la derivada direccional de en x en la dirección de un0 À V Ä V 0$

vector v está dada por

..> >œ!0 >a b¹x v

si es que existe.

De la definición, podemos ver que la derivada direccional también se puededefinir por la fórmula

itelim2Ä!

0 > 02

a b a bx v x Þ

TEOREMA 12 Si es diferenciable, entonces existen todas las derivadas0 À V Ä V$

direccionales. La derivada direccional en x en la dirección v está dada por

H0 œ 0 † œ f0 †a b a b a bx grad x v x v

œ @ @ @ ß” • ” • ” •a b a b a b`0 `0 `0`B `C `D" # $x x x

donde v .œ @ ß @ ß @a b" # $

En la definición de derivada direccional, con frecuencia se escoge a v como un vectorunitario. Hay dos razones para ello. La primera es que si a es cualquier número realpositivo, v es un vector que apunta en la misma dirección que!

Figura 2.5.1 Al multiplicar un vector v por un escalar , se altera la longitud de v.!

v, pero puede ser más largo si o más corto que v si (ver la figura 2.5.1).a b a b! ! " "Por el teorema 12, la derivada direccional de en la dirección v es0

f0 † œ @ @ @ Þa b a b a b a b” • ” • ” •x v x x x`0 `0 `0`B `C `D" # $

La derivada de "en la dirección" v es [ x ] [ v] [ x ] v, que es por la0 f0 † œ f0 †! ! ! !a b a bderivada direccional en la dirección v, y por lo tanto no es igual a ella. Por lo tanto laderivada direccional, si está definida para todo v, no depende solo de un punto x y!

una dirección. Para resolver este problema podemos requerir que el vector v sea delongitud 1. Entonces el vector v determina una dirección, la misma dirección

determinada por v si , pero ahora la derivada direccional está definida de! ! !manera única por x v.f0 †a b La segunda razón es que podemos interpretar x v como la tasa de cambiof0 †a bde en la dirección v, pues cuando v , el punto x v se mueve una distancia 0 m m œ " > =cuando se incrementa en ; así, realmente hemos escogido una escala en de la> = Pfigura 2.5.1. Nótese que no es necesario usar líneas rectas para calcular la tasa de cambio de0 > a lo largo de una trayectoria . En efecto, por la regla de la cadena,5a b

..>

w0 > œ f0 > † >a b a b a ba b a b5 5 5 .

EJEMPLO 3 Sea . Calcular la tasa de cambio de en la dirección0 Bß Cß D œ B / 0a b # CD

del vector unitario

v en .œ ß ß "ß !ß !Š ‹ a b" " "$ $ $È È È

SOLUCIÓN La tasa de cambio requerida es, usando el teorema 12,

grad v0 † œ #B/ ß B D/ ß B C/ † ß ß ßa b Š ‹CD # CD # CD " " "$ $ $È È È

que en se convierte ena b"ß !ß !

a b Š ‹#ß !ß ! † ß ß œ Þ" " " #$ $ $ $È È È È

Del teorema 12 también podemos obtener el significado geométrico del gradiente:

TEOREMA 13 Suponer que grad x . Entonces grad x apunta en la dirección a0 Á ! 0a b a blo largo de la cual crece más rápido.0

En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual va a0crecer más rápidamente, debemos proceder en la dirección x . Análogamente, sif0a bdeseamos movernos en una dirección en la cual decrece más rápido, deberemos0proceder en la dirección x .f0a bEJEMPLO 4 ¿En qué dirección desde , crece más rápido ?a b a b!ß " 0 Bß C œ B C# #

SOLUCIÓN El gradiente esf0 œ #B #Ci j,

de modo que en esto esa b!ß "f0 œ # Þ¸a b!ß"

j

Por el teorema 13, crece más rápido en la dirección j.0

Ahora veremos la relación entre el gradiente de una función y sus superficies0de nivel. El gradiente apunta en la dirección en la que los valores de cambian más0rápidamente, mientras que una superficie de nivel esta en las direcciones en las queesos valores no cambian. Si es suficientemente bien portada, el gradiente y la0superficie de nivel serán perpendiculares.

Figure 2.5.2 Significado geométrico del gradiente: es ortogonal a la superficie f0 Wen la cual es constante.0

TEOREMA 14 Sean una función y un punto en la superficie0 À V Ä V G B ß C ß D$ "! ! !a b

de nivel definida por , para constante. Entonces grad esW 0 Bß Cß D œ 5 5 0 B ß C ß Da b a b! ! !

normal a la superficie de nivel en el sentido siguiente: Si v es el vector tangente en> œ ! - > W - ! œ B ß C ß D 0 † œ ! de una trayectoria en con , entonces grad va b a b a b a b! ! !

(ver la figura 2.5.2).

Si estudiamos la conclusión del teorema 14 vemos que es razonable definir elplano tangente a como sigue:W

DEFINICIÓN Sea la superficie formada por los puntos tales queW Bß Cß Da b0 Bß Cß D œ 5 5 W B ß C ß D Wa b a b, para constante. El plano tangente de en un punto de ! ! !

está definido por la ecuación

f0 B ß C ß D † B B ß C C ß D D œ ! Ð"Ña b a b! ! ! ! ! !

si . Esto es, el plano tangente es el conjunto de puntos quef0 B ß C ß D Á ! Bß Cß Da b a b! ! !

satisfacen la ecuación .Ð"Ñ

EJEMPLO 5 Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie definida por$BC D œ % "ß "ß "# en .a bSOLUCIÓN Aquí y , que en es el vector0 Bß Cß D œ $BC D f0 $Cß $Bß #D "ß "ß "a b a b a b#

a b$ß $ß # . Así, el plano tangente es

a b a b$ß $ß # † B "ß C "ß D " œ !

$B $C #D œ )Þ

En el teorema 14 y en la definición anterior pudimos haber trabajado tanto endos dimensiones como en tres. Así, si tenemos y consideramos una curva0 À V Ä V2

de nivelC={ }a b a b-ß C l0 Bß C œ 5 ß

entonces es perpendicular a para cualquier punto en C. Asimismo,f0 B ß C G B ß Ca b a b! ! ! !

la recta tangente a en tiene la ecuaciónG B ß Ca b! !

f0 B ß C † B B ß C C œ ! Ð#Ña b a b! ! ! !

si ; esto es, la recta tangente es el conjunto de puntos quef0 B ß C Á ! Bß Ca b a b! !

satisfacen la ecuación (2) (ver la figura 2.5.3).

Figura 2.5.3 En el plano, el gradiente es ortogonal a la curva constante.f0 0 œ

Con frecuencia nos referimos a como campo vectorial gradiente. Nótese quef0f0 0 asigna un vector a cada punto en el dominio de . En la figura 2.5.4 no describimosla función trazando su gráfica, que sería un subconjunto de , esto es, el conjuntof0 V'

de elementos x, x , sino representando a , para cada punto , como una b a ba bf0 f0 T Tvector que sale del punto en lugar del origen. Como en una gráfica, este métodoTpictórico de describir contiene al punto y al valor en la misma ilustración.f0 T f0 Ta b

El campo vectorial gradiente tiene un importante significado geométrico.Muestra la dirección en la cual crece más rápido y la dirección que es ortogonal a las0

Figure 2.5.4 El gradiente de una función es un campo vectorial enf0 0 À V Ä V$

V T f0 T T$3 3 3; en cada punto , es un vector que sale de ,a b

Figura 2.5.5 Ilustración física de dos hechos (a) es la dirección de mas rápidof0crecimiento de y (b) es ortogonal a las curvas de nivel.0 f0

superficies (o curvas en el plano) de nivel de . Es plausible que haga ambas cosas. Para0verlo, imaginen una colina como la que se muestra en la figura 2.5.5(a). Sea la función2

de altura, una función de dos variables. Si trazamos curvas de nivel de , serán2simplemente los contornos de nivel de la colina. Las podemos imaginar comotrayectorias de nivel sobre la colina (ver la figura 2.5.5(b)). Una cosa será obvia paracualquiera que haya emprendido la caminata: para llegar más rápido a la cima de lacolina se deberá caminar perpendicular a los contornos de nivel. Esto es consistentecon los teoremas 13 y 14, que aseguran que la dirección de crecimiento más rápido (elgradiente) es ortogonal a las curvas de nivel.

EJEMPLO 6 La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria en producida7 Bß Cß Da bpor una masa en el origen en , de acuerdo con la ley de gravitación de Newton,Q V$

esta dada porJ œ ßK7Q

<# n

donde es una constante; r es la distancia de alK < œ m m œ B C D Bß Cß DÈ a b# # #

origen; y n r el vector unitario en la dirección de r i j k, que es el vectorœ <Î œ B C Dde posición del origen a .a bBß Cß D Notar que , esto es, es el negativo del gradienteJ œ f K7QÎ< œ fZ Ja bdel potencial gravitacional . Esto puede verificarse como en el ejemploZ œ K7QÎ<" J. Nótese que está dirigido hacia adentro, hacia el origen. Además, las superficies denivel de son esferas. es normal a estas esferas, lo cual confirma el resultado delZ Jteorema 14.

EJEMPLO 7 Hallar un vector unitario normal a la superficie dada porWD œ B C C " !ß !ß "# # en el punto .a bSOLUCIÓN Sea , y considerar la superficie definida por0 Bß Cß D œ B C C " Da b # #

0 Bß Cß D œ ! Bß Cß D D œ B C C "a b a b. Como éste es el conjunto de puntos con ,# #

vemos que es la superficie . El gradiente está dado porW

f0 Bß Cß D œ a b `0 `0 `0`B `C `Di j k

œ #BC #B C " ß# #i j ka by así,

f0 !ß !ß " œ Þa b j k

Este vector es perpendicular a en y, para hallar una normal unitaria n,W !ß !ß "a bdividimos este vector entre su longitud para obtener

n j k .œ œ f0 !ß!ß"mf0 !ß!ß" m

"#

a ba b È a b